Thaygiaongheo.net - Video - Tài liệu học toán THPT

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

Đề chính thức

ĐỀ THI KSCL CÁC MÔN THI
TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA LẦN 1
NĂM HỌC 2015 -2016
Môn: Toán – lớp 12
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể giao đề)
Đề thi có 01 trang

Câu 1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  x3  3 x2  4 .

1

(  (0; )) . Tính giá trị biểu thức
2
2


2sin  3cos
2
2 1 .
P


5
sin  2cos

2
2
x

2
log 2 ( xy )  2log 4 y  3
Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
( x, y  R 0 0.
Câu 2. (1,0 điểm) Cho tan  

xy
 x y
2  62  0
4

2


Câu 4. (1,0 điểm) Tìm họ nguyên hàm 

2x  3
dx
2 x 2  x 1

Câu 5. (1,0 điểm) Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7. Lấy ra từ tập M một số bất kỳ. Tính xác suất để lấy được số có tổng các chữ số
là số lẻ ?
Câu 6. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(1; 1; 0); B(1; 0; 2);
C(2;0; 1), D(-1; 0; -3). Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của một hình chóp và viết phương
trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó .

Câu 7. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a, Góc
·
ACB  600 . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC), tam giác SAB cân tại S, tam giác
SBC vuông tại S. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC).
Câu 8. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc B có phương trình
d1 : x  y  2  0 , đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình d 2 :4 x  5 y  9  0 . Đường thẳng

1
2

chứa cạnh AB đi qua điểm M (2; ) , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R 

5
.
2

Tìm tọa độ đỉnh A .
Câu 9. (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực

7 x 2  25x  19  x 2  2 x  35  7 x  2 .
Câu 10. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn  0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P  2( x3  y 3  z3 )  ( x 2 y  y 2 z  z 2 x)
................................Hết...........................
Họ và tên.............................................. số báo danh...................................................
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất


Thaygiaongheo.net - Video - Tài liệu học toán THPT

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

Câu
Câu 1
(1,0đ)

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL CÁC MÔN THI
TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA LẦN 1
NĂM HỌC 2015 -2016
Môn: Toán – lớp 12
Đáp án

a/ TXĐ:R
b/ Sự biến thiên
+ Giới hạn limy  ; limy  
x 

x 

y '  3x2  6 x ;
x  0
.
y '  0  3x 2  6 x  0  
 x  2

+

Bảng

biến


Điếm

x
y



+

'

thiên:

Hàm số đồng biến trong khoảng
(;  2) và (0;  ) , nghịch biến trong
khoảng (2;0) . Hàm số đạt cực tiểu tại
x = 0; yCT  4 , đạt cực đại tại x = -2;
yCĐ = 0.
c/ Đồ thị : y ''  6 x  6  0  x  1
Điểm uốn I(-1; -2).

-2
0

-

0
0




+


0

y


-4

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn làm
tâm đối xứng
Câu 2
(1,0đ)

Câu 3
(1,0đ)

0,5


2 tan
1

2  1  tan 2   4 tan   1  0
Vì tan   (   (0; )) nên
 2
2

2
2
2
1  tan 2
2



Suy ra tan  2  5 hoặc tan  2  5 (l ) . Do tan  0 .
2
2
2

2 tan  3
1
2 5 1 1
2
Thay vào ta có P 



2

5
5
5
tan  2
2
x  0
ĐKXĐ 

Biến đổi phương trình đầu tiên của hệ ta có
y  0
x
log 2 ( xy 2 )  2 log 4  3  log 2 x  log 2 y 2  2(log 4 x  log 4 y )  3
y

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất

0,5

0,5

0,25

0,25

0,25


Thaygiaongheo.net - Video - Tài liệu học toán THPT
 log 2 x  2 log 2 y  2 log 22 x  2 log 22 y  3

 log 2 x  2 log 2 y  log 2 x  log 2 y  3
 3log 2 y  3  y  2 .

0,25

Thay y  2 vào phương trình thứ hai suy ra 4 x  2  2 x  62  0
 16.2 2 x  2 x  62  0 . Đặt 2 x  t (t  0) ta có phương trình 16t 2  t  62  0  t  2


0,25

31
. Do t  0 nên lấy t  2 suy ra x  1 .
16
Đs: Hệ có nghiệm duy nhất ( x; y )  (1; 2) .

0,25

hoặc t  
Câu 4
(1,0đ)

Câu 5
(1,0đ)

2x  3
2x  3
5 1 
 4 1
dx  
dx     .
 .
dx
2
 x 1
(2 x  1)( x  1)
 3 2 x  1 3 x  1 
4
1

5 1
 
dx  
dx
3 2x 1
3 x 1
2 d (2 x  1) 5 d ( x  1)
 
 
3
2x 1
3
x 1
2
5
  ln 2 x  1  ln x  1  C
3
3

Ta có:

 2x

Gọi A là biến cố "Số chọn được là số có 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các
chữ số là một số lẻ". Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 7 chữ số đã
cho là A74  840 (số), suy ra:   840
Gọi số 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số lẻ có dạng abcd .
Do tổng a  b  c  d là số lẻ nên số chữ số lẻ là lẻ
Trường hợp 1 : có 1 chữ số lẻ , 3 chữ số chẵn : có C41.C33  4 bộ số
Trường hợp 2 : có 3 chữ số lẻ , 1 chữ số chẵn : có C43 .C31  12 bộ số

Từ mỗi bộ số trên ta lập được P4  24 số
Tất cả có 16.24= 384 số , suy ra:  A  384 .
 A 384 48


.

840 105
uuur
uuuur
uuuur
Ta có AB  (0;  1; 2); AC  (1;  1;1); AD  (2;  1;  3) .
uuur uuuur
uuur uuuur uuuur
 AB , AC   1; 2;1 ;  AB , AC  . AD  7




uuur uuuur uuuur
uuur uuuur uuuur
Do  AB , AC  . AD  7  0 , nên 3 véc tơ AB , AC , AD không đồng phẳng suy ra

Vậy P( A) 
Câu 6
(1,0đ)

A, B, C, D là 4 đỉnh của một hình chóp.
Gọi phương trình mặt cầu có dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
( với a 2  b 2  c 2  d  0 ).

2a  2b  d  2
 2a  4c  d   5

Do mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có hệ 
 4a  2c  d   5
2a  6c  d  10
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25


Thaygiaongheo.net - Video - Tài liệu học toán THPT
5
31
5

50
;b  ; c  ; d  
14
14
14
7
5
31
5
50
Vậy phương trình mc là: x 2  y 2  z 2  x  y  z   0 .
7
7
7
7

Giải hệ suy ra a 

Câu 7
(1,0đ)

0,25

a) Gọi H là trung điểm của cạnh AB, từ gt có
1
SH  ( ABC ) . VS . ABC  S ABC .SH . Tam giác ABC
3

vuông tại A có:
AB  2a sin 600  3a; AC  2acos600  a


Nên S ABC 

1
3
AB. AC  a 2
2
2

0,25

Gọi K là trung điểm của cạnh BC thì
1
1
1
BC  a; HK  AC  a cos 600  a
2
2
2
3
SH 2  SK 2  KH 2  a 2
4
3
1
 SH 
a . Suy ra VS . ABC  a 3 .
2
4
6
b) Ta có SB  SH 2  HB 2 

a
2
3a 2 7 a 2
HC 2  AC 2  AH 2  a 2 

4
4
SK 

2

2

3a
7a
10


a
4
4
2
1
1 6
10
15 2
S SBC  SB.SC  .
a.
a
a

2
2 2
2
4
3 3
a
3VS . ABC
3
Vậy d ( A; ( SBC )) 
 4

a
S SBC
15 2
15
a
4
SC  SH 2  HC 2 

Câu 8
(1,0đ)

S

0,25

A

C


600

H

K
B

0,25

0,25

Tọa độ B là nghiệm của hệ
x  y  2  0
x  1


4 x  5 y  9  0
y 1

0,25

3
2
Do AB đi qua B và M nên có pt: x  2 y  3  0 .

Gọi M' là điểm đối xứng với M qua d1 , M ' ( ; 0) .

BC đi qua M' và B nên có pt: 2x + y – 3 = 0. Gọi
 là góc giữa 2 đường thẳng AB và BC suy ra
2.1  1.2


4
3
 sin   .
5
5
5. 5
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
cos 



0,25


Thaygiaongheo.net - Video - Tài liệu học toán THPT

Từ định lý sin trong tam giác ABC
2R 

AC
 AC  3 .
sin ·
ABC

B

3 a
); C (c;3  2c) , trung
2

a  c 9  a  4c
điểm của AC là N (
;
).
2
4
a  4c  3  0
N d2 
a  5; c  2
2



2  a  4c  3 
AC  3 (c  a)  
  9 a  3, c  0
2




'

A  AB, C  BC  A(a;

.M

.

M


C
N

A

d2

d1

0,25

Khi a = 5 ta được A(5; -1). Khi a = -3 ta được
A(-3; 3). Đs: A 1 (5; -1), A 2 (-3; 3).
Câu 9
(1,0đ)

0,25

Điều kiện x  7
Phương trình tương đương 7 x 2  25 x  19  7 x  2  x 2  2 x  35 .
Bình phương 2 vế suy ra: 3 x 2  11x  22  7 ( x  2)( x  5)( x  7)
3( x 2  5 x  14)  4( x  5)  7 ( x  5)( x 2  5 x  14)

Đặt a  x 2  5 x  14; b  x  5 .( a ,b  0) Khi đó ta có phương trình
a  b
3a  4b  7ab  3a  7 ab  4b  0  
3a  4b
Với a = b suy ra x  3  2 7 (t / m); x  3  2 7 (l ) .
2


2

2

0,25
0,25

2

0,25

61  11137
61  11137
(t / m); x 
(l ) .
18
18
0,25
61  11137
Đs: x  3  2 7 ; x 
.
18
Đặt
f ( x)  2 x3  yx 2  z 2 x  2( y 3  z 3 )  y 2 z .Ta
có:
1
1
f ' ( x)  6 x 2  2 yx  z 2 ; f ' ( x)  0  x  x1  ( y  y 2  6 z 2 ); x  x2  ( y  y 2  6 z 2 )
6

6
Nhận xét: x1   0;1 , lập bảng biến thiên ta thấy khi x2   0;1 hay x2   0;1 thì

Với 3a = 4b suy ra x 

Câu 10
(1,0đ)

Max f ( x)  Max  f (0); f (1) .
x0;1

Mà f (0)  2( y 3  z 3 )  y 2 z  2( y 3  z 3 )  y 2 z  (2  y  z 2 )  f (1)
(1)
 f ( x)  f (1)  2 y 3  zy 2 -y  2 z 3  z 2  2
Lại đặt g ( y )  2 y 3  zy 2 - y  2 z 3  z 2  2 ,
1
6

0,25
1
6

g ' ( y )  6 y 2  2 zy  1; g ' ( y )  0  y  y1  ( z  z 2  6); y  y2  ( z  z 2  6)
Nhận xét tương tự suy ra Max g ( y )  Max  g (0); g (1) .
y 0;1

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất


Thaygiaongheo.net - Video - Tài liệu học toán THPT


Lại có g (0)  2 z 3  2  z 2  2 z 3  2  z 2  (1  z )  g (1) . Suy ra

g ( y )  g (1)  2 z 3  2  z 2  (1  z )  2 z 3  z 2  z  3
Cuối cùng đặt h( z )  2 z 3  z 2  z  3 với z   0;1 , h ' ( z )  6 z 2  2 z  1 .
1 7
1 7
; z2 
.
6
6
Max h( z )  h(1)  3 (3)

h ' ( z )  0  z1 

Lập

bảng

biến

thiên

(2)
0,25
suy

ra:

z0;1


0,25

Dấu bằng xảy ra ở (1), (2), (3) khi x = y = z = 1. Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 đạt
được khi x = y = z = 1.

0,25

Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất