BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ SEN

TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA MỘT SỐ PHÉP LẶP
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ SEN

TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA MỘT SỐ PHÉP LẶP
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Khải

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Văn Khải,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người
thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, 10 tháng 6 năm 2016
Tác giả

Phạm Thị Sen


LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành Toán giải tích với đề tài “Tốc độ hội tụ của một số phép lặp trong
không gian Banach” được hoàn thành bởi sự nhận thức của bản thân,
không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, 10 tháng 6 năm 2016
Tác giả


Phạm Thị Sen


Mục lục

Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

1.2

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Sự hội tụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6


1.1.2

Tập mở, tập đóng và ánh xạ liên tục . . . . . . . . .

8

1.1.3

Không gian metric đầy đủ

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . . 11

1.2.3

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.4

Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 14

2 Sự hội tụ của một số dãy lặp
2.1


2.2

. . . . . . . . . . . . . . 10

17

Ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1

Điểm bất động

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2

Ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3

Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . . 18

Dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa, hai bước . . . . . . . . . . 19
2.2.1

Dãy lặp Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2

Dãy lặp Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1



2.3

2.2.3

Dãy lặp Ishikawa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.4

Dãy lặp hai bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Ánh xạ Zamfirescu và sự hội tụ của dãy lặp Picard, Mann,
Ishikawa, hai bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1

Ánh xạ Zamfirescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2

Sự hội tụ của dãy lặp Picard . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3

Sự hội tụ của dãy lặp Mann

2.3.4


Sự hội tụ của dãy lặp Ishikawa . . . . . . . . . . . . 26

2.3.5

Sự hội tụ của dãy lặp hai bước . . . . . . . . . . . . 27

2.3.6

Mối liên hệ về điểm bất động của các dãy lặp Picard,

. . . . . . . . . . . . . 25

Mann, Ishikawa và dãy lặp hai bước . . . . . . . . . 29
3 So sánh tốc độ hội tụ của một số dãy lặp

34

3.1

So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp Picard và dãy lặp hai bước . . 34

3.2

So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp hai bước và dãy lặp Mann . . 41

3.3

So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp hai bước và dãy lặp Ishikawa

3.4


So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp Picard và dãy lặp Mann . . . 54

47

Kết luận

61

Tài liệu tham khảo

62

2


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động xuất hiện đã lôi cuốn sự quan tâm nghiên cứu
của nhiều nhà toán học trên thế giới không chỉ vì lý thuyết này đóng vai
trò quan trọng trong toán học mà còn vì những ứng dụng của nó ở nhiều
lĩnh vực khác nhau. Trong lý thuyết điểm bất động, phương pháp lặp xấp
xỉ các điểm bất động là một đề tài đang được đặt biệt chú ý. Nhiều năm
trở lại đây, có rất nhiều công trình nghiên cứu về phương pháp lặp xấp
xỉ các điểm bất động trong không gian metric, một số lớp của không gian
Banach, các không gian Hilbert được công bố.
Với mong muốn nghiên cứu một số vấn đề về lý thuyết điểm bất động,
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải tôi đã hoàn thành luận
văn với đề tài "Tốc độ hội tụ của một số phép lặp trong không gian

Banach". Nội dung luận văn cơ bản dựa trên hai công trình: The comparion of the convergence speed between Picard, Mann, Ishikawa
and two-step iterations in Banach spaces. Acta Mathematica Vietnamica, vol 37, Number 2, 2012, pp 243-249 của DuongVietThong; Picard iteration converges faster than Mann iteration for a class of
quasi-contraction operators. O. Popescu, (2007), Math. Commun, 12,
pp 195-202.

3


2. Mục đích nghiên cứu
So sánh tốc độ hội tụ của các phép lặp Picard, Mann, Ishikawa và lặp
hai bước trong không gian Banach.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về các phép lặp Picard, Mann, Ishikawa, lặp hai bước, toán
tử Zamfirescu và so sánh tốc độ hội tụ giữa các phép lặp đó trong không
gian Banach.
Luận văn được chia làm ba chương:
Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số vấn đề về sự hội tụ
của dãy số, chuỗi số trong không gian metric, không gian định chuẩn và
không gian Banach.
Chương 2 : Sự hội tụ của một số dãy lặp. Trình bày các kết quả liên
quan đến sự tồn tại điểm bất động với nguyên lý ánh xạ co Banach, ánh xạ
Zamfirescu và sự hội tụ tới điểm bất động của các dãy lặp Picard, Mann,
Ishikawa và dãy lặp hai bước.
Chương 3 : So sánh tốc độ hội tụ của một số dãy lặp. Trình bày
các kết quả so sánh tốc độ hội tụ của các dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa
và dãy lặp hai bước.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu là các phép lặp Picard,

Mann, Ishikawa, lặp hai bước và toán tử Zamfirescu trong không gian
Banach.

4


5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm.

6. Đóng góp của luận văn
Luận văn đã hệ thống hóa các vấn đề về tốc độ hội tụ của các phép
lặp Picard, phép lặp Mann, phép lặp Ishikawa và phép lặp hai bước trong
không gian Banach.

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Không gian metric
Sự hội tụ

Định nghĩa 1.1.1. ([1]) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng. Hàm số

ρ : X × X → R được gọi là một metric hay một khoảng cách trên X nếu
các tính chất sau thỏa mãn:

(i)

ρ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X , ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ;

(ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X (tính đối xứng);
(iii) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác).
Nếu ρ là một metric trên X thì ta nói cặp (X, ρ) được gọi là một không
gian metric. Để đơn giản ta có thể viết X là không gian metric.
Ví dụ 1.1.1. ([1]) Hàm số ρ(x, y) = |x − y| là một metric trên tập số thực
R và được gọi là metric thông thường trên R. Tập số thực R với metric
thông thường được gọi là đường thẳng thực.
Ví dụ 1.1.2. ([1]) Giả sử C là trường số phức.
Với mỗi cặp số phức z = x + iy, z = x + iy (x, y, x , y ∈ R) đặt

ρ(z, z ) =

(x − x )2 + (y − y )2 .

6


Khi đó ρ là một metric trên C, được gọi là metric thông thường trên C.
Không gian C với metric thông thường được gọi là mặt phẳng phức.
Ví dụ 1.1.3. ([1]) Giả sử Rk là không gian vectơ thực k chiều.
Với x = (x1 , ..., xk ), y = (y1 , ..., yk ) của Rk , ta định nghĩa
k

|xi − yi |;

ρ1 (x, y) =

i=1

1
2

k

(xi − yi )2

ρ2 (x, y) =

;

i=1

ρ∞ (x, y) = max |xi − yi |.
1≤i≤k

Khi đó có thể thấy ρ1 , ρ2 , ρ∞ là những metric trên Rk .
Định nghĩa 1.1.2. ([1]) Giả sử {xn }∞
n=1 là một dãy điểm trong không
gian metric (X, ρ). Ta nói dãy {xn }∞
n=1 hội tụ đến điểm x ∈ X nếu

lim ρ (xn , x) = 0, nghĩa là với mọi số ε > 0 tồn tại số tự nhiên nε sao cho

n→∞

ρ (xn , x) < ε với mọi n ≥ nε .
Khi đó, điểm x ∈ X được gọi là giới hạn của dãy {xn }∞

n=1 và ta viết

lim xn = x hoặc xn → x.

n→∞

Một dãy gọi là hội tụ nếu nó có một giới hạn nào đó.
Nhận xét 1.1.1. ([1]) Trong một không gian metric, giới hạn của mỗi
dãy hội tụ là duy nhất.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử dãy lim xn trong không gian metric (X, ρ)
n→∞

hội tụ đến hai điểm phân biệt x, y ta có:

0 < ρ (x, y) ≤ ρ (x, xn ) + ρ (xn , y) −→ 0 khi n −→ ∞.
Suy ra ρ (x, y) = 0 hay x = y . Điều này là vô lí.

7


Nhận xét 1.1.2. ([1])
Nếu lim xn = x, lim yn = y thì ta có lim ρ (xn , yn ) = ρ (x, y).
n→∞

n→∞

n→∞

Chứng minh. Thật vậy, với mọi n ∈ N, ta có:


ρ (x, y) ≤ ρ (x, xn ) + ρ (xn , yn ) + ρ (yn , y).
Suy ra

ρ (x, y) − ρ (xn , yn ) ≤ ρ (x, xn ) + ρ (yn , y).
Tương tự, ta có:

ρ (xn , yn ) − ρ (x, y) ≤ ρ (x, xn ) + ρ (yn , y).
Vì vậy

|ρ (xn , yn ) − ρ (x, y)| ≤ ρ (x, xn ) + ρ (yn , y).
Theo giả thiết lim ρ (x, xn ) = 0 và lim ρ (yn , y) = 0.
n→∞

n→∞

Ví dụ 1.1.4. ([1]) Sự hội tụ trên đường thẳng thực R và mặt phẳng phức
C là sự hội tụ của dãy số theo nghĩa thông thường.
Ví dụ 1.1.5. ([1]) Trong không gian Rk , sự hội tụ của dãy
(n)

(n)

xn = (x1 , ..., xk ) đến điểm x = (x1 , ..., xk ) là sự hội tụ theo từng tọa độ.
Định nghĩa 1.1.3. ([8]) Giả sử rằng dãy số thực {xn } hội tụ về số x, dãy
số thực {yn } hội tụ về số y thì {xn } gọi là hội tụ nhanh hơn {yn } nếu

lim

n→∞


1.1.2

xn − x
= 0.
yn − y

Tập mở, tập đóng và ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.1.4. ([1]) Giả sử (X, ρ) là một không gian metric, x0 ∈ X
và r > 0.

(i) Tập B (x0 , r) = {x ∈ X : ρ (x, x0 ) < r} được gọi là hình cầu mở tâm
8


x0 , bán kính r.
(ii) Tập B [x0 , r] = {x ∈ X : ρ (x, x0 ) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng
tâm x0 , bán kính r.
Định nghĩa 1.1.5. ([1]) Giả sử A là tập con của không gian metric (X, ρ).
Điểm x ∈ X được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại số r > 0 sao cho
hình cầu B (x0 , r) ⊂ A.
Định nghĩa 1.1.6. ([1]) Tập A được gọi là tập mở nếu mọi điểm của A
đều là điểm trong của nó, tập A được gọi là tập đóng nếu phần bù X|A
của A là mở.
Ví dụ 1.1.6. ([1]) Trên đường thẳng thực R với a, b ∈ R, a < b, tập (a, b)
là mở, tập [a, b] là đóng, còn [a, b) hay (a, b] không mở cũng không đóng.
Định lý 1.1.1. ([1]) Tập con A của không gian metric (X, ρ) là mở khi
và chỉ khi với mọi dãy {xn } trong X nếu xn −→ x ∈ A thì tồn tại số tự
nhiên n0 sao cho xn ∈ A với mọi n ≥ n0 .
Chứng minh. (⇒) Giả sử A mở, xn là một dãy hội tụ đến điểm x ∈ A .

Do A là mở nên tồn tại số r > 0 sao cho B (x0 , r) ⊂ A. Lại do xn −→ x
nên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho ρ (xn , x) < r hay xn ∈ B (x0 , r) với mọi

n ≥ n0 . Từ đó xn ∈ A với mọi n ≥ n0 .
(⇐) Giả sử phản chứng minh rằng A không mở. Khi đó tồn tại x ∈ A
sao cho x không là điểm trong của A, nghĩa là với mọi r > 0 đều có

B (x0 , r)∩(X|A) = ∅. Suy ra với mọi số tự nhiên dương n tồn tại xn ∈ X|A
1
sao cho ρ (xn , x) < . Ta nhận được dãy {xn } trong X hội tụ đến x ∈ A
n
nhưng xn ∈
/ A với mọi n. Điều này mâu thuẫn với giả thiết, vậy A là
mở.
Định nghĩa 1.1.7. ([1]) Cho f : X −→ Y là một ánh xạ từ không gian
metric (X, ρ) vào không gian metric (Y, d). Ánh xạ f được gọi là liên tục
9


tai x0 ∈ X nếu với mọi số ε > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X ,
từ ρ (x, x0 ) < δ kéo theo d (f (x) , f (x0 )) < ε. Ta nói rằng ánh xạ f liên
tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm của x.
Mệnh đề 1.1.1. ([1]) Ánh xạ f liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi dãy

{xn } ⊂ X, xn −→ x0 kéo theo f (xn ) −→ f (x0 ).
Chứng minh. (⇒) Giả sử ánh xạ f liên tục tại x0 , {xn } ⊂ X và xn −→ x0 .
Ta chứng minh f (xn ) hội tụ đến f (x0 ). Lấy ε > 0 bất kì. Vì f liên tục
tại x0 nên tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X , nếu ρ (x, x0 ) < δ thì

d (f (x) , f (x0 )) < ε. Mặt khác, do xn −→ x0 nên tồn tại n0 ∈ N sao

cho ρ (xn , x0 ) < δ với mọi n ≥ n0 . Từ đó d (f (xn ) , f (x0 )) < ε với mọi

n ≥ n0 . Vậy f (xn ) −→ f (x0 ).
(⇐) Giả sử phản chứng rằng f không liên tục tại x0 . Khi đó tồn tại
ε > 0 để với mọi δ > 0, tồn tại xδ ∈ X sao cho ρ (xδ , x0 ) < δ nhưng
1
ta có xn ∈ X để
d (f (xδ ) , f (x0 )) ≥ ε. Với mỗi n ∈ N∗ , chọn δ =
n
1
ρ (xn , x0 ) < và d (f (xn ) , f (x0 )) ≥ ε. Suy ra xn −→ x0 nhưng f (xn )
n
f (x0 ). Điều này trái với giả thiết, vậy f liên tục tại x0 .
1.1.3

Không gian metric đầy đủ

Giả sử (X, ρ) là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.8. ([1]) Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (hoặc
dãy cơ bản) nếu lim ρ (xn , xm ) = 0, tức là
m,n→∞

∀ε > 0, ∃n0 : ρ (xn , xm ) < ε với mọi m, n ≥ n0 .
Nhận xét 1.1.3. ([1]) Mọi dãy hội tụ trong X đều là dãy Cauchy.

ε
Chứng minh. Ta có lim xn = x0 ⇒ ∀ε > 0, ∃n0 sao cho ρ (xn , xm ) < .
n→∞
2
Suy ra

ε ε
∀n ≥ n0 , m ≥ n0 : ρ (xn , xm ) ≤ ρ (xn , x0 ) + ρ (xm , x0 ) ≤ + = ε.
2 2
10


Nhận xét 1.1.4. ([1]) Dãy Cauchy có thể không hội tụ. Chẳng hạn, Q là
không gian metric với metric:

ρ (x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ Q.
1
(n = 1, 2, ...) là dãy Cauchy trên khoảng (0, 1) nhưng không
n
hội tụ trong khoảng này vì lim xn = x0 ∈
/ (0, 1).
Ta có: xn =

n→∞

Định nghĩa 1.1.9. ([1]) Không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1.7. Không gian R, C là những không gian metric đầy đủ còn Q
thì không phải là không gian metric đầy đủ.

1.2

Không gian định chuẩn

1.2.1


Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1. ([2]) Cho X là không gian vectơ trên trường số thực
R. Hàm số . : E −→ R+ được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính
chất sau thỏa mãn:

(i)
(ii)
(iii)

x ≥ 0 với mọi x ∈ X, x = 0 ⇔ x = 0;
λx = |λ| x với mọi λ ∈ R và với mọi x ∈ X ;
x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X .

Không gian vectơ X trên đó xác định một chuẩn được gọi là không
gian định chuẩn.
1.2.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Nhận xét 1.2.1. Từ định nghĩa suy ra nếu X là một không gian định
chuẩn thì nó là một không gian metric, với metric được định nghĩa bởi

ρ (x, y) = x − y với mọi x, y ∈ X . Khi đó ρ là một khoảng cách trong
11


X . Vì vậy, lí thuyết các không gian metric áp dụng được cho các không
gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.2. ([2]) Giả sử {xn }∞

n=1 là một dãy trong không gian định
chuẩn X . Ta nói dãy {xn }∞
n=1 hội tụ đến điểm x ∈ X nếu lim xn − x = 0,
n→∞

nghĩa là, với moị số ε > 0 tồn tại số tự nhiên nε sao cho xn − x < ε với
mọi n ≥ nε .
Khi đó, điểm x ∈ X được gọi là giới hạn của dãy {xn }∞
n=1 và ta viết

lim xn = x hoặc xn −→ x.

n→∞

Một dãy gọi là hội tụ nếu nó có một giới hạn nào đó.
Mệnh đề 1.2.1. ([2]) Giả sử trong không gian định chuẩn X , xn −→ x0 ,

yn −→ y0 và λn −→ λ0 . Khi đó xn + yn −→ x0 + y0 và λn xn −→ λ0 x0
với xn , yn , x0 , y0 ∈ X, λn , λ0 ∈ R.
Định nghĩa 1.2.3. ([2]) Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được
gọi là dãy Cauchy, nếu

lim

n,m→∞

xn − xm = 0.

Ví dụ 1.2.1. ([2]) (Không gian Euclide n - chiều)
Rn := {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , x2 , ..., xn ∈ R}. Ta xác định chuẩn .


2

trên Rn bởi
1
2

n

x

2

|xi |2

=

(x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn ).

i=1

Ví dụ 1.2.2. Xét không gian C[a, b] các hàm liên tục trên đoạn [a, b] với
phép cộng, phép nhân thông thường. Xét f ∈ C[a, b], f =

b
2
a [f (x)] dx,

khi đó C[a, b] là không gian tuyến tính định chuẩn.
Ví dụ 1.2.3. ([2]) (Không gian các dãy bị chặn). Kí hiệu l∞ là tập hợp

tất cả các dãy số bị chặn trên bởi S và x

∞

= sup |xn | < ∞.
n→∞

12


1.2.3

Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.4. ([2]) Nếu không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ với khoảng cách d(x, y) = x − y thì X được gọi là không
gian Banach.
Ví dụ 1.2.4. ([3]) (Không gian các dãy khả tổng bậc p). Với mỗi số thực

p ≥ 1 tùy ý, ta kí hiệu lp tập hợp tất cả các dãy số (thực hoặc phức) khả
tổng bậc p bởi
N∗

lp := {x = (xn ) ⊂ R

∞

|xn |p < +∞}.

:

n=1

Khi đó lp là một không gian Banach với chuẩn cho bởi
1
p

∞

x

p

|xn |p

=

.

n=1

Định nghĩa 1.2.5. ([2]) Cho X là không gian định chuẩn. Giả sử {xn } ⊂

X , x ∈ X . Dãy {xn } được gọi là hội tụ theo chuẩn tới x nếu {xn } hội
tụ tới x theo metric sinh bởi chuẩn trên X .
Dãy {xn } hội tụ tới x theo chuẩn tương đương với xn − x −→ 0.
Định nghĩa 1.2.6. ([2]) Tập con X trong không gian vectơ E gọi là tập
lồi nếu

[a, b] = {ta + (1 − t)b : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ X với mọi a, b ∈ X .
Ví dụ 1.2.5. Hình cầu B(0, 1) = {x ∈ X : x < 1} là một tập lồi.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử x, y ∈ B, 0 ≤ s ≤ 1. Ta có

sx + (1 − s)y ≤ sx + (1 − s)y
= s x + (1 − s) y
< s + (1 − s) = 1.
Từ đó sx + (1 − s)y ∈ B(0, 1), vậy B(0, 1) là tập lồi.
13


Ví dụ 1.2.6. C = {x ∈ R2 : |x1 | ≤ 1, |x2 | ≤ 2} là một tập lồi.
Chứng minh. Thật vậy ∀x(x1 , x2 ), y(y1 , y2 ) ∈ C .
Ta có |x1 | ≤ 1, |y1 | ≤ 1, |x2 | ≤ 2, |y2 | ≤ 2.
Với s ∈ [0, 1], z = sx + (1 − s)y có

z = sx + (1 − s)y ;
1
1
1
z = sx + (1 − s)y .
2

2

2

Ta có

|z1 | = |sx1 + (1 − s)y1 |
≤ |sx1 | + |(1 − s)y1 |
= s |x1 | + (1 − s) |y1 |

≤ s + (1 − s) = 1.
Và

|z2 | = |sx2 + (1 − s)y2 |
≤ |sx2 | + |(1 − s)y2 |
= s |x2 | + (1 − s) |y2 |
≤ 2s + 2(1 − s) = 2.
Từ đó suy ra sx + (1 − s)y ∈ C , vậy tập C là tập lồi.
1.2.4

Chuỗi trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.7. ([3]) Giả sử E là một không gian định chuẩn. Tổng
hình thức

∞

x1 + x2 + ... + xn + ... =

xn

(1.1)

n=1

với xn ∈ E được gọi là chuỗi trong E và xn được gọi là số hạng tổng
quát của dãy chuỗi (1.1).
Với mỗi n ta đặt
14



Sn = x1 + x2 + ... + xn
ta được dãy {Sn }n∈N ⊂ E , Sn được gọi là tổng riêng thứ n của (1.1).
Định nghĩa 1.2.8. ([2]) Nếu dãy các tổng riêng {Sn } ⊂ E hội tụ tới

S ∈ E thì chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ và S được gọi là tổng của nó.
Ta viết

∞

S=

xn .
n=1

Mệnh đề 1.2.2. ([2]) (Điều kiện cần cho sự hội tụ).
Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì số hạng tổng quát dần tới 0, tức là lim xn = 0
n→∞

∞

xn .

Chứng minh. Thật vậy, giả sử S =
n=1

Khi đó lim xn+1 = lim [Sn+1 − Sn ] = S − S = 0.
n→∞

n→∞


Định lý 1.2.1. ([2]) (Tiêu chuẩn Cauchy)
∞

Chuỗi S =

xn trong không gian Banach E hội tụ khi và chỉ khi
n=1

∀ε > 0, ∃n0 , ∀n > n0 , ∀p ≥ 1 : xn+1 + ... + xn+p < ε.
Chứng minh. Vì E là không gian Banach nên chuỗi hội tụ nếu và chỉ nếu
dãy tổng riêng Sn của nó là dãy Cauchy:

∀ε > 0, ∃n0 , ∀n > n0 , ∀p ≥ 1 : Sn+p − Sn = xn+1 + ... + xn+p <
ε.
∞

Định nghĩa 1.2.9. ([2]) Chuỗi S =

xn trong không gian định chuẩn
n=1

∞

E gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi S =
∞

Bởi vì chuỗi S =

xn hội tụ.

n=1

∞

xn là dãy số dương nên S =
n=1

∞

đối nếu và chỉ nếu dãy các tổng riêng của S =

xn bị chặn, nghĩa là
n=1

m

sup
m≥1

xn
n=1

15

xn hội tụ tuyệt
n=1

< +∞.



Mệnh đề 1.2.3. ([2]) Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ.
∞

an hội tụ và do đó bởi tiêu chuẩn

Chứng minh. Từ giả thiết chuỗi
n=1

Cauchy :

an+1 + an+2 + ... + an+p ≤ ε.
với n ≥ n0 (ε) và với mọi p ≥ 1, ở đó ε > 0 là số cho trước.
Từ đó: an+1 + an+2 + ... + an+p < ε với n ≥ n0 (ε) và với mọi p ≥ 1
∞

an hội tụ.

nên chuỗi
n=1

16


Chương 2

Sự hội tụ của một số dãy lặp
2.1

Ánh xạ co


Trong phần này, chúng ta tìm hiểu về sự tồn tại duy nhất điểm bất động
của ánh xạ co trong không gian Banach.
2.1.1

Điểm bất động

Định nghĩa 2.1.1. ([1]) Cho X là một không gian metric và T : X −→ X
là một ánh xạ liên tục. Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động với

T nếu x = T x.
Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi
nhất là nguyên lý ánh xạ co Banach. Trước khi phát hiện nguyên lý nổi
tiếng này, chúng ta định nghĩa ánh xạ co.
2.1.2

Ánh xạ co

Định nghĩa 2.1.2. ([4]) Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không
gian metric (Z, d) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho

d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với mọi x, y ∈ X .

17


2.1.3

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định lý 2.1.1. ([4]) (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho (X, d) là

một không gian metric đầy đủ và T : X −→ X là một ánh xạ co. Khi đó,
tồn tại duy nhất x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ . Ngoài ra, với mọi x0 ∈ X ta có

T n x0 −→ x∗ khi n −→ ∞.
Chứng minh. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X −→ X
là ánh xạ thỏa mãn: d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với mọi x, y ∈ X , với hằng số

k nào đó, 0 ≤ k < 1.
Lấy điểm bất kì x0 ∈ X , dãy {xn } xác định bởi:

xn = T xn−1 , n ≥ 1.
Khi đó

d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn ).

Ta có

d(T xn−1 , T xn ) ≤ kd(xn−1 , xn )∀n ≥ 1.

Sử dụng điều này liên tiếp ta nhận được

d(xn , xn+1 ) ≤ kd(xn−1 , xn ) ≤ k 2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ ... ≤ k n d(x0 , x1 )∀n ≥ 1.
Từ đây, với mọi n, p ≥ 1, ta có

d(xn , xn+p ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xn+p−1 , xn+p )
≤ (k n + k n+1 + ... + k n+p−1 )d(x0 , x1 )
p
n1 − k
d(x0 , x1 )
=k

1−k
d(x0 , x1 )
≤ kn
−→ 0, n −→ ∞.
1−k
Điều này chứng tỏ {xn } là một dãy Cauchy trong X và do X là đầy
nên suy ra xn −→ x ∈ X . Lấy giới hạn hai vế xn = T xn−1 khi n −→ ∞
và T là liên tục ta có x∗ = T x∗ .
Vậy x∗ là điểm bất động của T .
Giả sử T còn có một điểm bất động x = x∗ . Ta có

0 < d(x∗ , x ) = d(T x∗ , T x ) ≤ kd(x∗ , x ) (vô lí).
18


Vậy x∗ là điểm bất động duy nhất của T .

2.2

Dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa, hai bước

Cho E là một không gian Banach, D là một tập con đóng, lồi của E và

T : D −→ D là một ánh xạ. Cho p0 , v0 , u0 , x0 tùy ý trong D. Khi đó, ta
định nghĩa một số dãy lặp như sau:
2.2.1

Dãy lặp Picard

Định nghĩa 2.2.1. ([8]) Dãy {pn }∞

n=0 được xác định bởi

pn+1 = T pn , ∀n ≥ 0

(2.1)

được gọi là dãy lặp Picard.
2.2.2

Dãy lặp Mann

Định nghĩa 2.2.2. ([8]) Cho {an } là một dãy số thực trong [0, 1]. Dãy

{vn }∞
n=0 ⊂ D được xác định bởi
vn+1 = (1 − an )vn + an T vn , ∀n ≥ 0

(2.2)

được gọi là dãy lặp Mann.
2.2.3

Dãy lặp Ishikawa

Định nghĩa 2.2.3. ([8]) Dãy {un }∞
n=0 ⊂ D được xác định bởi



u

∈ D;

 0
zn
= (1 − bn )un + bn T un ;



u
= (1 − a )u + a T z .
n+1

n

n

n

(2.3)

n

trong đó có {an }, {bn } là hai dãy số thực trong [0, 1] với mọi n ≥ 0, được
gọi là dãy lặp Ishikawa.
19


2.2.4

Dãy lặp hai bước


Định nghĩa 2.2.4. ([8]) Dãy {xn }∞
n=0 ⊂ D được xác định bởi



x
∈ D;

 0
yn
= (1 − bn )xn + bn T xn ;



x
= (1 − a )y + a T y .
n+1

n

n

n

(2.4)

n

trong đó có {an }, {bn } là hai dãy số thực trong [0, 1] với mọi n ≥ 0, được

gọi là dãy lặp hai bước.

2.3

Ánh xạ Zamfirescu và sự hội tụ của dãy lặp Picard, Mann,
Ishikawa, hai bước

2.3.1

Ánh xạ Zamfirescu

Định nghĩa 2.3.1. ([8]) Ánh xạ T : X → X , với X là không gian metric
thỏa mãn điều kiện Zamfirescu (viết tắt là điều kiện Z) nếu tồn tại các
1
số thực a, b, c thỏa mãn 0 < a < 1, 0 < b, c < sao cho với mỗi cặp x, y
2
trong X , ít nhất một điều kiện dưới đây được thỏa mãn:

(i)

Tx − Ty ≤ a x − y ;

(ii)

Tx − Ty ≤ b( x − Tx + y − Ty );

(iii)

Tx − Ty ≤ c( x − Ty + y − Tx ).


Khi đó, ánh xạ T được gọi là ánh xạ Zamfirescu.
Nhận xét 2.3.1. Từ định nghĩa trên thu được kết quả là mỗi ánh xạ
Zamfirescu T đều thỏa mãn bất đẳng thức

T x − T y ≤ δ x − y + 2δ x − T x , ∀x, y ∈ X,
trong đó

δ = max{a,

b
c
,
}, 0 < δ < 1.
1−b 1−c
20

(2.5)


Chứng minh. Thật vậy, ta có T thỏa mãn điều kiện Zamfirescu nếu ít nhất
một trong các điều kiện (i), (ii), (iii) được thỏa mãn.
(i) Nếu điều kiện (i) được thỏa mãn thì biểu thức (2.5) đúng với δ = a.
(ii) Nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn

Tx − Ty ≤ b( x − Tx + y − Ty )
≤ b( x − Tx + y − x + x − Ty )
≤ b( x − Tx + x − y + x − Tx + Tx − Ty )
= b( x − y + 2 x − Tx + Tx − Ty ).
⇒ (1 − b) T x − T y ≤ b x − y + 2b x − T x .
1

Mà 0 < b < , suy ra
2
Tx − Ty ≤

2b
b
x−y +
x − Tx .
1−b
1−b

(iii) Nếu điều kiện (iii) được thỏa mãn

Tx − Ty ≤ c( x − Ty + y − Tx )
≤ c( x − Tx + Tx − Ty + x − y + x − Tx ).
⇒ (1 − c) T x − T y ≤ c x − y + 2c x − T x .
Mà 0 < c <

1
nên ta có
2
Tx − Ty ≤

c
2c
x−y +
x − Tx .
1−c
1−c


Ta giả sử rằng

b
c
,
}.
1−b 1−c
Từ đó ta có: 0 < δ < 1. Suy ra T x − T y ≤ δ x − y + 2δ x − T x
δ := max{a,

với mọi x, y ∈ X .

21