- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 9
ĐỀ THI HSG TOÁN 9 NĂM 2016
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (130.93 KB, 5 trang )
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 5 câu 1 trang
MÃ KÍ HIỆU
***********
Bài 1(3điểm)
3
3
x
3
+ 3
+
+ 1÷
÷
1, Cho biểu thức Q = 2
÷
÷
x + x 3 + 3 x − 27 3 x
a/ Rút gọn biểu thức Q.
b/ Tính giá trị của biểu thức Q khi x = +
5 − 3 − 29 − 12 5 .
2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 .
Bài 2: (2 điểm)
a) Biết a, b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1
a 2 + b2
≥2 2.
Chứng minh :
a −b
b) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho :
abc = n 2 − 1
với n là số nguyên lớn hơn 2.
2
cba = ( n − 2 )
Bài 3 : (2 điểm)
a , Giải phương trình :
( x-3)(x+1) + (x-3) = -3
b, Tìm nghiệm của phương trình
x 2 − 25 = y ( y + 6)
Bài 4 (2 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường
tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông
góc với AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.
a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.
Bài 5:( 1 điểm)
Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại
tiếp các tam giác ABD và ABC. Chứng minh :
1
1
4
+ 2 = 2.
2
R
r
a
----------------Hết---------------( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
MÃ KÍ HIỆU
***********
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
CÂU
NỘI DUNG CẦN ĐẠT
ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 3
x
3
3
3
+ 3
+
+ 1
A = 2
x
x + x 3 + 3 x − 27 3
x 2 + x 3 + 3
3
3
+
= 2
2
3x
x + x 3 + 3 ( x − 3 )( x + x 3 + 3)
x 2 + x 3 + 3
( x − 3) 3 + 3
=
2
3x
( x − 3 )( x + x 3 + 3)
1
=
x− 3
Ý
1.
a)
(1điểm)
Bài 1
(3đ)
1
b)1điểm
Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
Ta có :
x= +
= +
= +
= +
= +1
Thay x = 3 + 1 vào A ta có:
A=
2.(1đ)
1
=
x− 3
=1
Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b),
Đặt a= 3 3 + 2 2 , b= 3 3 − 2 2
Ta có
⇒ x= a+b ⇒ x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x ⇒ x3- 3x = 6
Suy ra B = 2006
ĐIỂM
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
a)(1đ)
* Vì a.b = 1 nên
a 2 + b 2 ( a − b ) + 2ab ( a − b ) + 2
2
=
=
= ( a − b) +
a −b
a −b
a −b
a −b
2
0,25
2
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
Bài 2
(2đ)
Ta có : ( a − b ) +
Vậy
b)1đ
2
≥2
a −b
2
a−b
( a − b) ×
0,5
a 2 + b2
≥2 2
a −b
0,25
(1)
abc = 100a + 10b + c = n 2 − 1
Viết được cba = 100c + 10b + a = n 2 − 4n + 4 (2)
0,25
0,25
Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5
=> 4n – 5 + 99 (3)
Mặt khác :
100 ≤ n 2 − 1 ≤ 999 ⇔ 101 ≤ n 2 ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31
⇔ 39 ≤ 4n − 5 ≤ 119
Từ (3) và (4)
=> 4n – 5 = 99
Vậy số cần tìm abc = 675
0,25
(4)
=> n = 26
ĐK: ≥ 0 ⇔ (*)
a)(1đ)
Bài 3
(2đ)
b)(1đ)
0,25
0,25
Đặt t = (x-3) , suy ra (x-3)(x+1) = t2
Khi đó phương trình có dạng : t2+4t+3 =0⇔
* Với t= -3, ta được :
(x-3) = -3 ⇔ ⇔
⇔
⇔ x = 1- , thoả mãn điều kiện (*)
* Với t=-1, ta được:
(x-3) = -1 ⇔ ⇔
⇔ ⇔ x= 1- , thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có hai nghiệm x=1- và x= 1-
0,25
0,25
Từ x 2 − 25 = y ( y + 6)
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
Khi đó ta thấy:
0,25
( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ. Ta lại
có tích của chúng là số chẵn, vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3x) là 2 số chẵn .
Ta chỉ có cách phân tích -16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:
0,25
- 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8)
Ta có bảng giá trị sau :
y+3+x 8
-2
2
-8
4
-4
0,25
y+3-x -2
8
-8
2
-4
x
5
-5
5
-5
4
y
0
0
-6
-6
-3
Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm:
( x,y) = ( ±5, 0 ) ; ( ±5, −6 ) ; ( ±4, −3) .
4
-4
-3
0,25
C
J
Bài 4
(2đ)
A
I
M
0,25
O
O
’
B
D
a)(1đ)
a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB
⊥ CD : gt) ⇒ ACMD là hình thoi ⇒ AC // DM, mà AC ⊥
CB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)
⇒ DM ⊥ CB; MJ ⊥ CB (do J thuộc đường tròn đường kính
MB)
⇒ D, M, J thẳng hàng.
ˆ + IMD
ˆ = 900 (vì DIM
ˆ = 900 )
Ta có : IDM
ˆ = IDM
ˆ (do IC = IJ = ID : ∆ CJD vuông tại J có JI là
Mà IJM
trung tuyến)
ˆ ' = JMO
ˆ ' = IMD
ˆ (do O’J = O’M : bán kính đường tròn
MJO
ˆ ' và IMD
ˆ đối đỉnh)
(O’); JMO
·
ˆ + MJO
ˆ ' = 900 ⇒ IJO
⇒ IJM
= 90 0⇒ IJ là tiếp tuyến của
(O’),
J là tiếp điểm
b) Ta có
0,25
0,25
0,25
IA = IM
⇒ IO’ =
b)(1đ)
AB
= R (R là bán kính của (O))
2
O’M = O’B (bán kính (O’)
∆ JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
Mà IJ2 + O’J2 ≥ 2IJ.O’J = 4SJIO’
Do đó SJIO’
0,25
≤
R2
4
0,25
0,25
SJIO’ =
R2
khi IJ = O’J và ∆ JIO’ vuông cân có cạnh huyền
4
IO’ = R nên :
R 2
2O’J2 = O’I2 = R2 ⇒ O’J =
0,25
2
Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R 2
Bài 5
(1đ)
B
E
M
A
O
C
I
K
D
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực
của đoạn thẳng BD, BD là đường trung trực của AC. Do
vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đường trung trực của
đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I, K là tâm đường
tròn ngoại tiếp các tam giác ADB, ABC.
Từ đó ta có KB = r và IB = R. Lấy một điểm E đối xứng
với điểm I qua M. Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai
đường chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại
trung điểm mỗi
đường)
·
·
·
·
Ta có : BAI
= EBA
mà BAI
=900
+ BAO
·
⇒ EBA
+ ·ABO =900
·
Xét ∆ EBK cã EBK
=900 đường cao BM.Theo hệ thức
1
1
1
+
=
2
2
BE
BK
BM 2
a
1
1
4
Mà BK = r , BE = BI = R; BM =
Nªn ⇒ 2 + 2 = 2
2
R
r
a
trong tam giác vuông ta có:
0,25
0,25
0,25
(§pcm)
0,25
( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm )
