2. Sơ lược về cách sử dụng máy
2.1. Một số kiến thức về máy tính điện tử
Để đọc và hiểu kinh nghiệm này đối với giáo viên phải
biết sử dụng tương đối thành thạo máy tính Casio fx - 500 MS
hoặc Casio fx – 570 MS.
Giáo viên có thể tìm hiểu chức năng của các phím trong sách
hướng dẫn đi kèm máy tính khi mua. Sau đây là một số phím
chức năng mà tôi sử dụng trong kinh nghiệm này:
Mỗi một phím có một số chức năng. Muốn lấy chức năng
của chữ ghi màu vàng thì phải ấn phím SHIFT rồi ấn phím
đó. Muốn lấy chức năng của phím ghi chữ màu đỏ thì phải ấn
phím ALPHA trước khi ấn phím đó.
Các phím nhớ: A B C D E F X Y M (chữ màu đỏ)
Để gán một giá trị nào đó vào một phím nhớ đã nêu ở
trên ta ấn như sau:
Ví dụ: Gán số 5 vào phím nhớ B :
Máy tính Casio fx - 500 MS
Bấm 5 SHIFT STO B
Khi gán một số mới và phím nhớ nào đó, thì số nhớ cũ trong phím đó bị mất
đi và số nhớ mới được thay thế.
Chẳng hạn ấn tiếp: 14 SHIFT STO B thì số nhớ cũ là
5 trong B bị đẩy ra, số nhớ trong B lúc này là 14.
Để lấy số nhớ trong ô nhớ ra ta sử dụng phím ALPHA
Ví dụ: 34 SHIFT STO A (nhớ số 34 vào phím A
Bấm 24 SHIFT STO C (nhớ số 24 vào phím C
Bấm tiếp: ALPHA A + ALPHA C = (Máy lấy 34 trong
A cộng với 24 trong C được kết quả là 58).
Phím lặp lại một quy trình nào đó:
∆ = đối với máy tính Casio fx - 500 MS
∆ SHIFT COPY đối với máy tính Casio fx – 570 MS.

Ô nhớ tạm thời: Ans
Ví dụ: Bấm 8 = thì số 8 được gán vào trong ô nhớ Ans .
Bấm tiếp: 5 × 6 + Ans = (kết quả là 38)
Giải thích: Máy lấy 5 nhân với 6 rồi cộng với 8 trong Ans
Máy tính Casio fx - 500 MS
(Máy CASIO F(x)-500&570ES cũng có công dụng
tương tự như hai loại máy trên, song nó có thêm một
số ưu việt hơn trong tính toán)

Máy
Máytính
tínhCasio
Casiofxfx- -500
500MS
MS


2.2 Các phím chức năng trên máy
2.2.1. Phím chức năng chung
Phím
Chức năng
On
Mở máy
Shift off
Tắt máy
Di chuyển con trỏ đến vị trí dữ liệu
∆
<

>

∇

Nhập các số từ 0;…;9
0; 1; 2…; 9
Nhập dấu ngăn cách phần nguyên, phần phân của số TP
.
Nhập các phép toán
+;-;x;÷;=
Xóa hết dữ liệu trên máy tính (không xóa trên bộ nhớ)
AC
DEL
Xóa kí tự nhập
(-)
Nhập dấu trừ của số nguyên âm
CLR
Xóa màn hình
2.2.2. Khối phím nhớ
Phím
Chức năng
STO
Gán, ghi váo ô nhớ
RCL
A, B , C , D,

Gọi số ghi trong ô nhớ
Các ô nhớ

E, F, X ,Y, M
M+


Cộng thêm vào ô nhớ M

M−

Trừ bớt từ ô nhớ

2.2.3. Khối phím đặc biệt
Phím
Chức năng
Di chuyển sang kênh chữ vàng
Shift
Alpha

Di chuyển sang kênh chữ đỏ

Mode

Ấn định kiểu,trạng thái,loại hình tính,loại đơn vị đo
Mở, đóng ngoặc

(

)
EXP
Π
o

'"

DRG

nCr

Nhân với lũy thừa 10 với số mũ nguyên
Nhập số pi
Nhập hoặc đọc độ, phút, giây, chuyển sang chế độ thập phân
Chuyển đổi giữa độ, Radian, grad
Tính tổ hợp chập r của n


nCr =

n!
n !( n − r )!

Tính chỉnh hợp chập r của n

n Pr

n Pr =

n!
(n − r )!

2.2.4. Khối phím hàm
Phím
Chức năng
Tính tỉ số lượng giác của một góc
sin −1 , cos-1 , tan -1
Tính góc khi biết tỉ số lượng giác
Hàm mũ cơ số 10, cơ số e

10 x , e x
Bình phương, lập phương của x

x 2 , x3
,

3

,

x

Căn bậc hai, căn bậc 3, căn bậc x

x -1

Nghịch đảo của x

∧

Mũ
Tính giai thừa của x
Tính phần trăm
Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số, đổi phân số, hỗn số ra số
thập phân hoặc ngược lại
Đổi hỗn số ra phân số và ngược lại
Chuyển kết quả ra dạng a.10n với n giảm dần
Chuyển kết quả ra dạng a.10n với n tăng

x!

%
ab / c
d /c
ENG
suuuu
ENG
RAN ≠

Nhập số ngẫu nhiên

2.2.5. Khối phím thống kê
Phím
Chức năng
Nhập dữ liệu xem kết quả
DT
S − Sum

S − VAR

CALC

Tính ∑ x tổng bình phương của các biến lượng
∑ x tổng các biến lượng
∑ n tổng tần số
Tính: x giá trị trung bình cộng của các biến lượng
σ n độ lệch tiêu chuẩn theo n
σ n −1 độ lệch tiêu chuẩn theo n-1
Tính giá trị của biểu thức tại các giá trị của biến
2


3. Các thao tác sử dụng máy
3.1. Thao tác chọn kiểu


Phím
Mode 1
Mode 2
Mode Mode 1

Mode Mode Mode 1
Mode Mode Mode 2
Mode Mode Mode 3
Mode Mode Mode Mode 1
Mode Mode Mode Mode 2
Mode Mode Mode Mode 3
Mode Mode Mode Mode Mode 1
Mode Mode Mode Mode Mode 1 >

Chức năng
Kiểu Comp: Tính toán cơ bản thông
thường
Kiểu SD: Giải bài toán thống kê
Kiểu ENQ: Tìm ẩn số
1) Unknows? (số ẩn của hệ phương
trình)
+ Ấn 2 vào chương trình giải hệ
PT bậc nhất 2 ẩn
+ Ấn 3 vào chương trình giải hệ
PT bậc nhất 3 ẩn
2) Degree (số bậc của PT)

+ Ấn 2 vào chương trình giải PT
bậc t 2
+ Ấn 3 vào chương trình giải PT
bậc nhất 3
Kiểu Deg: Trạng thái đơn vị đo góc là
độ
Kiểu Rad: Trạng thái đơn vị đo góc là
radian
Kiểu Grad: Trạng thái đơn vị đo góc là
grad
Kiểu Fix: Chọn chữ số thập phân từ 0
đến 9
Kiểu Sci: Chọn chữ số có nghĩa ghi ở
dạng a.10n (0; 1; …;9)
Kiểu Norm: Ấn 1 hoặc 2 thay đổi dạng
kết quả thông thường hay khoa học.
Kiểu ab/c; d/c: Hiện kết quả dạng phân
số hay hỗn số
Kiểu Dot, Comma: chọn dấu ngăn cách
phần nguyên, phần thập phân; ngăn
cách phân định nhóm 3 chữ số.

3.2. Thao tác nhập xóa biểu thức
- Màn hình tối đa 79 kí tự, không quá 36 cặp dấu ngoặc.
- Viết biểu thức trên giấy như bấm phím hiện trên màn hình.
- Thứ tự thực hiện phép tính:
{ [ ( ) ] }  lũy thừa  Phép toán trong căn nhân  nhân  chia 
cộng  trừ.



3.3.
-

Nhập các biểu thức
Biểu thức dưới dấu căn thì nhập hàm căn trước, biểu thức dưới dấu căn sau
Lũy thừa: Cơ số nhập trước rồi đến kí hiệu lũy thừa.
Đối với các hàm: x2; x3; x-1; o ' " ; nhập giá trị đối số trước rồi phím hàm.
Đối với các hàm
; 3 ; cx; 10x; sin; cos; tg; sin-1; cos-1; tg-1 nhập hàm trước
rồi nhập các giá trị đối số.
- Các hằng số: π; e, Ran, ≠ và các biến nhớ sử dụng trực tiếp.
- Với hàm x nhập chỉ số x trước rồi hàm rồi biểu thức.
VD: 4 20 → 4

20

x

- Có thể nhập: x a n = a

n
x

4 2
VD: Tính 4 → Ấn: 4
2

x2 =

4


1

Hoặc 4 42 = 4 4 = 4 2 =>Ấn: 4

∧

( 1 : 2 )

=

3.4. Thao tác xóa, sửa biểu thức
- Dùng phím

<

hay

để di chuyển con trỏ đến chỗ cần chỉnh.

>

- Ấn Del để xóa kí tự dạng nhấp nháy (có con trỏ).
- Ấn Shift Ins con trỏ trở thành

(trạng thái chèn) và chèn thêm trước kí tự

đang nhấp nháy. Khi ấn Del , kí tự trước con trỏ bị xóa.
- Ấn Shift Ins


lần nữa hoặc = ta được trạng thái bình thường (thoát trạng thái

chèn).
- Hiện lại biểu thức tính:
+ Sau mỗi lần tính toán máy lưu biểu thức và kết quả vào bộ nhớ. Ấn
màn hình cũ hiện lại, ấn

V

, màn hình cũ trước hiện lại.

+ Khi màn hình cũ hiện lại ta dùng
+ Ấn

>

V

>

hoặc

<

để chỉnh sửa và tính lại.

, con trỏ hiện ở dòng biểu thức.

+ Ấn AC màn hình không bị xóa trong bộ nhớ.
+ Bộ nhớ màn hình bị xóa khi:

. Ấn On
. Lập lại Mode và cài đặt ban đầu ( Shift Clr 2 = ).
. Đổi Mode.
. Tắt máy.
- Nối kết nhiều biểu thức
Dùng dấu “:” ( Anpha : ) để nối hai biểu thức tính.


VD: Tính 2 + 3 và lấy kết quả nhân 4.
Ấn: 2 + 3 Ans x 4

=
=

3.5. Thao tác với phím nhớ.
3.5.1. Gán giá trị vào biểu thức.
- Nhập giá trị.
- Ấn: Shift STO biến cần gán.
VD: 5 Shift STO A
- Cách gọi giá trị từ biến nhớ
+ Cách 1: RCL + Biến nhớ
+ Cách 2: RCL + Biến nhớ
- Có thể sử dụng biến nhớ để tính toán.
VD: Tính giá trị biểu thức x5 + 3x4 + 2x2 +3 với x =35.
Thực hành: Gán 35 vào biến X.
Ấn 35 Shift STO X
Anpha X

∧


5 + 3

x Anpha

X

∧

4 + 2 x Anpha X

∧

2 + 3

3.5.2. Xóa biến nhớ
0 Shift STO biến nhớ.
Mỗi khi ấn = thì giá trị vừa nhập hay kết quả của biểu thức được tự
động gán vào phím Ans
- Kết quả sau “=” có thể sử dụng trong phép tính kế tiếp.
- Dùng trong các hàm x2, x3, x-1,x!, +,-, …
4. Lí thuyết và các dạng bài tập cơ bản
Chú ý: Đối với các bài tập hình học, ta cần có cái nhìn tổng quát để tìm ra
mối liên hệ giữa từng phần, sau đó sẽ thiết kế qui trình ấn phím tính toán để
đảm bảo tính liên tục, hợp lý chặt chẽ, không ghi các số ra giấy rồi nhập trở lại
máy để tránh xảy ra sai số !
4.1. Các bài tập về góc
4.1.1. Tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn


4.1.2. Tìm góc khi biết tỉ số lượng giác của góc đó


4.1.3. Tính giá trị của biêủ thức.


4.1.4. Bài tập tương tự
Bài 1. Tính gần đúng góc nhọn x (độ, phút, giây) nếu:
Sinx.cosx + 3(sinx - cosx) = 2.
Bài 2. Cho tanx = 2,324. Tính A =

8 cos3 x − 2 sin 3 x + cos x
2 cos x − sin 3 x + sin 2 x

Bài 3. Cho sin x = 0.32167 (00 < x < 900). Tính A = cos2x – 2sinx – sin3x.
Bài 4.

cos 3 x − sin 2 x − 2
Cho cos x = 0,7651 (0 < x < 90 ). Tính A =
cos x + sin 2 x
0

0

Bài 5.
Cho A, B là hai góc nhọn và sinA = 0,458; cosB = 0,217.
a) Tính sin(2A – B);

b) Tính tan

A
.

2

Bài 6. Cho sina = 0,4578 (góc a nhọn).
Tính P =

cos 2 a − sin 3 a
tan a

Bài 7. Cho sinA = 0,81; cosB = 0,72; tan2C = 2,781; cotD = 1,827 (A, B, C, D là
bốn góc nhọn). Tính A + B + C – 2D.

(

)

(

)

8
8
6
6
4
Bài 8. Cho biểu thức H = 3 sin x − cos x + 4 cos x − 2sin x + 6sin x

không phụ thuộc vào x. Hãy tính giá trị của biểu thức H.


4.2. Các bài tập về tam giác

4.2.1. Lý thuyết
4.2.1.1. Tam giác vuông
* Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
b2 = ab’ ; c2 = ac’
h2 = b’.c’ ; ha = bc

A

b

1
1 1
= 2+ 2;
2
h
b c

Diện tích: S =

c

1
1
bc = ah
2
2

h

c/


b/

B

a

* Với góc nhọn α thì:
a, 1b, 1α+ tg 2 =

1
Cos 2α

A

4.2.1.2. Tam giác thường
Các ký hiệu:
hA: Đường cao kẻ từ A,
lA: Đường phân giác kẻ từ A,
mA: Đường trung tuyến kẻ từ A.
BC = a; AB = c; AC = b
R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
r: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
+) Chu vi: 2p = a + b + c => p − a =

c

b
hA

mA
lA

B

H

D

M

b+c−a
c + a −b
a +b−c
; p−b =
; p−c =
2
2
2

+) Định lý về hàm số cosin:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
+) Định lý về hàm số sin:
a
b
c
=
=
= 2R

sin A sin B sin C

+) Định lý về hàm số tang:

A+ B
B+C
C+A
tg
tg
tg
a+b
b
+
c
c
+
a
2 ;
2 ;
2
=
=
=
A
−
B
B
−
C
C

−
A
a − b tg
b − c tg
c − a tg
2
2
2
A
r
B
r
C
r
tg =
; tg =
; tg =
2 p−a
2 p −b
2 p−c

+) Định lý về hàm số cotang:
cotg

A p−a
B p −b
C p−c
=
; cotg =
; cotg =

2
r
2
r
2
r

a = hA(cotgB + cotgC);
b = hB(cotgC + cotgA);
c = hC(cotgA + cotgB);
+) Diện tích:

C

H

C


S=

1
1
1
a.hA = b.hB = c.hC;
2
2
2

S = p.r = (p - a)rA = (p - b)rB = (p - c)rC

abc
;
4R
S = p( p − a)( p − b)( p − c) ;
1
1
1
S = bc.sinA = ca.sinA = ab.sinC
2
2
2

S=

+) Hệ thức tính các cạnh:
AB2 + AC2 = 2AM2 +
1
2

mA =
hA =
lA =

BC 2
2

2b 2 + 2c 2 − a 2 ;

2 p ( p −a )( p −b )( p −c )
a

2
b+c

;

pbc( p − a)

4.2.2. Ví dụ
µ = 900 , AB = 4,6892 cm , BC = 5,8516 cm,
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A
AH là đường cao , CI là phân giác của góc C .Tính:
a/ Độ lớn góc B bằng độ và phút.
b/ Tính AH và CI chính xác đến 9 chữ số thập phân.
Giải: a/ Có cosB=AB:BC=4,6892 : 5,8516
C
-1
Ấn phím: SHIFT COS ( 4,6892 ÷ 5,8516 )
H
= 0’ ’’ ( đọc kq trên màn hình 36044’25,64 )
5,8516
0
Vậy góc B ≈ 36 44 ’
b/ ∆ ABH vuông tại H có sinB = AH:AB
4,6892
B
A
I
=> AH=AB.sinB
(kq:AH ≈ 2,805037763 cm)

Tính tiếp: 4,6892 x sin Ans =
Để tính độ dài CI có 2 cách là
Cách 1: Dùng định lý Pitago tính được AC ≈ 3,500375111
µ = 900 − B
µ từ đó ta có
C
cos
Ấn phím:
COS-1

µ AC
µ
C
C
=
=> CI = AC: cos
2 CI
2

( 5,8516 x2 - 4,6892 x2 ) SHIFT STO A 90 - SHIFT

( 4,6892 ÷ 5,8516 ) =

÷ 2 = ALPHA A ÷ COS Ans =
( kq CI ≈ 3,91575246

cm)


Cách 2: Áp dụng công thức tính phân giác hạ từ đỉnh C

CI =

BK =

2
BC + AC

2
BC + AB

BC.AC.p(p − AB) ;

BC . AB. p ( p − AC )
( kq CI ≈ 3,91575246 cm)

với p=(AB+BC+ CA):2

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, Có AB =14,568cm; và AC 13,425cm.
Kẻ AH vuông góc với BC.
a. Tính BC; AH; HC.
b. Kẻ phân giác BN của góc B, Tính NB. (kết quả lấy 3 chữ số ở phần thập phân).
Giải:
a. Áp dụng định lý Pitago vào tam giác
A
vuông ABC ta có:
BC = AB 2 + AC 2

14,568

14,568 SHIFT STO A

13,425 SHIFT STO B
( ALPHA A x2 + ALPHA B x2 =
shift sto C
KQ: (19,811 cm)
Theo CT:
BC. AH = AB. AC ⇒ AH =

N

C
B

H

AB. AC
BC

Quy trình bấm phím:
alpha A x alpha B

alpha C = (9,872 cm)

÷

AC
Theo công thức: HC.BC = AC ⇒ HC =
BC

13,425

2

2

alpha B x2 ÷ alpha C = (9,098 cm)
Áp dụng tính chất tia phân giác trong tam giác ABC ta có:
NA AB
NA NC NA + NC
=
Þ
=
=
NC BC
AB BC
AB + BC
NA
AC
AB.AC
Þ
=
Þ NA =
AB AB + BC
AB + BC

Quy trình bấm phím:
alpha A alpha B ÷ ( alpha A + alpha C ) = shift sto D(5,689 cm)
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABN ta có:


BN 2 = AB 2 + AN 2

Quy trình bấm phím:
( alpha A x2 + alpha D x2 ) = (1,639)
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có BC = 8,751 cm , AC = 6,318 cm , AB = 7,624cm;
đường cao AH , phân giác trong AD của góc A và bán kính đường tròn nội tiếp
r . Hãy tính: AH , AD , r chính xác đến 9 chữ số thập phân.
(a=8,751; b=6,318; c = 7,624 Tính AH, ma = ? ; r = ?)
Giải :
+ Tính AH : Áp dụng công thức tính đường cao
AH =

2. p(p − a)(p − b)(p − c)
BC

A

(p là nửa chu vi tam giác)

6,318cm

7,624cm

Ấn phím: 8,751SHIFT STO A 6,318 SHIFT STO B
7,624 SHIFT STO C ( ALPHA A + ALPHA

C

B + ALPHA C ) ÷ 2 SHIFT STO D 2 x
√

H D
8,751cm

B

( ALPHA D ( ALPHA D - ALPHA A ) ( ALPHA D -

ALPHA B

) ( ALPHA D - ALPHA C ) ) ÷ ALPHA A =
(kq: AH ≈ 5,365996284 cm)

+ Tính AD : Áp dụng công thức tính phân giác
AD =

2
AC.AB.p(p − BC)
AC + AB

(kq: AD ≈ 5,402908929 cm)

+ Tính r : Áp dụng công thức S = p.r => r = S : p

(kq: r ≈ 2,069265125 cm)

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC với đường cao AH. biết góc ABC = 1200, AB = 6,25
cm, BC = 12,5 cm . Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.
a/Tính độ dài BD.
b/Tính tỷ số diện tích của tam giác ABD và ABC.
c/Tính diện tích của tam giác ABD.

Giải: Giải trên máy tính Fx-570MS ( Các máy khác tương tự)
Ta có hình vẽ:
B
12,5cm

6,25cm

A

C

D

a/ Tính độ dài BD.
Lưu độ dài: BC vào biến nhớ A

( Bấm 12,5

A)


AB vào biến nhớ C
( Bấm 6,25
C)
( Bấm 120
D)
2
2
ÁP dụng định lý hàm số cos: AC = AB + AC − 2. AB. AC.Cos( ABC )
·

Lưu ABC
vào biến nhớ D

Ghi vào màn hình: C 2 + A2 − 2. A.C.Cos( D) . Bấm
ta được độ dài của AC , Bấm
B, lưu kết quả vừa tìm được vào biến nhớ B, không phải ghi kết quả ra
giấy.
Áp dụng công thức tính phân giác trong của tam giác khi biết ba cạnh:
BD =

2
AB + BC

Ghi vào màn hình;

AB.BC. p ( p − AC ) Với p là nữa chu vi tam giác ABC

2
A+C

A.C.

A+ B +C A+ B +C
(
− B ) Bấm
2
2

ta được độ dài của

BD BD= 4,1667 cm.
b/ Tính tỉ số diện tích tam giác ABD và ABC.
S ∆ABC

Ta có do hai tam giác có chung đường cao hạ từ B nên: S

=

∆ABD

AC
DC
BC
12,5
= 1+
= 1+
= 1+
=3 .
AD
AD
BA
6, 25

Do đó tỉ số diện tích tam giác ABD và ABC là:
c/ Ta có diện tích tam giác ABC =
Nên diện tích tam giác ABD =
Ghi vào màn hình:

1
3

1
·
( AB. BC). Sin ABC
2

1 1
·
. ( AB. BC). Sin ABC
3 2

1 1
. ( C. A). Sin ( D). Bấm
3 2

ta được S∆ABD = 11,2764 cm2

Ví dụ 5.
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chúng minh rằng tổng của bình phương
cạnh thứ nhất và bình phương cạnh thứ hai bằng hai lần bình phương trung
tuyến thuộc cạnh thứ ba cộng với nửa bình phương cạnh thứ ba.
2. Bài toán áp dụng : Tam giác ABC có cạnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25
cm và đường cao AH = h = 2,75cm.
a) Tính các góc A, B, C và cạnh BC của tam giác.
b) Tính độ dài của trung tuyến AM (M thuộc BC)
c) Tính diện tích tam giác AHM.
(góc tính đến phút ; độ dài và diện tích lấy kết quả với 2 chữ số phần thập phân.
Giải:
1. Giả sử BC = a, AC = b, AB = c, AM = ma.
a2

Ta phải chứng minh:b2 + c2 = ma2 +
2


A

Kẻ thêm đường cao AH (H thuộc BC),
ta có:
2

a

AC = HC + AH ⇒ b =  + HM ÷ + AH2
2

2

2

2

2

C

B
H

2

a

AB = BH + AH ⇒ c =  − HM ÷ + AH2
2

2
a
Vậy b2 + c2 =
+ 2(HM2 + AH2).
2
Nhưng HM2 + AH2 = AM2 = ma2
2

2

2

Do đó b2 + c2 = 2 ma2 +

M

2

a2
(đpcm)
2

2.
2, 75
h

= 3, 25 ⇒ B = 57o47’44,78”
c
2, 75
h
b) sin C = = 3,85 ⇒ C = 45o35’4,89”; A = 180o – (B+C) ⇒ A= 76o37’10,33”
b
BH = c cos B; CH = b cos C ⇒ BC = BH + CH = c cos B + b cos C
⇒ BC = 3,25 cos 57o48’ + 3,85 cos 45o35’ = 4,426351796 ≈ 4,43cm
1
2(b 2 + c 2 ) − BC 2
⇒ AM2 =
2(a 2 + b 2 ) − BC 2 = 2,791836751 ≈ 2,79cm
b) AM2 =
2
4
1
1
1

o
c) SAHM = AH(BM – BH) = .2,75  4, 43 − 3.25 cos 57 48' ÷= 0,664334141 ≈
2
2
2


a) sin B =

0,66cm2
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC; Bˆ = 1200 ; AB = 6(cm); BC = 12(cm); phân giác trong

của góc B cắt AC tại D.
Tính diện tích ABD.
Giải:
Ta có: Kẻ AK//BC cắt BD tại K.
Khi đó:
Xét
nên

DK AD AB 6 1
=
=
= =
DB DC BC 12 2

∆ ABC

B

cân tại A, ∠ ABC = 60

∆ ABC

đều.

0
600 60

∆ AHK

DK 1

=
DB 2

12

H
A

Suy ra KB = 6(cm), đồng thời
=> BD = 4(cm).
Kẻ đường cao AH của

6

0

600

D
K

C


3
= 3 3 (cm).
2
1
1
Khi đó: SABD = .BD.AH = .4. 3 3 = 6 3 (cm2).

2
2
2
Vậy SABD = 6 3 (cm )

Ta có: AH = 6sin600 = 6.

Ví dụ 7. Cho ∆ABC vuông tại B. Với AB = 15 AC = 26. Kẻ phân giác trong CI
( CI ∈ AB ) . Tính IA.
C

Giải:
Ta có : BC = 262 − 152
IA IB
IA CA
=
⇒
=
CA AB
IB AB
IA
CA
IA
⇒
=
=
IB + IA AB + CA IB
⇒ IA =

CA. AB

26 262 − 152
=
; 13, 46721403
AB + CA
15 + 26

B

A

I

Ví dụ 8. Cho tam giác đều ∆ABC cạnh 5cm, góc ADC = 40o biết D∈ BC.
Hãy tính :
a/ Cạnh AD và DB
b/ Tính diện tích ∆ADC .(Làm tròn hai chữ số thập phân)
Giải:
a/ Trong ∆ ABH có :

A

AH = AB.SinB = 5.Sin60o = 4,33 (cm)
Trong ∆ ADH có : AD =

AH
= 6,74
Sin 40o

5cm

(cm)
DH =

AH
= 5,16 (cm)
tg 40o

⇒ DB = DH – BH = 5,16 – 2,5 = 2,66

(cm)
b/ SADH =

D

B

H

C

1
1
DC.AH = .(5+2,66).4,33 = 16,58 (cm2)
2
2

0
0
µ
µ

Ví dụ 9. Cho ΔABC có A=58
25'; B=31
35'; AB = 7,5 cm. Từ đỉnh C, vẽ đường

phân giác CD và đường trung tuyến CM của ΔABC ( D và M thuộc AB).Tính các
độ dài AC, BC, diện tích S1 của ΔABC, diện tích S2 của ΔCDM.


µ có : Kiểm tra được
Giải: AB=a; ¶A=α; B=β
C
tam giác ABC vuông tại C
AC = a. Cos α ≈ 3,92804 (cm)
BC = a. Sin β ≈ 6,38909 (cm)
S1 = ( AB.BC):2 ≈ 12,54830 (cm 2 ).
Theo t/c đường pg trong của tam giác, có:
α
β
AD DB
AB
A
D
M
=
=
AC CB AC+CB
a
AC.AB
AB
⇒ AD =

; DM=
− AD.
AC+CB
2
S DM
DM.S1
Có 2 =
⇒ S2 =
≈ 1,49664 (cm 2 ).
S1 AB
AB
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC có AB = 3,125 cm; AC = 4,472 cm; BC = 5,145 cm.
Kẻ đường cao AH.
a) Tính độ dài CH (Kết quả với 5 chữ số ở phần thập phân)
b) Tính góc A ( làm tròn đến phút)
Giải:
a)
c 2 − m2 = b2 − n2 ⇒ b2 − c 2 = n2 − m2
⇒ b 2 − c 2 = a ( n − m) ⇒ n − m =
b +a −c
2a
⇒ n = CH ≈ 3,56698 (cm)
n + m = a => n =

2

2

A

b2 − c2
;
a

b
c

h

2

m
B

n
H

a

c

b) Tính được BH, Từ đó tính được các góc BAH, HAC trong các tam giác vuông
·
AHB, AHC, tính được góc BAC. Kết quả: BAC
≈ 83014'
Ví dụ 11. Tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = a = 2,75 cm, góc C = α =
37o25’. Từ A vẽ các đường cao AH, đường phân giác AD và đường trung tuyến
AM.
a) Tính độ dài của AH, AD, AM.
b) Tính diện tích tam giác ADM.

(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
A

Giải:
·
·
·
a) Dễ thấy BAH
= α ; AMB
= 2α ; ADB
=

B

H D M

C

B


45o + α
Ta có :
AH =ABcosα = acosα = 2,75cos37o25’
= 2,184154248 ≈ 2,18 (cm)
AH
acosα
2, 75cos37o 25'
=
=

= 2, 203425437 ≈ 2, 20(cm)
sin(45o + α ) sin(45o + α )
sin 82o 25'
AH
acosα 2, 75cos37o 25'
AM =
=
=
= 2, 26976277 ≈ 2, 26(cm)
sin 2α ) sin 2α
sin 74o50 '
AD =

1
2

b) S ADM = ( HM − HD ) . AH
HM=AH.cotg2α ; HD = AH.cotg(45o + α)
1
2

Vậy : S ADM = a 2cos 2α ( cotg2α − cotg(45o + α ) )
S ADM =

1
2, 752 cos 2 37o 25' cotg74o 50' − cotg82o 25'
2

(

)

= 0,32901612 ≈ 0,33cm2
4.2.3. Bài tập tương tự

Bài 1. Tính các góc của tam giác ABC, biết:
AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
Bài 2. Tính cạnh BC, góc B , góc C của tam giác ABC, biết:
µ = 54o35’12’’
AB = 11,52 ; AC = 19,67 và góc A

Bài 3. Tính cạnh AB, AC, góc C của tam giác ABC, biết:
µ = 54o35’12’’ ; B
µ = 101o15’7’’
BC = 4,38 ; A

Bài 4. Tam giác ABC có ba cạnh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho: BM = 2,142
1) Tính độ dài AM?
2) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM
3) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACM.
µ = 49o27’
Bài 5. Tam giác ABC có: B

; Cµ = 73o52’ và cạnh BC = 18,53.

Tính diện tích S của tam giác ?
µ = 82o35’
µ = 57o18’ và C
Bài 6. Tam giác ABC có chu vi 58 (cm) ; B

Tính độ dài các cạnh AB, BC, CA ?


µ < 180o và sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ;
Bài 7. Tam giác ABC có 90o < A

AC = 14,6.
Tính: 1) Độ dài cạnh BC ? Trung tuyến AM ?
µ =?
2) Góc B

3) Diện tích tam giác S = ?
µ = 90o ; AB = 7 (cm) ; AC = 5 (cm).
Bài 8. Tam giác ABC có A

Tính độ dài đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE ?
Bài 9. Cho ∆ ABC vuông tại A . Biết AC = 12,5543 cm và trung tuyến AI =
9,7786 cm . Dựng đường cao AH . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AH , BH .
·
·
·
Gọi K là giao điểm của NM và AC . Tính các góc : ABC
(bằng đơn vị
; ACB
; NAK
đo độ ) và đoạn thẳng AK (bằng cm)
Cho ∆ ABC vuông góc ở A , Tính các góc B , C và đường cao AH . Biết AB =
4,0312 cm , BC = 8,0151 cm
Bài 10. Tam giác ABC có Bµ = 1200 AB = 6,25cm , Bc = 12,5cm . Đường phân giác

của góc B cắt AC tại D .
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD
b) Tính tỉ số diện tích của các tam giác ABD và ABC
c) Tính diện tích tam giác ABD
Bài 11. Cho tam giác đều ABC có cạnh là a . M là một điểm nằm trong tam giác .
Gọi MH1 , MH2 , MH3 là
khoảng cách từ điểm M đến các cạnh của tam giác .
a) Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến 3 cạnh là một hằng số .
b) Cho a = 4,358 cm . Tính MH1 + MH2 + MH3
Bài 12. Cho ∆ ABC , từ điểm D thuộc cạnh BC kẻ các đường thẳng song song với
các cạnh của tam giac tao thành hai tam giác nhỏ có diện tích 6,25 cm2 và 12,4609
cm2 . Tính diện tích ∆ ABC.
Bài 13.Cho tam giác ABC vuông ở A , với AB = a = 14,25 cm , AC = b = 23,5cm
AM , AD theo thứ tự là các đương trung tuyến và phân giác của tam giác ABC
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD .
b) Tính diện tích tam giác ADM
Bài 14. Cho tam giác ABC có AB = 7,3456 cm , BC = 9,4753 cm và
·
ABC
= 380 37'36" . Gọi G là trọng tâm
của tam giác . Tính diện tích tam giác GBC
Bài 15. Cho tam giác ABC , Gọi G là giao điểm 2 trung tuyến AD và CE . Biết
rằng AD = 5,8518 cm
·
·
ACE
= 450 53' ; DAC
= 22 0 33' . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 16. Cho tam giác ABC có AB = 8,93 AC = 9,57 BC = 13 , 456. Tính các góc
của tam giác ?

Bài 17. Cho tam giác ABC có BC = 17,89 Bµ = 240 39' Cµ = 430 42' Tính diện tích và
chu vi của tam giác .
Bài 18. Cho Δ ABC có AB = 15,72 AC = 21,81cm BC = 25, 63cm . Trung tuyến
AD và phân giác AE .
a) Tính SABC và số đo các góc A,B,C
b) Tính SADE
c) Tính độ dài đường phân giác AE
4.3. Các bài tập về tứ giác
4.3.1. Lý thuyết
4.3.1.1. Diện tích hình vuông bằng bình phương canh của nó
S = a2 (a: kích thước của hình vuông)
4.3.1.2. Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó
S = a.b (a, b là hai kích thước của hình chữ nhật)
4.3.1.3. Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao
1
S = ( a + b ) .h (a, b lần lượt là hai đáy của hình thang; h là đường cao của hình
2
thang).
4.3.1.4. Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với
cạnh đó.
S = a.h (a: chiều dài một cạnh của hình bình hành; h: chiều cao tương ứng với cạnh
đó).
4.3.1.5. Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.
S = d1.d2 (d1, d2 lần lượt là kích thước hai đường chéo của hình thoi).
4.3.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật có chu vi là 15,356, tỷ số hai kích thước là
đường chéo của hình chữ nhật.
Giải:

Gọi cạnh của hình chữ nhật là a và b.
Khi ấy đường chéo d của hình chữ nhật
được tính theo công thức: d= a 2 + b 2 .
Mặt khác theo bài ra ta có:

a 5
= ;
b 7

15,356
2
a
5
5
a + b 5 + 7 12
=
=
=
= .
Suy ra
và
b
7
7
a + b 5 + 7 12

a+b=

b

a

5
Tính
7


Do đó a =

5
7
(a + b) và b = (a + b)
12
12

Tính trên Casio fx 500 MS:
Tính b:

(4,478833333)

Tính a:

(3,199166667)

ấn tiếp:
Đáp số: đường chéo hình chữ nhật

d ≈ 5,5041

(5,50405445)

C

D

Bài 8 ( 5 điểm). Cho hình thang cân ABCD có hai đường
chéo vuông góc với nhau. DC=15.34 cm, cạnh bên

E

AD=BC=20,35 cm. Tìm độ dài đáy lớn AB?
Giải:
A

Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Vì ABCD là hình thang cân và AC ⊥ BD, AEB và CED là các tam giác vuông cân
tại E.
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông đỉnh E ta có AB= AE 2 =
2( AB 2 − DE 2 ) = 2( AB 2 −

Ấn:

DC 2
)=
2

2
2
2 AB 2 − DC 2 = 2( 20,35) − (15,34)

( 2 x 20,35 x2 - 15,34 x2 =

KQ:24,3501418
·
Bài 3:Cho hình thang vuông ABCD, biết AB=12,35 cm ; BC=10,55cm ; ADC
= 570
(Hình 1)
a, Tính chu vi của hình thang ABCD.
b, Tính diện tích của hình thang ABCD.
Giải:
a, Ta có : AD =

AE
BC
10,55
=
=
SinD SinD
Sin57 0

DE = AE.cotg D = BC.cotgD=10,55.cotg57 0
Chu vi (ABCD) = AD +DE +2AB +BC

=

10,55
0
0 +10,55 . cotg57 +2.12,35 +10,55
Sin57

B


Bấm máy: 10,55 :

sin 57 _+ 10,55 x

a b c tan 57 +_ 2 x 12,35 +

1

10,55 =
Kết quả :54,68068285
b, Diện tích hình thang ABCD là:
( AB + CD ) BC ( 2 AB + DE ) BC (2.12,35 + 10,55. cot g 57 0 )10,55
=
=
2
2
2

Bấm máy: ( 2 x 12,35 + 10,55 x 1 a b c

tag 57 ) x 10,55 : 2 =

Kết quả: 166,4328443
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có góc ở đỉnh A tù. Kẻ hai đường cao AH và
·
AK ( AH ⊥ BC ; AK ⊥ CD ). Biết góc HAK
= 32 0 , Và độ dài hai cạnh của hình

bình hành AB = 10,1; AD = 15,5
a) Tính AH và AK
S ABCD

b) Tính tỷ số diện tích S
HAK

Giải:
µ = HAK
·
µ = 320
a) B
=D
do đó AH = AB.sinB = 10,1.Sin320
AK = AD.sinD = 15,5.sin320
Bấm máy : 10,1 x sin 32 0’’’
= Shift STO A
Kết quả : AH = 5,352184569
15,5
x sin 32 0’’’ =
Shift STO B
Kết quả AK = 8,213748596

A

15,5cm
D

10,1cm
B

H

C
K

b) S ABCD = BC. AH
1
2

1
2

S HAK = AH . AK . sin HAˆ K = AH . AK . sin 32 0
Bấm tiếp 15,5 x

Alpha A

Alpha B x sin 32
Kết quả : 7,12214121

0

’’’

=

=

:

(

1

a

b
c

2

x Alpha A

x


Ví dụ 5. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 12. Vẽ đoạn AE với E là điểm trên
cạnh CD và DE = 5 cm . Trung trực của AE cắt AE , AD và BC tại M , P và Q . Tỷ số
độ dài đoạn PM và MQ là:
(A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21.
Giải: Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD.
Ta có:

MP MR
=
MQ MS

Vì RM là đường trung bình của tam giác ADE nên
Mà:

Vậy:

E

D

.
MR =

DE
2

.

P
R

C

M

S

MS = RS − MR .
DE
MP MR
2
=
=
MQ MS RS − DE

2

Áp dụng bằng số với
5 ab / c 2 =

Min ÷ [(

Q

.

A

B

DE = 5 cm, RS = 12 cm :

12 −

MR =

5

( 19 )

Đáp số (C) là đúng.
Chú ý: Nếu không sử dụng phân số (5 ab / c 2) mà dùng (5 ÷ 2) thì máy sẽ cho đáp
số dưới dạng số thập phân.
Hãy tính: 5 ÷ 2 =
So sánh: 5

ab / c

Min ÷ [(

19 SHIFT

12 −

ab / c ab / c

MR

(0.2631579)
Kết quả: 0.2631579

Như vậy, hai kết quả như nhau, nhưng một kết quả được thực hiện dưới dạng phân
số (khi khai báo 5 ab / c 2), còn một kết quả được thực hiện dưới dạng số thập phân
(khi khai báo 5 ÷ 2).
4.3.3. Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = 50,17 cm và cạnh AC tạo
với cạnh AB góc 31034’.
1) Tính diện tích hình chữ nhật. 2) Tính chu vi của hình chữ nhật.
Bài 2. Cho hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau. Hai đáy có độ
dài là 15,34 cm và 24,35 cm.
1) Tính độ dài cạnh bên của hình thang;
2) Tính diện tích của hình thang.
Bài 3. Cho hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau, đáy nhỏ dà
15,34 cm, cạnh bên dài 20,35 cm. Tìm độ dài đáy lớn.
Bài 4. Một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau. Đáy nhỏ dài

13,724, cạnh bên dài 21,867. Tính diện tích S (S lấy 4 chữ số thập phân).


Bài 5. Một hình thoi có cạnh bằng 24,13 cm, khoảng cách giữa hai cạnh là 12,25
cm.
1) Tính các góc của hình thoi (độ, phút, giây).
2) Tính diện tích của hình tròn (O) nội tiếp hình thoi chính xác đến chữ số thập
phân thứ ba.
3) Tính diện tích tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O).
Bài 6. Cho hình thang vuông tại A và B; góc D là 135 0; AB = AD = 4,221 cm.
Tính chu vi của hình thang (chĩnhác đến chữ số thập phân thứ ba).
Bài 7. Cho hình thoi có chu vi là 37,12 cm. Tỉ số hai đường chéo là 2 : 3. Tính diện
tích hình thoi ấy.
Bài 8. Cho hình thang cân mà đáy nhỏ CD = 16,45 cm. Cạnh bên AD = BC =
30,10 cm. Hai đường chéo AC và BD vuông góc.
1) Tìm công thức tính độ dài đáy lớn. 2) Tính độ dài đáy lớn với số liệu cho ở
trên.
Bài 9. Cho hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau, đáy lớn dài
15,35 cm, cạnh bên dài 21,23 cm. Tìm diện tích hình thang.
Bài 10. CS. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn và có các canh AB
= 5dm, BC = 6dm, CD = 8dm, DA = 7dm. Tính gần đúng bán kính đường tròn nội
tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp và góc lớn nhất (độ, phút, giây) của tứ giác đó.
(Toán học và tuổi trẻ số 331 (01/2005))
Bài 11. Điểm E nằm trên cạnh BC của hình vuông ABCD. Tia phân giác của các
góc EAB, EAD cắt các cạnh BC, CD tương ứng tại M, N. Tính gần đúng giá trị
nhỏ nhất của tỉ số

MN
MN 6
= .

. Tính gần đúng (độ, phút, giây) góc EAB nếu
AB
AB 7

Bài 12. Hình bên cho biết AD và BC cùng vuông góc với AB, AD = 10 cm,
·AED = BCE
·
, AE = 15cm, BE = 12cm.
1)Tính số đo góc DEC.
2)Tính diện tích tứ giác ABCD và diện tích tam giác DEC.
3) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích tam giác DEC và diện tích tứ giác ABCD.
C

A
D

B

12,5
x

10
12

D

28,5

C

15
A
B
E
Bài 13. Hình thang ABCD
(AB // CD) có đường chéo BD hợp với tia BC một góc
bằng góc DAB. Biết AB = a = 12,5 cm, DC = b = 28,5 cm.
1) Tính độ dài x của đường chéo BD.
2)Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích hai tam giác ADB và BDC (chính xác đến
chữ số thập phân thứ hai).


Bài 14. Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB = 2 cm, CD = 5 cm. Từ A kẻ đường
thẳng song song BC cắt DC tại E, từ B kẻ đường thẳng Song song với AD cắt DC
tại F. BF luôn luôn cắt AE và AC tại P và Q.
Tính tỉ số (diện tích APQ / diện tích ABCD).
Bài 15: Vẽ một tấm bìa lên mặt đồng hồ hình vuông và dùng các vị trí chỉ giờ làm
các đường biên (xem hình). Nếu t là diện tích của 1 trong 8 miền tam giác (như
miền giữa 12 giờ và 1 giờ) và T là diện tích của 1 trong 4 tứ giác (như tứ giác giữa

1 giờ và 2 giờ). Tính tỷ số

XI

XI I

T
.
t
I

Kết quả:

X

II

IX

II I

VI II

IV

VII

VI

T
≈
t

V

4.4. Các bài tập về đường tròn
4.4.1. Lí thuyết
4.4.1.1 Hình tròn và các phần hình tròn
+ Hình tròn bán kính R:
- Chu vi: C = 2πR= πd

- Diện tích: S = πR2

O

R

+ Hình vành khăn:
R1

- Diện tích: S = π .( R12 – R22 )

R2
O


+ Hình quạt:
- Độ dài cung: l =
- Diện tích:

S=

π Rn
; (n: độ )
180
l.R
2

=

π R 2n

360

R

n°

O

l

(n: độ)

4.4.1.2. Chứng minh một số công thức hình học
1/ Tính diện tích tam giác biết độ dài 3 cạnh a, b, c và
bán kính đường tròn ngoại tiếp R :

abc
S=
4R

A

O

B

C

H

C/m: ∆AHB : ∆ACE (g.g) => AB.AC = AH.AE

E

Hay b.c = 2R.AH <=> a.b.c = 2R.a.AH

Hình 1

Mà:

2S∆ABC =a.AH ⇒S =

abc
4R

2/ Tính diện tích tam giác biết nửa chu vi p = (a+b+c):2
và bán kính đường tròn nội tiếp r :

A
F

E

S = p.r

O

C/m: SABC = SAOB + SBOC + SAOC
1
1

1
Hay SABC = AB.OE + BC.OD + AC.0F
2
2
2

=

B

D

C

Hình 2

1
(c + a + b).r = p.r (OE = OD = OF = r )
2

4.4.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O; R). Viết công thức tính diện tích tam giác đều ngoại
tiếp và diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R).
Áp dụng tính diện tích tam giác đều nội tiếp, tam giác đều ngoại tiếp đường tròn
(O; R) khi R = 1,123 cm
Giải