- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Toan 10 ha giang
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (120.45 KB, 4 trang )
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI OLIMPIC HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X- NĂM 2014
HÀ GIANG
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Tổ Toán- Tin
Môn: Toán - Lớp 10
3 ( x 2 + y 2 ) + 6 xy = 8 6
Câu 1 (4 điểm): Giải hệ phương trình:
x
y 4 6
+
=
6
6
6
Câu 2 (5 điểm): Cho ABCD là tứ giác nội tiếp có giao điểm P của hai đường phân
giác của góc BAD và BCD nằm trên đường chéo BD. Gọi Q là trung điểm BD.
Đường thẳng qua C song song với AD cắt tia AQ tại K nằm ngoài tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng: Tam giác CDK cân.
Câu 3 ( 4 điểm): Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh
rằng:
2
5
36 2 + 104 5
+ 3
3 >
xy 3x + 3 y
81
Câu 4 (4 điểm): Trên đường tròn cho 100 điểm được đánh số một cách ngẫu
nhiên bởi các số từ 1 đến 100 . Chứng minh rằng có ít nhất ba điểm liên tiếp mà
tổng của ba số tương ứng với ba điểm đó không nhỏ 152 .
Câu 5 (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
x 2012 + y 2012 = 20142012
----------Hết--------Người đề xuất
Câu 1: Nguyễn Công Tĩnh - Số điện thoại: 091 325 6001
Câu 2: Đinh Ngọc Diệp - Số điện thoại: 091 328 1884
Câu 3: Nguyễn Thị Lê Quỳnh - Số điện thoại: 091 327 8968
Câu 4: Võ Thị Thanh Huyền - Số điện thoại: 094 604 6 913
Câu 5: Đỗ Thu Hạnh - Số điện thoại: 091 543 5075
ĐÁP ÁN
3 ( x 2 + y 2 ) + 6 xy = 8 6
Câu 1 (5 điểm): Giải hệ phương trình:
x
y 4 6
+
=
6
6
6
Giải:
ĐK: x ≥ 0, y ≥ 0
2. x 2 + y 2 + 2. 2 xy = 16
2. x 2 + y 2 + 2. 2 xy = 16
⇔
Hệ đã cho tương đương:
x+ y =4
x + y + 4 xy = 16
2 ( x 2 + y 2 ) + 4 xy = 16
2 ( x2 + y 2 ) = x + y
⇔
⇔
x + y + 4 xy = 16
x + y + 4 xy = 16
( x − y ) 2 = 0
x= y
⇔
⇔
x + y + 4 xy = 16
x + y + 4 xy = 16
x = 4
⇔
y = 4
Vậy nghiệm của hệ là ( x; y ) = ( 4; 4 )
Câu 2 (5 điểm): Cho ABCD là tứ giác nội tiếp có giao điểm P của hai đường phân
giác của góc BAD và BCD nằm trên đường chéo BD. Gọi Q là trung điểm BD.
Đường thẳng qua C song song với AD cắt tia AQ tại K nằm ngoài tứ giác ABCD.
Chứng minh rắng: Tam giác CDK cân.
Giải:
A
Q
B
D
P
C
K
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo định lý Ptôlêmê ta có:
AB.CD+AD.BC=AC.BD(1)
Vì AP, CP tương ứng là phân giác góc A và C nên
AB PB CB
=
=
⇒ AB.CD = AD.BC (2)
AD PC CD
Từ (1) và (2) suy ra 2 AB.CD = AC.BD
Mà Q là trung điểm BD nên BD=2BQ
Do đó: AB.CD=AC.BQ hay
AB BQ
=
.Mà ·ABQ = ·ACD (góc nội tiếp chắn cung AD)
AC CD
nên
∆ABQ : ∆ACD ⇒ ·AQB = ·ADC
·
Mà ·AQB = DQK
(đối đỉnh)
·ADC = DCK
·
(so le trong)(*)
·
·
·
·
= DCK
⇒ Tứ giác CQDK nội tiếp ⇒ BQC
= CKD
Suy ra DQK
(**)
·
= ·ADC (***)
Chứng minh tương tự ∆QBC : ∆DAC ⇒ BQC
·
·
Từ (*),(**),(***) ⇒ DCK
= CKD
Suy ra tam giác DCK cân tại K.
Câu 3 ( 4 điểm): Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh
rằng:
2
5
36 2 + 104 5
+ 3
3 >
xy 3x + 3 y
81
Giải:
1
1
1
1
4
4
+ 3
=
+ 3
> 2
=
=4
3
3
3
3
3 xy x + y
3xy ( x + y ) x + y
x + 3 xy ( x + y ) + y
( x + y)
1
1
1
(1)
4
Mặt khác, ( x + y ) ≥ 4 xy ⇒ 4 xy ≥ x + y 2 = 1 ⇒ 9 xy ≥ 9 (2)
(
)
2
Từ (1) và (2) ta có:
(
)
2
5
9 2− 5
5 1
1 4 9 2 − 5 4 5 36 2 + 104 5
+ 3
+
+
+
=
3 =
÷>
3
3
xy 3x + 3 y
9 xy
3 x + y 3 xy
81
3
81
Câu 4 ( 4 điểm) : Trên đường tròn cho 100 điểm được đánh số một cách ngẫu
nhiên bởi các số từ 1 đến 100 . Chứng minh rằng có ít nhất ba điểm liên tiếp mà
tổng của ba số tương ứng với ba điểm đó không nhỏ 152 .
Giải :
Giả sử a1 , a2 ,..., a100 là cách đánh số ngẫu nhiên cho 100 điểm trên đường
tròn. ( ai Î { 1,2,...,100} , ai ¹ a j , " i ¹ j ; i, j = 1,2,...,100 ).
Như vậy ta có các bộ 3 số tương ứng với 3 đỉnh liên tiếp là
( a1 , a2 , a3 ),( a2 , a3 , a4 ), ( a3 , a4 , a5 ),...,(a100 , a1 , a2 ) .
Rõ ràng ta có 100 bộ ba số và các tổng tương ứng là:
a1 + a2 + a3 , a2 + a3 + a4 , a3 + a4 + a5 ,..., a100 + a1 + a2 .
Trong các bộ ba số nói trên, mỗi số trong các số từ 1 đến 100 xuất hiện trong
đúng 3 bộ. Do đó, tổng các số của các tổng những bộ ba trên là:
100.101
3(1 + 2 + ... +100) = 3
= 15150
2
Vì 15150 > 100.151 , nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất một tổng không
nhỏ hơn 152.
Câu 5 (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
x 2012 + y 2012 = 20142012
Giải:
Theo giả thiết ta có 0 < x,y < 2014, x, y ∈ ¢ + (1)
Giả sử x ≥ y ta có x + 1 ≤ 2014 theo giả thiết ta có
20142012 ≥ ( x + 1)
2012
= x 2012 + 2012 x 2011 + ... + 2012 x + 1
⇒ x 2012 + y 2012 > x 2012 + 2012 x 2011 ⇔ y 2012 > +2012 x 2011
Do x ≥ y nên
2012
> 2012 x 2011
x > 2012
x
⇔
2012
2011
> 2012 y
y
y > 2012
(2)
Từ (1) và (2) ta có x = y = 2013
