Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
1. Tên đề tài
“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG”

2. Lý do chọn đề tài
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở
chương trình toán giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học
sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi
khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. Đây cũng là một nội
dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi CĐ,
ĐH. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi)
thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng.
- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít
“chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó
học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng đang học.
- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn
đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu.
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng một cách
máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để
xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ
diện tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải. Vì thế tôi
quyết định chọn đề tài này để nghiên cứu.
3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm cung cấp cho học sinh những kiến
thức cơ bản về sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng, tìm tòi
những giải pháp để nâng cao chất lượng giảng dạy, khơi nguồn sáng tạo, rèn
luyện kỹ năng đọc đồ thị cho học sinh, làm cho việc tính tích phân trở nên dễ
dàng hơn. Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài
toán tính diện tích của hình phẳng ở chương trình giải tích 12. Thuận lợi cho

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

1


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
việc tăng cường tính trực quan, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy
học. Từ đó, các em học sinh rất thích thú và học tốt vấn đề này.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a.

Đối tượng nghiên cứu
Những bài toán ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng
trong chương trình sách giáo khoa 12.
b. Phạm vi nghiên cứu
Sách Toán Đại số lớp 12 và một số tài liệu tham khảo khác.
5. Giả thuyết khoa học
Qua những bài toán tính diện tích hình phẳng trong chương trình sách GK
12 cơ bản, tôi nhận thấy học sinh có thể không cần vẽ hình. Tuy nhiên nếu học
sinh vẽ hình thì bài toán sẽ được giải nhanh và trực quan hơn.
Đối với hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số trở lên thì học sinh buộc
phải vẽ hình mới làm chính xác được (Dạng này thường gặp trong các đề thi đại
học cao đẳng).
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lý luận trong sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình
phẳng.
- Các phương pháp tính diện tích hình phẳng.
- Nghiên cứu những bài tập tính diện tích hình phẳng trong sách giáo khoa Toán
Đại số 12.
- Đưa ví dụ minh họa và bài tập tương tự.

7. Các phương pháp chủ yếu dùng trong quá trình nghiên cứu
a. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu

b.

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
8. Dàn ý nội dung công trình nghiên cứu

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

2


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
y = f ( x)

• Dựa vào đồ thị của hàm số
đoạn đó.
- Nếu trên đoạn

[ a; b]

trên đoạn

đồ thị hàm số


[ a; b ]

y = f ( x)

để suy ra dấu của f(x) trên

nằm phía “trên” trục hoành thì

f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ]

- Nếu trên đoạn

[ a; b ]

đồ thị hàm số

y = f ( x)

nằm phía “dưới” trục hoành thì

f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ]
y = f ( x)

• Dựa vào đồ thị của hàm số
của

f ( x) − g ( x)

- Nếu trên đoạn
thì


và

y = g ( x)

trên đoạn

[ a; b ]

để suy ra dấu

trên đoạn đó.

[ a; b ]

đồ thị hàm số

y = f ( x)

nằm phía“trên” đồ thị hàm số

y = g ( x)

f ( x) − g ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ]

- Nếu trên đoạn
y = g ( x)

thì


[ a; b ]

đồ thị hàm số

y = f ( x)

nằm phía “dưới” đồ thị hàm số

f ( x) − g ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ]

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
2.1. Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành
2.1.1.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
thẳng x=a, x=b
Chú ý: Giả sử hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

liên tục trên đoạn

, trục hoành và hai đường

[ a; b ]

.

y = f ( x)


Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và
hai đường thẳng x = a, x = b có diện tích là S và được tính theo công thức:
SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

3


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
S=

∫

b

a

f ( x) d ( x)

(1)

Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải “phá” dấu
giá trị tuyệt đối.
• Nếu
• Nếu

f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ]
f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ]


thì S =
thì S =

∫

b

a

∫

b

a

∫

f ( x) d ( x)

a

=
f ( x) d ( x)

=

b

∫


b

a

f ( x )dx

−( f ( x ))dx

Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) thường
có hai cách làm như sau:
Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất”, định lí “dấu của tam
thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương
trình f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0 trên đoạn

[ a; b ]

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số
của f(x) trên đoạn đó.
- Nếu trên đoạn

[ a; b ]

đồ thị hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

trên đoạn


[ a; b]

để suy ra dấu

nằm phía “trên” trục hoành thì

f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ]

- Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số

y = f ( x)

nằm phía “dưới” trục hoành thì

f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ]

Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì ta có:

S=
2.1.2.

∫

b

a

f ( x) d ( x)

∫


b

a

=

f ( x) d ( x)

Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
0

Ví dụ 1: Tính

I = ∫ 2 x + 4 dx
−2

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

4


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
Xét dấu nhị thức bậc nhất
x

f ( x) = 2 x + 4

-


-2

f (x) = 2x + 4

Suy ra

-

0

+∞

+

+

2 x + 4 ≥ 0, ∀x ∈ [ −2;0]

0
I = ∫ 2 x + 4 dx = ∫ 2 x + 4dx x 2 + 4 x −2
−2
−2
0

Do đó

0

0


= 0 - [(-2)2+ 4(-2)] =4

2

Ví dụ 2:

K = ∫ x 2 − 3 x + 2 dx
0

=

2.1.3.

1

∫ (x
0

2

− 3 x + 2)dx +

∫

2

1

5 −1
+

6
6

( x 2 − 3 x + 2) dx

=

=1

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành
Bài toán 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = x2, trục

hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Giải:
2

S = ∫ x 2 dx
0

Cách 1: Diện tích S của hình phẳng trên là
Vì

x 2 ≥ 0, ∀x ∈ [ 0; 2]
2

2

0

0


S = ∫ x 2 dx = ∫ x 2 dx

=

 x3  2

÷
 3  0

=

8
3

(đvdt)

y
4

-2

O

fx = x2

A

1B


3

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

x

5


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
Hình 1
Cách 2: Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục
hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (phần tô màu).
Dựa vào đồ thị ta có:
2

S = ∫ x 2 dx =
0

8
3

Bài toán 2
Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng
và x = 3. Hãy tính diện tích hình thang đó.
Giải:
y
1

A

O

-2 -1

2

3
B

y = −x − 2

, y = 0, x = 0

x

fx = -x-2

-4

Hình 2
3

Diện tích S của hình phẳng trên là
Từ hình vẽ, suy ra:
3

S = ∫ − x − 2 dx
0

=


∫ ( x + 2 ) dx
0

0

− x − 2 ≤ 0, ∀x ∈ [ 0;3]

3

=

S = ∫ - x - 2 dx

=

 x2

 + 2x ÷
 2


 02
 9
32
21
+ 2.3 −  + 2.0  = + 6 =
2
2
2

 2

3
0

(đvdt)

Bài toán 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
−x − 2
y = f ( x) =
x −1
, trục hoành và các đường thẳng x = -1,x=0

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

6


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng

Hình 3
Giải:

∫

0

-1

Diện tích S của hình phẳng trên là S =

−x − 2
≥ 0, ∀x ∈ [ −1;0]
x −1

Từ hình vẽ, suy ra

∫

0

−1

S=

∫

0

−1

=
=

−x − 2
dx
x −1

 −x − 2 
∫−1  x − 1 ÷dx


∫

0

=

-x - 2
dx
x -1

0

−1

=

3 

 −1 −
÷dx = ( − x − 3ln x − 1 )
x −1 


 − ( x − 1) − 3 

÷dx
x −1




0
−1

( −0 − 3ln1) − ( 1 − 3ln 2 ) = −0 − 3ln1 − 1 + 3ln 2 = 3ln 2 − 1

(đvdt)

Ghi nhớ:
Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1, x2, …, xk thuộc
(a; b) thì trên mỗi khoảng (a; x1 ), (x1; x2), …, (xk; b) biểu thức f(x) có
b
dấu không đổi.
f ( x) dx

∫

a

b
Khi ∫đóf ( xđể
) dx =tính
x)dx + phân
+ ... + ∫ f ( x)dx ta có thể tính như sau:
∫ f (tích
∫ f ( x)dxS=

S=

b


x1

x2

a

a

a

xk

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

7


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
Bài toán 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx,
trục hoành, trục tung và đường thẳng x = e
y

GiaoDiem

F(x) = x.ln(x)

A

O


3

1

x

e

Hình 4
Giải:
Trục tung có phương trình x = 0. Từ hình vẽ ta có:
Diện tích S cần tìm là S =

Đặt

∫

e

1

x ln xdx

1

du = dx

u = ln x

x

⇒

2
dv = xdx v = x


2

Do đó S =

∫

e

1

x ln xdx

=

x2
ln x
2

e
1

−∫

e


1

x2 1
. dx
2 x

=

x2
ln x
2

e
1

e

− ∫ xdx =
1

e2 + 1
4

(đvdt)

2.1.4.
Diện tích hình tròn, hình elip
a. Diện tích hình tròn: Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương trình
x2 + y2 = r 2 ( r > 0)


Khi đó hình tròn đó có diện tích là: S =

π r2

(P)
0 4
2
-r

-3 -2-2

-1

O

1

2

3

r

-1

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

8



Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng

Hình 5
Giải:
Ta có
Với

x2 + y 2 = r 2 ⇔ y = ± r 2 − x2

y≥0

ta có:

y = r 2 − x2

∫

r

−r

Và có diện tích S1=
Do đó S = 2S1 =

có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.

r − x dx = 2∫
2


2

r

0

π .r 2
r − x dx =
2
2

2

π .r 2

b. Diện tích của elip

Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình:

x2 y2
+
=1
a 2 b2

Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là: S =

-2 -1

O


(đvdt)

(E)

b

-a

a.bπ

, 0
1

2

a

-1
-b

Hình 6
2.2. Hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
2.2.1 Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C), y = g(x) có đồ thị là (C’).

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

9

Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
Nếu hai đồ thị (C) và (C’) có điểm chung là điểm M

( x0 ; y0 )

là nghiệm của hệ phương trình

Hoành độ

x0

f ( x) = g ( x )

(*)
của hai đồ thị.

 y = f ( x)

 y = g ( x)

( x0 ; y0 )

thì cặp số

(1)

của điểm chung M là một nghiệm của hệ phương trình
Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ

x0

của giao điểm

Phương trình (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
x = x0

Thay
vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ
của giao điểm.
2.2.2.

Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
y = x2 − 3x

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:

và

y = x −3

2
x 2 − 3x = x − 3 ⇔ x − 3x − ( x − 3) = 0 ⇔ x( x − 3) − ( x − 3) = 0

 x = 1  y = −2
⇔ ( x − 3)( x − 1) = 0 ⇔ 
⇒
x

=
3

y = 0

Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ lần lượt là:
(1; - 2) và (3; 0)
Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = xlnx và y = x
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:
xlnx=x

⇔ x ln x − x = 0 ⇔ x(ln x − 1) = 0

Vì x > 0 nên

x(ln x − 1) = 0 ⇔ ln x − 1 = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e.
SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

10


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
2.2.3. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x =
a, x =b (aHình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x =
a, x = b có diện tích S được tính theo công thức:

b

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a

Bài toán 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số:
y = x3 − 3x 2 − x + 3, y = x3 − 4 x 2 + x + 4

và hai đường thẳng

x = 0, x = 2

.

Giải:
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình:
3
2
2
x3 − 3x 2 − x + 3 = x 3 − 4 x 2 + x + 4 ⇔ 2 x + x − 2 x − 1 = 0 ⇔ x (2 x + 1) − (2 x + 1) = 0

−1

 x = 2 ∉ [ 0; 2]

2 x + 1 = 0
⇔ (2 x + 1)( x 2 − 1) = 0 ⇔  2
⇔  x = 1 ∈ [ 0; 2]
 x −1 = 0


 x = 1− ∉ [ 0; 2]

=

S

1

∫ (2 x + 1)( x
0

2

− 1) dx +

∫

2

1

(2 x + 1)( x 2 − 1) dx =

7 35
+
6 6

=7 (đvdt)

Bài toán 6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y = x − 3x + 2
2

và đường thẳng y = x – 1.

Hình 7
Giải:
SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

11


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

đường thẳng

y = x −1

là:

y = x 2 − 3x + 2

và

x = 1
x 2 − 3x + 2 = x − 1 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ 
x = 3

Suy ra diện tích của hình phẳng trên là:

S=

∫

3

1

3

x 2 − 3x + 2 − ( x − 1) dx = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx
1

Dựa vào đồ thị ta có

x 2 − 3 x + 2 ≤ x − 1, ∀x ∈ [ 1;3]

x 2 − 4 x + 3 ≤ 0, ∀x ∈ [ 1;3]

Do đó
3

− ∫ ( x 2 − 4 x + 3)dx = −(
1

S=

.

x3

− 2 x 2 + 3x)
3

y=

Bài toán 7: Cho hàm số
a/ Tìm tiệm cận xiên

∆

x2 − x + 1
x −1

3
1

−

=

−4 4
=
3 3

(đvdt)

có đồ thị (C)

của đồ thị hàm số đã cho.

b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), tiệm cận xiên
các đường thẳng

x = 2, x = 3

∆

và

.
y
4
3
2

-3-2-1

1
O
-1

x
1

2 3

d
-2

(C)

-3

Hình 8
Giải:
a/ Ta có

x 2 − x + 1 x( x + 1) + 1
1
y=
=
= x−
x −1
x −1
x −1

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

12


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
lim ( y − x) = lim ( x −

x →+∞

x →+∞

1
1

− x) = lim ( −
)=0
x
→+∞
x −1
x −1

Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x
b/ Dựa vào hình vẽ, diện tích của hình phẳng cần tìm là

∫

3

2

3

y − x dx = ∫ −
2

S=

1
dx =
x −1

∫

3

2

−1
dx
x −1

=

ln 2

(đvdt)

2.3. Hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị
Bài toán 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = 2 x + 3, y = x 2 , y = 0

trên

[ −2;3]

Giải:
Như vậy nhìn vào đồ thị ta nhận thấy: Trong đoạn [-2;3] nếu ta vẫn để đồ
thị như vậy thì chưa tính được. Ở đây chúng ta phải chia đồ thị thành 2 phần
ứng với trên [-2;-1] và [-1;3]. Dựa vào đồ thị ta có:
S=

∫

−1

−2

3

( x 2 − 2 x − 3)dx − ∫ ( x 2 − 2 x − 3) dx
−1

y

= 5 (đvdt)

Hình 9

x

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

13


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
KẾT LUẬN
Trên đây là một số bài toán tính diện tích hình phẳng. Học sinh thường
thường sử dụng phương pháp phá dấu giá trị tuyệt đối. Nhưng nếu ta sử dụng
bằng phương pháp đồ thị thì ta thấy bài giải rõ ràng dễ hiểu và trực quan hơn.
Nhiều bài toán khó vẫn giải được dễ dàng. Học sinh khắc phục được những “sai
lầm” và khó khăn khi gặp bài toán tính diện tích của hình phẳng ở chương trình
giải tích 12. Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, đẩy mạnh ứng dụng
công nghệ thông tin vào dạy học. Từ đó, các em học sinh rất thích thú và học tốt

vấn đề này. Chắc chắn rằng sẽ còn có nhiều bài toán mà ta có thể giới thiệu cho
học sinh, nhưng do điều kiện và kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi chỉ đưa ra một số
ví dụ.Vì vậy rất mong được sự đóng góp của các thầy các cô và các bạn để cho đề
tài của tôi thêm hoàn chỉnh và có thể ứng dụng cho các năm học sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các bài giảng luyện thi môn Toán - NXB Giáo Dục
2. Đại số sơ cấp –Trần Phương
3. Sách Đại số và giải tích 12

9. Dự trù kinh phí
Số tiền 2.000.000đ (Viết bằng chữ: Hai triệu đồng chẵn)

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

14


Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng
MỤC LỤC

SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55

15