- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 10
Đề thi (đề xuất) trại hè hùng vương lần thứ XII năm 2016 toán 10 lê quý đôn lai châu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (136.3 KB, 4 trang )
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - TỈNH LAI CHÂU
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 10
(Đề này có 01 trang gồm 5 câu)
Câu 1. (5,0 điểm): Giải hệ phương trình
4 x 2 + 3xy − 7 y 2 + 4 ( x 2 + 5 xy − 6 y 2 ) = 3 x 2 − 2 xy − y 2
( x, y ∈ ¡
2
2
3 x + 10 xy + 34 y = 47
)
Câu 2. (5,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm của tam giác, M là
·
·
trung điểm của BC, I là giao điểm các phân giác của ABH
và ACH
. Chứng minh
MI đi qua trung điểm của AH.
Câu 3. (4,0 điểm): Cho ba số dương a, b, c và a + b + c = 3 . Chứng minh rằng:
a
b
c
3
+
+
≥
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ a
2
Câu 4. (4,0 điểm): Tìm bộ ba số nguyên tố liên tiếp (liền kề) sao cho tổng bình
phương của chúng cũng là một số nguyên tố.
Câu 5. (2,0 điểm): Một hình tròn được chia thành 10 ô hình quạt, trên mỗi ô người ta
đặt một viên bi. Nếu ta cứ di chuyển các viên bi theo quy luật: mỗi lần lấy ở 2 ô bất
kỳ mỗi ô 1 viên bi, chuyển sang ô liền kề theo chiều ngược nhau thì có thể chuyển tất
cả các viên bi về cùng 1 ô hay không ?
.......................HẾT.........................
Người ra đề
Lê Thị Lệ Quyên
(Số điện thoại: 0986722886)
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN - LỚP 10
Lưu ý: các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếu đúng cho điểm tối đa theo thang
điểm đã quy định.
Câu
Nội dung chính cần đạt
2
2
1
3 x − 2 xy − y ≥ 0
ĐK: 2
2
4 x + 3 xy − 7 y ≥ 0
Điểm
0,5
Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình (1), ta được
1
+
4
÷= 0
( x 2 + 5xy − 6 y 2 ) 2
2
2
2
÷
4
x
+
3
xy
−
7
y
+
3
x
−
2
xy
−
y
x = y
1
⇔
do
+4>0
4 x 2 + 3xy − 7 y 2 + 3 x 2 − 2 xy − y 2
x = −6 y
2,0
x =1⇒ y =1
2
Với x = y, thay vào (2), ta được: x = 1 ⇔
x = −1 ⇒ y = −1
1,0
Với x = -6y thay vào (2) ta được
47
⇒ x = −6
y =
82
2
82 y = 47 ⇔
47
⇒x=6
y = −
82
1,0
47
82
47
82
47 47 47
47
;
;−
KL: S = ( 1;1) , ( −1; −1) , −6
÷, 6
÷
82
82
82
82
0,5
Do H là trực tâm của ∆ABC ⇒ BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒
∆AEH, ∆ADH là các tam giác có cạnh huyền AH.
0,5
2
Gọi N là trung điểm của AH, ta có EN = DN =
Mà ∆BEC, ∆BDC là các tam giác vuông nên
1
EM = DM = BC
2
1
AH
2
0,5
0,5
⇒ E và D đối xứng qua MN
·
µ ECB
·
µ
Ta lại có DBC
= 90 0 − C,
= 90 0 − B
(
1,0
)
1
·
·
µ = 45 0 − 1 A
µ
ABI
= IBD
= 90 0 − A
2
2
1µ
·
·
= ICH
= 450 − A
Tương tự ta có ACI
2
1µ µ
·
·
·
⇒ IBC
= IBD
+ DBC
= 135 0 − A
−C
2
1µ µ
·
= 1350 − A
−B
Chứng minh tương tự ta có IBC
2
·
·
⇒ BIC
= 180 0 − 2IBC
= 90 0
1
⇒ IM = BC ⇒ MI = ME = MD và
2
·
·
·
·
µ = 90 0 − A
µ
IME
= IMB
− EMB
= 180 0 − 2IBC
− 180 0 − 2B
(
·
µ
Chứng minh tương tự ta có IMD
= 90 0 − A
3
1,0
⇒ ∆EMI = ∆DMI ( c.g.c ) ⇒ IE = ID
⇒ I thuộc đường trung trực của ED ⇒ M, I, N thẳng hàng.
0,5
a
ab 2
ab 2
ab
Ta có
=
a
−
≥
a
−
=
a
−
1 + b2
1 + b2
2b
2
b
bc
c
ca
Tương tự ta có
≥b− ;
≥ c−
2
2
1+ c
2 1+ a
2
1,0
Từ đó suy ra
4
)
1,0
a
b
c
ab + bc + ca
ab + bc + ca
( *)
+
+
≥
a
+
b
+
c
−
=
3
−
1 + b 2 1 + c2 1 + a 2
2
2
2
a + b + c)
(
Mặt khác, ta biết ab + bc + ca ≤
= 3 ( ** )
3
Từ ( * ) và ( ** ) ta có điều phải chứng minh.
Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp là p, q, r với 2 ≤ p < q < r
2
2
2
Bộ ba số nguyên tố liên tiếp đầu tiên là 2,3,5 ⇒ 2 + 3 + 5 = 38 không
0,5
1,0
1,0
0,5
1,0
là số nguyên tố nên không thỏa mãn đề bài.
2
2
2
1,0
Bộ ba số nguyên tố liên tiếp tiếp theo là 3,5,7 ⇒ 3 + 5 + 7 = 83 là số
nguyên tố nên thỏa mãn đề bài.
Xét p > 3 thì hiển nhiên q, r > 3 , nhận thấy rằng các số nguyên tố này đều
có dạng ±1 ( mod 6 ) vì không chia hết cho 2 và 3, vì thế nên tổng bình
2,0
phương của chúng luôn chia hết cho 3 nên không phải là số nguyên
tố.Vậy bộ ba số nguyên tố liên tiếp ( 3,5,7 ) là bộ 3 số nguyên tố liên tiếp
duy nhất thỏa mãn đề bài.
5
Trước tiên, ta tô màu xen kẽ các ô hình quạt, như vậy sẽ có 5 ô được tô
màu (ô màu) và 5 ô không được tô màu (ô trắng).
Ta có nhận xét:
Nếu di chuyển 1 bi ở ô màu và 1 bi ở ô trắng thì tổng số bi ở 5 ô màu
không đổi.
Nếu di chuyển ở 2 ô màu, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu giảm đi 2.
Nếu di chuyển ở 2 ô trắng, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu tăng lên 2.
Vậy tổng số ở 5 ô màu hoặc không đổi, hoặc giảm đi 2, hoặc tăng
lên 2. Nói cách khác, tổng số bi ở 5 ô màu sẽ không thay đổi tính chẵn lẻ
so với ban đầu.
Ban đầu tổng số bi ở 5 ô màu là 5 viên (số lẻ) nên sau hữu hạn lần
di chuyển bi theo quy luật trên thì tổng số bi ở 5 ô màu luôn khác 0 và
khác 10, do đó không thể chuyển các viên bi về cùng 1 ô.
0,5
0,5
0,5
0,5
