- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Toan 10 bac giang
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (420.03 KB, 4 trang )
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANGTỈNH BẮC GIANG
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN
KHỐI 10
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu )
Câu I (4 điểm) Giải bất phương trình
7 x2 − 7 x − 9 − x2 − x − 6 < 2 2 x +1 .
Câu II (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). AC cắt BD ở I. Gọi M, N lần lượt là
giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOB và COD; BOC và AOD.
Chứng minh rằng bốn điểm O, I, M, N nằm trên một đường tròn.
Câu III (4 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 2. Chứng minh rằng
1
1
1
9
+
+
≤ .
2 − ab 2 − bc 2 − ca 4
Câu IV (4 điểm) Cho 12 số nguyên dương a1 , a2 ,..., a12 . Chứng minh rằng tồn tại các số
12
ci ∈{ −1,0,1} , i = 1,...,12 , không đồng thời bằng 0 sao cho ∑ ci ai chia hết cho 4095.
i =1
p
2
*
Câu V ( 4 điểm) Cho f ( x ) = x + x + p; p ∈¥ . Biết rằng các số f ( 0 ) , f ( 1) ,..., f ÷ là các
3
số nguyên tố. Chứng minh rằng f ( 0 ) , f ( 1) ,..., f ( p − 2 ) cũng là các số nguyên tố.
----------------- Hết ----------------Người ra đề:
Trần Thị Hà Phương – 0983207082.
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
BẮC GIANG.
CÂU
ĐK x ≥ 3. Bpt tương đương
⇔ 7x − 7x − 9 <
( x + 2 ) ( x − 3) + 2
⇔ 6 x 2 − 14 x − 7 < 4
( 2 x + 1) ( x − 3) .
2
(
Câu I
(4
điểm)
ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỀ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN X
NỘI DUNG
2x + 1
2
ĐIỂM
1,0
x+2
)
⇔ 3 2 x 2 − 5 x − 3 − 4 2 x 2 − 5 x − 3. x + 2 + ( x + 2 ) < 0.
1,0
2 x2 − 5x − 3
2 x2 − 5x − 3
⇔ 3×
−4
+ 1 < 0.
x+2
x+2
1,0
18 x 2 − 46 x − 29 > 0
⇔ 2
2 x − 6 x − 5 < 0
1,0
23 − 1051
x <
18
⇔ x > 23 + 1051
18
3 − 19
3 − 19
2
Kết hợp và so sánh với đk, ta được
23 + 1051
3 + 19
18
2
Câu II
(4điểm
)
0,5
Ta thấy AB, CD, MN lần lượt là trục đẳng phương của các cặp đường tròn (AOB) và
(O); (AOB) và (COD); (COD) và (O) nên AB, CD, OM đồng quy tại tâm đẳng
phương S. SO cắt (O) tại E, F.
2
1,0
Ta có SE.SF = SA.SB = SM .SO và O là trung điểm EF nên theo hệ thức Maclaurin, ta
có (SMEF) = -1 , do đó M thuộc đường đối cực của S (1).
Mà I cũng thuộc đường đối cực của S (2)
Từ (1) và (2) suy ra IM là đường đối cực của S, do đó góc IMO bằng 90 o. Tương tự
góc INO bằng 90o, ta có đpcm
1,5
1,0
BĐT tương đương với
æ 2
ç
ç
ç
è2 - ab
Câu
III
(4điể
m)
ö æ 2
÷
1÷
+ç
ç
÷
ç2 - bc ÷
ø è
ö æ 2
÷
1÷
+ç
ç
÷
ç2 - ca ÷
ø è
ö 9
ab
bc
ca
3
÷
1÷
£ - 3Û
+
+
£
÷
÷ 2
2 - ab 2 - bc 2 - ca 2
ø
1,0
ab
2ab
2ab
2ab
=
= 2
£ 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 - ab 2 a + b + c - 2ab a + b + c + c + (a - b)
a + b + c2 + c2
1,0
1
(a + b)2
1æ
a2
b2 ö
÷
ç
÷(Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz)
£
+
ç
2
2
2
2
2
2
2
2÷
ç
÷
2 (c + a ) + (c + b ) 2ç
c +b ø
èc + a
bc
1æ b2
c2 ö
ca
1æ
c2
a2 ö
÷
÷
ç
÷
÷
£ ç
+
;
£
+
ç
ç
Tương tự ta có
÷
2
2
2
2÷
2
2
2
2
ç
ç
÷2 - ca 2ç
÷
2 - bc 2ç
a +c ø
a +b ø
èa + b
èc + b
1,0
(
)
£
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có đpcm, chỉ ra dấu "=" khi a = b = c =
2
.
3
1,0
12
Xét tất cả các số Aj = ∑ bi ai , trong đó bi ∈ { 0;1} , i = 1,...,12 . Có tất cả 212 = 4096 các
i =1
Câu
IV
(5điể
m)
Câu
V
(4điể
m)
số Aj , j = 1, 2,..., 4096 , khác nhau như thế.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại Ak , Ah khi chia cho 4095 có cùng số dư. Giả sử đó
12
1,0
12
là Ak = ∑ bki ai và Ah = ∑ bhi ai .
i =1
i =1
12
12
12
i =1
i =1
i =1
Ta có Ak − Ah = ∑ bki ai − ∑ bhi ai = ∑ ( bki − bhi ) ai M4095.
Đặt ci = bki − hki . Vì bki , hki ∈ { 0,1} nên ci ∈{ −1, 0,1} , i = 1,...,12 và các số ci không đồng
thời bằng 0 (Do Ak , Ah phân biệt ). Ta có đpcm.
f ( 0 ) = p là số nguyên tố nên p ≥ 2.
f ( p − 1) = p 2 là hợp số, do đó tồn tại y ∈ ¥ * nhỏ nhất sao cho f ( y ) là hợp số.
Ta chứng minh y = p − 1 bằng phản chứng.
Giả sử y ≤ p − 2 . Gọi q là ước nguyên tố nhỏ nhất của f ( y ) .
( p − 2) + ( p − 2) + p ≤ p
Với x ∈ ¥ * xét f ( y ) − f ( x ) = ( y − x ) ( x + y + 1) .
q≤
1,0
f ( y ) ≤ f ( p − 2) =
1,0
1,0
1,0
2
1,0
Khi cho x nhận các giá trị 0,1,..., y − 1 thì y − x nhận các giá trị y, y − 1,...,1 ; còn
x + y + 1 nhận các giá trị y + 1,..., 2 y .
Do đó nếu q ≤ 2 y ⇒ ∃x ∈ { 0,1,..., y − 1} sao cho f ( y ) − f ( x ) Mq ⇒ f ( x ) Mq .
2
Do x ≤ y − 1 nên f ( x ) là số nguyên tố hay f ( x ) = q . Mà f ( x ) = x + x + p > q , vô lý.
Nếu q > 2 y ⇒ q ≥ 2 y + 1 ⇒ q 2 ≥ 4 y 2 + 4 y + 1. Mà q ≤
3
f ( y ) nên
1,0
1,0
f ( y ) = y2 + y + p ≥ q2 ≥ 4 y2 + 4 y + 1
⇒ 3y2 ≤ p −1 − 3 y < p ⇒ y <
p
p
⇒ y≤
3
3
Theo gt thì f ( y ) là số nguyên tố, mâu thuẫn.
Vậy giả sử là sai, do đó y ≥ p − 1 , đpcm.
4
