TUYỂN TẬP CÁC CÂU HỎI TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

TỪ CÁC NĂM 2002 - 2015
TÍCH PHÂN ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM
2 3

Câu 1 (A – 2003 ): Tính tích phân I 


5

2 3

Ta có I 


5

dx
x x2  4

xdx
x

2

x2  4

xdx

dt 

Đặt t  x  4  
x2  4
 x2  t 2  4

2

Với x  5 thì t  3, với x  2 3 thì t  4.
4

4
dt
1  1
1 
1 t2 4 1 1
1 1 5
Khi đó I   2
 

  ln  ln   ln
dt  ln
t 4 4 3t 2 t 2
4 t 2 3 4 3
5 4 3
3



1  2 sin 2 x
0 1  sin 2 x dx
4


Câu 2 ( B – 2003): Tính tích phân I 



2

4

Ta có I 

4
1  2 sin x
cos 2 x
dx

0 1  sin 2 x
0 1  sin 2 x dx

Đặt t  1  sin 2 x  dt  2 cos 2 xdx
Với x  0 thì t  1, với x 


4

thì t  2.

2

1 dt 1

1
1
Khi đó I    ln t   ln 2  ln1  ln 2
21 t 2
2
2
2

Câu 3 (D – 2003): Tính tích phân I 

x

2

 x dx

0

1

2

 x 2 x 3  1  x3 x 2  2
     1
 2 3  0  3 2 1

Ta có x 2  x  0  0  x  1, suy ra: I  ( x  x 2 )dx  ( x 2  x)dx  


0



1

GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 1


2

Câu 4 ( A – 2004 ): Tính tích phân I 

 1
1

Đặt t 

x
dx
x 1

x  1  x  t 2  1  dx  2tdt

Với x  1  t  0, với x  2  t  1.
Khi đó:
1

1


1

t2 1
t3  t
2 

1 3 1 2
2tdt  2
dt  2  t 2  t  2 
dt  2  t  t  2t  2 ln 1  t
1 t
1 t
1 t 
2
3
0
0
0

I 



1
1 1

 0  2    2  2 ln 2 

3 2



11
 4 ln 2
3
e

Câu 5 ( B – 2004 ): Tính tích phân I 


1

1  3ln x .ln x
dx
x


t 2 1 
t 2 1
ln
x

ln
x



3 
3
Đặt t  1  3ln x  t 2  1  3ln x  


dx
dx
2
tdt
2tdt  3
 

 x
x
3
Với x  1  t  1, với x  e  t  2.

Khi đó I 

2
2
2 2
2 4 2
2  t 5 t 3  2 116
2
t

1
t
dt

t

t
dt






   
9 1
9 1
9  5 3  1 135

3
2
Câu 6 ( D – 2004 ): Tính tích phân I  ln( x  x)dx


2

2x 1

u  ln( x 2  x) du  2
dx
Đặt 

x x
dv  dx
v  x
Khi đó
3
3 3 2x 1
3

1 

I  x ln( x  x)  
dx  3ln 6  2 ln 2    2 
dx  3ln 6  2 ln 2   2t  ln x  1 

2 2 x 1
2
x 1 
2
2

 3ln 6  2 ln 2  6  ln 2  4  3ln 6  3ln 2  2  3ln 3  2

GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 2



2

Câu 7 ( A – 2005 ): Tính tích phân I 

sin 2 x  s inx
dx
1  3cos x
0





2

Ta có I 

(1  2 cos x) s inx
dx
1

3cos
x
0





t 2 1
t 2 1
cos x  3
cos x  3

Đặt t  1  3cos x  
s inx
2
dt   3sin x
dx 
dx   dt


 1  3cos x
3
2 1  3cos x
Với x  0  t  2, với x 


2

 t  0.

2
2
2 
t 2 1 
2
2  2t 3  2 2  16
  2   34
2
 t     2     1   
Khi đó I   1  2.
dt    2t  1dt  
3 1
3 
91
9 3
  3   27
 1 9  3


2


Câu 8 ( B – 2005 ): Tính tích phân I 

sin 2 x.cos x
dx
1  cos x
0





s inx.cos 2 x
0 1  cos x dx
2

Ta có I  2

Đặt t  cos x  dt   sin xdx
Với x  0  t  1, với x 


2

 t  0.

1

Khi đó I  2


1
 t2
1
t2
1 

1

dt

2
t

1

dt

2
  t  ln t  1   2   1  ln 2   2 ln 2  1

0 1  t
0 
0
1 t 
2

2




2

Câu 9 ( D – 2005 ): Tính tích phân I 

 e

sinx

 cos x  cos xdx

0

GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 3


Ta có:






2

2

2


I  e

sinx

0

2

cos xdx   cos xdx   e
0





2

sinx

0



1  cos 2 x
1
sin 2 x 

d  s inx   
dx  esinx 2   x 
 2  e 1 

2
2
2 
4
0
0
0


2

Câu 10 ( A – 2006 ): Tính tích phân I 


0

sin 2 x
2

cos x  4sin 2 x

dx


2

Ta có I 

sin 2 x




1  3sin 2 x

0

dx

6sin x.cos x

Đặt t  1  3sin 2 x  dt 

2

dx 

2 1  3sin x
Với x  0  t  1, với x 


2

3 sin 2 x
2
sin 2 x
dx  dt 
dx
2
2 1  3sin x
3

1  3sin 2 x

 t  2.

2
2
2 2 2
Khi đó I   dt  t 
31
3 1 3
ln 5

Câu 11 ( B – 2006 ): Tính tích phân I 

e

ln 3

x

dx
 2e x  3

ln 5

Ta có I 

ex
 e2 x  3e x  2dx
ln 3


Đặt t  e x  dt  e x dx
Với x  ln 3  t  3, với x  ln 5  t  5.
5

Khi đó I 

5
5
dt
dt
1 
t 2 5
3
1
3
 1


3 t 2  3t  2 3 (t  1)(t  2) 3  t  2  t  1 dt  ln t  1 3  ln 4  ln 2  ln 2
1

Câu 12 ( D – 2006 ): Tính tích phân I  ( x  2)e 2 x dx


0

du  dx
u  x  2


Đặt 

e2 x
2x
dv

e
dx
v




2
GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 4


1
( x  2)e2 x 1 1 2 x
e 2
e2 x 1
e2
e2 1 5 3
  e dx 
1
   1     e2
Khi đó I 
0 20

2
2
4 0
2
4 4 4 4

e
3
2
Câu 13 ( D – 2007 ): Tính tích phân I  x ln xdx


1

2 ln x

du  x dx
u  ln 2 x
Đặt 

4
3
dv  x dx v  x

4
Khi đó I 

e
x 4 ln 2 x e 1 3
e4 1

  x ln xdx   I1
4 1 21
4 2

1

e
3
Tính I1   x ln xdx
1

dx

du 

u  ln x

x
Lại đặt 

3
4
dv  x dx v  x

4
Khi đó I1 

e
x 4 ln x e 1 3
e 4 x 4 e e4 e4 1

3
1
  x dx  
    e4 
4 1 41
4 16 1 4 16 16 16
16

Từ 1 ,  2  suy ra I 

 2

e 4 1  3 4 1  5e4  1
  e  
4 2  16
16 
32


tan 4 x
0 cos 2 xdx
6

Câu 14 ( A – 2008 ): Tính tích phân I 




6
tan 4 x

tan 4 x
dx

dx
Ta có I  

2
2
2
2
cos
x

sin
x
1

tan
x
cos
x




0
0
6

Đặt t  tan x  dt 


dx
cos 2 x

Với x  0  t  0, với x 


6

t 

1
.
3

GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 5


Khi đó
1
3

4

t
I 
dt 
1 t2

0

1
3


0

1  1  t 4  

dt 
2
 1  t


1
1
1 t 1


 ln
3 9 3 2 t 1

1
3


t3 
 1
2


1

t
dt


t




0  1  t 2
3



1
10 1
 ln 2  3
3 
9 3 2
0



1
1  1
1 


3  
 dt
2  t  1 t 1 
0





sin  x   dx
4

Câu 15 ( B – 2008 ): Tính tích phân I  
sin 2 x  2(1  s inx  cos x)
0


4




Đặt t  s inx  cos x  dt   cos x  s inx  dx   2 sin  x 

Với x  0  t  1, với x 


4




 dx.
4

 t  2.





Ta có sin 2 x  2 1  s inx+cosx   sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x  2  s inx  cos x   1

 (s inx  cos x) 2  2(s inx  cos x)  1  (s inx  cos x  1) 2  (t  1) 2
Khi đó I  

2
2

2

dt

  t  1

2



1


2 1
2
2 1
1  43 2

 

2 t 1 1
2  2 1 2 
4
2

Câu 16 ( D – 2008 ): Tính tích phân I 

ln x
dx
x3
1



dx

du 
u  ln x



x
Đặt 

dx  
dv  x 3
v   1

2x2
Khi đó I  

2
ln x 2
dx
ln 2 1 2
ln 2 1  1 
ln 2 3 3  2 ln 2


 2 
   1  
 
2
3

2x 1 1 2x
8 4x 1
8 44 
8 16
16


2


Câu 17 ( A – 2009 ): Tính tích phân I 

  cos

3

x  1 cos 2 xdx

0

GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 6










2

2

2

2


Ta có I  cos 5 xdx  cos 2 xdx  (1  sin 2 x)2 cos xdx  cos 2 xdx  I1  I 2









0

0

0

0

(1)


2

Tính I1  (1  sin 2 x ) 2 cos xdx


0

Đặt t  s inx  dt  cos xdx.

Với x  0  t  0, với x 
1


2

 t  1.

1

 t 5 2t 3  1 8

t 
5 3
 0 15

2 2
4
2
Khi đó I1  (1  t ) dt  (t  2t  1)dt  





0

0






2



2

1  cos 2 x 1 
sin 2 x 

 x
Tính I 2   cos xdx  
 2
2
2
2 
4
0
0
0
2

Từ 1 ,  2  ,  3 suy ra I 

(2)

(3)


8 

15 4
3

Câu 18 ( B – 2009 ): Tính tích phân I 

3  ln x

 ( x  1) dx
2

1

dx

u  3  ln x
du 



x
Đặt 
dx  
dv  ( x  1)2
v   1

x 1

3

3
3  ln x 3
dx
1 
3  ln 3
x 3
 3  ln 3 3   1

 
    
dx 
 ln
Khi đó I  

x  1 1 1 x( x  1)
2  1  x x 1
4
x 1 1
 4



3  ln 3
3
1 3  3ln 3  4 ln 2
 ln  ln 
4
4
2
4

3

Câu 19 ( D – 2009 ): Tính tích phân I 

e
1

Đặt t  e x  dt  e x dx  tdx  dx 

dx
1

x

dt
t

GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 7


Với x  1  t  e, với x  3  t  e3 .
Khi đó
e3

3

e
dt

t  1 e3
e3  1
e 1
e2  e  1
 1 1
I
 
 dt  ln
 ln 3  ln
 ln
 ln(e 2  e  1)  2
2
t (t  1) e  t  1 t 
t e
e
e
e
e

1

x 2  e x  2 x 2e x
Câu 20 ( A – 2010 ): Tính tích phân I  
dx
1  2e x
0
1

Ta có I 


1
 2
x 2 (1  2e x )  e x
ex
dx

x

0 1  2e x
0  1  2e x

1
1
1

ex
x3 1 1 d (1  2e x )
2
dx

x
dx

dx



0
0 1  2e x
3 0 2 0 1  2e x



1 1 1
1 1
1 1 1  2e
  ln 1  2e x    ln(1  2e)  ln 3   ln
0 3 2
3 2
3 2
3
e

Câu 21 ( B – 2010 ): Tính tích phân I 

ln x

 x(2  ln x)

2

dx

1

Đặt t  ln x  dt 

dx
x

Với x  1  t  0, với x  e  t  1.

1

Khi đó I 

1
1
1
1
 1
t
2 
dt
dt
2 1
3 1
dt


dt


2
0 (2  t )2 0  2  t (2  t )2  0 2  t 0 (2  t )2  ln 2  t 0  t  2 0  ln 2  3

e



Câu 22 ( D – 2010 ): Tính tích phân I   2 x 



1

e

Ta có I  2 x ln xdx 


1

3
 ln xdx
x

e

3ln x
dx  I1  I 2
x
1



(1)

e

Tính I1  2 x ln xdx



1

dx

u  ln x
du 
Đặt 

x
dv  2 xdx v  x 2


GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 8


e e
x 2 e 2 e2  1 e 2  1
2
e 

Khi đó I1  x ln x   xdx  e 
1 1
2 1
2
2
2

(2)


e

e
3ln x
3ln 2 x e 3
dx   3ln xd (ln x) 

Tính I 2  
x
2 1 2
1
1

Từ 1 ,  2  ,  3 suy ra I 

(3)

e 2  1 3 e2
  1
2
2 2

4

Câu 23 ( A – 2011 ): Tính tích phân I 


0


x sin x  ( x  1) cos x
dx
x sin x  cos x

Ta có






4

4

4

I
0





4
( x sin x  cos x)  x cos x
x cos x
x cos x

dx   dx  

dx  x 4  
dx   I1
x sin x  cos x
x sin x  cos x
x sin x  cos x
4
0
0
0 0







4

4
x cos x
d ( x sin x  cos x)
 2 4 2
Tính I1  
dx  
 ln x sin x  cos x 4  ln
x sin x  cos x
x sin x  cos x
8
0
0

0



Suy ra I 

4

 ln

 2 4 2
8

3

Câu 24 ( B – 2011 ): Tính tích phân I 


1  x sin x
dx
cos 2 x
0





3

Ta có I 


3
dx
x sin x

0 cos2 x 0 cos2 x dx  I1  I 2



(1)



3

dx
Tính I1  
tanx 3  3
cos 2 x
0
0

(2)


3

Tính I 2 

x sin x

dx
2
x

 cos
0

GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 9


u  x
du  dx


Đặt 
s inx
d cos x  
1
dv  cos 2 x dx   cos 2 x
v  cos x
Khi đó










3

3

3



x
dx
2
cos xdx 2
d sin x
2 1 3  1
1 
I2 



 2

 

3 
d sin x
2
cos x
cos x

3 0 cos x
3 0 sin x  1 3 2 0  s inx  1 s inx  1 
0
0



2 1 s inx  1
2

 ln
 ln(2  3)
3
3 2 s inx +1
3
0
Từ 1 ,  2  ,  3 suy ra I  3 

(3)

2
 ln(2  3)
3
4

Câu 25 ( D – 2011 ): Tính tích phân I 


0


4x 1
dx
2x  1  2

t 2  2 x  1

t 2 1

x 
Đặt t  2 x  1  
dx
dx  
2

dt 

2x  1 t
dx  tdt

Với x  0  t  1, với x  4  t  3.
Khi đó
3

3
3
 2t 3
 3 34
2t 2  3
2t 3  3t
10 

3

tdt  
dt    2t 2  4t  5 
dt

 2t 2  5t  10 ln t  2  
 10 ln


t2
5
 3
1 3
1 t2
1 t2
1

I 

3

Câu 26 ( A – 2012 ): Tính tích phân I 

1  ln( x  1)
dx
2
x
1




dx

u  1  ln( x  1) du 


x 1
Đặt 

dx
dv  x 2
v   1

x
Khi đó
3
3
1  ln( x  1) 3
dx
1  2 ln 2
1 
2  ln 2
x 3
1
I 


 1  ln 2    
dx 

 ln

1 1 x( x  1)
x
3
x x 1
3
x 1 1
1

GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 10




2  ln 2
3
1 2
2
 ln  ln   ln 3  ln 2
3
4
2 3
3
1

x3
Câu 27 ( B – 2012 ): Tính tích phân I   4

dx
x  3x 2  2
0
1

1
x 2 .2 xdx
Ta có I   2
2 0 ( x  1)( x 2  2)
Đặt t  x 2  dt  2 xdx
Với x  0  t  0, với x  1  t  1.
Khi đó I 

1
1
1
tdt
1  2
1 
1
3

1



dt   ln t  2  ln t  1  0  ln 3  ln 2


2 0 (t  1)(t  2) 2 0  t  2 t  1 

2
2




4

Câu 28 ( D – 2012 ): Tính tích phân I  x(1  sin 2 x) dx


0

du  dx
u  x


Đặt 
cos 2 x
dv  (1  sin 2 x)dx v  x 

2







4

cos 2 x 
cos 2 x 
 2  x 2 sin 2 x 
2  2 1  2 8



x

dx





 
Khi đó I  x  x 

 4
 4 

2 
2
16
2
4
16
32
4
32






0 0
0

2

Câu 29 ( A – 2013 ): Tính tích phân I 

x2  1
1 x2 ln xdx

dx

u  ln x
du 



x
Đặt 
x2  1  
dv  2 dx v  x  1
x

x



2 2
1
1 
5
1 2 5
3


Khi đó I   x   ln x   1  2 dx  ln 2   x    ln 2 
1 1 x 
x
2
x1 2
2


1

Câu 30 ( B – 2013 ): Tính tích phân I  x 2  x 2 dx


0

GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 11


Đặt t  2  x 2  dt  


xdx
2  x2



xdx
 xdx  tdt
t

Với x  0  t  2, với x  1  t  1.
2

Khi đó I 

2
 t dt 
1

t3 2 2 2 1

31
3
2

Câu 31 ( B – 2014 ): Tính tích phân I 
2

x 2  3x  1
1 x2  x dx


2

2

2

( x 2  x)  (2 x  1)
2x  1
 2x 1 
dx   1  2
dx
Ta có I  
dx   dx   2
2
x x
x x
x x
1
1
1
1
2 2 d ( x 2  x)
2
 x  2
 1  ln x 2  x  1  ln 6  ln 2  1  ln 3
1 1 x x
1

4


Câu 32 ( D – 2014 ): Tính tích phân I  ( x  1) sin 2 xdx


0

du  dx
u  x  1


Đặt 
cos 2 x
dv  sin 2 x v  

2







4
( x  1) cos 2 x
cos 2 x 1 sin 2 x
1 1 3
Khi đó I  
 
4 
4  

2
2
2
4
2 4 4
0 0
0

1

Câu 33 ( THPTQG – 2015 ): Tính tích phân I  ( x  3)e x dx


0

u  x  3

du  dx

x
dv  e dx v  e

Đặt 

x

Khi đó I  ( x  3)e

x


1
0

1

  e x dx  2e  3  e x
0

1
0

 3  2e  e  1  4  3e

GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 12


GV : MẪN NGỌC QUANG – WEBSITE : Thayquang.edu.vn

Page 13