ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ
CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ HẠT NHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MÔ PHỎNG MẪU LỚP BẰNG PHƯƠNG PHÁP
SHELL MODEL MONTE CARLO (SMMC)

SVTH :

LÝ TÚ ANH

CBHD :

Th.S TRƯƠNG THỊ HỒNG LOAN
CN ĐẶNG NGUYÊN PHƯƠNG

CBPB :

PGS.TS. CHÂU VĂN TẠO

TP. HỒ CHÍ MINH - 2008


Lời cảm ơn
“Ở đời không có con đường cùng mà chỉ có những ranh giới điều cốt
yếu là phải có đủ sức mạnh để vượt qua những ranh giới đó.”

( Mùa lạc – Nguyễn Tuân)
Thật vậy! Thực hiện khóa luận này có thể nói là một ranh giới trong
cuộc đời của mỗi sinh viên. Để hoàn thành nó, mỗi chúng ta phải có “đủ sức
mạnh”. Nhưng để có đủ sức mạnh, ngoài nổ lực của bản thân mình, chính sự
tận tụy của thầy cô, sự yêu thương của gia đình, sự nhiệt tình của bè bạn mới
có thể giúp em có “ đủ sức mạnh”. Và đầu tiên em xin gửi lời tri ân đến các
thầy cô Bộ môn Vật lý Hạt nhân đặc biệt là Thạc só Trương thò Hồng Loan đã
hướng dẫn em hoàn thành tốt khóa luận này. Trong quá trình hoàn thành khóa
luận, đã vấp phải rất nhiều khó khăn. Do đó, em xin cám ơn người đã giúp cho
em rất nhiều để giải quyết các khó khăn đó: Cử nhân Đặng Nguyên Phương.
Tiếp theo, em xin gửi lời tri ân và vô cùng biết ơn đến ba má đã vất vả
cực khổ để em có thể đi học và trưởng thành như ngày hôm nay. Nếu như
không có sự vất vả, khổ cực ấy, em sẽ không có ngày hôm nay!
Cuối cùng là lời cảm ơn của em đối với tất cả người bạn của mình. Dù
vui hay buồn các bạn đều luôn ở bên mình, ủng hộ, chia sẻ cùng mình. Và điều
này đã góp phần không nhỏ để mình có thể hoàn thành khóa luận. Cám ơn các
bạn!


1

MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC ..................................................................................................................... 1
CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT .......................................................................................... 2
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ - BẢNG BIỂU ............................................ 3
LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................................ 4
Chương 1 TỔNG QUAN MẪU LỚP ............................................................................ 6
1.1

Mở đầu ............................................................................................................ 6
1.2
Mẫu lớp ........................................................................................................... 6
Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO CHO HẠT NHÂN
...................................................................................................................................... 15
2.1
Mở đầu .......................................................................................................... 15
2.2
Đònh nghóa phương pháp Monte Carlo......................................................... 15
2.3
Mô phỏng Monte Carlo cho hạt nhân .......................................................... 15
2.4
Một số phương pháp Monte Carlo ............................................................... 17
2.5
Phương pháp SMMC (Shell Model Monte Carlo)....................................... 21
Chương 3 MÔ PHỎNG MẪU LỚP ............................................................................ 27
3.1
Mở đầu .......................................................................................................... 27
3.2
Phép nghòch đảo ma trận .............................................................................. 27
3.3
Cách tính cho mẫu lớp .................................................................................. 30
3.4
Chương trình ..........................................................................................................43
3.5
Kết quả và nhận xét .............................................................................................44
KẾT LUẬN.................................................................................................................. 47
KIẾN NGHỊ ................................................................................................................. 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 48
Phụ lục 1 ...................................................................................................................... 50

Phụ lục 2 ...................................................................................................................... 62
Phụ lục 3 ...................................................................................................................... 63


2

CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT
AFMC

Phương pháp Auxiliary Field Monte Carlo.

DMC

Phương pháp Monte Carlo khuyếch tán.

GCMC Phương pháp Grand Canonical Monte Carlo.
GFMC

Phương pháp Green’s Fucntion Monte Carlo.

SMMC Phương pháp Shell Model Monte Carlo.
PIMC

Phương pháp Path Integral Monte Carlo.

PMC

Phương pháp Projector Monte Carlo.

QMCD Phương pháp Quantum Monte Carlo Diagonalization.

VMC

Phương pháp biến phân Monte Carlo.


3

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ - BẢNG BIỂU

Các hình vẽ
Trang
Hình 1.1 : Sơ đồ phân bố các lớp của các nucleon trong hạt nhân…………….13
Hình 2.1 : Sự giao thoa của các lớp trong hạt nhân…………………………….18
Hinh2.2

: So sánh đồ thò năng lượng liên kết theo số nguyên tử bằng các
phương pháp khác nhau LDA, DMC, HF và thực nghiệm…………....19

Hình 2.3 : Minh họa phương pháp GFMC bằng mô phỏng năng lượng ở
trạng thái cơ bản của một số hạt nhân………………………………...20
Hình 2.4 : Số yếu tố ma trận với các không gian mẫu khác nhau……………...26
Hình 3.1 : Minh họa những quỹ đạo của sơ đồ mẫu lớp………………………..32
Hinh 3.2 : Tương tác dư trong mẫu sơ đồ……………………………………….33
Hình 3.3 : Những đường đẳng trò của Hamiltonian đối với N=8, χ =0.25……...40
Hình 3.4 : Những đường đẳng trò Hamiltonian đối với N=8, χ =2.5……………41
HìnhPL2.1: Giao diện “Chương trình tính năng lượng bằng SMMC”……………63
HìnhPL2.2: Giao diện tính thử năng lượng của nhân He8 với số vòng lặp N=1000
……………………………………………………………………………………...64
Các bảng
Bảng 3.1 : So sánh kết quả thực nghiệm, SMMC, GFMC, và VMC…………...45


Các đồ thò
Đồ thò 3.1 : So sánh kết quả giữa thực nghiệm, SMMC, GFMC, và VMC……...46


4

LỜI MỞ ĐẦU
Ông bà ta có câu:
Nhân vô thập toàn.
Và liệu trong thế giới khoa học, trên bước đường chinh phục và làm chủ thế
giới ấy điều này có đúng không!
Chúng ta đều biết rằng trong thời đại hiện nay, với sự phát triển vượt trội và
không ngừng, dường như không có gì là không thể, nhân loại đã đạt được những
thành tựu to lớn về khoa học kỹ thuật. Tuy nhiên, bên cạnh đó, chúng ta vẫn đang
đối mặt những vấn đề nan giải đặc biệt là trong lĩnh vực vật lý hạt nhân. Trong lĩnh
vực này, điều khó khăn nhất hiện nay là xây dựng một lý thuyết hoàn chỉnh về cấu
trúc hạt nhân. Trong thời gian qua đã có nhiều mẫu cấu trúc ra đời, tuy nhiên,
chưa có một lý thuyết nào giải thích toàn diện và chính xác. Mỗi mẫu cấu trúc chỉ
giải thích được một số tính chất của hạt nhân hay nói cách khác là chúng bổ sung
cho nhau. Trong đó, Mẫu Lớp là giải thích được nhiều hiện tượng hạt nhân nhất.
Và việc nghiên cứu mẫu lớp trở nên được quan tâm hơn. Chính vì thế, nhiều
phương pháp để nghiên cứu mẫu lớp đã ra đời và ngày càng chính xác hơn. Một
trong những phương pháp đó là phương pháp mô phỏng Monte Carlo Mẫu Lớp
(Shell Model Monte Carlo – SMMC).
Phương pháp Monte Carlo Mẫu Lớp xuất phát từ phương pháp Monte Carlo
kết hợp với bài toán lượng tử hóa lần 2 (các toán tử sinh – hủy hạt). Phương pháp
này cũng đã đạt được những thành công đáng kể như giải cho các hệ nhiều hạt (C,
O, N,…), tính được năng lượng ở các trạng thái cơ bản và kích thích, tính được
moment từ của hạt nhân, … Các kết quả thu được khá phù hợp với thực nghiệm so

với các phương pháp khác. Việc thực hiện ít rườm rà, ít phức tạp hơn các phương


5

pháp hiện đại hiện nay như DMC, PIMC…. Đó cũng là lý do tại sao tác giả chọn
phương pháp này cho khóa luận của mình.
Khóa luận đã dùng phương pháp SMMC tính các mức năng lượng của hạt
nhân He4, He6, He8.
Khóa luận gồm 3 chương:
• Chương 1: Tổng quan mẫu lớp.
• Chương 2: Các phương pháp mô phỏng Monte Carlo cho hạt nhân.
• Chương 3: Mô phỏng mẫu lớp.
Do thời gian hoàn thành khóa luận có hạn cũng như sai sót là điều không
thể tránh khỏi, tác giả mong nhận được sự cảm thông và góp ý của quý thầy cô
giúp hoàn thiện hơn về đề tài này.


6

Chương 1
TỔNG QUAN MẪU LỚP
1.1 Mở đầu
Cho đến nay, mặc dù khoa học đã rất phát triển nhưng thế giới hạt nhân
vẫn còn là một thế giới đầy bí ẩn đối với chúng ta. Một trong những nỗ lực của
các nhà vật lý hiện nay là xây dựng một lý thuyết hoàn chỉnh để giải thích toàn
diện và đúng đắn tất cả số liệu thực nghiệm. Song đó vẫn còn là một giấc mơ!
Do đó, các mẫu hạt nhân lần lượt ra đời: mẫu tương tác mạnh (đại diện là mẫu
giọt chất lỏng), mẫu các hạt độc lập (điển hình là mẫu lớp), mẫu suy rộng (kết
hợp hai mẫu trên). Và chưa có mẫu nào giải thích toàn diện về hạt nhân. Nhưng

mẫu lớp vẫn là mô hình về cấu trúc hạt nhân được áp dụng để giải thích nhiều
hiện tượng hạt nhân nhất.
Mẫu lớp cũng chính là nội dung được trình bày trong phần này.
1.2 Mẫu lớp
1.2.1 Những biểu hiện tồn tại mẫu lớp trong hạt nhân. Nội dung mẫu lớp
1.2.1.1 Những biểu hiện tồn tại của mẫu lớp [1]
Thực nghiệm cho thấy năng lượng liên kết của các nhân có số neutron và
số proton trùng với các số: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 có những tính chất rất đặc biệt.
Các nhân này gọi là nhân magic. Chúng có các tính chất sau:
Năng lượng liên kết của các nhân magic lớn hơn so với các nhân bên cạnh.
Thực nghiệm cho thấy năng lượng liên kết của các nhân có số proton hay neutron
trùng với 3, 9, 21, 29, 51, 83 và 127 là đặc biệt nhỏ. Tức là nhân bên cạnh nhân
magic có năng lượng liên kết bé hơn nhiều so với nhân magic.


7

Tính bền vững của nhân magic thể hiện ở độ giàu cao của chúng trong tự
nhiên. Các nhân này tồn tại nhiều trên trái đất.
Tính bền vững cao của nhân magic còn thể hiện trong sự giảm tiết diện bắt
neutron. Xác suất chiếm neutron của các nhân magic là rất bé. Nghóa là các nhân
magic rất khó phản ứng bắt neutron khi bò chùm neutron đập vào.
Moment tứ cực điện của các nhân magic là nhỏ. Nghóa là các nhân magic
có cấu trúc đối xứng cầu, vì rằng độ lớn moment tứ cực điện đánh giá độ biến
dạng của nhân khỏi tính đối xứng cầu về phương diện điện tích.
Theo công thức bán thực nghiệm Weiszacker, năng lượng của α hạt phát ra
bởi những hạt nhân phóng xạ phải tăng theo bậc số Z. Nhưng trong thực tế, đã
phát hiện có trường hợp ngoại lệ cho quy luật này là hạt nhân polonium có Z=84
phát ra hạt α có năng lượng cao hơn năng lượng của hạt α được phát ra của hạt
nhân đi sau nó. Nói chung, những hạt α có năng lượng cao nhất được phát ra bởi

những hạt nhân phóng xạ có N=128; Z=84; N=84 để biến đổi thành hạt nhân có
N=126; Z=82; N=82.
1.2.1.2 Nội dung mẫu lớp [2]
Nội dung của mẫu lớp bao gồm:
• Mỗi nucleon trong nhân chuyển động trong một trường thế trung bình tự hợp
có tính đối xứng cầu (tạo ra bởi các nucleon còn lại).
• Các nucleon trong nhân được tập hợp thành nhóm theo các mức năng lượng.
Trên mỗi mức năng lượng chỉ có thể chứa một số giới hạn các nucleon.
• Các hạt nhân magic là các hạt nhân có số nucleon chiếm đầy một lớp nào đó.
1.2.2 Những phép tính với mẫu lớp
Mục tiêu của những tính toán trong mẫu lớp là tìm năng lượng và phổ năng
lượng của hạt nhân.
Trước tiên, ta sẽ tìm hiểu qua về đònh thức Slater[8]:


8

Trong cơ học lượng tử, đònh thức Slater là biểu thức miêu tả hàm sóng của
hệ fermion mà hệ này mang tính phản xứng và tuân theo nguyên lý ngoại trừ
Pauli tức khi mỗi cặp femion đổi chỗ hệ sẽ đổi dấu một lần. Nó được mang tên
của người khám phá ra nó, John C.Slater. Ơng đã tìm ra đònh thức Slater như là
phương tiện diễn đạt tính phản xứng của hàm sóng bằng ma trận. Đònh thức Slater
phát xuất từ việc ngoại suy hàm sóng của một tập hợp electron mà mỗi hàm sóng
được coi như là spin quỹ đạo χ(x) , x là vò trí và spin của electron đơn lẻ và không
có hàm sóng của 2 electron cùng spin quỹ đạo. (Nguyên lý ngoại trừ Pauli)
1.2.2.1 Đònh thức Slater trong trường hợp 2 hạt
Cách đơn giản nhất xấp xỉ hàm sóng của hệ nhiều hạt là tích của các hàm
sóng của các hạt độc lập. Đối với trường hợp 2 hạt ta có:
ψ(x1 , x 2 ) = χ 1 (x1 )χ 2 (x 2 )


(1.1)

Biểu thức này được gọi là tích Hatree. Tuy nhiên, nó không thoả cho hạt
fermion bởi hàm sóng trên không phản xứng. Một hàm sóng phản xứng được biểu
diễn một cách toán học như sau:
ψ(x 1 , x 2 ) = − ψ(x 2 , x 1 )

(1.2)

Vì vậy, tích Hatree không thoả nguyên lý ngoại trừ Pauli. Vấn đề này
được khắc phục bằng cách kết hợp tuyến tính cả 2 tích Hatree:
ψ(x 1 , x 2 ) =
=

1
2

{χ 1 (x 1 )χ 2 (x 2 ) − χ 1 (x 2 )χ 2 (x 1 )}

1 χ 1 (x 1 ) χ 2 (x 1 )
2 χ 1 (x 2 ) χ 2 (x 2 )

(1.3)

Hệ số trước đònh thức có được từ điều kiện chuẩn hoá. Hàm sóng này phản
xứng và hơn nữa phân biệt giữa các fermion. Tuy nhiên, nó cũng tiến về 0 nếu
hai hàm sóng hoặc hai fermion giống nhau. Điều này thoả mãn nguyên lý ngoại
trừ Pauli.



9

1.2.2.2 Đònh thức Slater trong trường hợp tổng quát
Biểu thức này có thể được tổng quát hoá đối với số fermion bất kỳ bằng
cách viết nó dưới dạng đònh thức.

ψ(x 1 , x 2 ,..., x N ) =

χ 1 (x 1 ) χ 2 (x 1 ) L χ n (x 1 )
1 χ 1 (x 2 ) χ 2 (x 2 ) L χ n (x 2 )
M
M
N! M
χ 1 (x n ) χ 2 (x n ) L χ n (x n )

(1.4)

Kết hợp tuyến tính các tích Hatree trong trường hợp hai hạt, dễ dàng thấy
được đó chính là đònh thức Slater khi N=2. Ta có thể chắc chắn rằng việc sử dụng
đònh thức Slater thoả các hàm sóng trên mọi tập hợp, còn các hàm sóng đối xứng
tự khắc được loại bỏ. Tương tự, các đònh thức này cũng thoả nguyên lý Pauli.
Thực vậy, đònh thức Slater sẽ biến mất nếu tập hợp {χ i } là độc lập tuyến tính.
Đây chính là trường hợp có hai hay nhiều hơn spin quỹ đạo giống nhau. Trong
hoá học, người ta diễn đạt điều này như sau: trong cùng một trạng thái không có
2 electron cùng spin quỹ đạo. Tổng quát đònh thức Slater được tính bằng khai
triển Laplace. Theo toán học, đònh thức Slater là một tensor phản xứng.
Đònh thức Slater đơn được dùng xấp xỉ hàm sóng electron trong thuyết
Hatree-Fock. Trong những thuyết chính xác hơn, sự kết hợp tuyến tính các đònh
thức Slater là điều cần thiết.
Tiếp theo, ta sẽ trình bày cách tìm năng lượng và phổ năng lượng trong hạt

nhân. Ta có thể làm điều này bằng cách giải phương trình Schrodinger hoặc
lượng tử hoá lần ΙΙ.


10

1.2.2.3 Giải phương trình Schrodinger (lượng tử hoá lần Ι)
Ta giải phương trình Schrodinger như sau:
ˆ φ = Eφ
H

Ta có phương trình:

(1.5)

Hamiltonian có dạng:
2
A
A
ˆ = ∑ pˆ k + ∑ W (ξ , ξ )
H
k
l
k =1 2m k
k
Với
Trong đó:

(1.6)

r r r
ξ k ≡ {rk , σ k , τ k }
pˆ k = −ih∇ k

(1.7)

ξ k : Vị trí hạt thứ k.
r
rk : Bán kính hạt thứ k;
r
σ k : Spin của hạt thứ k;
r
τ k : Iso spin của hạt thứ k.
pˆ k : Xung lượng hạt thứ k

W (ξ k , ξ l ) : Thế tương tác theo vò trí giữa hạt thứ k và thứ l .

Ta sẽ biến đổi toán tử trên thành 2 yếu tố: trường trung bình và tương tác dư
2
A
A
A
ˆ = ∑ ⎡ pˆ k + V(ξ )⎤ + ⎡∑ W (ξ , ξ ) − ∑ V(ξ )⎤
H
l
k ⎥
k
k ⎥
⎢

⎢
k =1 ⎣ 2m k
k =1
⎦
⎦ ⎣ k
[6]

(1.8)

Với giả thiết các hạt độc lập, chọn V phù hợp và loại bỏ tương tác dư ta có:
2
A
ˆ ≈ ∑ ⎡ pˆ k + V(ξ )⎤
H
k ⎥
⎢
k =1 ⎣ 2m k
⎦

(1.9)

Từ đây, ta có phương trình Schrodinger đối với một hạt:
[

pˆ 2k
+ V(ξ k )]φi (k) = E i φi (k)
2m k
r r r

với φi (k ) ≡ φi ( rk , σ k , τ k )

(1.10)
(1.11)


11

Do các hạt độc lập ta có:
Φ i 1 i 2 K i A (1,2, K , A ) =

A

∏ φ (k )
ik

k =1

(1.12)

Suy ra phương trình Schrodinger cho hệ nhiều hạt:
⎛ A
⎞
ˆΦ
(
)
=
H
1,2,
K

,
A
⎜ ∑ E i k ⎟Φi1i 2 Ki A (1,2,K, A )
i1i 2 Ki A
⎝ k =1
⎠

(1.13)

Các nucleon được xem như là các hạt fermion do đó hàm sóng biểu diễn
nó là hàm sóng phản xứng tức Φi i

1 2 Ki A

(1,2,K, A ) là phản xứng, và có dạng đònh

thức Slater như sau:
φi1 (1) φi1 (2)
1 φi 2 (1) φi 2 (2)
Φi1i 2...i A (1,2,..., A) =
M
A! M
φi A (1) φi A (2)

K φi1 (A )
K φi 2 (A )
O
M
K φi A (A )

(1. 14)

Công việc còn lại là ta chọn thế V phù hợp và đưa vào phương trình giải.
Chọn

V(ξ k ) =

r r
r
1
mω 2 rk2 − ζ ls l k . s − ζ ll l k2 [6]
2

r r
⎤
⎡ pˆ 2k 1
+ mω 2 rk2 − ζ ls l k . s k − ζ ll l 2k ⎥
2
k =1 ⎣ 2m
⎦
A

Lúc này: Hˆ ≈ ∑ ⎢
Với

ω : hằng số dao động điều hoà

ζ ls : đặc trưng tương tác spin_quỹ đạo
ζ ll : đặc trưng tương tác quỹ đạo_quỹ đạo

( 3 hệ số này được chọn tốt nhất bằng xấp xỉ Hartree-Fock)

(1.15)
(1.16)


12

Với thế trên, ta có phổ năng lượng như sau:

Dao động điều hoà

Hình 1.1[6]: Sơ đồ phân bố các lớp của các nucleon trong hạt nhân


13

Các thông số [6]:

−

1

−

2

ζ ls h 2 ≈ 20A 3 MeV

hω ≈ 41A 3 MeV

ζ ll h 2 ≈ 0.1MeV

Ta được các số magic: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, …
1.2.2.4 Lượng tử hoá lần ΙΙ[5]
Gọi aα+ và aα lần lượt là toán tử sinh và huỷ hạt ở trạng thái α, có dạng ma
trận:
⎛0 1⎞
⎟⎟
aα = ⎜⎜
⎝0 0⎠

⎛0 0⎞
⎟⎟
aα+ = ⎜⎜
⎝1 0⎠

(1.17)

Như ta đã biết mỗi trạng thái hạt nhân được đặc trưng bởi các số lượng tử
ljm (l: moment góc quỹ đạo; j: moment góc toàn phần; m: hình chiếu của j trên
trục z), ở đây ta dùng α để thay thế cho bộ ljm. Một số trường hợp ta còn xét cả
isospin τ khi xét đến trạng thái của hạt tức lúc này α ≡ ljmτ.
Có thể viết Hamintonian dưới dạng: Hˆ = Hˆ1 + Hˆ 2

(1.18)

ˆ = ∑ ε a +a
H
1

α α α

(1.19)

ˆ = 1 ∑ V a +a +a a
H
2
αβγδ α β δ γ
2 αβγδ

(1.20)

α

Vαβγδ : yếu tố ma trận không tạo cặp của tương tác 2 hạt.

Để bảo đảm tính bảo toàn sự quay và cấu trúc lớp, người ta đã viết lại
Hamiltonian 2 hạt như sau:
ˆ + (ab)A
ˆ (cd)
ˆ = 1 ∑∑ V (ab, cd)∑ A
H
2
J
JM
JM
2 abcd J
M

=

1
ˆ + (ab)A
ˆ (cd)
A
∑∑ [(1 + δ ab )(1 + δ cd )]1/2 VJA (ab, cd)∑
JM
JM
4 abcd J
M

(1.21)

Tổng trên được lấy theo tất cả quỹ đạo đơn hạt của proton và nơtron (được
ký hiệu bởi a, b, c, d) với các toán tử sinh và huỷ hạt như sau:
ˆ + (ab) =
A
JM

∑(j m
a

ma mb

j m b JM)a +jb m b a +ja m a = −[a +ja × a +jb ]JM

a b

(1.22)

14

ˆ (ab) =
A
JM

∑(j m
a

(1.23)

j m b JM)a ja m a a jb m b = [a ja × a jb ]JM

a b

ma mb

Còn VJ (ab, cd) là yếu tố ma trận moment góc tạo cặp của thế vô hướng
r r
V( r1 , r2 ) , được xác đònh như sau:

[

]

[

]

r
r JM r r
r
r JM
VJ (ab, cd) = ψ ja ( r1 ) × ψ jb ( r2 ) V( r1 , r2 ) ψ jc ( r1 ) × ψ jd ( r2 )

(1.24)

Trong trường hợp 2 hạt phản đối xứng VJ (ab, cd) ≡ VJA (ab, cd) được xác đònh
như sau:
VJA (ab, cd) = [(1 + δ ab )(1 + δ cd )]

−1/2

[V (ab, cd) − (−1)
J

jc + j d − J

VJ (ab, cd)

]

(1.25)

r r

Việc còn lại nếu ta xác đònh được thế vô hướng V( r1 , r2 ) thì vấn đề được
giải quyết.
1.2.2.5 Tóm lại

Mục tiêu cuối cùng của các mẫu cấu trúc hạt nhân nói chung và của mẫu
lớp nói riêng là xác đònh năng lượng và phân bố năng lượng của các trạng thái
năng lượng trong hạt nhân.
Trong mẫu lớp muốn xác đònh điều đó, ta cần phải biết thế tương tác giữa
các nucleon trong hạt nhân. Và cho đến bây giờ vẫn chưa có một thế tương tác
nào chính xác cả, ta chỉ có thể xác đònh nó sao cho phù hợp nhất.


15

Chương 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG
MONTE CARLO CHO HẠT NHÂN
2.1 Mở đầu
Như vậy, ở chương 1, chúng ta đã tìm hiểu một cách tổng quan về mẫu lớp.
Trong chương này, chúng ta sẽ được giới thiệu các phương pháp mô phỏng Monte
Carlo, đặc biệt là phương pháp SMMC (Shell Model Monte Carlo) sẽ được trình
bày kỹ ở phần này vì nó sẽ là kỹ thuật được dùng cho chương trình mô phỏng của
ta.
2.2 Đònh nghóa phương pháp Monte Carlo
Phương pháp mô phỏng Monte Carlo hay phương pháp thử thống kê bao
gồm việc giải các bài toán khác nhau bằng máy tính dựa vào các quá trình ngẫu
nhiên của mỗi bài toán. Tham số của quá trình tương ứng với đại lượng cần đo
của bài toán. Các đại lượng được xác đònh một cách gần đúng dựa vào việc quan
sát các quá trình ngẫu nhiên và tính các đặc trưng thống kê của chúng.
Tên gọi “mô phỏng Monte Carlo” xuất hiện từ thế chiến thứ hai, khi mà
phương pháp được áp dụng trong các vấn đề có liên quan đến kế hoạch phát triển
bom nguyên tử. Ngày nay, mô phỏng Monte Carlo được áp dụng rộng rãi để giải
quyết các bài toán thống kê khi mà không thể dùng các phương pháp giải tích
thông thường.

2.3 Mô phỏng Monte Carlo cho hạt nhân
Trong suốt 10 năm qua các phương pháp Monte Carlo đã được sử dụng
thành công trong nghiên cứu cho các hạt nhân nhẹ. Các nghiên cứu này không chỉ
bao gồm phổ năng lượng hạt nhân mà còn có cả các thừa số dạng trong tán xạ


16

đàn hồi và không đàn hồi, các tương quan ở trạng thái cơ bản, tán xạ năng lượng
thấp, các phản ứng bắt, và thay đổi của hạt nhân với sự thay đổi của các tác nhân
bên ngoài.
Nói chung, có một sự phù hợp tốt giữa lý thuyết và thực nghiệm. Tuy
nhiên còn rất nhiều vấn đề vẫn chưa được giải quyết. Những vấn đề này bao gồm
phổ năng lượng của các đồng vò giàu neutron, và các hạt nhân tách mức L.S
(Xem hình 2.1: Sự giao thoa của các lớp trong hạt nhân) . Một trong những lónh
vực nghiên cứu quan trọng trong tương lai là nghiên cứu tương tác ba nucleon và
các hiệu ứng tương đối trong các hạt nhân nhẹ, thành công đạt được sẽ cung cấp
một bức tranh hoàn chỉnh hơn về phổ năng lượng. Một ứng dụng quan trọng nữa
là các phản ứng neutrino mặt trời, sự vi phạm tính chẵn lẻ trong tương tác yếu
thông qua phản ứng giữa các nucleon.
Tất nhiên những hệ lớn hơn cũng rất cần được quan tâm. Carbon và oxi là
khá quan trọng bởi vì cả hai đều có những kết quả thực nghiệm đáng chú ý và
đồng thời chúng cũng có các cấu trúc và phổ phức tạp cần được nghiên cứu. Cũng
có một sự quan tâm đến tính chất của chất hạt nhân, ở cả nhiệt độ không lẫn
nhiệt độ xác đònh. Sự đáp ứng của chất hạt nhân đối với các tác nhân bên ngoài
cũng rất là quan trọng đối với vật lý thiên văn và trong khuôn khổ của vật lý hạt
nhân. Các tính toán vi mô cho các hạt nhân lớn và vật chất với tương tác thực vẫn
còn là một thách thức với lý thuyết nhiều hạt.

17

Hình 2.1: Sự giao thoa của các lớp trong hạt nhân
2.4 Một số phương pháp Monte Carlo
2.4.1 Phương pháp biến phân Monte Carlo (Variational Monte Carlo)[9]
Phương pháp biến phân Monte Carlo (VMC) là một phương pháp Monte
Carlo lượng tử, dùng biến phân để tính trạng thái cơ bản của hệ.
Đại lượng cần tính được viết như sau:
ψ(a) H ψ(a)
=
ψ(a) ψ(a)

∫ ψ(X, a)

2

Hψ (X, a)
dX
ψ(X, a)
2

∫ ψ(X, a) dX

(2.1)


18

Trong đó,

ψ(X, a)
2

2

∫ ψ(X, a) dX

là hàm phân bố xác suất, X là bán kính tương tác

giữa các hạt, a là tham số. Công thức trên là trung bình của hàm local

Hψ (X, a)
ψ(X, a)

cũng chính là năng lượng của hệ ở trạng thái cơ bản.
VMC không khác so với bất kỳ phương pháp biến phân nào, ngoại trừ vì
tính toán tích phân rất nhiều biến số mà điều này dẫn đến độ phức tạp lớn.
2.4.2 Phương pháp Monte Carlo khuếch tán (Diffusion Monte Carlo)[10]
Phương pháp Monte Carlo khuyếch tán(DMC) là một phương pháp Monte
Carlo lượng tử mà phương pháp này dùng hàm Green để giải phương trình
Schrodinger. DMC có thể tính chính xác năng lượng ở trạng thái cơ bản với một
sai số cho trước cho hệ lượng tử bất kỳ. Người ta thấy rằng đối với hạt boson,
dạng toán học biểu diễn hệ là hàm đa thức còn đối với hạt fermion, biểu diễn cho
hệ là hàm mũ.

Hình 2.2: So sánh đồ thò năng lượng liên kết theo số nguyên tử bằng các
phương pháp khác nhau LDA, DMC, HF và thực nghiệm.


19

Từ đồ thò, ta thấy phương pháp DMC cho kết quả gần thực nghiệm hơn hẳn
các phương pháp khác( như LDA, DMC, HF).
2.4.3 Green’s Function Monte Carlo[14]
Green’s fucntion Monte Carlo (GFMC) là phương pháp kết hợp giữa hàm
Green và Monte Carlo.

Hình 2.3: Minh hoạ phương pháp GFMC bằng mô phỏng năng lượng ở trạng thái
cơ bản của một số hạt nhân. GFMC cho kết quả chính xác hơn VMC
2.4.4 Projector Monte Carlo
Phương pháp projector Monte Carlo (PMC) dựa trên đại lượng chủ yếu
β (nghòch đảo nhiệt độ), e −βH có thể được dùng để thiết lập các trạng thái riêng

của H bằng trò riêng nhỏ nhất. Nếu E là trò riêng nhỏ nhất của H, ta có:
e −βH = lim
β→∞

r e − (β + Δβ )H φ
r e −βH φ

Trong đó, r và φ là những trạng thái phụ không điều hoà.

(2.2)


20

2.4.5 Path Integral Monte Carlo[11]
Phương pháp Path Integral (PIMC) là một phương pháp mô phỏng phổ
biến. Phương pháp này dựa trên công thức Feynamn về tích phân từng phần của

cơ học lượng tử.
Tại một nhiệt độ xác đònh, tính cân bằng của hệ lượng tử được xác đònh
bằng toán tử mật độ ρˆ :
ρˆ = e −βH ,

(2.3)

ˆ

Ở đây, β =

1
là nhiệt độ đảo.
k bT

Giá trò quan tâm của toán tử Οˆ tại cân bằng là:

( )
(
ở đây, Z = Tr (e ) .

ˆ = Z−1Tr pˆΟ
ˆ = Z−1Tr Ο
ˆ e −βHˆ
Ο

)

ˆ
− βH

(2.4)
(2.5)

Phương pháp PIMC luôn được bổ sung đặc trưng không gian R = rˆ1 ,rˆ 2 ,..... ,
và toán tử mật độ được viết dưới dạng:
ˆ

ρˆ (R, R' ; β) = R e −βH R'

(2.6)

Trong đó, ρˆ (R, R' ; β) dương và có thể hiểu như là xác suất.
2.4.6 Auxiliary Field Monte Carlo[12]
Phương pháp Auxililary Field MonteCarlo (AFMC) là một phương pháp
tính toán trò trung bình của các toán tử mô tả hệ nhiều hạt trong cơ học lượng tử
bằng kỹ thuật Monte Carlo. Điểm phân biệt của phương pháp này là tương tác
trong trường phụ được biểu diễn bằng phép chuyển biến Hubbard-Stratonovich.
Khi phép chuyển biến này được thực hiện, bài toán nhiều hạt được đưa về phép
tính tổng trên mọi cấu hình có thể của trường phụ.


21

2.4.7 Grand Canonical Monte Carlo
Phương pháp Grand Canonical Monte Carlo (GCMC) là một kỹ thuật mô
phỏng dựa trên một dãy những trạng thái cân bằng từ những phân bố xác suất
bằng cách sử dụng tiến trình Markov hay lấy mẫu ngẫu nhiên.
2.4.8 Quantum Monte Carlo Diagonalization[13]
QMCD ra đời trên sự kết hợp hiệu quả của phương pháp Monte Carlo

lượng tử và việc chéo hoá ma trận Hamiltonian. Thêm vào đó, hình chiếu
moment góc được đưa vào để làm dòch chuyển lại sự suy biến của số lượng tử từ.
Ngoài ra sự hội tụ của những trò riêng được cải thiện và hàm sóng của những
trạng thái kích thích có thể được tính dễ dàng hơn. Hơn nữa, việc tính toán sự dòch
chuyển của các yếu tố ma trận trở nên đơn giản hơn.
2.4.9 Shell Model Monte Carlo
Phương pháp Shell Model Monte Carlo sẽ nói rõ hơn ở phần sau.
2.5 Phương pháp SMMC (Shell Model Monte Carlo)[7]
2.5.1 Cơ sở đơn hạt
Ta sẽ dùng cơ sở đơn hạt spin quỹ đạo của khối cầu cho SMMC:
nl ⊗ (ls ) jm ⊗ τm τ ≡ nl ⊗ jmm τ ≡ α

(2.7)

Trong công thức trên, ta có moment góc l và spin s=1/2 được kết hợp từ
moment tổng j và hình chiếu m trên trục z, n là số lượng tử bán kính (lượng tử
chính), τ là isospin và hình chiếu của nó m τ , phân biệt giữa neutron và proton.


22

2.5.2 Những đại lượng tính toán và Hamiltonian toàn phương
Ta chỉ xét các Hamiltonian là những toán tử một hạt và hai hạt. Những
Hamiltonian này có thể viết dưới dạng toàn phương như sau:
ˆ = ∑ ε a +a + 1 ∑ V ρ
H
αβ α β
i i
2 i
αβ

(2.8)

với ρi = ∑ ciαβ a α+ a β

(2.9)

αβ

Trong đó, ciαβ là những hệ số, ε αβ là yếu tố ma trận một hạt, còn Vi đóng
vai trò là thế tương tác giữa hai hạt.
Kỹ thuật SMMC có thể giúp ta tính các đại lượng chuẩn của toán tử X tại
một nhiệt độ T cho trước:
X =

Tr(UX)
Tr(U)

(2.10)

Trong đó, U = exp(−βHˆ) là toán tử mật độ chuẩn với β = (T) −1 và vết được
xác đònh như sau:
Tr(X) ≡ ∑ i X i

(2.11)

i

Ở đây, i ký hiệu cho một cơ sở hoàn chỉnh, ví dụ như đònh thức Slater
biểu diễn cho các trạng thái đơn hạt với số lượng tử từ toàn phần cho trước

M = ∑ m α và số lượng tử isospin toàn phần cho trước M t = ∑ m tα . Tổng này chạy
α

α

trên tất cả mọi trạng thái với số nucleon xác đònh( kể cả số hình chiếu). Trong
giới hạn nhiệt độ thấp ( β → ∞ ), vết chuẩn làm giảm các đại lượng ở trạng thái cơ
bản.
2.5.3 Phép biến đổi Hubbard - Stratonovich
Phép biến đổi toán tử U = exp(−βHˆ) bằng cách chuyển nó về siêu vò trí ở vô
cực cho việc tính toán một hạt dễ xử lý hơn, tức mỗi chuyển động trong trường
nội phụ thuộc thời gian khác nhau, là một phương tiện để khắc phục việc tính


23

toán nhiều hạt khó khăn. Quy luật này mang tên của những người đã nghó ra nó:
Hubbard - Stratonovich.
Bây giờ ta nghiên cứu Hamiltonian cơ sở được cho như sau:
ˆ = ερ + 1 Vρρ
H
2

(2.12)

Trong đó, ρ là toán tử mật độ, V là thế tương tác hai hạt, và ε là năng
lượng đơn hạt. Người ta thấy rằng khó khăn tăng lên nếu thế tương tác có dạng
bậc 2 theo ρ nhưng ở đây với toán tử ρ tuyến tính thì dễ xử lý hơn.
Để tuyến tính hoá, ta dùng đồng nhất thức Gaussian:
ˆ

e − βH =

βV
2π

∞

1
− β V σ2
2

∫ dσσ

e −βh σ

(2.13)

−∞

σ là số cho trước trong trường dao động phù hợp với toán tử một hạt:

h σ = ερ + sVσ ρ

(2.14)

Với s là pha phụ.( s=1 khi V<0, s=i khi V>0).
Bây giờ ta có thể rút ra phép tính nhiều hạt bằng cách tích phân (lấy tổng)
các phép tính toán tử một hạt U = exp(−βHˆ) .
Để giản đồ này có thể ứng dụng cho những Hamiltonian quan tâm, ta có

thể tổng quát nó về dạng của những toán tử khác nhau. Khi chỉ một toán tử xuất
hiện trong Hamiltonian thuộc giản đồ thì mọi yếu tố sẽ được tính. Đối với những
Hamiltonian thực, ta tìm thấy nhiều toán tử mật độ ρi không giao hoán, nhưng nó
có thể đưa thành phần hai hạt thành dạng chéo. Khi toán tử thời gian ảo ρi của
ρ α được tính ở một nhiệt độ cho trước như sau:
a jm = (−) j+ m a j− m và a +jm = (−) j+ m a +j- m

(2.15)

Tổng quát ta có thể viết Hˆ ở dạng bất biến thời gian ảo:
ˆ = ∑ (ε* ρ + ε ρ ) + 1 ∑ V (ρ ρ + ρ ρ )
H
α α
α α
i
i i
i i
2 i
α

(2.16)