CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2011.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

1 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Cho hàm số f (x, y ) liên tục trên miền D
1

Nếu D xác định bởi a
tục trên [a, b] thì

x

b, ϕ1 (x)
b

2

ϕ2 (x)

a

Nếu D xác định bởi c
tục trên [c, d] thì

y

d

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

f (x, y )dy .
ϕ1 (x)

d, ϕ1 (y )

f (x, y )dxdy =
D

ϕ2 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x) liên

dx

f (x, y )dxdy =
D


y

x

ϕ2 (y )

dy
c

ϕ2 (y ), ϕ1 (y ), ϕ2 (y ) liên

f (x, y )dx.
ϕ1 (y )

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

2 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
xdxdy , với D là tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1).

Tính I =
D


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

3 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
xdxdy , với D là tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1).

Tính I =
D

2

1

O

1

2


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

3 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
xdxdy , với D là tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1).

Tính I =
D

2

A

1

O

1

2


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

3 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
xdxdy , với D là tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1).

Tính I =
D

2

1

O

B

A


1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

3 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
xdxdy , với D là tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1).

Tính I =
D

2

1

O

B


A

1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

3 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
(xy + 2y )dxdy , với D là tam giác OAB,

Tính I =
D

O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

4 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
(xy + 2y )dxdy , với D là tam giác OAB,

Tính I =
D

O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0).

2

1

O

1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

4 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
(xy + 2y )dxdy , với D là tam giác OAB,

Tính I =
D

O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0).

2

A

1

O

1


2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

4 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
(xy + 2y )dxdy , với D là tam giác OAB,

Tính I =
D

O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0).

2

A

1

B

O

1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

4 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
(xy + 2y )dxdy , với D là tam giác OAB,

Tính I =
D

O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0).

2

A


1

B
O

1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

4 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
x

e y dxdy , với D được giới hạn bởi y 2 = x, x = 0, y = 1.

Tính I =
D


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

5 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
x

e y dxdy , với D được giới hạn bởi y 2 = x, x = 0, y = 1.

Tính I =
D

Ví dụ
Tính I =
D

x2

x
x2

dxdy , với D được giới hạn bởi y = , y = x.
2
+y
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

5 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
x

e y dxdy , với D được giới hạn bởi y 2 = x, x = 0, y = 1.

Tính I =
D

Ví dụ
Tính I =
D


x2

x
x2
dxdy , với D được giới hạn bởi y = , y = x.
2
+y
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

5 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
(y 2 − x)dxdy , với D được giới hạn bởi y 2 = x, x = 3 − 2y 2 .

Tính I =
D

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

6 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
(y 2 − x)dxdy , với D được giới hạn bởi y 2 = x, x = 3 − 2y 2 .

Tính I =
D

Ví dụ
x cos ydxdy , với D được giới hạn bởi y = 0, y = x 2 , x = 1.

Tính I =
D

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

6 / 14



Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
(y 2 − x)dxdy , với D được giới hạn bởi y 2 = x, x = 3 − 2y 2 .

Tính I =
D

Ví dụ
x cos ydxdy , với D được giới hạn bởi y = 0, y = x 2 , x = 1.

Tính I =
D

Ví dụ
Tính I =

(x + y )dxdy , với D được giới hạn bởi y =

√

x, y = x 2 .

D

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

6 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
(y 2 − x)dxdy , với D được giới hạn bởi y 2 = x, x = 3 − 2y 2 .

Tính I =
D

Ví dụ
x cos ydxdy , với D được giới hạn bởi y = 0, y = x 2 , x = 1.

Tính I =
D

Ví dụ
Tính I =

(x + y )dxdy , với D được giới hạn bởi y =

√


x, y = x 2 .

D

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

6 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
y 3 dxdy , với D là tam giác ABC , A(0, 2), B(1, 1), C (3, 2).

Tính I =
D

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.


7 / 14


Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
y 3 dxdy , với D là tam giác ABC , A(0, 2), B(1, 1), C (3, 2).

Tính I =
D

Ví dụ
(2x − y )dxdy , với D là tam giác OAB,

Tính I =
D

O(0, 0), A(2, 4), B(6, 0).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

7 / 14



Cách tính tích phân kép

Định lý Fubini

Ví dụ
y 3 dxdy , với D là tam giác ABC , A(0, 2), B(1, 1), C (3, 2).

Tính I =
D

Ví dụ
(2x − y )dxdy , với D là tam giác OAB,

Tính I =
D

O(0, 0), A(2, 4), B(6, 0).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

7 / 14


Cách tính tích phân kép

Đổi biến trong hệ tọa độ cực


Đặt vấn đề
Chuyển sang hệ tọa độ cực tích phân kép sau
f (x, y ) dx dy .
D

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

8 / 14


Cách tính tích phân kép

Đổi biến trong hệ tọa độ cực

Đặt vấn đề
Chuyển sang hệ tọa độ cực tích phân kép sau
f (x, y ) dx dy .
D

Có nghĩa là chuyển tích phân kép này về dạng:
β

ρ2 (ϕ)

dϕ

α

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

g (ρ, ϕ) dρ.
ρ1 (ϕ)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2011.

8 / 14


Cách tính tích phân kép

Đổi biến trong hệ tọa độ cực

Đặt vấn đề
Chuyển sang hệ tọa độ cực tích phân kép sau
f (x, y ) dx dy .
D

Có nghĩa là chuyển tích phân kép này về dạng:
β

ρ2 (ϕ)

dϕ
α


g (ρ, ϕ) dρ.
ρ1 (ϕ)

ở đây α và β — là một số nào đó
ρ1 và ρ2 — xác định trên đoạn [α, β];
g —là hàm số xác định trên tập hợp
(ρ, ϕ) :

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

α

ϕ

β,

ρ1 (ϕ)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP

ρ

ρ2 (ϕ).
TP. HCM — 2011.

8 / 14