- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Toan 10 yen bai Đề thi, đáp án (đề xuất) trại hè hùng vương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (436.73 KB, 4 trang )
TRI Hẩ HNG VNG LN TH X
TRNG THPT CHUYấN NGUYN TT THNH
TNH YấN BI
THI ẩ XUT
THI MễN: TON
KHI 10
Cõu 1. (4 im)
xy + ( x y )( xy 2) + x = y + y
2
( x + 1)( y + xy + x x ) = 4
Gii h phng trỡnh:
Cõu 2. ( 4 im)
Cho tam giỏc nhn ABC (AB
ng thng PQ v BC ct nhau ti M, ng thng MA ct ng trũn (O) ti K( K khỏc
A). Gi I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc BCP. Chng minh rng ba im I, H, K
thng hng.
Câu 3. (4 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dơng thoả mãn
1
4 ab
+
1
4 bc
+
1
4 ca
a 2 + b 2 +c 2 = 3 . Chứng minh rằng :
1
Cõu 4. (4 điểm)
Cho tp hp
A = { 1;2;3;...;18} . Cú bao nhiờu cỏch chn ra 5 s trong tp A sao
cho hiu ca hai s bt kỡ trong 5 s ú khụng nh hn 2.
Cõu 5. (4 điểm)
Cho p l s nguyờn t, p>3, t
22 p 1
n=
3 . Chng minh rng:
( 2n 2) Mn
....................................................Ht....................................................
-
Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm!
-
Thớ sinh khụng c s dng ti liu v mỏy tớnh cm tay!
Giỏm th 01:.........................................................................................................
Giỏm th 02:.........................................................................................................
Hướng dẫn chấm đề đề xuất toán 10
Câu
NỘI DUNG ĐÁP ÁN
1
Điểm
xy + ( x − y )( xy − 2) + x = y + y
2
( x + 1)( y + xy + x − x ) = 4
Câu 1(4 điểm). Giải hệ phương trình:
x ≥ 0; y ≥ 0
xy + ( x − y )( xy − 2) ≥ 0
ĐKXĐ:
4,0
0,5
1,5
Từ pt(1) ta có:
( xy + ( x − y )( xy − 2) − y ) + ( x − y ) = 0
⇔
( x − y )( y + xy − 2)
xy + ( x − y )( xy − 2) + y
x− y
+
x+ y
x = y
y + xy − 2
⇔
+
xy + ( x − y )( xy − 2) + y
=0
1
x+ y
= 0 (3)
Từ pt(2) rút được và dùng biến đổi tương đương dễ dàng chứng minh được :
4
y + xy =
+ x2 − x ≥ 2
x +1
1,0
Do đó trường hợp (3) bị loại.
2
Vậy ta được x = y. Thay vào hệ và đối chiếu với ĐKXĐ ta được nghiệm:
1 ± 17
x = y = 1 và x = y =
2
Câu 2 ( 4 điểm):Cho tam giác nhọn ABC (AB
các cạnh AB, AC. Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M, đường thẳng MA cắt
đường tròn (O) tại K( K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP.
Chứng minh rằng ba điểm I, H, K thẳng hàng.
- Xét tứ giác APHQ có
1,0
µ = 900
Pµ = Q
=>
APHQ nội tiếp đường
tròn đường kính AH ta
·
·
AQP = AHP
có
Mặt khác
1,0
· HP = A
· BC
A
( cùng phụ với góc
BAH). Suy ra BPQC nội
tiếp
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP là đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPQC
Ta có MP.MQ=MB.MC.(1)
Mà MB.MC= MK.MA =
kính AH =>
-
ÃM / (O )
· KH = 900
A
=> tứ giác AKPQ nội tiếp đường tròn đường
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O ta có
· KA = 900, A
· K H = 900
A'
1,0
1,0
Suy ra K, H, A thng hng
Gi I l trung im ca HA.Ta chng minh rng I l tõm ng trũn ngoi
tip t giỏc BPQC
Tht vy: OI l trung bỡnh ca tam giỏc AHA nờn OI l trung trc on BC (3)
- Gi E l trung im ca AH ta cú EI l ng trung bỡnh AAH nờn EI song
-
ã
-
ã
ã
A O ^ PQ =>EI
APQ = ACB = A A ' B . Suy ra
song AO. Ta cú
^ PQ nờn EI l trung trc on PQ (4)
1,0
T (3), (4) ta cú I l tõm ng trũn ngoi tip BPQC hay tõm ng trũn
ngoi tip tam giỏc BCP
Vy K, H, I thng hng
3 Câu 3: (4 điểm)
a 2 + b 2 +c 2 = 3
Cho a,b,c là các số thực dơng thoả mãn
Chứng minh rằng :
1
+
4 ab
1
4 bc
+
1
4 ca
1
Ta có
2
= 1
4 ab
2 ab
4 ab
= 1
(2 +
4 ab
)
ab (4 ab )
1
4 ab
9
2,0
(vi 0 < (2 + ab )( 4 ab ) 9 ( ab 1) 2 0)
5 ab + bc + ca
4 ab 3 +
9
2
Suy ra:
4
5 a2 + b2 + c2
+
=2
3
9
2,0
1
ab
1 (dpcm)
Suy ra :
Du bằng xảy ra khi a = b = c = 1
4
{
} . Cú bao nhiờu cỏch chn ra 5
Cõu 4. (4 điểm) Cho tp hp
s trong tp A sao cho hiu ca hai s bt kỡ trong 5 s ú khụng nh hn 2.
Ta cn tỡm s phn t ca tp T sau:
A = 1;2;3;...;18
{
}
T = (a1 ,a 2 ,...,a 5 ) : a 1 < a 2 < ... < a 5 ; 1 a i 18; a i a j 2
Xột tp hp
1,0
H = { (b1 ,b 2 ,...,b5 ) : b1 < b 2 < ... < b5 ; 1 b i 14}
Xột ỏnh x f cho tng ng mi b
xỏc nh nh sau:
(a1 ,a 2 ,...,a 5 ) vi b
(b1 ,b 2 ,...,b5 )
2,0
b1 = a1 ,b 2 = a 2 1,b3 = a 3 2,b 4 = a 4 3,b5 = a 5 4 .
D thy khi ú f l mt song ỏnh, suy ra
T=H.
(b1 ,b 2 ,...,b 5 ) trong H l mt t hp chp 5 ca 14 phn
5
H = C14
= 2002 . Vy
T = 2002 .
Mt khỏc mi b
t. Do ú
5
Cõu 5. (4 điểm)Cho p l s nguyờn t, p>3, t
22 p 1
n=
3 . Chng minh rng:
1,0
(2n − 2) Mn
Ta có
n −1 =
22 p − 1
4(2 p −1 − 1)( 2 p −1 + 1)
−1 =
3
3
Vì p là số nguyên tố lẻ nên :
2
p −1
≡ 1(mod 3)
2 p −1 ≡ 1(mod p)
Mặt khác, theo định lý Fecmat ta có:
(n − 1) M(2 p)
(2 p −1 − 1) M (3 p ) , do đó ta có :
p > 3 thì:
Vì
Từ đó suy ra :
(2
n −1
− 1) M(2
2p
− 1)
(2 p −1 − 1) Mn nên suy ra
Nhưng
2 n − 2 ≡ 0 ( mod n ) (đpcm)
1,0
2 n −1 − 1 ≡ 0 ( mod n ) hay
2,0
1,0
