Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

PHẦN 2. TAM THỨC BẬC HAI
Bài 1: (910201) Cho phương trình ẩn x : x2 − 2mx − 1 = 0 ( 1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x2 2 − x1x2 = 7.
a) Ta có ∆ ' = m2 + 1 > 0, ∀m∈ R.
b) m = ±1.
Bài 2: (910202) Cho phương trình: x2 − 5x + m = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình trên khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 − x2 = 3.
a) Phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2.
b) m = 4.
Bài 3: (910203) Cho phương trình ẩn x : x2 − 2mx + 4 = 0 ( 1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b) Tìm giá trị của m để phương trình ( 1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:

( x1 + 1)

2

+ ( x2 + 1) = 2.
2

a) x1 = 3 + 5; x2 = 3 − 5.
b) m = −2.
Bài 4: (910204) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 − x − 3 = 0.
Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x2 2 .
P = x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2x1x2 = 1 + 6 = 7.
2

Bài 5: (910205) Cho phương trình ẩn x : x2 − x + 1 = 0 ( 1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:
x1x2 . ( x1x2 − 2 ) = 3 ( x1 + x2 ) .

a) Với m = 0 ta có phương trình x2 − x + 1 = 0.
Vì ∆ = −3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) m = −2.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

Bài 6: (910206) Cho phương trình x2 − 6x + m = 0
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x1 − x2 = 4.
a) m < 0.
b) m = 5 .
Bài 7: (910207)
1) Cho hàm số y = ax2 , biết đồ thị hàm số đi qua điểm A ( −2; −12 ) . Tìm a.
2) Cho phương trình: x + 2 ( m + 1) x + m = 0. ( 1)
a. Giải phương trình với m = 5.
b. Tìm m để phương trình ( 1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có một
2


2

nghiệm bằng −2.
1) a = −3.
2) a) x1 = −6 − 11; x2 = −6 + 11.
b) m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm.
Bài 8: (910208) Cho phương trình bậc 2: ( m − 1) x − 2mx + m + 1 = 0.
a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0.
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy
tính tổng 2 nghiệm của phương trình.
a) m = −1
2

b) m =

3
b
và x1 + x2 = − = 6.
2
a

Bài 9: (910209) Cho phương trình: x − 2 ( m − 1) x − m − 3 = 0 ( 1)
a) Giải phương trình với m = −3.
b) Tìm m để phương trình ( 1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x12 + x2 2 = 10.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
1) x = 0; x = −8.
2

3
2

x
+
x
+
2
x
x
3) 1 2
1 2 +8= 0

2) m = 0; m = .

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

Bài 10: (910210) Cho x1 = 3 + 5 và x2 = 3 − 5
Hãy tính: A = x1x2 ; B = x12 + x2 2 .
A = x1x2 = 2
B = x12 + x2 2 = 6
2
2
Bài 11: (910211) Cho phương trình ẩn x : x − ( 2m + 1) x + m + 5m = 0

a) Giải phương trình với m = −2.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6.
−3 ± 33
.
2
b) m = −6 .

a) x1,2 =

2
Bài 12: (910212) Cho phương trình: k ( x − 4x + 3) + 2 ( x − 1) = 0

1
2

a) Giải phương trình với k = − .
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k .
a) x1 = 1; x2 = 7.
b) + Xét k = 0
+ Xét k ≠ 0
Bài 13: (910213) Cho phương trình: x2 − 4x + m + 1 = 0 ( 1)
a) Giải phương trình ( 1) khi m = 2.
b) Tìm giá trị của m để phương trình ( 1) có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn đẳng thức
x12 + x2 2 = 5 ( x1 + x2 ) .

a) x1 = 1, x2 = 3.
b) m = −3.
2
Bài 14: (910214) Cho phương trình x − ( m + 5 ) x − m + 6 = 0 ( 1)

Nguyễn Văn Lực


Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình ( 1) có một nghiệm x = −2.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình ( 1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn
x12x2 + x1x2 2 = 24.
a) x1 = 1, x2 = 5.
b) m = 3.
Bài 15: (910215) Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân
3
2
2
biệt: x − 2mx + ( m + 1) x − m = 0 ( 1) .
m > 2
m < −2

2
Bài 16. (910216) Cho phương trình 2x + ( 2m − 1) x + m − 1 = 0 với m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = 2 .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 4x12 + 2x1x2 + 4x22 = 1 .
1
2


a) x1 = −1 , x2 = − .
3
4

b) m = 1, m = .
Bài 17. (910217) Cho phương trình x2 − 2x + m − 3 = 0 với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 3 .
b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả
mãn điều kiện: x12 − 2x2 + x1x2 = −12 .
a) x = 0 ; x = 2 .
b) m = −5 .
2
Bài 18. (910218) Cho phương trình x + ( 3 − m) x + 2 ( m − 5) = 0 với m là tham
số.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm x = 2 .

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm x = 5 − 2 2 .
a) Thay x = 2 vào vế trái của phương trình ta được:
22 + ( 3 − m) .2 + 2(m − 5) = 4 + 6 − 2m + 2m − 10 = 0 đúng với mọi m
b) m = 10 − 2 2 .
Bài 19. (910219) Cho phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 với a,b là tham số.

a) Giải phương trình khi a = 3 và b= −5 .
b) Tìm giá trị của a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
x1 − x2 = 3
thoả mãn điều kiện:  3 3
.
x1 − x2 = 9

a) x1 = 1, x2 = −4 .
 a = 1, b = −3

b) 

 a = −1, b = −3

.

Bài 20: (910220) Cho phương trình ẩn x : x2 − x + m = 0 ( 1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình ( 1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
mãn: ( x1x2 − 1) = 9 ( x1 + x2 ) .
2

a) ∆ = −3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) m = −2.
Bài 21: (910221) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 − x − 3 = 0
1 1
Tính giá trị biểu thức P = + .
x1 x2
1
P=− .

3

Bài 22: (910222) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2 − x − 2 = 0
2
2
Tính giá trị biểu thức P = x1 + x2 .

P=

13
.
9

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.
2
Bài 23. (910223) Cho phương trình 2x − ( m + 3) x + m = 0 ( 1) với m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = 2 .
b) Chứng tỏ phương trình ( 1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi x1 , x2 là
các nghiệm của phương trình ( 1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = x1 − x2 .
1
2

b) min A = 2 ⇔ m = 1.

a) x1 = 2 , x2 = .

2
2
Bài 24: (910224) Cho phương trình 2x + ( 2m + 1) x + m + 1 = 0 ( 1)

a) Giải phương trình ( 1) khi m = 1.
b) Tìm m để phương trình ( 1) có 2 nghiệm âm.
a) x1 = −1; x2 = −2.
3
4

b) m ≥ .
Bài 25: (910225) Cho phương trình x + 2 ( m − 1) x + m + 1 = 0 với m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
m < −1, m = 0.
2

2
Bài 26: (910226) Cho phương trình: ( x − x − m) ( x − 1) = 0 ( 1)

a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
a) x = ±1; x = 2.
1
b) m = − ; m = 0.
4


Bài 27: (910227) Cho phương trình: x4 − 5x2 + m = 0 ( 1)
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm m để phương trình ( 1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

a) x = ±1; x = ±2.
25
b) m = ; m < 0.
4
Bài 28: (910228) Cho phương trình: x2 − 2x + m = 0 ( 1)
a) Giải phương trình khi m = −3.
b) Tìm m để phương trình ( 1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn:

1 1
+
= 1.
x1 x2

a) x1 = −1; x2 = 3.
b) m = −1 − 5.
2
Bài 29: (910229) Cho phương trình: x − 2 ( m − 1) x + m + 1 = 0 ( 1)


a) Giải phương trình khi m = −1.
b) Tìm m để phương trình ( 1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn

x1 x2
+
= 4.
x2 x1

a) x = 0; x = −4.
b) m =

7 − 57
7 + 57
< 0; m =
> 0.
4
4

Bài 30: (910230) Cho phương trình: x2 − 2mx − 6m = 0 ( 1)
a) Giải phương trình ( 1) khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình ( 1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
a) x = −2; x = 6.
b) m = 0; m = −

27
.
4

(


)

2
Bài 31: (910231) Cho phương trình: 1 + 3 x − 2x + 1 − 3 = 0 ( 1)

a) Chứng tỏ phương trình ( 1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi 2 nghiệm của phương trình ( 1) là x1 , x2 . Lập một phương trình bậc

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

2 có 2 nghiệm là

1
1
và .
x1
x2

a) Do ac = (1 + 3)(1 − 3) = 1 − 3 = −2 < 0
b) Phương trình bậc 2 cần tìm là: X 2 + (1 + 3)X − (2 + 3) = 0 .
Bài 32: (910232) Cho phương trình: x − ( 4m − 1) x + 3m − 2m = 0 (ẩn x ).
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện:

x12 + x22 = 7.
2

2

3
m = 1 hay m = − .
5

Bài 33: (910233) Cho phương trình x2 − 2mx + m − 2 = 0 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với
mọi m.
b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình.
Tìm m để biểu thức M =

−24
đạt giá trị nhỏ nhất.
x + x22 − 6x1x2
2
1

a/ Phương trình (1) có ∆ ' = m2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0 với mọi m.
b/ M đạt giá trị nhỏ nhất là −2 khi m = 1.
2

Bài 34: (910234) Cho phương trình x2 − 2x − 3m2 = 0 , với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác 0
và thỏa điều kiện


x1 x2 8
− = .
x2 x1 3

a) x = −1; x = 3.
b) m = ±1.
2
2
Bài 35: (910235) Cho phương trình: x − 2 ( m + 2 ) x + m + 4m + 3 = 0 .

a) Chứng minh rằng: Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với
mọi giá trị của m.
2
2
b) Tìm giá trị của m để biểu thức A = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.
2

a) Ta có ∆′ =  −(m + 2) − m 2 − 4m − 3 = 1 > 0 với mọi m.
b) với m = −2 thì A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2.
2
2

Bài 36: (910236) Cho phương trình (ẩn số x ): x − 4x − m + 3 = 0 ( *) .
a) Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2 = −5x1 .
a) ∆ = 16 + 4m 2 − 12 = 4m2 + 4 ≥ 4 > 0; ∀m
b) m = ± 2 2
2
2
Bài 37: (910237) Cho phương trình: x − 2 ( m − 1) x + m − 6 = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình khi m = 3.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x12 + x22 = 16 .
a) x1 = 1; x2 = 3.
b) m = 0; m = −4.
2
Bài 38: (910238) Cho phương trình x − 2 ( m − 3) x − 1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 mà biểu thức
A = x12 − x1x2 + x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
a) x1 = −2 − 5; x2 = −2 + 5.
b) GTNN của A = 3 ⇔ m = 3.
2
Bài 39: (910239) Cho phương trình x − 2 ( m + 1) x + 4m = 0 ( 1)

a) Giải phương trình ( 1) với m = 2.
2
b) Tìm m để phương trình ( 1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ( x1 + m) ( x2 + m) = 3m + 12.

a. x1 = 2; x2 = 4.
b. m = 2 .
Bài 40: (910240) Cho x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 − x − 1 = 0 .

1 1
+ .
Tính:
x1 x2

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

1 1
+
= −1.
x1 x2

Bài 41: (910241) Cho phương trình x2 − 2x + m − 3 = 0 với m là tham số. Tìm
các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện
x13x2 + x1x2 3 = −6.
Không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều
3
3
kiện x1 x2 + x1x2 = −6.
2
Bài 42: (910242) Cho phương trình x − 2 ( m + 1) x + m − 2 = 0 , với x là ẩn số,

m ∈ R.


a. Giải phương trình đã cho khi m = −2.
b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . Tìm hệ
thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m.
a) x = −1 − 5; x = −1 + 5.
b) x1 + x2 − 2x1x2 − 6 = 0.
Bài 43: (910243) Cho phương trình bậc hai x2 + 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 .
2
2
Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm ( x1 + 1) và ( x2 + 1) .
Phương trình cần lập là x2 − 21x + 29 = 0.
Bài 44: (910244) Chứng minh rằng pt: x2 + mx + m − 1 = 0 luôn có nghiệm với
mọi giá trị của m. Giả sử x1 , x2 là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất
2
2
của biểu thức B = x 1 + x 2 - 4.(x1 + x2 ) .
min B = 1 ⇔ m = −1.
2
2
Bài 45: (910245) Cho parapol ( P ) : y = x và đường thẳng ( d) : y = 2x + m + 1
(m là tham số).
a) Xác định tất cả các giá trị của m để ( d ) song song với đường thẳng

( d ') :

y = 2m2x + m2 + m .

b) Chứng minh rằng với mọi m, ( d ) luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A và B.

Nguyễn Văn Lực


Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

c) Ký hiệu x A ; xB là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho
xA 2 + xB 2 = 14 .
a) m = −1.
b) Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) và ( P ) luôn có hai
nghiệm phân biệt với mọi m.
c) m = ±2
2
Bài 46: (910246) Cho phương trình: mx − ( 4m − 2 ) x + 3m − 2 = 0 ( 1) (m là
tham số).
a) Giải phương trình ( 1) khi m = 2.

b) Chứng minh rằng phương trình ( 1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
c) Tìm giá trị của m để phương trình ( 1) có các nghiệm là nghiệm nguyên.
a) x1 = 0; x2 = 2
b) Xét m = 0 và m ≠ 0.
c) Với m = { ±1; ± 2;0} thì phương trình có nghiệm nguyên
Bài 47: (910247) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau vô
2
nghiệm: x − 4x − 2m x − 2 − m + 6 = 0 .
m < 1.
Bài 48: (910248) Cho phương trình x2 − 2mx − 2m − 5 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị

của m.
b) Tìm m để x1 − x2 đạt giá trị nhỏ nhất ( x1 , x2 là hai nghiệm của phương
trình).
a) ∆ ' > 0 với mọi m.
b) Với m = −1 thì x1 − x2 đạt giá trị nhỏ nhất là 4.
Bài 49: (910249) Cho phương trình x2 − 4x + m + 1 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu ( x1 < 0 < x2 ) . Khi đó nghiệm nào
có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
a) x1 = 1; x2 = 3

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

b) m < −1, x1 < x2
2
2
Bài 50: (910250) Cho phương trình x − 2 ( m + 1) x + m + 3 = 0 .

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A = x1 + x2 + x1x2 .
a) m ≥ 1.
b) Amin = 8 khi m = 1.

Bài 51: (910251) Cho phương trình: x2 + 2mx + m2 − 2m + 4 = 0
a)
b)
a)
b)

Giải phương trình khi m = 4.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = −2; x2 = −6.
m > 2.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

( 0933.168.309