MỘT VÀI DẠNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: = ∫

(

)

Giải:
=

Đặt

,− < <
=

Suy ra :

và

Khi đó: = ∫ (

(

=

)

)=

+

(

=

)

=

2

< <

→

2

)

= (

)

+

√

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: (1 −

−


(

) = (cost)

à

=

(

>0→

=

là vì:

√

) =

1−(

) =

1−

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: = ∫
Vì điều kiện | | > 1 nên ta xét 2 trường hợp:
. Với

√

> 1, đặt
=−

=−

(

.

(

− .(

=

√

, 0 < < suy ra

=−

)

Khi đó: = −
=−

=


)

(

+

−∫

)

.

− 1 − ln

−√

)

) .(

(

)

. (

) + .(

(


(

=−

)

+
)+∫

) + 2 ln|

=−

.

(

)

. (
| +

(

và

)

.(


+

)

= − [−
) + 2∫
= [(

(

.(
. (

)

+

)+

.

. (

) + 2.

(

)

]


)

) −(

) ] − ln|

|+

−1 +

TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

1


. Với

< 1, đề nghị học sinh tự làm

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có:
(

) −(

) =4 √

(

) −(


) =

=

(

=
=

−

) (
) .(

−1=4 √

)

=

(
(

− 1 là vì:

(

)
.


(

)

)
)

=(

)

(

)

(

)

−1

=

(

=

−1=


(

=

)

−√

)

−1

Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: = ∫

(

)

Giải:
=

Đặt

, − < < suy ra:

Khi đó: = ∫

=

+


=(

=

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có

)

và

)
(

=

=

và

là bởi:

√

(
−

2

< <


2

→

>0→

Phương pháp trên được áp dụng cho = ∫

(

Ví dụ 4: Tính tích phân: = ∫

( −

)

Đặt = 2 − 3

và

(2 − 3

=

(

→

= −6


=

)

+

√

√

(

=

) =

=
với

)

)

=

.

=


√1 +

∈

(2 − 3

)

=

−

= −2(

−2

−2 ) .

Khi đó: =

∫(

=

)

(2 − 3

−2 )
−


=

(2 − 3

−

→

=1−

=

−

+

) +

Ví dụ 5: Tính tích phân bất định: = ∫
Đặt = √1 −

+

suy ra:

√

= −2


và

√

=

(

) (

)

+ 1)

TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

2


Khi đó: = −2 ∫(

−2

+ 1)

= −2

−

[3(1 − ) − 10(1 − ) + 15]√1 − +


=−

Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: = ∫
Đặt = √1 − 2
=

.

→

−

3
[5(1 − 2
320

)

(3

(3

=−

− 10

+ 4 + 8)√1 −

+ 15) +

+

)
và

(1 − 2

)

−8 )

+

(1 − 2

=

)

)

−
=

−

) − 8(1 − 2

) )√


=−

=−

+

= (1 −

(5

=

)] (1 − 2

Ví dụ 7: Tính tích phân bất định: = ∫(
Đặt = √
→ =
→2
=−
= (1 − (

+

( −

→2

= (

−


Khi đó: = ∫(
=

=

+

3
(20
320

) +

=

và (

) √

−4

− 3) (1 − 2

) +

) √

) (−2


) = 2(

=(

−

)

−7 ) +

=

) √

Khi đó:
= 2 ∫(

−

)

=2

−

+

Ví dụ 8: Tính tích phân bất định: = ∫
Đặt =
=(


→

= −(

và

)

) [1 + (

) ]

(1 +

= ∫(

(

)

=

(3

=
(

[(


]√

) −7

+

)
(

(

)
)

(

=

)

(1 +

)

)

=

(
(


)
)

.(

)

=(

)

(

) (

)

Khi đó:
=∫
42(

)

) + 35(

+2

+


+

+

+

=

[15(

) +

) ]+

Ví dụ 9: Tính tích phân bất định: = ∫

⁄

Giải:
⁄

Đặt =

⁄

=

(

→


⁄

=−

⁄

Khi đó: = 2 ∫ 1 +

=
)

 −2

⁄
⁄

(

⁄

)

=

= 2( + ln| |) +

=

⁄


=2 1+
=2

⁄

+ ln(

⁄

+ 1) +

TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

3


⁄

Chú ý: Bài toán trên đã dung tới kinh nghiệm để lựa chọn phép đổi biến =
⁄

đặt =

tuy nhiên với cách

chúng ta cungc có thể thực hiện được bài toán.
với

Ví dụ 10: Tính tích phân bất định: = ∫


≠

Giải:
Đặt =

+√

+

→

= 1+

= ln| | +

Khi đó: = ∫

= ln

√

=

√

+√

+


Ví dụ 11: Tính tích phân bất định: = ∫



√

=

√

+

(

)(

)

Giải:
Ta xét 2 trường hợp:
+1>0

+2>0

Trường hợp 1: Với

Đặt = √ + 1 + √ + 2 →




(

)

=

√

√

√
)(

(



)

(

)(

)

=

= 2 ln(√ + 1 + √ + 2) +
< −2


−( + 1) + −( + 2) →

)(

+

√

+1<0

+2<0

Trường hợp 2: Với
Đặt =

=

= 2 ln| | +

Khi đó : = 2 ∫

> −1

= −

(

)

−


(

=−

)

[

(

)
(

(
)(

)]
)

=−

Khi đó: = − ∫

= −2 ln| | +

= −2 ln[ −( + 1) + −( + 2)] +

Ví dụ 12: Tính tích phân = ∫ ( − )
Đặt = 1 − →

= − → (1 − )
Khi đó : = ∫( − 1)

= ∫(

−

= − (1 − ) (−
)

=

−

+

) = ( − 1)
=

(

)

−

(

)

+


Ví dụ 13: Tính tích phân bất định: = ∫
Cách 1: (Sử dụng phương pháp đổi biên số)
Đặt =

+√

−1→ −

=√

−1 →

=

à

=

TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

4


.

Khi đó: = ∫
=

+√


=∫

−1 +

(

√

= ∫ 1−

)

= ( +

)+

+

Cách 2: (Sử dụng phương pháp biến đổi)
=∫
=

=∫

√

− ∫√

−1 (


(

√

)

= ∫2

− 1) =

−

− ∫2 √
(

−1

− 1) +

Bài tập
Bài 1: Tính các tích phân bất định sau:
.

=∫

.

= ∫ √1 +


.

=∫

.

=∫

.

=∫

√

.

.

√

√

(

√

)

√


=∫

√

.

=∫

ℎ.

=∫

.

=∫

.

=∫

(

)√

√

(

√


)√

√

Bài 2: Tính các tích phân bất định sau:
.

=∫

.

=∫

.

=∫

.

.

=∫

.

=∫

.

=∫


.(

)

(

) .(

(

)

)

Bài 3: Tính các tích phân bất định sau:
.

= ∫√

.

=∫

+

.

=∫


√ +

Bài 4: Tính các tích phân bất định sau:

TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

5


.

=∫

.

= ∫(

.(
(

)
)

) √

.

=∫

.


=∫

(

)
(

)

⁄

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
(

Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: = ∫

)

Giải:
Viết lại dưới dạng: = ∫ ln( + √

Đặt

= ln( + √
=

+ 1)

+ 1)


=

→

√

Khi đó: = √

+ 1 ln( + √

= cos (ln )
→
=

Khi đó: =

+ 1) − ∫

√

+1
=√

(

+ 1 ln( + √

+ 1) −


+

)

= − sin(ln x) dx
=

(ln ) + ∫ sin(ln )

Xét = ∫ sin(ln )
Khi đó: =

=

√

=√

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: = ∫
Giải:
Đặt

√

, lại đặt

(1)

= sin (ln )
→

=

(ln ) − ∫ cos(ln )

Thay (2) vào (1) ta được: =

= cos(ln )
=

(2)

(ln ) +

(ln ) −  = [cos(ln ) + sin(ln )] +

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính gia trị của một cặp tích phân:

= ∫ sin(ln )

và

= ∫ cos(ln )

Ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
Sử dụng tích phân từng phần cho

như sau. Đặt

= sin (ln )
→

=

= cos(ln )
=

TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

6


(ln ) − ∫ cos(ln )

=

Khi đó:

Sử dụng tích phân từng phần cho

(3)

= cos (ln )
→
=

như sau. Đăt

(ln ) + ∫ sin(ln )

=


Khi đó:

(ln ) −

=

(ln ) +

=

= − sin(ln )
=

(4)

Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được:
= [sin(ln ) − cos(ln )] +

= [sin(ln ) + cos(ln )] +

và

Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: = ∫ (

(

)
)

Giải:

= ln(
Đặt

)
)

Khi đó: =
−

=−
=

→

=(

) + ∫(

. ln(

)

=

(

)

−1


=

. ln(

)+

+

Ví dụ 4: Tính tích phân bất định: = ∫ (
Giải:

)

Biến đổi về dạng cơ bản: = ∫
Xét = ∫
Đặt

)+∫

. ln(

= ∫

− ∫

2

=

− ∫


2

2

=
=

2

Khi đó: =

=
=

→
2 − ∫

Ta được : =

−

2

2
=

2 −

2 +


2 +

2 +

Ví dụ 5: Tính tích phân bất định: = ∫
Giải:

(

)

Viết lại dưới dạng:
(1 +

= ∫
Xét = ∫
Đặt

=
=

2 )

= (∫

+∫

2


)= (

+∫

2

)

(1)

2
2

→

= −2
=

2

TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

7


Khi đó =
Xét

=∫


Đặt

=
=

Khi đó

2 + 2∫

2

(2)

2
2

=2
=

→

=

2

2 −2∫

2

=


2 −2

Thay (3) vào (2) ta được =

2 + 2(

Thay (4) vào (1) ta được: =

+ (

(3)

2 −2 ) = (
2 +2

2 )

+

=

2 +2
(5 +

2 )

(4)

2 +2


2 )

+

Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: = ∫
Giải:
Đặt

=
=

=

→

Khi đó: =

=

− ∫

=

−

Ví dụ 7: Tính tích phân bất định: = ∫

+


ln(2 )

Giải:

Đặt

=

= ln(2 )
→
=

Khí đó: =

=

ln(2 ) − ∫

=

ln(2 ) −

Ví dụ 8: Tính tích phân bất định: = ∫
Giải:
Đặt

=
=

+2

2

Khi đó: = − (
Xét = ∫
Đặt

=
=

Khi đó: =

→
+ 2)

=2
=−

+

+

2

2 +∫

2

(1)

2


2

→
2 − ∫

=
=
2

2
=

2 +

2 +

(2)

TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

8


Thay (2) vào (1) ta được: = − (

+ 2) +

Ví dụ 9: Tính tích phân bất định: = ∫
Giải:


2 +

2 +

√

Ta đi sử dụng lần lượt hai phương pháp biến đổi và tích phân từng phần:
Đặt √ = thì

=

→

=2

→

√

=2

Khi đó: = 2 ∫
=
=

Đặt

→


Khi đó: = 2(−

=3
=−
) = −2

+ 3∫

+ 6∫

(1)

Xét tích phân: = ∫
=
=

Đặt

Khi đó: =

− 2∫

=
=

Khi đó:

(2)

=∫


Xét tích phân:
Đặt

=2
=

→

=
=−

→

=−

+∫

=−

Thay (3) vào (2) ta được: =

+

+

− 2(−

+


Thay (4) vào (1) ta được: = −2
= −2

+6

+ 12

= −2√

√ +6

Chú ý: Tích phân = ∫

(3)

+ 6(
− 12

√ + 12√

)+
+2

=

+2

−2

−2


+

(4)

)+

+
√ − 12

√ +

cũng có thể được xác định bằng phương pháp bất định.

Bài tập:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
.

( ) = ln

.

( )=(

.

( )=

)
2


.

( )=(

.

( )=

.

( )=

+ 1)
√

TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

9


.

( ) = ( + 1) (
( ) = [(

.

) +


)

ℎ.

( )=

ℎ.

=∫

3

+ 1]

Bài 2: Tính các tích phân bất định sau:
.

=∫

√

.

=∫

sin(

.

=∫


(

.

=∫

ln

.

=∫

.

=∫

.

=∫

)
)

.

= ∫ sin(ln )

.


=∫

.

=∫

.

=∫

3
(

2

.

(

)

(
(

)
)

(

)


= ∫(

+4

− 2 + 7)

)

Bài 4: Tính các tích phân bất định sau:
.

= ∫√

+

.

=∫

(

)

.

= ∫(

)


.

= ∫ ln

(

)

.

=∫

.

=∫

.

= ∫ ln( + √

(

(

)

)

− 1)


TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

10


THÊM MẤY BÀI NÂNG CAO NỮA CHO ĐẦY ĐỦ DẠNG NÈ CÁC E

TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA

11