ĐỀ THI HSG TOÁN 9 NĂM 2016
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (186.27 KB, 4 trang )
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 9 - Năm học 2015 - 2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
MÃ KÝ HIỆU
[******]
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức :
A=
x+ y x+ y
y
x
:
−
+
÷−
x + y x − y y − xy
xy + x ÷
(
x− y
)
2
2
Với x > 0 ; y > 0 và x ≠ y
1) Rút gọn A
y = ( x + 1) 2
2) Tìm x và y sao cho
A = −1
Câu 2 (2 điểm)
1) Cho phương trình :
x 2 − (3m − 2) x + 2m 2 − 5m − 3
=0
x 2 + 5 x − 14
Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất.
2) Giải phương trình :
(
)
)(
x + 5 − x + 2 1 + x 2 + 7 x + 10 = 3
Câu 3 (2 điểm)
1) Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2
Chứng minh rằng n2 + m không là số chính phương.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
( x + y + 1)
2
xy + x + y
+
xy + x + y
( x + y + 1)
2
Với x, y là các số thực dương.
Câu 4 (3 điểm)
Cho (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O)
(với B, C là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE với (O) (D nằm giữa A và E ; DE không đi
qua O). Gọi H là trung điểm của DE còn F và I lần lượt là giao điểm của BC với OA và DE.
Gọi K là giao điểm thứ hai của BH với (O).
1) Chứng minh rằng HO là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của ∆BCH.
2) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF luôn thuộc một đường cố định
khi cát tuyến ADE quay quanh A.
3) Hãy xác định vị trí của cát tuyến ADE để ∆AKE có diện tích lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm) : Xếp 10 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 10 thành một vòng tròn theo thứ tự
tùy ý. Chứng minh rằng tồn tại ba số ở ba vị trí liên tiếp có tổng lớn hơn hoặc bằng 17.
--------------------Hết-------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 9 - Năm học 2015 - 2016
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 3 trang)
MÃ KÝ HIỆU
[******]
Chú ý :
- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa ở câu đó trong biểu điểm
- Điểm bài thi là tổng điểm của các câu làm đúng và không làm tròn.
Câu
Đáp án
Điểm
1. (1 điểm)
A=
=
{
x− y
−
2
x− y
2
x − y khi 0 < x < y
0
khi x > y > 0
1
(2 điểm) 2. (1 điểm)
x + 1 = y
y = ( x + 1) 2
x > 0; y > 0
⇔
ta có
x ≠ y
A = −1
x − y = −1
Suy ra : x + 1 = x + 1 ⇔ x = x ⇔ x = 1 (vì x > 0) ⇒ y = 4
Với
Kết luận (x; y) = (1; 4) là cặp giá trị cần tìm
1. (1 điểm)
ĐKXĐ : x ≠ 2 ; x ≠ -7
Với x ≠ 2 ; x ≠ -7 pt ⇔ x 2 − (3m − 2) x + 2m 2 − 5m − 3 = 0
PT có hai nghiệm : x = 2m + 1 và x = m – 3
Khi đó :
1
1
⇒ pt có nghiệm duy nhất x = −2
2
2
Với m − 3 = 2 ⇔ m = 5 ⇒ pt có nghiệm duy nhất x = 11
Với m − 3 = −7 ⇔ m = −4 ⇒ pt vô nghiệm
Với 2m + 1 = −7 ⇔ m = −4 ⇒ pt vô nghiệm
1
Vậy giá trị cần tìm của m là m ∈ { ; 5}
2
Với 2m + 1 = 2 ⇔ m =
2
(2 điểm) 2. (1 điểm)
ĐKXĐ : x ≥ -2
Đặt x + 5 = a, x + 2 = b (a > b ≥ 0; a 2 − b 2 = 3) . Đưa pt về
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25
điểm
0,25
điểm
0,25
điểm
0,25
điểm
(a − b)(1 + ab) = a 2 − b 2
⇔ (a − b)(1 − a )(1 − b) = 0
1 − a = 0
a = 1
⇔
⇔
1 − b = 0
b = 1
Với a = 1 thì x = -4 ( loại)
Với b = 1 thì x = -1 (thỏa mãn đk)
Vậy x = -1 là nghiệm của pt
0,5điểm
0,5điểm
1. (1 điểm)
Giả sử n 2 + m = k 2 (1) k ∈ ¥ *
*
Vì m là ước nguyên dương của 2n2 ⇒ 2n2 = mp ( p ∈ ¥ ) (2)
Từ (1) và (2) có :
n2 +
2n 2
= k2
p
0,25
điểm
⇔ n 2 p + 2n 2 = pk 2
⇔ n 2 p 2 + 2n 2 p = p 2 k 2 ⇔ n 2 ( p 2 + 2 p ) = p 2 k 2
Suy ra p 2 + 2 p là số chính phương ( vô lí) vì p 2 < p 2 + 2 p < ( p + 1) 2
Suy ra điều giả sử là sai ⇒ đpcm
0,5 điểm
0,25
điểm
2. (1 điểm)
3
(2 điểm)
( x + y + 1) 2
≥3
Với x > 0 ; y > 0 ta chứng minh
xy + x + y
⇔ ( x + y + 1) 2 ≥ 3( xy + x + y )
⇔ x 2 + y 2 − xy − x − y + 1 ≥ 0
⇔ ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( x − y ) 2 ≥ 0
0,25
điểm
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = y = 1
1
( x + y + 1) 2
A = a +
=a⇒
a
Đặt
xy + x + y
a ≥ 3
8
a
1
8
a 1
10
Có A = a + + ÷ ≥ ×3 + 2 × =
( theo BĐT Cô-si)
9
9 a
3
9 a 9
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = 3 ⇔ x = y = 1
Vậy Amin =
10
⇔x=y=1
3
0,5 điểm
0,25
điểm
1. (1 điểm)
0,25
điểm
Ta có A, B, C, H, O thuộc đường tròn đường kính OA
Mà AB = AC
4
(3 điểm) ⇒ ·AHB = ·AHC
⇒ HA là tia phân giác của góc BHC mà OH ⊥ HA
⇒ HO là tia phân giác ngoài tại đỉnh H của ∆BHC
2. (1 điểm)
0,75
điểm
Chứng minh AD.AE = AB2 và AF.AO = AB2
AD AF
=
AO AE
·
·
∆AOE (c.g.c) ⇒ AFD
= AEO
⇒ AD.AE = AF.AO ⇒
⇒ ∆ADF :
⇒ Tứ giác DEOF nội tiếp và OF là dây cung cố định
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF luôn thuộc đường trung trực của
OF (đpcm)
3. (1 điểm)
·
AC là tiếp tuyến của (O) ⇒ ·ACB = CKB
Vì tứ giác ABHC nội tiếp ⇒ ·ACB = ·AHB
·
Suy ra ·AHB = CKB
⇒ CK // AE
⇒ khoảng cách từ C và K đến AE bằng nhau
⇒ SAKE = SACE
Kẻ EG ⊥ AC ⇒ EG ≤ CE ≤ 2R
SACE =
1
AC.EG ≤ AC.R (không đổi)
2
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ CE = 2R ⇔ CE là đường kính của (O)
Vậy SAKE đạt max khi cát tuyến ADE đi qua điểm E đối xứng với C qua
O.
Giả sử xếp 10 số tự nhiên đó thành vòng tròn theo thứ tự các số là :
a1 ; a2 ; a3 ; … ; a10
Xét các tổng ba số ở ba vị trí liên tiếp
a1 + a2 + a3; a2 + a3 + a4 ; …; a8 + a9 + a10; a9 + a10 + a1; a10 + a1 + a2
Có 10 tổng như thế và mỗi số tự nhiên từ 1 đến 10 lặp lại ba lần trong
5
các tổng
(1 điểm) Tổng của 10 tổng đó là: 3(1 + 2 + 3 + …+ 10) = 165
Nếu cả 10 tổng đều nhỏ hơn 17 thì tổng của 10 tổng đó nhỏ hơn hoặc
bằng 160 (vô lí)
Vậy tồn tại ba số ở ba vị trí liên tiếp có tổng lớn hơn hoặc bằng 17
(Đpcm)
Ban giám hiệu duyệt
Ý kiến của Tổ/Nhóm
0,25
điểm
0,5 điểm
0,25
điểm
0,25
điểm
0,25
điểm
0,25
điểm
0,25
điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Hải Phòng, ngày 14/1/2016
Giáo viên ra đề
