- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Toan 10 lang son
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (95.61 KB, 4 trang )
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN LẠNG SƠN
KHỐI 10
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Đề thi có 1 trang gồm 5 câu
1 7
x− y=4
1 7
Câu 1: Giải hệ phương trình sau đây: y − =
z 4
1 7
z
−
=
x
4
Câu 2: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O) và có ba góc đều nhọn. Gọi
D, E, F là chân đường cao đỉnh A, B, C lên các cạnh BC, CA, AB tương ứng. Giả
sử các đường tròn ngoại tiếp (AOD), (BOE), (COF) cắt các cạnh BC, CA, AB
kéo dài tương ứng tại I, J, K. CMR: I, J, K thẳng hàng.
Câu 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+2=abc. Tìm giá trị nhỏ nhất
của S =
1 1 1
+ + .
a b c
Câu 4: Cho dải ô vuông kiểu 1 × n , có các viên gạch kiểu ô vuông 1 × 1 và 1 × 2 .
Có bao nhiêu cách lát kín dải ô vuông đó bằng các viên gạch trên.
Câu 5: Cho 10 số nguyên dương u1 , u2 ,K , u10 . Chứng minh rằng tồn tại các số
ci ∈ { −1;0;1} , i = 1,2,K ,10 , không đồng thời bằng 0 sao cho số
10
∑c u
i =1
i i
chia hết
cho 1023.
-------HẾT------Người ra đề: Nguyễn Thanh Dũng
ĐT: 0168.390.545
ĐÁP ÁN
Câu 1: (Trung bình) Cộng các phương trình vào ta thu được
x+ y+ z=
, trong đó f (t ) =
x<4⇒ z =
có
1 1 1 21
+ + + ⇒ ( x − 2) f ( x ) + ( y − 2) f ( y ) + ( z − 2) f ( z ) = 0 (1)
x y z 4
2 + t + 4t
> 0, ∀t>0 . Giả sử
4t
x < 2 , thế thì
1 7
1 7
1 7
+ > 2 ⇒ y = + < 2 ⇒ x = + > 2 vô lí. Vậy ta phải
x 4
z 4
y 4
x ≥ 2 . Hoàn toàn tương tự thì
y ≥ 2, z ≥ 2 . Từ (1) suy ra ngay
x = y = z = 2 ⇒ x = y = z = 4 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
Câu 2: (Trung bình)
Không mất tính tổng quát giả sử AB < AC , ta được hình vẽ như trên. Vì
tứ giác AODI nội tiếp và AD vuông góc với BC nên ∠IOA = 900 . Áp dụng định
lí Sin cho các tam giác IOB và IOC ta được:
IB sin ∠IOB sin(∠AOB − 900 ) sin(2C − 900 ) | cos 2C |
=
=
=
=
,
OB sin ∠OIB
sin ∠OIB
sin ∠OIB
sin ∠OIB
và
IC sin ∠IOC sin(3600 − 900 − ∠AOC ) sin(2700 − ∠AOC )
=
=
=
OC sin ∠OIC
sin ∠OIC
sin ∠OIC
IB cos 2C
sin(2700 − 2 B) | cos 2 B |
=
=
=
. Nên ta thu được
. Tương tự,
IC cos 2 B
sin ∠OIC
sin ∠OIC
ta thu được
IC cos 2 A IA cos 2 B
IB IC IA
=
; =
, nên ta suy ra . . = 1 ,
IA cos 2C IB cos 2 A
IC IA IB
theo định lí Menelaus suy ra I, J, K thẳng hàng.
Câu 3: (Trung bình) Chú ý rằng a+b+c+2=abc nên suy ra
(a + 1)(b + 1)(c + 1) = ( a + 1)(b + 1) + (b + 1)(c + 1) + (c + 1)( a + 1) . Do vậy ta thu
1
1
1
1
1
1
+
+
=1⇒
+
+
=2
1
1
1
được a + 1 b + 1 c + 1
. Áp dụng bất đẳng thức
1+
1+
1+
a
b
c
1
1 1
1
1 ÷ 9
1
+
+
Cauchy-Schwarz ta được 1 + + 1 + + 1 + ÷
÷≥ . Từ
b
c 1 + 1 1 + 1 1 + 1 ÷ 2
a
a
b
c
1 1 1 3
3
hai điều trên ta suy ra + + ≥ . Vậy S nhỏ nhất bằng , dấu bằng xảy ra
a b c 2
2
3
khi a = b = c và là nghiệm của a − 3a − 2 = 0 ⇒ a = b = c = 2 .
Câu 4: (Trung bình) Gọi số cách lát nền nhà dải ô vuông 1 × n là Sn , ta dễ
dàng đếm ra được S1 = 1, S2 = 2 . Lưu ý rằng việc lát nền phụ thuộc vào viên
gạch xếp đầu tiên.
Trường hợp 1: Viên gạch xếp đầu tiên là 1 × 1 thì số cách lát dải n − 1 viên
còn lại là Sn−1 .
Trường hợp 2: Viên gạch xếp đầu tiên 1 × 2 thì số cách là là Sn−2 . Do đó, ta
1± 5
có Sn = Sn−1 + Sn −2 . Xét phương trình đặc trưng X 2 − X − 1 = 0 ⇒ X =
,
2
2
n
1+ 5
1− 5
thế thì Sn = a
÷ + b
÷ . Thay n = 1, n = 2 vào ta được hệ
2
2
1+ 5 1− 5
a
÷+ b
÷= 1
2
2
phương trình
. Giải hệ ta thu được
2
2
1− 5
1+ 5
a 2 ÷ + b 2 ÷ = 2
6+2 5
6−2 5
a=
,b =
. Do đó số cách lát nền là
14 + 2 5
14 − 2 5
n
n
6 + 2 5 1+ 5
6 − 2 5 1− 5
Sn =
.
.
÷ +
÷.
14 + 2 5 2 14 − 2 5 2
10
Câu 5: (Trung bình) Xét tất cả các số có dạng Aj = ∑ biui với bi ∈ { 0;1} ,
i =0
i = 1,K ,10 , j = 1,K ,1024 . Có 210 = 1024 cách chọn bộ hệ số ( b1 ,K , b10 ) với
bi ∈ { 0;1} nên có 210 = 1024 số Aj khác nhau đôi một. Theo nguyên lý Dirichlet
có it nhất hai số, giả sử là Ak và Ah , sao cho Ak ≡ Ah ( mod 1023 ) . Giả sử Ak và
10
10
i =1
i =1
Ah lần lượt có dạng Ak = ∑ bkiui và Ah = ∑ bhiui . Từ Ak ≡ Ah ( mod 2013) suy
10
ra
10
10
∑ b u ≡ ∑ b u ( mod1023) ⇔ ∑ ( b
i =1
ki i
i =1
hi i
ci = bki − bhi , i = 1,K ,10 , ta được
ki
i =1
− bhi ) ui ≡ 0 ( mod1023) . Đặt
10
∑c u
i =1
i i
thỏa mãn:
-Chia hết cho 1023
-Vì bki , bhi ∈ { 0;1} nên ci ∈ { −1;0;1}
-Vì Ak ≠ Ah nên ci không đồng thời bằng 0
Vậy ta có điều phải chứng minh.
