- Trang chủ >>
- Tuyển sinh lớp 10 >>
- Toán
Đáp án đề thi chuyên toán thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHQGHN năm 1998
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (140.34 KB, 3 trang )
Tr
thi toán vào các kh i chuyên
ng HKHTN - HQG Hà N i n m 1998
(Th i gian làm bài: 180 phút)
H
Câu I:
1) i u ki n: x2 ≤ 2. Bình ph
ph ng trình t ng đ ng.
2 – x2 + x2 + 8 + 2
⇔
ng d n gi i:
ng hai v c a ph
(2 − x 2 )( x 2 + 8 ) = 16
x 4 − 6 x 2 + 16 = 3 ⇔ x 4 + 6 x 2 − 7 = 0
x2 = 1
⇔ 2
x = −7
Lo i nghi m x2= - 7
Nghi m c a ph ng trình là x = + 1
x 2 + xy + y 2 = 7(1)
2) Gi i h 4
2 2
4
x + x y + y = 21(2)
(2) ⇔ ( x 2 + y 2 ) 2 − x 2 y 2 = 21
⇔ (x2+y2+xy)(x2+y2-xy) =21
T đó và (1) ⇒ (x2 +y2 – xy)= 3 (3)
x 2 + y 2 = 5
T đó (1) và (3) ⇒
xy = 2
T đó suy ra h đã cho có 4 nghi m:
x =1
x = 2
x = −1
x = −2
y = 2
y =1
y = −2
y = −1
Câu II: Ta có:
(a 3 − 3ab 2 ) 2 = 19 2 (1)
3
2
2
2
(b − 3a b) = 98 (2)
C ng (1) và (2) ta nh n đ c:
a6 + b6 + 3a4b2+ 3a2b4 = 192 + 982
⇔ (a2 + b2)3 = 192 + 982
⇔ a2 + b2 = 3 19 2 + 98 2
Câu III: Do a,b,c ∈ [0,1]
ng trình đã cho ta đ
c
⇒ (1 − a )(1 − b)(1 − c) ≥ 0
⇒ (1 − a − b − c) + ab + bc + ca − abc ≥ 0
⇒ a + b + c − ab − bc − ca ≤ 1 − abc ≤ 1
Chú ý r ng do a,b,c ∈ [0,1] nên b2 < b , c3 < c
V y a + b2+c3 – ab – bc – ca < a+b+c –ab – bc – ca < 1
Câu IV:
1) Vì góc ∠ AIB=900 nên khi M thay đ i ( trên cung l n AB) thì I n m trên
đ ng tròn c đ nh có đ ng kính AB.
1
IJ là trung tuy n tam giác vuông MIN nên IJ = MN. Do t ng 2 cung AB và MN
2
là 1800, AB c đ nh nên MN có đ dài không đ i.
Kéo dài JI c t AB H ta có ∠ JIM= ∠ AIH= ∠ JMI suy ra ∠ IAB + ∠ AIH = 900
hay ∠ IHA=900. o n JI vuông góc v i AB và có đ dài không đ i.
K hai đo n AA’,BB’ vuông góc v i AB và có đ dài b ng JI (A’,B’, I n m cùng
phía đ i v i AB) Φ A’, B’ c đ nh. Do các t giác AA’JI và BB’JI là các hình bình
hành nên ∠ A’JB’= ∠ AIB = 900. V y J n m trên đ ng tròn c đ nh đ ng kính
A’B’.
2) Kéo dài AM m t đo n MN=MB khi đó:
AN=AM+MN=AM+MB
Chu vi c a ∆ AMB b ng AB+AN. Do AB c đ nh nên chu vi ∆ AMB l n nh t
khi AN l n nh t.
G i P, Q l n l t là trung đi m c a cung l n AB và cung nh AB, MP ⊥ MQ
và PQ là đ ng kính c đ nh c a đ ng tròn. Vì MQ là phân giác góc AMB
nên MP là phân giác góc BMN. Do ∆ BMN là tam giác cân nên MP đ ng th i
là trung tr c c a BM ⇒ PA=PB=PN ⇒ N n m trên đ ng tròn c đ nh tâm P
bán kính PA. Khi đó AN là dây cung c a đ ng tròn này, suy ra AN l n nh t
khi AN là đ ng kính c a đ ng tròn tâm P. V y khi M trùng v i trung đi m
P c a cung l n AB thì chu vi c a ∆ AMB l n nh t.
Câu V:
n + 26 = a 3 (1)
3
n − 11 = b (2)
v i a và b là nh ng s nguyên d
L y (1) tr đi (2) ta nh n đ c:
a3 – b3 = 37
1) Gi s
ng.
⇔ (a − b)(a2 + ab+ b2 ) = 37 = 1.37
a −b =1
Chú ý r ng a-b< a2 + ab + b2 ⇒ 2
2
a + ab + b = 37
Thay a= b+1 vào ph
V i b=3 ⇒ n = 38
ng trình th 2 ta đ
c: b2+b-12= 0 ⇒ b1=3, b2=-4 (lo i)
2) Tr c h t, chú ý r ng v i ∀ a,b và α ∈ [0,1] ta luôn có:
(a-b)2(1- α ) ≥ 0
⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab + α (a − b) 2 (*)
áp d ng (*) v i hai s x,y và α = z 2 ∈ [0,1] ta đ c : x2 + y2 ≥ 2 xy + z 2 ( x − y ) 2
T ng t y 2 + z 2 ≥ 2 yz + x 2 ( y − z ) 2 và z 2 + x 2 ≥ 2 zx + y 2 ( z − x) 2
C ng ba b t đ ng th c cùng chi u l i v i nhau ta nh n đ c:
1
1= x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx + x 2 ( y − z ) 2 + y 2 ( z − x) 2 + z 2 ( x − y ) 2 ⇒ P ≤ 1
2
[
V y Pmax=1, đ t đ
c khi x = y = z =
]
1
3
.
