- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Toan 10 lao cai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (172.48 KB, 5 trang )
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X
ĐỀ THI MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI
ĐỀ ĐỀ XUẤT
KHỐI 10
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
x 4 − 4 x 2 + y 2 − 8 y + 16 = 0
Câu 1(4 điểm): Giải hệ phương trình 2
x y + 2 y − 24 = 0
Câu 2(4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại C. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C
của tam giác ABC. Trên đoạn CH lấy một điểm X bất kì. Gọi K, L lần lượt là các điểm
nằm trên các đoạn thẳng AX, BX sao cho BK = BC và AL = AC. Giả sử M là giao điểm
của AL và BK. Chứng minh rằng MKL là tam giác cân.
Câu 3 ( 4 điểm) : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh
Câu 4 ( 4 điểm) : Cho 2014 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng không
thẳng hàng. Các đường thẳng nối các điểm từng đôi một cắt nhau và nếu 3 trong số các
đường thẳng trên đồng quy thì phải đồng quy tại một trong 2014 điểm đã cho. Tính số tam
giác tạo ra bởi các đường thẳng đó.
Câu 5 (4 điểm) : Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x2 + y2 + z2 = x2 y2
…….....................…. HẾT…....................…….
Họ và tên thí sinh:............................................................................SBD:.........................
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 10
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X NĂM 2014
(Hướng dẫn chấm gồm 3 trang)
Câu
Nội dung
2
Lấy (1) + 2.(2) ta được phương trình ( x 2 + y ) − 4 ( x 2 + y ) − 32 = 0 .
1.0
x2 + y = 8
Khi đó ta có: 2
x + y = −4
+ TH1: Với x 2 + y = 8 ⇔ y = 8 − x 2 thay vào hệ phương trình ta được
x2 = 2
x4 − 6 x2 + 8 = 0 ⇔ 2
x = 4
Câu 1
Điểm
0.5
0.5
x = 2 ⇒ y = 6
2
. Với x = 2 ⇔
x = − 2 ⇒ y = 6
0.5
x = 2 ⇒ y = 4
x = −2 ⇒ y = 4
2
. Với x = 4 ⇔
0.5
+ TH2: Với x + y = −4 ⇔ y = −4 − x thay vào hệ phương trình ta được
2
2
x 4 + 6 x 2 + 32 = 0 (vô nghiệm)
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: ( 2; 4 ) , ( −2; 4 ) , ( 2;6 ) , ( − 2;6 )
0.5
0.5
Giải:
Hình vẽ:
Câu 2
0.5
Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua AB; (w1), (w2) lần lượt là đường
tròn tâm B bán kính BC và đường tròn tâm A bán kính AC.
Vì AC’ = AC = AL và BC’ = BC = BK nên cả hai đường tròn (w1), (w2)
0.5
cùng đi qua C’.
Theo giả thiết tam giác BAC vuông tại C nên AC là tiếp tuyến của
đường tròn (w1) tại C và BC là tiếp tuyến của đường tròn (w2) tại C.
Gọi K1 ( K1 ≠ K ) là giao điểm thứ hai của AX với đường tròn (w1) và L1 1.0
( L1 ≠ L ) là giao điểm thứ hai của BX với đường tròn (w2)
Ta có CC’ là trục đẳng phương của hai đường tròn (w1), (w2) nên
XK . XK1 = XC . XC ' = XL. XL1 . Vì vậy các điểm K, L, K1, L1 cùng nằm trên
1.0
đường tròn (w3)
2
2
Ta có PA/( w ) = AC = AK . AK1 = AL
Vì vậy AL là tiếp tuyến của đường tròn (w3) tại L
Tương tự ta có BK là tiếp tuyến của đường tròn (w3) tại K
1.0
Hay MK và ML là hai tiếp tuyến kẻ từ M tới đường tròn (w3)
Do đó MK = ML hay tam giác MKL là tam giác cân tại M
1
Câu 3
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh
(1)
Ta có thể viết lại giả thiết
0.5
Thành
Đặt
Thay vào
. Ta có
0.5
ta cần chứng minh
0.5
Thật vậy
0.5
0.5
Làm tương tự và cộng lại ta có
0.5
Ta có bất đẳng thức quen thuộc
0.5
Do đó
Sử dụng giả thiết
ta suy ra
0.5
Dấu bằng xảy ra khi
Câu 4
hay
1
3
Nếu 3 trong a đt đó tạo thành 1 tam giác thì có Ca tam giác .
0,5
Xét 1 đỉnh A :Có 2013 đt qua A
1,0
3
Số cách chọn 3 đt trong chúng là C2013
0,75
Tương ứng mỗi cách chọn là 1 tam giác bị loại
0,75
3
3
Nên số tam giác là Ca − 2014.C2013
Câu 5
Ta nhận thấy ngay một điều: Tính chia hết ở bài này không xuất hiện. Vì vậy
ta thử cố gắng xem xét tính chẵn, lẻ của biến trong pt . Nhận thấy VP chỉ có x 0.5
và y, như vậy ta di xét tính chẵn, lẻ của 2 biến này, biến z sẽ phụ thuộc vào x
và y.
*) Nếu x, y đều là số lẻ.
( x 2 + y 2 ) ≡ 2(mod 4)
2
x ≡ 1(mod 4) 2 2
⇒
⇒ x y ≡ 1(mod 4)
⇒ z 2 ≡ 3(mod 4) (*)
2
y ≡ 1(mod 4) 2
2
2
2 2
x + y + z = x y
0.5
Mặt khác nếu x, y đều là số lẻ thì từ đề bài phải có z chẵn ( mâu thuẫn với
(*))
0.5
Do đó không thể xảy ra trường hợp cả x, y lẻ, suy ra phải có ít nhất một số
chẵn.
*) Nếu x chẵn hoặc y chẵn.
Không mắt tính tổng quát, giả sử x chẵn ⇒ x 4 ⇒ x y 4⇒ (y + z ) 4
⇒ y và z phải đồng thời chẵn. Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ta có:
2
2
2
2
2
x 12 + y 12 + z 12 = x 12 y 12
Lập luận tương tự ta có: x 22 + y 22 + z 22 = x 22 y 22 .
Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì
(
x1 y1 z1
, , ) là nghiệm của phương trình với k nguyên dương ⇒ x1 = y1 =
2k 2k 2k
z1 = 0
0.5
0.5
0.5
0.5
Vậy pt có nghiệm là (x; y; z) = (0, 0, 0)
0.5
Lưu ý: Học sinh giải bằng cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tương đương với biểu điểm
chấm.
Người ra đề
Nguyễn Bá Hoàng
Số đt: 0977394437
