Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
KĨ THUẬT XỬ LÝ
KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH KHÔNG GIAN

I-LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
Bài toán loại 1
Cho hình chóp
SABC có đáy
ABC là tam giác
vuông tại B, SA
vuông (ABC)

1. Tính
d  A;  SBC  

Cho hình chóp SABC có
đáy ABC là tam giác
vuông tại B, hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC)
cùng vuông góc với
(ABC).

Cho tam giác ABC vuông tại
B. Lấy điểm S nằm ngoài
(ABC) sao cho SA vuông
(ABC)

Cho tam giác ABC
vuông tại B, kẻ tia Ax
vuông góc (ABC). Lấy

điểm S trên tia Ax.

Cách 1:
Gọi H là hình chiếu của A lên SB

 AH  SB


 BC   SAB   AH  AH  BC

 AH   SBC   d  A;  SBC    AH

Tính AH bằng các công thức sau:

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 1 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />




1
1
1

SA2 . AB 2



AH

AH 2 SA2 AB 2
SA2  AB2
AB. AC
AB. AC  AH .BC  AH 
BC
AH
sin SBA 
 AH  AB.sin SBA
AB

Cách 2:
1
VSABC  d  A;  SBC   .S ABC
3
 d  A;  SBC   

2. Tính
d  C;  SAB  

3. Tính
d  B;  SAC  

3.VSABC SA. AB. AC


SSBC
SB.BC

BC   SBC  (ý 3)
 d  C;  SAB    BC

Gọi E là hình chiếu vuông góc của B lên AC.
 BE  AC

 BE   SAC 
 BE  SA

d  B;  SAC    BE

(tính BE như ý 12)
4. Tính
d  SA; BC 

Tổng đài tư vấn :

 AB  SA
 d  SA; BC   AB

 AB  B

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 2 -



Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
5. Tính
d  SB; AC 

Gọi P sao cho PACB là hình bình hành
AC / / BP, BP   SBP 
 d  AC; SB   d  AC;  SBP    d  A;  SBP  

Gọi K là hình chiếu của A lên BP, H là hình chiếu của
A lên SK
AH  AK (1)

 BP  AK
 BP   SAK   AH

 BP  SA
 AH  BP (2)

Từ (1) và (2) AH   SBP   d  A;  SBP    AH
6. Tính
d  SC; AB 

Gọi P sao cho ABCP là hình bình hành.
Vì ABC  900  ABCP là hình chữ nhật.
AB / /CP, CP   SCP 

 d  AB; SC   d  AB;  SCP    d  A;  SCP  

Gọi H là hình chiếu của A lên SP.

AH  SP (1)
CP  AP
 CP   SAP   AH

CP  SA

 AH  CP (2)

Từ (1), (2) AH   SCP   d  A;  SCP    AH

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 3 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />7. Tính
Ta có: QA   SBC   B

d  Q;  SBC   Q

thuộc AB sao
cho AQ  nQB



d  Q;  SBC  
d  A;  SBC  


QB
QA



 d  Q;  SBC   

QB
.d  A;  SBC  
QA

Bài toán quay về ý 12.
8. Tính

d  G;  SBC   .

G là trọng tâm
cùa tam giác
SAB

Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam
giác SAB.
GM   SBC   S


d  G;  SBC  

d  M ;  SBC  




GS 2

MS 3

2
 d  G;  SBC    .d  M ;  SBC   (1)
3

AM   SBC   B


d  A;  SBC  

d  M ;  SBC  



AB
2
MB

1
 d  M ;  SBC    .d  A;  SBC   (2)
2

Từ (1), (2) suy ra d  G;  SBC    .d  A;  SBC  
1
3


Bài toán quay về ý 12.

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 4 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
Bài toán loại 2 :
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA   ABCD  , O  AC  BD

Cột thứ 3 chỉ gợi ý. Các em phải nắm rõ bài 1 để trình bày và lý luận.
1. Tính d  A;  SBC  

2. Tính d  A;  SCD  

3. Tính d  A;  SBD  

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SB. d  A;  SBC    AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SD. d  A;  SCD    AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SO. d  A;  SBD    AH

- Trang | 5 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
4. Tính d  B;  SCD  

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AB / /  SCD 
d  B;  SCD    d  A;  SCD    AH

5. Tính d  M ;  SCD  
với M thuộc AB

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AB / /  SCD  , M  AB
d  M ;  SCD    d  A;  SCD    AH

6. Tính d  O;  SCD  

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AO   SCD   C



d  A;  SCD  



d  O;  SCD  

 d  O;  SCD   

7. Tính d  P;  SCD   với
P là trung điểm BO

AC
2
OC

1
AH
2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do PB   SCD   O


d  P;  SCD  

d  B;  SCD  




 d  P;  SCD   

PO 1

BO 2

1
d  B;  SCD  
2

Do AB / /  SCD 
 d  A;  SCD    d  B;  SCD  

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 6 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />1
Vậy: d  P;  SCD    d  A;  SCD  
2

8. Tính d  G;  SCD   với
G là trọng tâm của
tam giác SAB


Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD. M là trung điểm AB.
d  G;  SCD   

2
d  M ;  SCD  
3

d  M ;  SCD    d  A;  SCD  
 d  G;  SCD   

2
AH
3

9. Tính d  SB; AD 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SB. d  SB; AD   AH

10. Tính d  AB; SC 

Cách 1:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên
SC. d  AB; SC   BH
Cách 2:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên
SD. AB / /  SCD 
 d  AB; SC   d  AB;  SCD  

 d  A;  SCD    AK

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 7 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
11. Tính d  BD; SC 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên
SC. d  BD; SC   OH

12. Tính d  SC; AD 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SB.
AD / /  SCB 

 d  AD; SC   d  AD;  SCB    d  A;  SCB    AH

13. Tính d  SB; CD 

d  SB; CD   AD

14. Tính d  BM ; CD  .


Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu
vuông góc của O lên AK.

Với M là trung điểm
SC

CD / / AB   MAB 
 CD / /  MAB 
 d  CD; BM   d  CD;  MAB    d  C ;  MAB  
1
1
 d  O;  MAB    OH
2
2

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 8 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
Bài toán loại 3 :
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA   ABCD  , O  AC  BD

Cột thứ 3 chỉ gợi ý. Các em phải nắm rõ bài 1 để trình bày và lý luận.
1. Tính d  A;  SBC  


Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
d  A;  SBC    AH

2. Tính d  A;  SCD  

Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD.
d  A;  SCD    AH

3. Tính d  A;  SBD  

Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SO.
d  A;  SBD    AH

4. Tính d  B;  SCD  

Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD.
Do AB / /  SCD 
d  B;  SCD    d  A;  SCD    AH


5. Tính d  M ;  SCD   với
M thuộc AB

Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD.
Do AB / /  SCD  , M  AB
d  M ;  SCD    d  A;  SCD    AH

6. Tính d  O;  SCD  

Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD.
Do AO   SCD   C


Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

d  A;  SCD  

d  O;  SCD  




AC
2
OC

- Trang | 9 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />1
 d  O;  SCD    AH
2

7. Tính d  P;  SCD   với P
là trung điểm BO

Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD.
Do PB   SCD   O


d  P;  SCD  

d  B;  SCD  



 d  P;  SCD   


PO 1

BO 2

1
d  B;  SCD  
2

Do AB / /  SCD 
 d  A;  SCD    d  B;  SCD  

Vậy: d  P;  SCD    d  A;  SCD  
1
2

8. Tính d  G;  SCD   với G
là trọng tâm của tam
giác SAB

Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. M
là trung điểm AB.
d  G;  SCD   

2
d  M ;  SCD  
3


d  M ;  SCD    d  A;  SCD  
 d  G;  SCD   

2
AH
3

9. Tính d  SB; AD 

Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
d  SB; AD   AH

10. Tính d  AB; SC 

Hình tương tự
bài 2.

Cách 1:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC.
d  AB; SC   BH
Cách 2:

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 10 -



Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SD.
AB / /  SCD 
 d  AB; SC   d  AB;  SCD  
 d  A;  SCD    AK

11. Tính d  BD; SC 

Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SC.
d  BD; SC   OH

12. Tính d  SC; AD 

Hình tương tự
bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
AD / /  SCB 

 d  AD; SC   d  AD;  SCB    d  A;  SCB    AH

13. Tính d  SB; CD 

Hình tương tự

bài 2.

d  SB; CD   AD

14. Tính d  BM ; CD  . Với

Hình tương tự
bài 2.

Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu vuông
góc của O lên AK.

M là trung điểm SC

CD / / AB   MAB 

 CD / /  MAB 
 d  CD; BM   d  CD;  MAB  
1
1
 d  C;  MAB    d  O;  MAB    OH
2
2

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 11 -



Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
Bài toán 4
Cho hình chóp tam giác đều SABC. M là trung điểm BC, O là tâm của tam giác ABC.

1. Tính

d  A;  SBC  
 d  B;  SAC  
 d  C;  SAB  

Cách 1:
d  A;  SBC   

3VSABC
SSBC

Cách 2:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SM.
d  A;  SBC    3d  O;  SBC    3OH

2. Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên SA.

d  SA; BC 
 d  SB; AC 

d  SA; BC   d  M ; SA  MH


 d  SC ; AB 

3. Gọi E là trung
điểm AB.
Tính
d  EC; SB 

Gọi P sao cho BECP là hình bình hành.
CE vuông AB nên BECP là hình chữ nhật.
Kẻ gọi K thuộc BP sao cho OK song song EB.
Gọi H là hình chiếu của O lên SK.

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 12 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />d  EC; SB   d  EC ;  SBP  
 d  EC;  SBP    d  O;  SBP    OH

4. Gọi E là trung
điểm AB.
Tính
d  EC; BC 

Tổng đài tư vấn :


Gọi F là trung điểm AC. K giao điểm AM với
EF. H là hình chiếu của O lên SK.
d  EC; BC   d  BC ;  SEF  
 d  C;  CEF    3d  O;  SEF    3OH

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 13 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
Bài toán 5
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. M là trung điểm CD, O là tâm của ABCD.

1. Tính

d  A;  SCD  

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O
lên SM.

 d  A;  SBC  

d  A;  SCD    2d  O;  SCD    2OH

 d  B;  SCD  
 d  B;  SAD  
...


2. Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O
lên SM.

d  SA; BC 
 d  SA; CD 
 d  SB; CD 
 d  SB; AD 

d  SB; CD   d  SB;  SCD  
 d  B;  SCD    2d  O;  SCD    2OH

 ...

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 14 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
Bài toán 6
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi. O là giao điểm AC và BD. Hình chiếu của S
lên (ABCD) là H thuộc AB sao cho AH  2 BH

1. Tính thể tích khối chóp SABCD.


1
VSABCD  SH .S ABCD
3

2. Tính

d  H ;  SCD  
 d  A;  SCD  
 d  B;  SCD  

Gọi K là hình chiếu vuông góc của
H lên CD. J là hình chiếu vuông góc
của H lên SK.
d  H ;  SCD    HJ

 d  M ;  SCD  
M  AB

3. Tính

d  O;  SCD  

Gọi K là hình chiếu vuông góc của
H lên CD. J là hình chiếu vuông góc
của H lên SK.
d  O;  SCD   

Tổng đài tư vấn :


+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

1
1
d  B;  SCD    OH
2
2

- Trang | 15 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
Kẻ đường thẳng d qua D song HC.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của
H lên đường thẳng d. J là hình chiếu
vuông góc của H lên SK.

4. Tính
d  HC; SD 

d  HC; SD   d  HC;  SKD  
 d  H ;  SKD    HJ

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ

- Trang | 16 -