Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG

KỲ THI CHUYÊN ĐỀ LẦN 4 NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN TOÁN 12
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: y  x3  6 x 2  9 x  1 (1).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn phương trình:
y ''( x0 )  12 .
Câu 2 (1,0 điểm).

1
3




1. Cho sin a  ; a   0;


2sin a  sin 3a
 . Tính giá trị biểu thức: A 
2
2cos a  cos3a
3

2. Giải phương trình: log2 x  log8  x  1  log
e

Câu 3 (1,0điểm). Tính tích phân: I  ln x ( x 2 


1

2

2x  4 .

ln x
)dx .
x

Câu 4 (1,0điểm).
1. Cho tập hợp A  0;1;2;3; 4;5 . Lập số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu
nhiên 2 số trong các số vừa lập, tính xác suất để trong hai số được chọn có đúng 1 số chẵn.
2. Tìm số phức z thỏa mãn:  2  i  z  i.z  1  i
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = a, BAC  1200 ,
AB '  2a . Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC.
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi
H  5;5  là hình chiếu của A lên BC, đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A có phương
trình x  7 y  20  0 . Đường thẳng chứa trung tuyến AM đi qua điểm K  10;5  . Tìm tọa độ
các đỉnh A, B, C biết B có tung độ dương.
Câu 7 (1,0 điểm).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;0;1 ; B  2;1; 2  và mặt phẳng (Q) có
phương trình: x  2 y  3z  16  0 .
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q).
2. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (Q) đồng thời cắt đường thẳng AB và
vuông góc với đường thẳng AB.


 x 2 1  y 2   1  x 2  1  xy

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
 2 x  7 xy  3 x  2  x  3 xy  5






Câu 9 (1,0 điểm).
Cho các số thực a, b, c khác nhau, thỏa mãn điều kiện a  b  c  1 và ab  bc  ca  0 . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2
5
P



.
ab bc c a
ab  bc  ca
---------- Hết ---------Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.)

Họ và tên thí sinh: …………………………………; Số báo danh: ………..
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - KHỐI 12
———————————
ĐÁP ÁN
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
3
2
1
Câu 1. (1,0 điểm).1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  x  6 x  9 x  1
. Giới hạn: lim y   lim y  

TXĐ: D 

x 

x 

0.25

x  1
Sự biến thiên: y '  3 x 2  12 x  9; y '  0  
.
x  3
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng

 ;1 &  3;   .


1;3 ,

hàm số đồng biến trên khoảng

Hàm số đạt cực đại tại x  0; y  2 . Hàm số đạt cực tiểu tại:

0.25

x  1; y  3 .
BBT
x

1



y’

+

0

3
-



0 +
-1


0.25


y
3



Đồ thị: y "  0  x  2  I  2;1 là tâm đối xứng của đồ thị
fx = x3 6∙x2 + 9∙x 1
4

2

0.25
10

5

5

10

2

4

2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn
phương trình: y ''( x0 )  12 .


2

Ta có y ''( x0 )  12  6 x0  12  12  x0  0

0,25

Với x0  0  y0  1

0,25

Phương trình tiếp tuyến tại M  3; 1 là: y  y '(0)  x  0   1  9 x  1

0,5

Câu 2 (1,0 điểm).

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT

1
3




1. Cho sin a  ; a   0;



2sin a  sin 3a
 . Tính giá trị biểu thức: A  2cos a  cos 3a
2
3

2. Giải phương trình: log2 x  log8  x  1  log
1.Ta có: cos a 

A

2

2x  4 .

2 2
2sin a  sin 3a
4sin 3 a  sin a
 A

3
2cos a  cos 3a 4cos 3 a  cos a

5 2
92

0.25
0.25

2, Điều kiện: x > 1
3


log2 x  log8  x  1  log

2 x  4  log2 x  x  1  log 2  2 x  4 

2

 x  1
 x  x  1   2 x  4  x2  3x  4  0  
 x  4 . Vậy x = 4
3

e

Câu 3 (1,0điểm). Tính tích phân: I  ln x ( x 2 


1

e

0.25

ln x
)dx .
x

e

Ta có: I  ln x ( x 2 



1


ln x
ln 2 x 
)dx    x 2 ln x 
dx  K  J
x
x 
1

dx

du 

u

ln
x


x
Tính K. Đặt: 

2
3
 dv  x dx v  x


3
e

x3
x2
e3 x3
e
K  ln x 1   dx  
3
3
3 9
1

e
1

0.25

2e3  1

9

0.25

1

dx
t3 1 1
2e3  1 1 2e3  2
2

Tính J. Đặt t  ln x  dt 
 J   t dt  0   I 
 
x
3
3
9
3
9
0
4

0.25

0.5

Câu 4 (1,0điểm).
1. Cho tập hợp A  0;1;2;3;4;5 . Lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Chọn
ngẫu nhiên 2 số trong các số vừa lập, tính xác suất để hai số được chọn có đúng 1
số chẵn.
2. Tìm số phức thỏa mãn:  2  i  z  i.z  1  i
1.Gọi số cần tìm là abc; a  b  c; a  0 ta có 5.5.4 = 100 số
Số chẵn cần tìm có dạng abc
Nếu c = 0 có 20 số. Nếu d = 2, 4 mỗi trường hợp có 16 số . Vậy có 20 + 32= 52 số chẵn
và 48 số lẻ. Vậy xác suất là:

1
52

1

48

C .C
416

2
C100
825

0.5

0,504

2.Giả sử

z  a  bi ; a,b  R   2  i  z  i.z  1  i   2  i  a  bi   i. a  bi   1  i
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất

0.25


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT

 2a  2bi  ai  b  ai  b  1  i  0  2a  2b  1   2b  1 i  0
2 a  2b  1  0
a  0
1


z i

2
b  1 / 2
b  1 / 2
5

0.25

Câu 5 (1,0 điểm).Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A,
AB = a, BAC  1200 , AB '  2a . Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB' và BC.
B
M
A

C
H
0.5
B'

M'

A'
Thể tích khối lăng trụ: V = AA '.S ABC 

C'

1
3a 3
. AB '2  AB 2 . AB. AC sin1200 
(đvtt)

2
4

Gọi M, M' lần lượt là chân đường cao hạ từ A, A' trong các tam giác ABC và A'B'C'
Ta có B'C '  ( AA' M ' M ) , trong mặt phẳng (AA'M'M) hạ MH vuông góc với AM' thì
MH  ( AB'C ' ) .
Khi đó: d ( AB'; BC )  d ( BC; ( AB' C ' ))  d ( M ; ( AB' C ' ))  MH .
Trong tam giác AMM' có:
6

1
1
1
1
4
a 39


 2  2  MH 
2
2
2
MH
MM '
AM
3a a
13

0.25


0.25

Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại
A. Gọi H(5;5) là hình chiếu của A lên BC, đường thẳng chứa đường phân giác
trong góc A có phương trình x  7 y  20  0 . Đường thẳng chứa trung tuyến AM
đi qua điểm K(-10;5). Tìm tọa độ các đỉnh tam giác A, B, C biết B có tung độ
dương.
Ta có: ACB  HAB; MAC  MCA; DAC  DAB  MAC  HAB
 MAD  HAD hay d cũng là tia phân giác góc HAM
B
d
H
D

0,25
M

A'

C

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
Gọi K’ là điểm đối xứng với K qua d. Phương trình KK’ là: 7 x  y  65  0
Gọi I là giao điểm của KK’ và d suy ra

 19 3 
I

;   K '  9; 2   AH  AH : x  2 y  5  0  BC : 2 x  y  15  0
 2 2
 13 
A  AH  AD  A1;3  AM :2x 11y  35  0  M  AM  BC   ;2
2 
 
Giả sử B(b; 15-2b), C(13 – b; 2b-11). AB.AC  0   b 112  b  12  2b 2b 14  0
b  9
 5b  65b  180  0  
 B  4; 7  ; C  9; 3 . Vậy…
b  4

0.25

0.25

0.25

2

7

Câu 7 (1,0 điểm).Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0;
1), B(2; 1; 2) và mặt phẳng (Q) có phương trình: x  2 y  3z  16  0 .
1.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt
phẳng (Q).
2. Viết phương trình đường thẳng cắt d nằm trong mặt phẳng (Q) đồng thời cắt
đường thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB.

 

1.Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n   AB; nQ   1; 2;1
Phương trình mặt phẳng (P) là: x – 2y + z -2 = 0
2. Phương trình đường thẳng AB: x  1  y  z  1 . AB cắt (Q) tại E(3; 2; 3)

 
Đường thẳng cần tìm qua E và có véc tơ chỉ phương u   AB; nQ   1; 2;1 nên có
x 3 y  2 z 3
phương trình:


1
2
1

8.

025
0.25
0,25
0.25

 x 2 1  y 2   1  x 2  1  xy
(1)

Câu 8(1,0điểm). Giải hệ phương trình: 
 2 x  7 xy  3 x  2  x  3 xy  5 (2)

2

x 

Điều kiện: 
3
 x  3 xy  0 . Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn hệ.



x  0  (1)  1  y 2  y 



1
1
1  .
2
x
x

Xét hàm số f  t   t 2  1  t; f '  t  

t
t2 1

0,25
2

1 

t 1  t
t2 1


1
x

1
x



t t
t2 1

Suy ra hàm số f  y  ; f   đơn điệu tăng nên f  y   f    y 

0

1
x

Thay vào (2) ta được:

 2x  7  



3x  2  x  3  5  3x  2  x  3 

5
 0 . Xét hàm số:
2x  7


Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất

0.25


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT

g  x   3x  2  x  3 

5
3
1
10
 g '( x) 


0
2
2x  7
2 3x  2 2 x  3  2 x  7 

2 7   7

x   ;    ;   nên hàm số g(x) đơn điệu tăng trên hai nửa khoảng này vì
3 2   2

vậy có không quá 1 nghiệm thuộc mỗi khoảng này.

2 7 


7



Mặt khác có g 1  0; g  6   0; 1   ;  ; 6   ;   Vậy nghiệm của hệ là:
3 2 
2


0.5


1 
 x; y   1;1 ;  6;  
 6 

9.

( Chú ý : Nếu HS chỉ tìm ra 1 nghiệm của hệ cho 0,5 điểm)
Câu 9 (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c khác nhau, thỏa mãn điều kiện
a + b + c = 1 và ab + bc + ca > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2
5
P



.

a b bc ca
ab  bc  ca
Không mất tính tổng quát, giả sử a > b > c.
1 1
4
Áp dụng bất đẳng thức  
với x, y > 0. Suy ra:
x y x y
2
2
2
5
8
2
5
P






ab bc ca
ab  bc  ca a  b  b  c a  c
ab  bc  ca
10
5

ac
ab  bc  ca

1
1
Ta có: (a  b) 2  (b  c) 2  (a  b  b  c) 2  (a  c) 2
2
2
3
 (a  c) 2  (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2
2
1
3
Đặt ab  bc  ca  t , t  (0; ), a 2  b 2  c 2  1  2t 2 , (a  c) 2  2  6t 2 .
2
3

0.25

P

P

0.25

5 3

5
5 3
5
1
 . Xét hàm số f (t ) 
 , t  (0; )

2
t
t
3
1  3t
1  3t

f ' (t )  5(

2

3 3t
2

2

1  3t (1  3t )



1
1
), vì 3(ab  bc  ca)  (a  b  c) 2  t 
2
t
3

f ' (t )  0  3 3t 3  (1  3t 2 ) 3

 (6t 2  1)(9t 4  3t 2  1)  0  t 

BBT:

t
f'(t)

0
-

1
0.5

6
1
6
0

1
3

+

f(t)

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất


Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
f(

Ta có f (t )  f (


1
6

1
)
6

)  10 6 .

1 1
1
1 1
P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10 6 khi a  
, b , c 
.
3
3
3
6
6
---------- Hết ----------

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất