MỤC LỤC
CHƯƠNG 5.

TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

Trang
1

5.1. Điện tích và tương tác tĩnh điện
5.1.1. Điện tích

1
1

5.1.2. Định luật Coulomb về tương tác tĩnh điện
5.2. Điện trường
5.2.1. Khái niệm điện trường

1
2
3

5.2.2. Vector cường độ điện trường

3

5.2.3. Vector cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm

3

5.2.3. Nguyên lý chồng chất điện trường

4

5.2.4. Điện tích điểm chuyển động trong điện trường

6

5.3. Định luật Gauss (Ostrogradski-Gauss)

7

5.3.1. Đường sức điện trường

7

5.3.2. Thông lượng của điện trường (điện thông)

8

5.3.3. Định luật Gauss (Ostrogradski-Gauss)
A. Góc khối
B. Điện thông từ một điện tích điểm q

9
9
10

5.3.4. Áp dụng định luật Gauss

12


5.3.5. Vector điện cảm (cảm ứng điện)

15

5.4. Điện thế

16

5.4.1. Công của lực điện trường

16

5.4.2. Thế năng của một điện tích trong điện trường

17

5.4.3. Điện thế

17

5.4.4. Mặt đẳng thế

19

5.5. Liên hệ giữa vector cường độ điện trường và điện thế

20

CHƯƠNG 6.

VẬT DẪN
6.1. Vật dẫn cân bằng tĩnh điện

21
21

6.2. Hiện tượng điện hưởng (hưởng ứng điện)

24

6.3. Điện dung của vật dẫn cô lập

25

6.4. Điện dung của tụ điện

26

6.5. Năng lượng của điện trường tĩnh
6.5.1. Năng lượng tương tác của hệ điện tích điểm

29
29

6.5.2. Năng lượng của một vật dẫn cô lập tích điện

30

6.5.3. Năng lượng của tụ điện


30

6.5.4. Năng lượng điện trường

31

1


CHƯƠNG 7.

TỪ TRƯỜNG CỦA DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI

32

7.1. Các khái niệm cơ bản về dòng điện

32

7.2. Tương tác từ

34

7.3. Từ trường
7.3.1. Định luật Biot-Savart-Laplace
7.3.2. Vector cường độ từ trường
7.3.3. Nguyên lý chồng chất từ trường
7.3.4. Từ trường của một dòng điện thẳng
7.3.4. Từ trường của một dòng điện tròn
7.3.5. Từ trường của một điện tích điểm chuyển động


35
35
36
36
37
38
39

7.4. Từ thông. Định luật Gauss (Ostrograski-Gauss) đối với từ trường
7.4.1. Đường cảm ứng từ (đường sức từ trường)
7.4.2. Từ thông

39
39
40

7.4.3. Định luật Gauss (O-G) đối với từ trường
7.5. Lưu số của từ trường. Định luật Ampere về dòng điện toàn phần
7.5.1. Lưu số của từ trường
7.5.2. Định luật Ampere về dòng điện toàn phần
7.5.3. Áp dụng: Từ trường trong cuộn dây điện
7.6. Tác dụng của từ trường lên dòng điện
7.6.1. Lực từ tác dụng lên phần tử dòng điện
7.6.2. Lực từ tác dụng lên một đoạn dòng điện thẳng
44
7.6.3. Lực từ tác dụng lên dòng điện kín
7.6.4. Lực tương tác từ giữa hai dòng điện thẳng song song dài vô hạn
7.6.5. Công của lực từ thực hiện trên một đoạn dòng điện


41
41
41
41
43
44
44

45
46
47

7.6.6. Lực từ tác dụng lên điện tích điểm chuyển động

48

7.6.7. Hiệu ứng Hall

48

CHƯƠNG 8.

CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

49

8.1. Các định luật cơ bản về cảm ứng điện từ

49


8.2. Hiện tượng tự cảm
8.2.2. Suất điện động tự cảm và hệ số tự cảm
8.2.3. Hệ số tự cảm của ống dây
8.2.4. Hiệu ứng bề mặt
8.3. Hiện tượng hỗ cảm

53
54
54
55
56

8.4. Năng lượng từ trường

56

8.4.1. Năng lượng từ trường trong ống dây

56

8.4.2. Năng lượng và mật độ năng lượng từ trường

57

2


CHƯƠNG 5: TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
5.1. Điện tích và tương tác tĩnh điện
5.1.1. Điện tích

Thực nghiệm chứng tỏ trong tự nhiên có hai lọai điện tích. Benjamin Franklin đề xuất gọi chúng là
điện tích dương và điện tích âm (qui ước: điện tích dương là điện tích giống với điện tích xuất hiện
trên thanh thủy tinh khi nó cọ sát với lụa; điện tích âm là điện tích giống với điện tích xuất hiện trên
thanh ebonite khi nó cọ sát với dạ). Các điện tích cùng loại thì đẩy nhau và khác loại thì hút nhau.
Điện tích có giá trị gián đoạn. Nó luôn bằng một số nguyên lần điện tích nguyên tố (điện tích nhỏ
nhất không thể phân chia được, có giá trị e = 1.6 ×10−19 C ).
Vật chất được cấu tạo từ các nguyên tử. Nguyên tử vật chất được cấu tạo từ các proton (proton
có điện tích +e) và các electron (electron có điện tích -e). Số proton và số electron trong nguyên tử
bằng nhau do đó nguyên tử ở trạng thái bình thường trung hòa về điện.
Nếu một vật bị mất đi một số electron thì nó sẽ mang điện dương. Nếu vật dư thừa một số
electron nó sẽ mang điện âm.
Định luật bảo toàn điện tích: trong một hệ cô lập tổng điện tích không thay đổi.
Điện tích điểm: là vật mang điện có kích thước nhỏ, không đáng kể so với khoảng cách từ vật đó
tới những điểm hoặc những vật mang điện khác đang khảo sát.
5.1.2. Định luật Coulomb về tương tác tĩnh điện
Giả sử có hai điện tích điểm có điện tích q1 và q2 đứng yên trong chân không và cách nhau một
khoảng r . Lực tương tác giữa hai điện tích điểm này có phương dọc theo đường thẳng nối hai điện
tích và có độ lớn:
q q
1 q1 q2
F =k 1 2 2 =
(5.1)
r
4πε 0 r 2
1
Nm 2
C2
= 9 ×109 2 là hệ số tỷ lệ; ε 0 = 8.85 × 10−12
là hằng số điện.
4πε 0

C
Nm 2
Nếu hai điện tích cùng dấu thì lực tương tác là lực đẩy; nếu hai điện tích trái dấu thì lực tương tác là
lực hút.
trong đó k =

Để biểu diễn phương của lực người ta viết lực Coulomb dưới dạng vector. Lực tác dụng lên điện
tích q2 bởi điện tích q1 là:
r
r
q1q2 r12
F12 = k 2
(5.2)
r12 r12
Tương tự, lực tác dụng lên điện tích q1 bởi điện tích q2 là:
r
r
qq r
F21 = k 2 2 1 21
r21 r21

3

(5.3)


r
r
r
r

Vì các vector r12 và r21 có độ lớn bằng nhau (bằng r ) và ngược chiều nên F12 = − F21 .
- Ví dụ 1: So sánh độ lớn lực tương tác Coulomb với lực tương tác hấp dẫn của một proton và một
electron.
Tỷ số giữa lực Coulomb và lực hấp dẫn là:
2
2

2
ee
9 N m 
−19


9
×
10
×
1
.
6
×
10
C
k 2
2


C 
FC
ke 2


r
=
=
=
∝ 10 40
2
2
me m p Gme m p 
FG

N m
G 2
 6.67 × 10 −11
 × 9.1 × 10 −31 kg × 1.6 × 10 −27 kg
2 
r
kg 


(

(

)

) (

)


Trong môi trường điện môi, ví dụ: không khí, nước, thủy tinh, …, thực nghiệm cho thấy lực tương
tác Coulomb giảm đi một số lần so với trong chân không:
1 q1 q2
F=
(5.4)
4πε 0ε r 2
trong đó ε được gọi là hằng số điện môi của môi trường.
Tương tác Coulomb của hệ gồm nhiều điện tích điểm q1 , q2 … qn lên một điện tích điểm q0
được cho bởi nguyên lý tổng hợp lực:

 n 
1 q 0 q ri
F = ∑ Fi = ∑
(5.5)
4πε 0 ε ri 2 ri
i =1
r
trong đó ri là vector nối từ điện tích qi lên điện tích q0 .
- Ví dụ 2: Ba điện tích q1 = 1.6 × 10 −19 C , q 2 = −2q1 , q3 = 2q1 cùng nằm trên một đường thẳng như
Hình 5.1. Khoảng cách giữa điện tích q1 và q3 là R = 0.02m . Khoảng cách giữa điện tích q1 và q 2
là 34 R . Tính lực tác dụng lên điện tích q1 .


F31

q1


F21
3

4

q2

R

q3

R

Hình 5.1: Hình minh họa cho ví dụ 2.
Lực tác dụng lên q1 gồm lực Coulomb do điện tích q 2 và điện tích q3 tác dụng lên
 

F1 = F21 + F31


Hai lực F21 và F31 ngược chiều nhau. Chiếu phương trình trên lên trục tọa độ thẳng nằm ngang có
chiều dương là chiều từ trái sang phải ta được:
q1 q 2
q1 q3
F1 = F21 − F31 = k
−k
.
2
R2
( 34 R )
Thay số ta tính được F1 = 9 × 10 −25 N .
5.2. Điện trường
5.2.1. Khái niệm điện trường

Xét hai điện tích điểm đặt trong chân không. Chúng tương tác với nhau qua lực tương tác Coulomb.
Câu hỏi là: 1) tương tác này truyền đi như thế nào khi mà hai vật không tiếp xúc với nhau; 2) làm

4


sao điện tích thứ nhất biết sự có mặt của điện tích thứ hai để tác dụng lực; nếu điện tích thứ hai di
chuyển từ vị trí này sang vị trí khác, làm thế nào điện tích thứ nhất biết thông tin đó để thay đổi
cường độ và phương của lực tác dụng lên điện tích thứ hai. Để trả lời những câu hỏi trên người ta giả
thiết rằng mỗi điện tích q tạo ra một điện trường xung quanh nó. Tại một điểm P bất kỳ trong không
gian xung quanh, tồn tại một vector điện trường có độ lớn và chiều xác định. Độ lớn của trường tại
đây phụ thuộc vào độ lớn của điện tích và khoảng cách từ P đến q, có phương dọc theo đường thẳng
nối q và P và có chiều phụ thuộc dấu của điện tích q. Nếu ta đặt một điện tích q 0 nào đó vào vị trí P
thì điện tích q sẽ tương tác với q 0 thông qua điện trường của nó tại P. Do điện trường tồn tại ở mọi
điểm không gian xung quanh q nên điện tích q 0 dù ở vị trí nào cũng tương tác với trường, tức là
tương tác với điện tích q.
Như vậy, điện trường là một môi trường vật chất đặc biệt tồn tại xung quanh mỗi điện tích. Nó
đóng vai trò môi trường trung gian truyền lực tương tác tĩnh điện giữa các điện tích với nhau. Mọi
điện tích đặt trong điện trường đều bị điện trường tác dụng lực.
5.2.2. Vector cường độ điện trường

Đặt một điện tích thử q 0 vào trong điện trường E nào đó. Giả sử điện tích q 0 nhỏ để không làm
thay đổi điện trường đang xét.

Lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích q 0 là F . Khi đó điện trường tại điểm đặt điện tích q 0 được định
nghĩa là:

 F
E=
(5.6)

q0

E được gọi là vector cường độ điện trường. Trong hệ đơn vị SI cường độ điện trường có đơn vị là
N/C hoặc là V/m.
 
Nếu chọn q 0 = +1 thì E = F . Tức là, vector cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng
vector có giá trị bằng lực tác dụng của điện trường lên một đơn vị điện tích dương đặt tại điểm đó.
5.2.3. Vector cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm:

Đặt một điện tích thử q 0 tại điểm P cách điện tích q một khoảng r . Theo định luật Coulomb, lực
điện tích q tác dụng lên q 0 là:


1 q0 q r
F=
4πε 0ε r 2 r
Từ định nghĩa (5.6) ta tìm được vector cường độ điện trường tại P là:

 F
1 q r
E=
=
(5.7)
q 0 4πε 0 ε r 2 r
Như vậy cường độ điện trường là một vector có phương dọc theo vector bán kính, có chiều sao cho

Nếu q > 0 : E hướng ra xa điện tích q

+
-


M
→

r

→

E

→

E
M

→

r

5



Nếu q < 0 : E hướng vào điện tích q
và có độ lớn:
E=

1 q
.
4πε 0 ε r 2


(5.8)

5.2.3. Nguyên lý chồng chất điện trường
Xét hệ gồm n điện tích điểm q1 , q 2 ,..., q n . Đặt điện tích thử q 0 tại điểm P trong điện trường của hệ
điện tích điểm trên. Hợp lực tĩnh điện tác dụng lên q 0 là:
 



F = F10 + F20 + ... + Fn 0 , trong đó Fi 0 là lực Coulomb do điện tích qi tác dụng lên điện tích thử q 0 .
Điện trường gây bởi hệ điện tích tại điểm P là:




 F F10 F20
 

Fn 0
E=
=
+
+ ... +
= E1 + E 2 + ... + E n
q0
q0
q0
q0



trong đó Ei = Fi 0 / q 0 là điện trường tại điểm P gây bởi điện tích điểm qi .
Như vậy:
 n 
E = ∑ Ei
(5.9)
i =1

Vector cường độ điện trường gây bởi một hệ điện tích điểm bằng tổng các vector cường độ điện
trường gây bởi từng điện tích điểm.
Trong trường hợp các điện tích phân bố liên tục, nguyên lý chồng chất điện trường có dạng tích
phân:


E = ∫ dE
- Ví dụ 1: Tìm điện trường do một lưỡng cực điện (gồm một cặp điện tích trái dấu q1 = + q, q 2 = − q
đặt cách nhau một khoảng d) gây ra tại điểm P ở rất xa lưỡng cực điện.
Theo nguyên lý chồng chất điện trường (5.9) ta có cường độ điện trường tại P là:
  
E = E1 + E 2
Chiếu lên phương trục x (xem Hình 5.3) ta được: E = E1 − E 2 .

q1

+

0
d

x

q2 E2
−


P E1

x

Hình 5.3: Điện trường gây bởi lưỡng cực điện.
Cường độ điện trường gây bởi mỗi điện tích điểm được cho bởi (5.8). Ta nhận được:
E=

1 q
1 q
1
q
1
q
−
=
−
2
2
2
4πε 0ε r1 4πε 0ε r2 4πε 0ε ( x + d / 2)
4πε 0ε ( x − d / 2) 2

−2
−2
1 q 

d 
d  

=
1 +  − 1 −  
4πε 0ε x 2  2 x 
 2 x  

Vì x >> d nên:
E≈

1
q  2d
1
q  2d 
  2d

1−
+ ... − 1 +
+ ...  ≈
−

2 
2 
4πε 0 ε x  2 x
2x
 
 4πε 0 ε x  x 

6



Suy ra E ≈ −

1 2qd
.
4πε 0 ε x 3

- Ví dụ 2: Vòng dây tròn bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài là λ (Hình 5.4). Tìm điện
trường tại điểm P nằm trên trục của vòng dây.


dE

r

P
θ

z

R

ds

Hình 5.4: Điện trường gây bởi vòng dây tròn tích điện.
Xét một đoạn dây có độ dài ds vô cùng nhỏ. Yếu tố điện tích của đoạn dây này là:
dq = λds
Yếu tố điện trường gây tại điểm P bởi đoạn dây ds là:
1 dq

1 λds
1
λds
dE =
=
=
2
2
2
4πε 0 ε r
4πε 0 ε r
4πε 0 ε z + R 2

(

)

Do vòng dây đối xứng nên các thành phần theo phương x và y của các yếu tố điện trường sẽ triệt tiêu
lẫn nhau. Điện trường tổng hợp chỉ còn thành phần theo phương z. Yếu tố điện trường gây bởi đoạn
dây ds là:
1
λds
z
dE z = dE cos θ =
2
2
2
4πε 0ε z + R
z + R2


(

E z = ∫ dE z =

E = Ez =

1
λ
2
4πε 0 ε z + R 2

(

)

)

z
z 2 + R2

2πR

∫ ds
0

1
λz ( 2πR )
1
zQ
=

3
/
2
4πε 0 ε z 2 + R 2
4πε 0 ε z 2 + R 2

(

)

(

)

3/ 2

.

- Ví dụ 3:
ur
Xác định vectơ cường độ điện trường E do đĩa tròn bán kính R đặt trong không khí, tích điện đều
với mật độ điện mặt σ gây ra tại điểm M trên trục đĩa, cách tâm đĩa một khoảng x.
Xét một phần của đĩa tròn có dạng hình vành khăn, bán kính
ur r, bề rộng dr, tích điện dq. Phần này
xem như một vòng dây tròn, nên nó gây ra tại M vector E hướng vuông góc với đĩa tròn và có độ
lớn:

dE =

kx.dq

;
(r + x 2 )3/ 2
2

dq = σdS = σ2πrdr

ur
Do đó vector E do toàn đĩa gây ra cũng hướng vuông góc với đĩa tròn và có độ lớn bằng:
E=

∫

ñóa troøn

dE = kxσ.2π


r.dr
σ 
x
=
1
−

2
3/
2
∫0 (r + x ) 2ε0  R 2 + x 2 ÷
7
R


2


Khi R =∞ (mặt phẳng rộng vô hạn) , ur
hoặc gần tâm của đĩa tròn (x à 0) thì E bằng:

E mp =

σ
2ε0

(điện trường đều)

→

dE
M

dr

x
r
O
- Ví dụ 4: Hai điện tích điểm cùng dấu q 1 = q2 = q, đặt tại A và B cách nhau một khoảng 2a trong
không khí. Xét điểm M trên trung trực của hai điểm AB, cách đường thẳng AB một khoảng x. Xác
định vectơ cường độ điện trường tại điểm M. Tìm x để EM đạt cực đại.

Bài giải:
Cường độ điện trường tại M:

Dễ thấy:

→

→

→

E =E1 +E 2

q
q
=k 2
2
r
a + x2

E1 = E 2 = k

ur
Nên E hướng vuông góc với AB và có độ lớn:

E = 2E1 cos α=
Khi

x=

a
2


thì

E max =
8

2kqx
(a +x 2 )3/ 2
2

4kq
3 3a 2


Khi

x=0

thì

E=0

5.2.4. Điện tích điểm chuyển động trong điện trường

Khi một điện tích q đặt trong một điện trường E (gây bởi các điện tích khác) thì điện tích q sẽ bị
điện trường tác dụng một lực bằng:


(5.10)
F = qE


Trong công thức trên điện trường E không bao gồm điện trường gây bởi bản thân điện tích q và
trường này thường được gọi là trường ngoài. Công thức (5.10) cho thấy lực tĩnh điện có chiều dọc
theo chiều điện trường nếu điện tích q dương và có chiều ngược lại nếu điện tích đó là âm.

- Ví dụ: Tìm quĩ đạo của một electron chuyển động trong điện trường đều E . Vận tốc ban đầu của


electron là v 0 và có phương vuông góc với điện trường E (xem Hình 5.2).
Điện tích của electron là q = −e do đó lực điện trường tác dụng lên electron là:


F = −eE
Theo định luật 2 Newton, phương trình chuyển động của electron là:



F = −eE = ma


E

y


v0

x




F = −eE
Hình 5.2: Electron chuyển động trong điện trường đều.

Chiếu phương trình chuyển động lên phương trục y:
eE
m
Theo phương y, electron có gia tốc không đổi, phương trình cho tọa độ y của electron là:
1
1 eE 2
y = a yt 2 = −
t
2
2 m
Thành phần gia tốc của electron theo phương x bằng không, electron chuyển động với vận tốc v 0
không đổi theo phương này. Phương trình cho tọa độ x của nó là:
x = v 0t
Khử biến thời gian ta tìm được phương trình quĩ đạo của electron trong điện trường:
1 eE 2
y=−
x
2 mv 02
Như vậy, quĩ đạo của electron là một đường cong parabol.
− eE = ma y

suy ra

5.3. Định luật Gauss (Ostrogradski-Gauss)
5.3.1. Đường sức điện trường

9


ay = −


Định nghĩa: đường sức điện trường là đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với
phương của vector cường độ điện trường tại điểm đó; chiều của đường sức là chiều của vector cường
độ điện trường.
Tính chất:
- Qua mỗi điểm luôn vẽ được một đường sức điện trường.
- Hai đường sức điện trường không cắt nhau.
- Đường sức điện trường có chiều xuất phát từ điện tích dương, và kết thúc tại điện tích âm.

Hình vẽ trên mô tả một số đường sức điện trường của các điện tích dương và âm
5.3.2. Thông lượng của điện trường (điện thông)
r
Xét một mặt phẳng diện tích S, đặt trong một điện trường đồng nhất E . Thông lượng của điện
trường (điện thông) xuyên qua mặt phẳng S được định nghĩa bởi:
Φ = ES cos θ
(5.11)
r
r
trong đó θ là góc giữa điện trường E và pháp tuyến n của mặt phẳng.
- Nếu θ = 0 , điện trường vuông góc với mặt phẳng, điện thông qua mặt này có giá trị cực đại.
- Nếu θ = π / 2 , điện trường song song với mặt phẳng, điện thông qua mặt này bằng không.
r
Chúng ta định nghĩa vector diện tích S là một đại lượng có độ lớn bằng diện tích mặt S và có
r
chiều là chiều pháp tuyến n của mặt phẳng này. Như vậy (5.11) có thể biểu diễn dưới dạng tích
vector:
r r

(5.12)
Φ = E ×S

r
n
(a)

r
E

r
n
(b)

r
E

r
n

r
E
(c)

Hình 5.5: Điện trường đi xuyên qua mặt S: a) điện trường vuông góc với
mặt; b) điện trường xiên góc với mặt; c) điện trường song song với mặt.

10



Trong trường hợp S là mặt cong bất kỳ và điện trường không đồng nhất, ta chia mặt S ra thành
các mảnh diện tích dS rất nhỏ và xem phần diện tích vi cấp này là phẳng và điện trường đi qua dS
là đồng nhất. Thông lượng của điện trường gửi qua diện tích dS là:
 
dΦ = E ⋅ dS


trong đó E là vector cường độ điện trường tại yếu tố mặt dS .
Lấy tích phân theo toàn bộ bề mặt, ta tìm được thông lượng điện trường qua mặt cong
 
Φ = ∫ dΦ = ∫ E ⋅ dS
S

S

Nếu mặt S là một mặt cong kín (mặt Gauss), điện thông qua mặt Gauss là:
 
Φ = ∫ dΦ = ∫ E ⋅ dS
S

S

Qui ước: vector pháp tuyến của mặt kín có chiều hướng từ trong ra ngoài.
Từ công thức (5.12) ta có thể thấy điện thông là một đại luợng vô hướng; trong hệ SI nó có đơn
vị là N m 2 /C .



- Ví dụ: Tính điện thông của điện trường không đồng nhất có dạng E = 3 xi + 4 j đi qua mặt kín là
hình lập phương cho bởi Hình 5.6.

y
mặt trái

mặt phải
x

z

x = 1m x = 3 m

Hình 5.6: Mặt kín Gauss có hình lập phương, diện tích mỗi mặt là A.
Điện thông qua mặt kín bằng tổng điện thông qua từng mặt của hình lập phương.


+ mặt phải: yếu tố vector diện tích cho mặt phải là dS = ( dS ) i
 
 

 
 
Φ r = ∫ E ⋅ dS = ∫ ( 3 xi + 4 j ) ⋅ ( dS ) i = ∫ 3x( dS ) i ⋅ i + 4( dS ) j ⋅ i = 3∫ xdS

[

]

Vì tọa độ của mặt phải là x = 3 m (xem hình vẽ) nên:
Φ r = 3∫ 3dS = 9∫ dS = 9 A

trong đó A là diện tích của một mặt của hình lập phương, dễ thấy A = 4m 2 .

Như vậy điện thông qua mặt phải của hình lập phương là:
Φ r = ( 9 N/C ) 4m 2 = 36 Nm 2 /C .


+ mặt trái: yếu tố vector diện tích cho mặt trái là dS = −( dS ) i
 



Φ l = ∫ E ⋅ dS = ∫ ( 3 xi + 4 j ) ⋅ ( − dS ) i = −3∫ xdS

(

)

Vì tọa độ của mặt trái là x = 1 m (xem hình vẽ) nên:
Φ l = −3∫ 1dS = −3 A = −12 Nm 2 /C .


+ mặt trên: yếu tố vector diện tích mặt trên là dS = ( dS ) j
 



Φ t = ∫ E ⋅ dS = ∫ ( 3 xi + 4 j ) ⋅ ( dS ) j = 4 ∫ dS = 4 A = 16 Nm 2 /C .
+ mặt dưới: tương tự như mặt trên nhưng có chiều ngược lại:

11



Φ b = −16 Nm 2 /C


+ mặt trước và mặt sau: điện thông qua hai mặt này bằng không vì điện trường E vuông góc với
pháp tuyến của các mặt này.
Như vậy thông lượng điện trường qua mặt kín hình lập phương là:
Φ = 36 + (−12) + 16 + (−16) + 0 + 0 = 24 Nm 2 /C .
5.3.3. Định luật Gauss (Ostrogradski-Gauss)
A. Góc khối:
Góc khối dΩ nhìn thấy diện tích dS từ điểm O là phần không gian giới hạn bởi hình nón có đỉnh tại
O và có các đường sinh tựa trên chu vi của dS (Hình vẽ). Trong hệ SI đơn vị của góc khối là Sr
(steradian).
Gọi r: là khoảng cách từ O đếnrdS,
α: là góc giữa pháp tuyến n của dS và r,
dSn= dS0 : là hình chiếu của dS lên mặt phẳng vuông góc với r.
dΩ
1
= ( 2 )2 .
Ta có:
dS n
r

Biết

dSn = dS.cosα.
dS .cos α
dΩ =
Ta rút ra :
r2
Đặc biệt nếu S là một mặt kín bao quanh O thì góc khối Ω từ O nhìn S có giá trị bằng diện tích cả

mặt cầu tâm O, r = 1:
2
Ω=Ñ
∫ d Ω = 4π .1 = 4π .
S

r
Néu chọn chiều pháp tuyến dương n hướng ra ngoài mặt S thì Ω mang dấu + , ngược lại thì mang
dấu -.
B. Điện thông từ một điện tích điểm q.
r
a) Cho một điện tích điểm đặt tại O. Xét một diện tích vi phân dS và n là pháp tuyến dương hướng
uuuu
r r
ur
ra ngoài. Tại điểm M của dS (OM = r) vector E có phương theo OM = r và chiều hướng ra khi
q>0 và có độ lớn :
/q /
E=
.
4πε 0 ε .r 2
Điện thông qua diện tích vi phân dS :

12


dφe = EdS cos α =

/ q / dS cos α
.

,
4πε 0ε
r2

Sử dụng góc khối, ta được :
dφe =

/q /
.d Ω .
4πε 0ε

Dạng tổng quát cho q>0 và q<0 là :
q
.d Ω .
4πε 0 ε
b) Bây giờ ta tính điện thông đi qua mặt kín bao quanh điện tích q :
d φe =

Φe = Ñ
∫
S

q
4πε0ε

.d Ω=

q

∫ dΩ

4πε ε Ñ
0

(*)

S

Kết quả là :
q .
ε 0ε
Trong trường hợp điện tích q nằm ngoài mặt kín S, hay không có trong mặt kín S, ta dựng
mặt nón đỉnh O tiếp xúc với mặt kín S. Đường tiếp xúc của mặt nón với S sẽ chia S thành 2 phần là
S1 và S2. Khi đó tích phân góc khối là tổng :
Ñ
∫ d Ω = ∫ d Ω + ∫ d Ω = +∆Σ + (−∆Σ)
Φe =

S

S1

S2

Kết quả là vế phải (*) bằng 0 :
Φe = 0 .
Phát biểu:
Điện thông qua một mặt kín bằng tổng đại số các điện tích chứa trong mặt kín ấy chia hằng số điện
môi.
  Q
Φ = ∫ E ⋅ dS =

(5.13)
ε 0ε
S
Trong đó S là một mặt kín (còn được gọi là mặt Gauss) và Q là tổng điện tích được bao quanh bởi
mặt kín S.
Định lý Gauss có nội dung tương đương với định luật Coulomb. Thật vậy, ta xét một mặt kín S
là mặt cầu bán kính r bao quanh một điện tích điểm q đặt tại tâm hình cầu (Hình 5.7).


E
q
Mặt Gauss

Hình 5.7: Điện trường tạo bởi một điện tích điểm.

13


Do tính chất đối xứng cầu, điện trường tại mọi điểm trên mặt cầu bán kính r phải có độ lớn bằng
nhau và có phương vuông góc với mặt cầu (tức là trùng với pháp tuyến của mặt cầu). Thông lượng
của điện trường qua mặt S là:
 
Φ = ∫ E ⋅ dS = ∫ EdS = E ∫ dS = E 4π r 2

(

S

S


Theo định lý Gauss ta có:

Suy ra:

)

S

 
q
Φ = ∫ E ⋅ dS =
ε 0ε
S

(

)

q
1 q
hay E =
ε 0ε
4πε 0 ε r 2
Ta nhận lại được công thức tính điện trường gây bởi điện tích điểm (5.8). Chú ý là trong phần trước
công thức (5.8) được rút ra từ định luật Coulomb. Như vậy có thể thấy định luật Gauss và định luật
Coulomb tương đương với nhau (dẫn đến kết quả giống nhau).
Xét trường hợp mặt S bao quanh nhiều điện tích điểm q1 , q 2 ,..., q n . Theo nguyên lý chồng chất
điện trường ta có điện trường gây bởi hệ điện tích điểm bằng tổng điện trường gây bởi từng điện tích
điểm:
  


E = E1 + E 2 + ... + E n

 q1
 
 


q
q
+ 2 + ... + n
Suy ra ∫ E ⋅ dS = ∫ E1 ⋅ dS + ∫ E 2 ⋅ dS + ... + ∫ E n ⋅ dS =
ε 0ε ε 0ε
ε 0ε
S
S
S
S
Như vậy điện thông qua mặt kín bằng bao quanh các điện tích điểm là:
qi
  ∑
i
(5.14)
∫S E ⋅ dS = ε 0ε
Dạng vi phân của định luật Gauss: Nếu điện tích trong thể tích V (giới hạn bởi mặt kín S) phân bố
liên tục với mật độ điện tích khối ρ , thì (5.14) trở thành:
∫ ρdV
 
V
∫ ∇ ⋅ EdV = ε 0ε

V
Hay
ur ur
∇.E = ρ / ε 0ε
(5.15)
(5.15) là dạng vi phân của định lý Gauss. Hay còn gọi là phương trình Poisson.
 ∂ ∂ ∂

∇
=i
+ j
+k .
là
toán
tử
napla,
∇
∂x
∂y
∂z
E 4π r 2 =

5.3.4. Áp dụng định luật Gauss
Trong các trường hợp vật tích điện có hình dạng có tính chất đối xứng, định luật Gauss cho phép xác
định điện trường dễ dàng hơn sử dụng định luật Coulomb
* Điện trường của sợi dây tích điện:
Bài toán: xác định điện trường gây bởi một sợi dây thẳng dài vô hạn tích điện đều theo chiều dài.
Mật độ điện tích theo chiều dài là λ .
Xét mặt kín S có dạng hình trụ bán kính r, có trục trùng với dây tích điện như Hình 5.8. Điện thông
đi qua mặt trụ bằng tổng điện thông đi qua mặt xung quanh và hai đáy của hình trụ:

Φ = Φ xq + Φ đ 1 + Φ đ 2

14


 
E
∫ ⋅ dS =
S

S xq

 
E
∫ ⋅ dS +

S xq


E

 
E
∫ ⋅ dS +

Sđ 1

 
E
∫ ⋅ dS


Sđ 2

mặt Gauss

S đ1

r

Sđ 2
(a)

l

(b)

Hình 5.8: Mặt Gauss có dạng mặt trụ kín bao quanh 1 đoạn dây
tích điện; a) nhìn nghiêng; b) nhìn dọc theo sợi dây.
Do tính chất đối xứng của sợi dây, điện trường nó tạo ra có phương vuông góc với dây và đi qua
dây. Ngoài ra độ lớn của điện trường bằng nhau trên bề mặt xung quanh của hình trụ và có phương
song song pháp tuyến của mặt xung quanh hình trụ. Ta có:
 
E
∫ ⋅ dS = E ∫ dS = E (2π rl )

S xq

S xq

trong đó 2π rl là diện tích xung quanh của hình trụ.

Điện trường vuông góc với pháp tuyến của hai mặt đáy của hình trụ nên điện thông qua hai mặt
này bằng không:
 
 
E
⋅
d
S
=
E
∫
∫ ⋅ dS = 0
Sđ 1

Sđ 2

Áp dụng định luật Gauss cho mặt kín S:

  Q
Φ = ∫ E ⋅ dS =
ε 0ε
S
trong đó Q là điện tích bên trong hình trụ S:
Q = λl
Ta có phương trình:
λl
E ( 2π rl ) =
ε 0ε
Suy ra:
1 λ

E=
.
2πε 0 ε r

(5.16)

* Điện trường của mặt phẳng tích điện:
Bài toán: Tìm điện trường gây bởi mặt phẳng vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích mặt là σ .
Xét mặt Gauss là mặt trụ kín có diện tích đáy là A, đặt vuông góc với mặt phẳng tích điện như Hình
5.9. Điện thông đi qua hình trụ bằng điện thông đi qua mặt xung quanh cộng với điện thông qua hai
đáy của hình trụ:
 
 
 
 
Φ = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS
S

xq

đ1

15

đ2


Do tính chất đối xứng ta nhận thấy điện trường phải có phương vuông góc với mặt phẳng tích điện.
Vector pháp tuyến của mặt xung quanh song song với mặt phẳng tích điện nên vuông góc với điện
trường và do đó điện thông qua mặt xung quanh hình trụ bằng không. Vector pháp tuyến của hai mặt


đáy song song cùng chiều với E nên ta có:
Φ = 0 + E ∫ dS + E ∫ dS = EA + EA = 2 EA
đ1

đ2

Vì hình trụ kín bao quanh điện tích Q = σA nên theo định luật Gauss:
  Q
σA
Φ = ∫ E ⋅ dS =
=
ε 0ε ε 0ε
S

σ

E

A

 
E E

n


E

n


mặt Gauss
(a)
(b)
Hình 5.9: Mặt Gauss dạng hình trụ kín đi qua và vuông góc với
mặt phẳng; a) nhìn nghiêng; b) nhìn dọc theo mặt phẳng.
Suy ra
E=

σ
2ε 0 ε

(5.17)

* Điện trường của hai mặt phẳng tích điện trái dấu:
Bài toán: Tìm điện trường gây bởi hai mặt phẳng vô hạn tích điện đều bằng nhau nhưng trái dấu, đặt
song song với nhau.
Sử dụng kết quả ở trên và áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường
  
E = E1 + E 2 .


+ Điện trường ở giữa hai mặt phẳng: E1 và E 2 cùng chiều do đó:
σ
σ
σ
E=
+
=
(5.18)

2ε 0 ε 2ε 0 ε ε 0 ε


+ Điện trường ở ngoài hai mặt phẳng: E1 và E 2 ngược chiều do đó:
E=0
(5.19)
* Điện trường của quả cầu đặc tính điện đều:
Bài toán: Tìm điện trường gây bởi quả cầu đặc bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích khối là
ρ.
Xét mặt Gauss là hình cầu bán kính r có tâm là tâm của quả cầu tích điện.
+ Trường hợp mặt Gauss là mặt cầu S1 nằm trong quả cầu tích điện ( r < R ) như Hình 5.10a: Tổng
4 3
4 3
điện tích bên trong mặt S1 bằng ρ  π r  , trong đó  π r  là thể tích hình cầu bán kính r.
3

3


16


ρ

R

r
R

r


S1

S2

(a)

(b)

Hình 5.10: Mặt Gauss hình cầu bán kính r có tâm trùng với tâm quả cầu tích
điện; a) Mặt Gauss nằm trong quả cầu; b) Mặt Gauss nằm ngoài quả cầu.
Áp dụng định luật Gauss cho mặt S1 ta có:
4

ρ π r 3 
 
3

Φ = ∫ E ⋅ dS = E ∫ dS = E ( 4π r 2 ) = 
ε 0ε
S1
S1
Suy ra điện trường bên trong quả cầu tích điện là:
ρr
E=
.
(5.20a)
3ε 0 ε
+ Trường hợp mặt Gauss là mặt cầu S 2 nằm trong quả cầu tích điện ( r > R ) như hình 5.10b: Tổng
4 3

điện tích trong mặt S 2 chính là điện tích của quả cầu bán kính R bằng ρ  πR 
3

Áp dụng định luật Gauss cho mặt S 2 ta có:
4

ρ π R3 
 
3

Φ = ∫ E ⋅ dS = E ∫ dS = E 4π r 2 = 
ε 0ε
S2
S2

(

)

Suy ra điện trường bên ngoài quả cầu tích điện là:
ρ R3
E=
.
3ε 0 ε r 2

(5.20b)

5.3.5. Vector điện cảm (cảm ứng điện):
Vector cường độ điện trường của điện tích điểm ở khoảng cách r tại P theo (5.7) là:



 F
1 q r
E=
=
q 0 4πε 0 ε r 2 r
ur
Ta định nghĩa vector điện cảm D bằng biểu thức:
ur
ur
D = ε 0ε E
(5.21)
ur
Ta thấy vector điện cảm D sẽ không phụ thuộc vào môi trường. Vector điện cảm của điện tích
điểm ở khoảng cách r tại P là:

17


ur 1 q rr
D=
4π r 2 r

(5.22)

Khi đó có thể phát biểu định luật Gauss (5.10) gọn hơn, như sau:
Thông lượng cảm ứng điện qua một mặt kín bằng tổng đại số các điện tích chứa trong mặt kín ấy.
ur r
Φ=Ñ
∫ D ×dS = Q

(5.23)
S

Trong đó S là một mặt kín (còn được gọi là mặt Gauss) và Q là tổng điện tích được bao quanh bởi
mặt kín S.
Dạng vi phân của định lý Gauss hay còn gọi là phương trình Poisson viết theo vector điện cảm:
ur ur
(5.23a)
∇.D = ρ
5.4. Điện thế
5.4.1. Công của lực điện trường
a. Công của lực điện trường đều
y

yM

M

yN

Hình 5.11: Điện tích di c

r
Xét điện tích q0 dịch chuyển từ vị trí M đến N trong điện trường đều E . Giả sử điện trường có
phương dọc theo trục tọa độ y (như trên Hình 5.11). Lực điện trường tác dụng lên điện tích là
r
r
F = q0 E . Công của lực điện trường thực hiện trong dịch chuyển này là:

18



N
r r
r r
= ∫ F ×ds = q0 ∫ E ×ds
N

AMN

M
M

 


Phân tích độ dời ds thành hai thành phần theo phương x và y: ds = dx + dy , trong đó dx vuông
 
góc với điện trường nên tích vô hướng E ⋅ dx bằng không.
N 
N 
N 
N

 

AMN = q 0 ∫ E ⋅ ds = q 0 ∫ E ⋅ ( dx + dy ) = q 0 ∫ E ⋅ dy = − q 0 E ∫ dy .
M

M


M

M

(dấu trừ do ta chọn chiều dương trục y ngược với chiều điện trường)
Như vậy, tính tích phân ta được:
AMN = q 0 Ey M − q 0 Ey N

(5.24)

b. Công của lực điện trường gây bởi một điện tích điểm
Công của lực điện trường gây bởi một điện tích điểm điện tích q thực hiện trong dịch chuyển điện
tích thử q0 từ vị trí M đến N (Hình 5.12) là:
rN
rN
r
N 
N 
q0 q N  1 


1 q
AMN = q 0 ∫ E ⋅ ds = q 0 ∫ E ⋅ dr = q 0 ∫ Edr = q 0 ∫
dr
=
d− 
2
∫
4

πε
ε
4
πε
ε
r
r
0
0
M
M
rM
rM
rM 
Sau khi tính tích phân ta có:
AMN =

1 q0 q
1 q0 q
−
.
4πε 0 ε rM
4πε 0 ε rN

(5.25)

Kết luận: Từ hai trường hơp trên ta thấy rằng trường tĩnh điện là trường lực thế vì công của lực tĩnh
điện trong dịch chuyển bất kỳ của điện tích q 0 chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của nó
chứ không phụ thuộc vào dạng đường đi.



 E
q 0dr
 ds N
dτ

M


r
q

Hình 5.12: Điện tích di chuyển trong điện trường gây bởi một điện tích điểm.
5.4.2. Thế năng của một điện tích trong điện trường
Vì điện trường là một trường lực thế nên công của lực điện trường chính là độ biến thiên thế năng.
Ký hiệu thế năng là W, ta có:
AMN = WM − W N
(5.26)
- Thế năng của điện tích điểm q 0 trong điện trường đều:
Từ (5.24) và (5.26) ta tìm được:
W = q 0 Ey + C

19

(5.27)


trong đó C là hằng số, được xác định khi chọn gốc thế năng.
- Thế năng của điện tích điểm q 0 trong điện trường gây bởi điện tích điểm q:
Từ (5.25) và (5.26) ta tìm được :

1 q0 q
W =
+C
4πε 0 ε r
Chọn gốc thế năng tại vô cùng bằng không W ( r = ∞ ) = 0 suy ra C = 0 .

(5.28)

5.4.3. Điện thế
Định nghĩa: điện thế của điện trường tại một điểm là tỉ số giữa thế năng của điện tích thử với điện
tích của nó tại điểm đó:
W
V=
(5.29)
q0
Vì thế năng W phụ thuộc tuyến tính vào độ lớn điện tích thử nên với định nghĩa (5.29), điện thế
không phụ thuộc vào độ lớn của điện tích thử mà chỉ phụ thuộc vào điện trường và vị trí của điểm
đang xét.
Trong hệ đơn vị SI, điện thế có đơn vị là Volt (V). Từ định nghĩa điện thế ta có:
J
1V=1
C
Trong mục 5.2 chúng ta biết đơn vị của cường độ điện trường là N/C,
N  N   1V .C  1J  V
1 =  1 ÷
÷
÷= 1 .
C  C   1J  1N .m 
m
Như vậy đơn vị của cường độ điện trường còn có thể là V/m.

- Điện thế của điện trường đều:
Từ (5.27) và (5.29) suy ra:

V = Ey + C

- Điện thế của điện trường gây bởi điện tích điểm q :
Từ (5.28) và (5.29) suy ra:
1 q
V =
4πε 0 ε r

(5.30)

(5.31)

- Điện thế của điện trường bất kỳ:
Công của lực điện trường trong dịch chuyển điện tích q0 từ vị trí M đến N là:
N
N
r r
r r
AMN = ∫ F ×ds = q0 ∫ E ×ds = WM − WN
M

M

Chia hai vế cho q0 chúng ta được:
VM − V N =

AMN N  

= ∫ E ⋅ ds
q0
M

(5.32)

Hiệu số VM − V N = ∆V được gọi là hiệu điện thế giữa hai điểm M và N. Nó có giá trị bằng công của
lực điện trường trọng dịch chuyển một đơn vị điện tích dương đi từ điểm M đến điểm N.
Cho điểm N tiến ra vô cùng và chọn thế năng tại vô cùng bằng không ( V∞ = 0 ), khi đó thế năng
tại điểm M được cho bởi:

20


AM∞ ∞  
V =
= ∫ E ⋅ ds
(5.33)
q0
M
Như vậy điện thế tại một điểm trong điện trường có giá trị bằng công của lực tĩnh điện thực hiện
trong sự dịch chuyển một đơn vị điện tích dương từ điểm đó ra xa vô cùng.
- Điện thế của hệ nhiều điện tích điểm:
Xét hệ gồm nhiều điện tích điểm qi , với i = 1, 2,..., n . Theo nguyên lý chồng chất điện trường, điện
trường của hệ tạo ra tại điểm M là:
r r r
r
E = E1 + E2 + ... + En
Sử dụng (5.33), điện thế tại điểm M được cho bởi
∞

∞
r r ∞ r r ∞ r r
r r
V = ∫ E ×ds = ∫ E1 ×ds + ∫ E2 ×ds + ... + ∫ En ×ds = V1 + V2 + ... + Vn
M

M

M

n

V = ∑ Vi =
i =1

M

1
4πε 0

n

qi

i =1

i

∑r


(5.34)

- Ví dụ 1: Cho q1 = 5.10– 8 C; q2 = - 8.10– 8 C, đặt tại A, B trong không khí. Tính điện thế tại M
cách A, B lần lượt là 10 cm, 20cm. Chọn gốc điện thế ở vô cùng, trong đó ri là khoảng cách từ điện
tích qi đến điểm M.
Bài giải:
Điện thế tại điểm M:
kq1
kq 2
q
q
V=
+
=k( 1 + 2 )
r1
r2
r1
r2

V =9.109 (

5.10 −8
8.10−8
−
) =900V
0,1
0, 2

M


q1

q2

-

+

A

B

- Ví dụ 2: Tính điện thế tại tâm P của một hình vuông cạnh a = 1.3m có đỉnh là các điện tích điểm
q1 = 12 × 10 −9 C , q 2 = −24 × 10 −9 C , q3 = 31 × 10 −9 C , q 4 = 17 × 10 −9 C .
Điện thế tại điểm P được cho bởi:
4
1  q1 q 2 q 3 q 4 
 +
V = ∑ Vi =
+
+ 
4πε 0 ε  r1 r2 r3 r4 
i =1
Trong đó r1 , r2 , r3 , r4 lần lượt là khoảng cách từ các điện tích đến điểm P. Chúng bằng nhau và bằng
một nửa đường chéo của hình vuông, tức là r1 = r2 = r3 = r4 = a / 2 .
 Nm 2
V = 9 × 10 9  2
 C

 (12 − 24 + 31 + 17 ) × 10 −9 ( C )


≈ 350 V .
1.3( m ) / 2


21


- Ví dụ 3: Vòng dây tròn, bán kính a, tích điện đều với điện tích tổng cộng Q. Tính điện thế tại tâm O
của vòng dây và tại điểm M trên trục vòng dây, cách O một đoạn x. Suy ra hiệu điện thế UOM.
Áp dụng số: a = 5cm; x = 12cm; Q = -2,6.10– 9 C.
Xét 2 trường hợp:
a) Gốc điện thế ở vô cùng;
b) Gốc điện thế tại O.
Bài giải.
a) Gốc điện thế ở vô cùng;
k.dq

Ñ
∫dV =Ñ
∫ r

VM =

v/d

VM =

kQ
a2 + x2


v/ d

k
=
r

Ñ
∫dq

v/d

9.109.( −2, 6.10 −9 )
- 180V
=
=
0, 052 +0,12 2

kQ
9.109.( −2, 6.10 −9 )
VO =
=
=- 468V
a
0, 05

⇒U OM = VO −VM = - 288V
b) Gốc điện thế tại O.

⇒

VO =

kQ
C =
468
+C =−468 +C =0 ⇒
a

VM =

kQ

a 2 + x2

+ C = −180 + C = 288V

⇒ U OM = VO − VM = −288V

5.4.4. Mặt đẳng thế
- Định nghĩa: Mặt đẳng thế là tập hợp những điểm có cùng điện thế. Phương trình của mặt đẳng thế
r
là: V (r ) = const .
Ví dụ 1: Tìm mặt đẳng thế gây của một điện trường đều

22


r
Điện thế của một điện trường đều E = const được cho bởi (5.30):
V = Ey + C .

Phương trình của mặt đẳng thế là:
Ey + C = const suy ra y = const .
Như vậy mặt đẳng thế là mặt phẳng vuông góc với phương điện trường (xem Hình 5.13a).
Ví dụ 2: Tìm mặt đẳng thế gây bởi một điện tích điểm.
Điện thế gây bởi một điện tích điểm được cho bởi (5.31):
1 q
V ( r) =
.
4πε 0 r

(a)
(b)
(c)
Hình 5.13: Các đường liền là các đường sức điện trường, các đường gạch mô tả
các mặt đẳng thế: a) điện trường đều; b) điện tích điểm; c) lưỡng cực điện.
Do đó phương trình của mặt đẳng thế là:
1 q
= const
4πε 0ε r

suy ra

r = const .

Như vậy mặt đẳng thế là mặt cầu bán kính r có tâm là điện tích điểm (xem Hình 5.13b).
- Tính chất của mặt đẳng thế:
+ Không cắt nhau vì mỗi điểm trong không gian chỉ có một giá trị điện thế.
+ Công của lực tĩnh điện khi điện tích di chuyển trên mặt đẳng thế bằng không.
AMN = WM − WN = q (VM − VN ) = 0
+ Vector cường độ điện trường luôn vuông góc với mặt đẳng thế.

N
r r
AMN = q ∫ E ×ds = q ( VM − VN ) = 0
M

r
r
suy ra E ⊥ ds .
r
r
r
r
Vì ds là vector bất kỳ trên mặt đẳng thế, E ⊥ ds có nghĩa là E vuông góc với mặt đẳng thế.
- Ví dụ: Điện thế của một điện trường có dạng: V(x,y,z) = a(x2 + y2 + z2), với a là hằng số dương.
Xác định cường độ điện trường tại điểm M(x,y,z). Những mặt đẳng thế có dạng như thế nào?
Bài giải :
u
r
Cường độ điện trường :
E =(E x , E y , E z )
Ex = −

∂V
= −2ax
∂x

23


Các thành phần :

∂V
E y =−
=−2ay
∂y

Ez = −

∂V
= −2az
∂z

u
r
E =−2a(x, y, z)

Nên :

Để tìm dạng của mặt đẳng thế ta giải phương trình:
V(x, y, z) = C = const
⇔ a(x 2 + y 2 + z 2 ) = C

⇔ x 2 + y2 + z 2 =

C
= R2
A

Như vậy mặt đẳng thế là mặt cầu tâm O ở gốc tọa độ có bán kính bằng:
R =


C
a

5.5. Liên hệ giữa vector cường độ điện trường và điện thế
r
Từ định nghĩa thế năng và điện thế ta có công của lực điện trường E trong dịch chuyển điện tích q
từ vị trí M đến N là:
N
N
N
r r
r r
AMN = ∫ F ×ds = q ∫ E ×ds = WM − WN = q ( VM − VN ) = q ∫ ( −dV )
M

M

N

Suy ra

r

M

r

N

∫ E ×ds = ∫ ( −dV )


M


Nếu E song song với ds thì ta có:

r r
hay ta có E ×ds = −dV .

M

dV
ds
Tức là điện trường bằng độ giảm thế trên đoạn ds.
Trong trường hợp tổng quát ta có :


 ∂V  ∂V  ∂V 
E = −∇ ⋅ V = −
i +
j+
k
∂y
∂z 
 ∂x
E=−

(5.35)

(5.36)


Chú ý, công thức (5.36) và (5.32) có nội dung tương đương với nhau, chỉ khác nhau ở cách biểu diễn
(dạng vi phân và dạng tích phân). Các công thức này mô tả mỗi liên hệ giữa vector cường độ điện
trường và điện thế. Chúng cho phép ta tính được điện trường nếu biết điện thế và ngược lại.
- Ví dụ: (Sử dụng lại ví dụ 1 trong mục 5.2.3.) Tìm điện trường do một lưỡng cực điện (gồm một cặp
điện tích trái dấu q1 = + q, q 2 = − q đặt cách nhau một khoảng d) gây ra tại điểm P (xem Hình 5.1).
Điện thế tại điểm P là:
1  q1 q 2 
1 q q
q  r2 − r1 
 +  =
 −  =


V =
4πε 0 ε  r1 r2  4πε 0 ε  r1 r2  4πε 0 ε  r1 r2 
Vì điểm P ở xa lưỡng cực điên nên: r1 r2 ≈ r 2 = x 2 , r2 − r1 = − d . Ta có:
1 qd
V =−
4πε 0 ε x 2

24


Suy ra điện trường theo phương x:
dV
1 2qd
=−
.
dx

4πε 0 ε x 3
CHƯƠNG 6: VẬT DẪN
E=−

Khái niệm vật dẫn: là vật có chứa các hạt mang điện tự do; các hạt mang điện này có thể chuyển
động trong toàn bộ vật dẫn.
6.1. Vật dẫn cân bằng tĩnh điện
* Điều kiện cân bằng tĩnh điện:
1) Để các điện tích trong vật dẫn không chuyển động thì điện trường bên trong vật dẫn bằng
không:

E trong = 0
(6.1)
2) Để các điện tích trên bề mặt vật dẫn không chuyển động thì thành phần tiếp tuyến của điện
trường trên bề mặt vật dẫn phải bằng không, có nghĩa là điện trường trên bề mặt vật dẫn vuông góc
với bề mặt vật dẫn:

 

E mat = E t + E n = E n
(6.2)

+ +
+
+ Er
+ n
+ r
+ E =0 +
+
+

+ +
++ + + +
Hình 6.1: Điện trường của vật dẫn tích điện chỉ tồn tại ở bề mặt và có phương
vuông góc với bề mặt vật dẫn. Bên trong vật dẫn điện trường bằng không.
* Tính chất:
1) Vật dẫn là khối đẳng thế:

V = const
Xét hai điểm M và N bất kỳ bên trong vật dẫn, ta có:
N 
N


VM − V N = ∫ E trong ⋅ ds = ∫ 0 ⋅ ds = 0 suy ra
M

(6.3)
VM = V N = Vtrong

M

Xét hai điểm M va N bất kỳ trên bề mặt vật dẫn, ta cũng có:
N 

 N  

VM − V N = ∫ E mat ⋅ ds = ∫ E n ⋅ ds = 0 (vì E n vuông góc với ds )
M

M


suy ra VM = V N = Vmat
2) Điện tích chỉ phân bố trên bề mặt vật dẫn:
Áp dụng định luật Gauss cho một mặt kín bất kỳ bên trong vật dẫn
 Qtrong

∫S E trong ⋅ dS = ε 0ε .

Vì E trong = 0 nên từ biểu thức trên ta suy ra điện tích bên trong vật dẫn bằng không Qtrong = 0 . Như
vậy nếu vận dẫn tích điện thì các điện tích chỉ phân bố trên bề mặt của vật dẫn.

25