Đăng nhập

Tìm kiếm

Trang chủ

Diễn đàn

Thành viên

Đăng ký

Google

Sự kiện

Có gì mới?

Diễn đàn Toán học → Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Ôn thi Đại học
3 Bình chọn

2.1 - Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT, BPT, HPT
Bắt đầu bởi NosoZ, 16-09-2012 - 20:13
chuyên đề
Trang 1 / 2 1 2

ôn thi đh

Please log in to reply

SAU

Chủ đề này có 26 trả lời
#1

NosoZ
Binh nhất

Thành viên

24 Bài viết
Giới tính: Nam

Đã gửi 16-09-2012 - 20:13

Bài 5: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình,...bằng các phương
pháp như: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học,...khá quen thuộc đối với các bạn chuẩn bị thi
vào đại học. Tuy nhiên đối mặt với một bài toán dạng này các bạn ít nhiều còn lúng túng, chưa tìm được lời giải hoặc
xác định được đường lối nhưng lại không đưa ra được kết quả cuối cùng!
Trong phạm vi bài giảng này tôi muốn bàn về một phương pháp để giải quyết các bài toán về phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình,...khi mà các phương pháp nêu trên gặp khó khăn hoặc bế
tắc! Đó là "Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số".
Tính chất 1: Giả sử hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên tập D thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm
thuộc D.
Tính chất 2: Nếu phương trình f ′ (x) = 0 có một nghiệm trên tập (a, b) thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai
nghiệm trên (a, b).
Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục, đồng biến trên D và g(x) liên tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên D thì phương trình
f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D.
Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên D thì với ∀u, v ∈ D ta có: f(u) = f(v) ⇔ u = v.
Tính chất 5: Nếu f(x) đơn điệu trên (a, b) thì x, y, z ∈ (a, b) là nghiệm của hệ phương trình:


{

f(x) = y
f(y) = z ⇔ x = y = z
f(z) = x

Tính chất 6: f(x) đồng biến trên (a, b) thì f(u) < f(v) ⇔ u < v
f(x) nghịch biến trên (a, b) thì f(u) < f(v) ⇔ u > v với mọi u, v ∈ (a, b).
Chỉ cần nắm được định nghĩa về hàm số đồng biến, nghịch biến các bạn dễ dàng suy ra tính chất 1, 2, 3, 4 và 6.
Riêng tính chất 5 SGK không đề cập, do đó mỗi khi sử dụng kết quả này các bạn phải chứng minh lại. Tôi sẽ nói chi
tiết hơn và đồng thời chứng minh tính chất này trong Ví dụ 2.2 của Vấn đề 2!
Vấn đề 1. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình
Ví dụ 1.1. Giải các phương trình sau:
a) √4x − 1 + 4x2 − 1 = 1

√

b) 3x7 − √5 − 4x = 3 − x3
Nhận định: Đối với câu 1, có thể bạn nghĩ đến việc biến đổi tương đương hoặc sẽ bình phương, tuy nhiên bạn sẽ
gặp khó trong biến đổi. Câu 2, các phương pháp "truyền thống" không khả thi.
Nếu bạn chịu khó quan sát và chuyển vế đơn giản thì vế trái đều là những hàm số đồng biến (trên một tập nào đó).
Lúc này, sử dụng tính đơn điệu để giải quyết bài toán đã nảy ra trong đầu bạn. Vấn đề còn lại là đoán nghiệm! Công
việc này không khó, nhưng nếu bạn cứ thử từng số thì sẽ mất thời gian. Hãy ưu tiên những giá trị của x sao cho các
biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương!
Lời giải.
a) Điều kiện: x

converted by W eb2PDFConvert.com



Phương trình đã cho \Leftrightarrow \sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} - 1 = 0
Xét hàm số f(x) = \sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1}- 1 trên [\frac{1}{2}; + \infty). Ta thấy rằng:
+ Hàm số f(x) liên tục trên [\frac{1}{2}; + \infty)
+ Có đạo hàm f'(x) = \frac{2}{\sqrt {4x-1}}+ \frac{4x}{\sqrt {4x^2-1}}> 0 với \forall x \in (\frac{1}{2}; + \infty).
Do đó hàm f(x) đồng biến trên (\frac{1}{2}; + \infty).
+ f(\frac{1}{2}) = 0
Kết luận: x = \frac{1}{2} là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. (Xem tính chất 1!)
b) Điều kiện: x \leqslant \frac{5}{4}
Phương trình đã cho \Leftrightarrow 3{x^7} + {x^3} - \sqrt {5 - 4x} = 3
Xét hàm số f(x) = 3{x^7} + {x^3} - \sqrt {5 - 4x} = 3 trên (- \infty ;\frac{5}{4}]. Ta thấy rằng:
+ Hàm số f(x) liên tục trên (- \infty ;\frac{5}{4}]
+ Có đạo hàm f'(x) = 21{x^6} + 3{x^2} + \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} > 0 với \forall x \in (- \infty ;\frac{5}{4}).
Do đó hàm f(x) đồng biến trên (- \infty ;\frac{5}{4}).
+ f(1) = 3
Kết luận: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 1.2. Giải phương trình: \root 3 \of {x + 2}+\root 3 \of {x+1}=\root 3 \of {2x^2+1}+\root 3 \of {2x^2}
\quad Nhận định: Cũng với tư duy như trong Ví dụ 1.1 nhưng sẽ khó khẳng định được hàm số f(x) liên tục, đơn điệu
trên TXĐ của nó. Tuy nhiên, quan sát kỹ thì thấy các biểu thức dưới dấu căn ở 2 vế có chung một mối liên hệ:
\begin{align*} & x + 2 =(x + 1) + 1\\ & 2x^2+ 1 =(2x^2) + 1 \end{align*}
Do đó, nếu đặt u: = \root 3 \of {x + 1} và v: = \root 3 \of {2x^2} thì phương trình đã cho trở thành:
u+ \root 3 \of {u^3+1}=v + \root 3 \of {v^3+1}
Đến đây, ta chỉ việc xét một hàm số có dạng f(t)= t+ \root 3 \of {{t^3}+1} và vận dụng tính chất 4, bài toán được giải
quyết!
Lời giải. Tập xác định: \mathbb {R}
Đặt u: = \root 3 \of {x + 1} và v: = \root 3 \of {2x^2} thì phương trình đã cho trở thành:
u+ \root 3 \of {u^3+1}=v + \root 3 \of {v^3+1} \text{ hay } f(u) = f(v)
Xét hàm số f(t)= t+ \root 3 \of {{t^3}+1} trên \mathbb {R}. Ta thấy:
+ f(t) là hàm liên tục trên \mathbb R
+ Có đạo hàm f'(t) = 1+\frac{t^2}{\root 3 \of {(t^3+1)^2}} > 0 trên \mathbb R nên f(t) là hàm đồng biến trên trên \mathbb

R.
Do đó
\begin{align*} f(u) = f(v) & \Leftrightarrow u = v\\ & \Leftrightarrow 2x^2= x + 1 \end{align*}
Kết luận: Nghiệm của phương trình là: x=1 và x = \frac{1}{2}.
Bài tập
Bài tập 1.1. Giải các phương trình sau:
\quad \quad a) \sqrt {15 - x} + \sqrt {3 - x} = 6
\quad \quad b) \sqrt {3x - 5} + \sqrt {2x + 3} = 2 + \sqrt {12 - x}
\quad \quad c) \sqrt {2{x^2} + 23} = 4x - 2 + \sqrt {2{x^2} + 7}
\quad \quad d) \sqrt {{x^2} + 15} = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8}
\quad \quad e) {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + 4 = 0
Bài tập 1.2. Giải các phương trình sau:
\quad \quad a) 8x^3- {(\sqrt {2x + 1})^3} = \sqrt {2x + 1}- 2x
\quad \quad b) {\log _3}(\frac{x^2+ x + 3}{2x^2+ 4x + 5}) = x^2+ 3x + 2
Bài tập 1.3. Giải các phương trình sau:
\quad \quad a) {3^x} + {4^x} + {5^x}
\quad \quad b) {9^x} + 2(x - 2){3^x} + 2x - 5 = 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:03
E. Galois, quangnhat1395, minhson95 và 17 người khác yêu thích

Đi sau đến muộn--->Đang làm quen và sục sạo khắp nơi trên diễn đàn!

#2

NosoZ
Binh nhất

Đã gửi 16-09-2012 - 20:48


Thành viên

Vấn đề 2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình, hệ phương trình
Ví dụ 2.1. Giải các bất phương trình sau:
\quad a) \sqrt {x + 5} + \sqrt {2x + 3} < 9
\quad b) 3\sqrt {3 - 2x} + \frac{5}{{\sqrt {2x - 1} }} - 2x \leqslant 6
\quad c) \sqrt {{x^2} - 2x + 3} - \sqrt {{x^2} - 6x + 11} > \sqrt {3 - x} - \sqrt {x - 1}

converted by W eb2PDFConvert.com


24 Bài viết
Giới tính: Nam

\quad Nhận định: Câu 1, bạn hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp bình phương hoặc biến đổi tương đương để
giải. Tuy nhiên, tôi muốn hướng bạn đến việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết, tuy nhiên đoán được
một nghiệm của phương trình này mất khá nhiều thời gian (bạn chú ý chọn những số sao cho biểu thức dưới dấu căn
là số chính phương).
Câu 2, có thể đặt ẩn phụ, nhưng biến đổi khá rối. Bài toán đơn giản nếu sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Câu 3, khá phức tạp và cũng có thể đặt ẩn phụ. Song nếu quan sát kỹ thì thấy có mối quan hệ tương tự như Ví dụ
1.2.
Lời giải.
a) Điều kiện: x \geqslant -\frac{3}{2}
Bất phương trình đã cho tương đương với \sqrt {x+5}+ \sqrt {2x+3}-9<0
Xét hàm số f(x): = \sqrt {x + 5} + \sqrt {2x + 3}-9 trên [- \frac{3}{2};+ \infty).
Ta có hàm số f(x) là hàm số liên tục và có đạo hàm f'(x) = \frac{1}{2\sqrt {x + 5}} + \frac{1}{\sqrt {2x + 3}} > 0,\forall x \in
(- \frac{3}{2}: + \infty) nên f(x) đồng biến trên (- \frac{3}{2}: + \infty).
Hơn nữa f(11) = \sqrt {16} + \sqrt {25}- 9 = 0.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho phải thỏa mãn:
\left\{ \begin{gathered} x \geqslant - \frac{3}{2} \\ f\left( x \right) < f\left( {11} \right) \\ \end{gathered} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - \frac{3}{2} \\ x < 11 \\ \end{gathered} \right.
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: S= [- \frac{3}{2};11).
b) Điều kiện: \frac{1}{2} < x \leqslant \frac{3}{2}
Đặt f\left( x \right): = 3\sqrt {3 - 2x} + \frac{5}{{\sqrt {2x - 1} }} - 2x.
Khi đó f(x) liên tục trên ( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}}] và có đạo hàm f'(x) = - \frac{3}{{\sqrt {3 - 2x} }} - \frac{5}{\sqrt {2x - 1}}
- 2 < 0,\forall x \in (\frac{1}{2};\frac{3}{2}) nên nó nghịch biến trên (\frac{1}{2};\frac{3}{2}).
Hơn nữa f(1)=6.
Do đó, tập nghiệm của phương trình phải thỏa mãn: \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{2} < x \leqslant \frac{3}{2} \\ x
\geqslant 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 1 \leqslant x \leqslant \frac{3}{2}
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [1;\frac{3}{2}]
c) Điều kiện: 1 \leqslant x \leqslant 3
Bất phương trình đã cho tương đương: \sqrt {{x^2} - 2x + 3} + \sqrt {x - 1} > \sqrt {x^2 - 6x + 11} + \sqrt {3 - x}
\Leftrightarrow \sqrt {(x-1)^2+ 2}+ \sqrt {x - 1} > \sqrt {(3- x)^2+2}+ \sqrt {3 - x} \quad \quad (1)
Đặt u: = (x - 1)^2 và v: = (3 - x)^2 thì (1) thành \sqrt {u + 2} + \sqrt u > \sqrt {v + 2} + \sqrt v hay f(u)>f(v).
Xét hàm số f(t) = \sqrt {t+2}+ \sqrt t trên [1;3].
Khi đó f(x) là hàm liên tục trên [1;3] và có đạo hàm f'(x) = \frac{1}{2\sqrt {x + 2}} + \frac{1}{2\sqrt x }>0 trên [1;3] nên
hàm f(t) đồng biến trên [1;3].
Vì tính đồng biến nên từ f(u)>f(v) suy ra u>v hay x-1>3-x \Leftrightarrow x>2.
Kết hợp với điều kiện ta có: 2 < x \leqslant 3
Kết luận: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là: S=(2;3].
Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau:
\quad a) \sqrt {x + 9} + \sqrt {2x + 4} > 5
\quad b) \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} < \sqrt {4 - x} + 2\sqrt 3
\quad c) \sqrt {x + 1} + \root 3 \of {5x - 7} + \root 4 \of {7x - 5} + \root 5 \of {13x - 7} < 8
\quad d) {\log _7}x > {\log _3}\left( {2 + \sqrt x } \right)
Ví dụ 2.2. Giải các hệ phương trình sau:
\quad \quad a) \left\{ \begin{gathered} \cot x - \cot y = x - y \\ 5x + 8y = 2\pi \\ x,y \in \left( {0;\pi } \right) \\
\end{gathered} \right.
\quad \quadb) \left\{ \begin{gathered} x = {y^3} + {y^2} + y - 2 \\ y = {z^3} + {z^2} + z - 2 \\ z = {x^3} + {x^2} + x - 2 \\
\end{gathered} \right.

\quad Nhận định: Hệ thứ nhất biến đổi và chọn xét một hàm số đặc trưng.
Hệ thứ hai có dạng hoán vị vòng quanh:
\left\{ \begin{gathered} f\left( {{x_1}} \right) = g\left( {{x_2}} \right) \\ f\left( {{x_2}} \right) = g\left( {{x_3}} \right) \\ ... \\
f\left( {{x_n}} \right) = g\left( {{x_1}} \right) \\ \end{gathered} \right.
\quad Giả sử f và g cùng đồng biến (hoặc cùng nghịch biến) trên miền D thì khi đó, nếu (x_1,x_2,...,x_n) là nghiệm thì
x_1 = x_2 = ... = x_n.
Lời giải.
a) Ta có \cot x - \cot y = x - y \Leftrightarrow x - \cot x = y - \cot y \quad \quad (1)
Xét hàm số f(t) = t - \cot t với t \in (0;\pi).
Khi đó f(t) là hàm sơ cấp nên liên tục trên TXĐ của nó, hơn nữa đạo hàm f'(t) = 1 + \frac{1}{{\sin }^2t} > 0,\forall t \in
(0;\pi) nên f(t) tăng trên (0;\pi)
Do đó (1) \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y
Hệ đã cho tương đương với hệ: \left\{ \begin{gathered} x = y \\ 5x + 8y = 2\pi \\ x,y \in \left( {0;\pi } \right) \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{{2\pi }}{{13}}
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất: \boxed{x = y = \frac{{2\pi }}{{13}}}
b) Xét hàm số đặc trưng f(t) = {t^3} + {t^2} + t - 2.
converted by W eb2PDFConvert.com


Khi đó hệ đã cho trở thành: \left\{ \begin{gathered} x= f(y) \\ y= f(z)\\ z= f(x) \\ \end{gathered} \right.\quad \quad (*)
Và có: f'(t) = 3{t^2} + 2t + 1 > 0 với mọi \forall t \in \mathbb{R}
Vậy f(t) là hàm số đồng biến trên \mathbb R
(Chứng minh tính chất 5 bắt đầu từ đoạn này!)
Giải sử (x,y,z) là một nghiệm của hệ vậy thì chúng phải thỏa mãn hệ (*)!
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x \leqslant y \leqslant z.
\begin{align*} & \Rightarrow f(x) \leqslant f(y) \leqslant f(z) \quad \quad \text{(vì f là hàm tăng trên } \mathbb R)\\ &
\Rightarrow z \leqslant x \leqslant y \quad \quad \text{(do (*))} \end{align*}
Vậy \left\{ \begin{gathered} x \leqslant y \leqslant z \\ z \leqslant x \leqslant y \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x =
y = z.
(Kết thúc chứng minh tính chất 5)

Thay vào hệ đã cho, ta có:
{x^3} + {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} + 2x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất là: x=y=z=1
Chú ý: Khi thay x=y=z trở lại hệ ta thu được một phương trình bậc 3 với ẩn x và việc giải phương trình đó khá dễ
dàng. Tuy nhiên, khi giải phương trình này gặp khó khăn thì các bạn nhớ đặt hàm, khảo sát, đoán nghiệm và khẳng
định phương trình có nghiệm duy nhất như đã trình bày ở Vấn đề 1.
Các bạn có thể xem Bài tập 2.2 câu d)!
Bài tập 2.2. Giải các hệ phương trình sau:
\quad a) \left\{ \begin{gathered} \cot x - \cot y = x - y \\ 3x + 5y = 2\pi \\ x,y \in \left( {0;\pi } \right) \\ \end{gathered}
\right.
\quad b) \left\{ \begin{gathered} x - y = \sin x - \sin y \\ \sin x + \sin y = \sqrt 2 \\ \end{gathered} \right.
\quad c) \left\{ \begin{gathered} {\log _5}x = {\log _3}(\sqrt y + 4) \\ {\log _5}y = {\log _3}(\sqrt z + 4) \\ {\log _5}z = {\log
_3}(\sqrt x + 4) \\ \end{gathered} \right.
\quad d) \left\{ \begin{gathered} {x^3} + 3x - 3 + \ln \left( {{x^2} - x + 1} \right) = y \\ {y^3} + 3y - 3 + \ln \left( {{y^2} - y + 1}
\right) = z \\ {z^3} + 3z - 3 + \ln \left( {{z^2} - z + 1} \right) = x \\ \end{gathered} \right.
\quad e) (D-2006). Chứng minh rằng với mọi a>0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
\left\{ \begin{gathered} {e^x} - {e^y} = \ln \left( {1 + x} \right) - \ln \left( {1 + y} \right) \\ y - x = a \\ \end{gathered} \right.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NosoZ: 19-09-2012 - 23:10
E. Galois, tolaphuy10a1lhp, minhson95 và 7 người khác yêu thích

Đi sau đến muộn--->Đang làm quen và sục sạo khắp nơi trên diễn đàn!

#3

NosoZ
Binh nhất

Đã gửi 16-09-2012 - 21:26

Vấn đề 3. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức


Thành viên

24 Bài viết
Giới tính: Nam

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Như các bạn đã biết ,tính đơn điệu của hàm số phụ thuộc vào đạo hàm của hàm số đó.Dùng đạo hàm,ta có thể xét
được tính đồng biến và nghịch biến của 1 hàm số trên 1 miền nào đó,do đó chúng có thể ứng dụng để chứng minh
khá nhiều Bất đẳng thức(BĐT).Ta xét phương pháp cụ thể như sau:
Xét hàm số f(x) trên đoạn [a;b].
· Nếu f'(x) \ge 0;\forall x \in [a;b] \iff hàm số f(x) đồng biến trên [a;b].Suy ra:f(b) \ge f(x) \ge f(a)
· Nếu f'(x) \ge 0;\forall x \in [a;b] \iff hàm số f(x) nghịch biến trên [a;b].Suy ra:f(b) \le f(x) \le f(a)
Lưu ý: Khi ta sử dụng điều kiện f'(x) \ge 0;\forall x \in [a;b] hay f'(x) \le 0;\forall x \in [a;b] thì ta phải đảm bảo phương
trình f'(x)=0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm,tức là phương trình này chỉ có hữu hạn nghiệm mà thôi.Lưu ý trên đặc biệt
quan trọng khi ta xét đến các hàm số lượng giác.Điều này cũng dễ hiểu bởi khi ta đề cập đến “nghiệm” của 1 phương
trình lượng giác,ta chỉ sử dụng khái niệm “tập nghiệm” để biểu diễn các giá trị thỏa mãn phương trình lượng giác cho
trước.Nói một cách nôm na,phương trình lượng giác luôn có vô hạn nghiệm.Do đó khi ta muốn chứng minh các BĐT
liên quan đến các hàm lượng giác phức tạp,ta phải sử dụng đến phương pháp đại số hóa,vấn đề đó sẽ được trình
bày trong chuyên đề lượng giác.
II.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP:
Ví dụ 3.1: Cho 01. \sin{x}2. \tan{x}>x
Định hướng giải: Với các hàm số đơn giản như ví dụ trên thì ta nên đưa BĐT về dạng f(x)>0 hay f(x)<0,sau đó sử
dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh.
converted by W eb2PDFConvert.com


Lời giải:

Xét hàm số f(x)=\sin{x}-x \left(0Đạo hàm:
f'(x)=\cos{x}-1<0;\forall x \in \left(0;\frac{\pi}{2} \right) \iff Hàm số f(x) nghịch biến trên \left(0;\frac{\pi}{2} \right).
Nên:
f(x)Bài dưới làm tương tự.
Lưu ý: Đôi khi ta không thể kết luận ngay được f'(x) \ge 0;\forall x \in [a;b] hay f'(x) \le 0;\forall x \in [a;b],ví dụ như hàm
số:f(x)=x-\frac{x^3}{6}-\sin{x}(x>0) ta có
f'(x)=1-\frac{x^2}{2}-\cos{x},rõ ràng là ta không thể xác định được dấu của f'(x) trên khoảng (0;+\infty).Khi ta gặp phải
các dạng bài như thế này,ta phải sử dụng thủ thuật lien tiếp đạo hàm để hạ bậc dần dần của hàm số ẩn x.Ta sẽ xem
xét điều này trong ví dụ sau đây:
Ví dụ 3.2: Chứng minh rằng:x-\frac{x^3}{6}<\sin{x};\forall x>0
Lời giải:
Xét hàm số f(x)=x-\frac{x^3}{6}-\sin{x}(x>0)
Đạo hàm:
f'(x)=1-\frac{x^2}{2}-\cos{x}
f''(x)=\sin{x}-x.
Ta đã chứng minh trong ví dụ 1 BĐT:\sin{x}<x;\forall x>0 nên ta có f''(x)<0;\forall x>0 \iff f'(x) nghịch biến trên
(0;+\infty).Suy ra:
f'(x)<f'(0)=0;\forall x>0 \iff f(x) nghịch biến trên (0;+\infty).
Suy ra:
f(x)<f(0)=0;\forall x>0 \iff x-\frac{x^3}{6}<\sin{x};\forall x>0
Nếu bạn nào đã từng tìm hiểu sâu về BĐT này thì có thể thấy ngay nó chỉ là hệ quả của định nghĩa chuỗi cho
\sin{x}:
\sin{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}
Ví dụ 3.3: Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta đều có:
2(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C})+(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C})>3\pi
Định hướng giải: Ta phải để ý đến giả thuyết A,B,C là 3 góc tam giác nên ta có thể thay \pi=A+B+C,như vậy cả 2 vế
của BĐT đều xuất hiện các số hạng chứa A,B,C,nên ta có thể nhóm BĐT về dạng sau:f(A)+f(B)+f\left(C \right)>0 với
f(A)=2\sin{A}+\tan{A}-3A.Ta sẽ chứng minh:f(A);f(B);f\left(C \right)>0.

Lời giải: Do tam giác ABC nhọn nên 0Xét hàm số f(x)=2\sin{x}+\tan{x}-3x \left(0Đạo hàm:
f'(x)=2\cos{x}+\frac{1}{\cos^2{x}}-3=\left(\cos{x}+\cos{x}+\frac{1}{\cos^2{x}} \right)-3.
Do 0\cos{x}+\cos{x}+\frac{1}{\cos^2{x}} \ge 3\sqrt[3]{\cos{x}.\cos{x}.\frac{1}{\cos^2{x}}}=3
Vậy :f'(x) \ge 0;\forall x\ in \left(0;\frac{\pi}{2} \right) \iff f(x) đồng biến trên \left(0;\frac{\pi}{2} \right)
f(x)>f(0)=0 \iff 2\sin{x}+\tan{x}>3x;\forall x \in \left(0;\frac{\pi}{2} \right)
.Như vậy:
2(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C})+(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C})>3(A+B+C)=3\pi
Lưu ý: Trong lời giải trên,để chứng minh f'(x) \ge 0;\forall x \in \left(0;\frac{\pi}{2} \right) ,ta đã sử dụng đến BĐT
Cauchy 3 số.Như vậy,ta có thể thấy không phải lúc nào ta cũng chỉ có thể dựa vào tính đơn điệu của hàm số để
chứng minh BĐT mà còn phải dựa trên các BĐT khác như :BĐT Cauchy;BĐT BCS;….Ta đi đến 1 ví dụ minh họa:
Ví dụ 3.4: Chứng minh rằng với 0Định hướng giải: Nếu ta trực tiếp khảo sát hàm số f(x)=2^{2\sin{x}}+2^{\tan{x}}-2^{\frac{3x}{2}+1}\left(0\right)
converted by W eb2PDFConvert.com


Thì ta không thể nào nhận xét được dấu của f'(x),hon nua ta áp dụng thủ thuật đạo hàm lien tiếp thì cũng không giúp
ta đi đến đâu.Vậy ta phải làm sao ?
Bây giờ ta để ý thấy rằng các số hạng của 2 vế BĐT đều có chung 1 cơ số 2,do đó ta sẽ nghĩ ngay đến đưa BĐT này
về dạng bất phương trình mũ.Nhưng phải làm sao để có thể gộp 2 số mũ 2\sin{x};\tan{x} lại với nhau ? Ta nhớ đến
công thức :
a^{m}.a^{n}=a^{m+n}(a>0).Như vậy chỉ cần ta có thể “biến” tổng 2 số hạng bên vế trái(VT) của BĐT về dạng tích thì ta
đã có thể giải quyết bài toán,ta phải làm gì để giải quyết điều này ?May thay BĐT Cauchy sẽ giúp ta vượt qua vấn đề
đó.
Lời giải:
Sử dụng BĐT Cauchy 2 số,ta có:
2^{2\sin{x}}+2^{\tan{x}} \ge 2\sqrt{2^{2\sin{x}}.2^{\tan{x}}}=2^{\frac{2\sin{x}+\tan{x}}{2}+1}

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
2^{\frac{2\sin{x}+\tan{x}}{2}+1}>2^{\frac{3x}{2}+1} \iff 2\sin{x}+\tan{x}>3x
BĐT này đã được chứng minh trong ví dụ 3 nên ta giải quyết xong bài toán.
Ví dụ 3.5. Chứng minh rằng: 1 + 2\ln x \leqslant {x^2} \quad \quad (1), với mọi x>0
Lời giải. (1) \Leftrightarrow {x^2} - 2\ln x - 1 \geqslant 0.
Đặt f(x): =x^2- 2\ln x - 1, ta sẽ chứng minh hàm số f(x) \geqslant 0, với x \in (0; + \infty)
Ta có: f(x) là hàm liên tục trên (0; + \infty) và
\begin{align*} f'(x) &= 2x - \frac{2}{x} \\ &= \frac{2(x^2- 1)}{x} \end{align*}
f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 trên (0; + \infty).
Lập bảng biến thiên của hàm f trên (0; + \infty) như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra f(x) \geqslant 0,\forall x > 0.\quad \quad \square
Ví dụ 3.6. Chứng minh rằng với mọi số thực x>1, ta đều có:
\frac{{\ln x}}{{x - 1}} \leqslant \frac{1}{{\sqrt x }} \quad \quad (1)
Lời giải. Với x>1, bất đẳng thức (1) tương đương với:
\ln x \leqslant \frac{x - 1}{\sqrt x } \Leftrightarrow \ln x - \frac{x - 1}{\sqrt x } \leqslant 0
Xét hàm số f(x) = \ln x - \frac{x - 1}{\sqrt x } = \ln x - (x - 1){x^{ - \frac{1}{2}}} trên [1; + \infty)
Ta thấy hàm f(x) liên tục trên [1; + \infty) và có:
\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{x} - x^{ - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(x - 1){x^{ - \frac{3}{2}}}\\ & = \frac{2\sqrt x - x - 1}{2x\sqrt
x }: = \frac{g( x)}{2x\sqrt x } \end{align*}
Dấu của f'(x) là dấu của g(x) với g(x)=2\sqrt x - x - 1, với x \geqslant 1
Hàm số g(x) liên tục trên [1; + \infty) và có g'(x) = \frac{1}{\sqrt x } - 1 < 0 với mọi x>1.
Do đó hàm g(x) nghịch biến trên [1; + \infty) và g(1)=0 suy ra g( x) < g(1) = 0
Từ đó ta có f'(x)<0 với mọi x>1 nên hàm số f(x) nghịch biến trên [1; + \infty) và
f(x)<f(1)=0 \text{ với mọi } x>1
Vậy: \ln x \leqslant \frac{x - 1}{\sqrt x }.\quad \quad \square
Ví dụ 3.7. Chứng minh rằng với mọi a, b \in \mathbb{R}, ta đều có:
\frac{{\left| {a + b} \right|}}{{1 + \left| {a + b} \right|}} \leqslant \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b
\right|}}{{1 + \left| b \right|}}
Lời giải. Xét hàm số f(x) = \frac{x}{1 + x} trên khoảng [0;+ \infty)

Ta có f'(x) = \frac{1}{(1 + x)^2} > 0 với mọi x \geqslant 0
Do đó hàm số f đồng biến trên khoảng [0; + \infty)
Từ đó suy ra f(|a + b|) \leqslant f(|a| +|b|) với mọi a,b \in \mathbb{R}
tức là \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|+|b|}{1+|a|+| b |} với mọi a,b \in \mathbb{R} \quad (1)
Mặt khác ta có
\begin{align*} \frac{{\left| a \right| + \left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} &= \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a
\right| + \left| b \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}}\\ & \leqslant \frac{{\left| a \right|}}{{1 +
\left| a \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}} \quad (2) \end{align*}
Từ (1) và (2) ta có
\frac{{\left| {a + b} \right|}}{{1 + \left| {a + b} \right|}} \leqslant \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b

converted by W eb2PDFConvert.com


\right|}}{{1 + \left| b \right|}} \quad \square
Ví dụ 3.8. Cho hai số thực a, b sao cho 0\frac{{\tan b}}{{\tan a}} > \frac{b}{a}
Nhận định: Nếu sử dụng tính đơn điệu để giải thì bạn phải xác định cho được hàm số cần xét là hàm nào? Ở đây để ý
rằng a,b \in (0;\frac{\pi }{2}) cho nên \tan a, \tan b > 0 và a, b>0, do đó có thể biến đổi bất đẳng thức đã cho để chứng
minh bất đẳng thức dạng: f(b)>f(a)
Lời giải.
Do a,b \in (0;\frac{\pi }{2}) nên \tan a, \tan b > 0 và a, b>0. Vậy
\frac{\tan b}{\tan a} > \frac{b}{a} \Leftrightarrow \frac{\tan b}{b} > \frac{\tan a}{a}
Xét hàm số f(x) = \frac{\tan x}{x} thì bài toán trở thành:
"Cho a,b \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) sao cho b>a. Hãy chứng minh rằng: f(b)>f(a)".
Như vậy theo định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số ta chỉ cần chứng minh f đồng biến trên (a;b).
Thật vậy, ta có: f'(x) = \frac{{x - \sin x\cos x}}{{{x^2}{{\cos }^2}x}} = :\frac{{g(x)}}{{{x^2}{{\cos }^2}x}}
Dấu của f'(x) là dấu của hàm g(x):=x-\sin x \cos x trên [{0;\frac{\pi }{2}}]. Ta lại có:
g(x) = x - \sin x\cos x = x - \frac{\sin x}{2}
\Rightarrow g'(x) = 1 - \cos 2x,\forall x \in (0;\frac{\pi }{2})

Do đó g(x) đồng biến và g(x)>g(0)=0, \forall x \in (0;\frac{\pi }{2}).
Vậy f'(x)>0, \forall x \in (0;\frac{\pi }{2}) tức là f đồng biến trên (0;\frac{\pi }{2}). \quad \square
Ví dụ 3.9. Chứng minh rằng nếu x \in (0;\frac{\pi }{2}) thì:
{2^{\sin x}} + {2^{\tan x}} > {2^{x + 1}}
Lời giải.
Do x \in (0;\frac{\pi }{2}) nên {2^{\sin x}}{,2^{\tan x}} đều là các số dương. Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
{2^{\sin x}} + {2^{\tan x}} \geqslant 2\sqrt {{2^{\sin x + \tan x}}}
\Leftrightarrow {2^{\sin x}} + {2^{\tan x}} \geqslant {2^{\frac{{\sin x + \tan x + 2}}{2}}}
Khi đó BĐT đã cho trở thành: {2^{\frac{{\sin x + \tan x + 2}}{2}}} > {2^{x + 1}}. Hay
\frac{{\sin x + \tan x + 2}}{2} > x + 1 \Leftrightarrow \sin x + \tan x - 2x > 0
Đặt và xét hàm số f\left( x \right) := \sin x + \tan x - 2x > 0 trên (0;\frac{\pi }{2})
Như vậy để chứng minh BĐT đã cho ta chỉ cần chỉ ra rằng: f(x) > 0,\forall x \in (0;\frac{\pi }{2})
Thật vậy, ta có f'(x) = \cos x + \frac{1}{{{\cos }^2}x} - 2
Ta sẽ đánh giá sau:
f'\left( x \right) = \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2 > \cos x + \frac{1}{{\cos x}} - 2,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
Theo BĐT Cauchy thì \cos x + \frac{1}{{\cos x}} > 2,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) bởi vậy f'\left( x \right) >
0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
Vậy, hàm số f(x) đồng biến trên (0;\frac{\pi }{2})
Suy ra với \forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) thì f(x)>f(0)=0.\quad \square
Bài tập tự luyện:
Bài tập 3.1. Chứng minh rằng:
\quad a) x > \ln (1 + x) với mọi x>0
\quad b) {e^x} > 1 + \ln (1+x) với mọi x>0
Bài tập 3.2. Chứng minh:
\sin > \frac{{2x}}{\pi } \text{ với mọi } x \in (0;\frac{\pi }{2})
Bài tập 3.3. Chứng minh:
\frac{x + y}{2} > \frac{x - y}{\ln x - \ln y} \text{ với mọi }x > y > 0
Bài tập 3.4. Chứng minh:
{a^b} < {b^a} \text{ với mọi } a > b \geqslant e
Bài tập 3.5. (D-2007). Chứng minh:

{({2^a} + \frac{1}{2^a})^b} \leqslant {({2^b} + \frac{1}{{{2^b}}})^a} \text{ với mọi } a \geqslant b > 0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-09-2012 - 08:23
E. Galois, leminhansp, bugatti và 6 người khác yêu thích

Đi sau đến muộn--->Đang làm quen và sục sạo khắp nơi trên diễn đàn!

#4

NosoZ
Binh nhất

Đã gửi 16-09-2012 - 22:04

Vấn đề 4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận phương trình và bất phương trình

converted by W eb2PDFConvert.com


Thành viên

24 Bài viết
Giới tính: Nam

\quad Bài toán về biện luận số nghiệm, có nghiệm trên một tập hợp cho trước là bài toán mà hầu như trong đề thi
năm nào cũng có. Ngoài việc yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ sở, bài toán còn đòi hỏi óc tư duy, sáng
tạo. Đối với dạng toán này cũng có nhiều phương án giải quyết, trong đó phương án sử dụng tính đơn điệu của hàm
số sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, độc đáo và được đánh giá rất cao!
Ví dụ 4.1. Cho hàm số f(x)=mx^2+2mx-3
\quad a) Tìm m để phương trình: f(x)=0 có nghiệm x \in [1;2]
\quad b) Tìm m để bất phương trình: f(x) \leqslant 0 nghiệm đúng \forall x \in [1;4]

\quad c) Tìm m để bất phương trình: f(x) \geqslant 0 có nghiệm x \in [1;3]
\quad Nhận định: Một cách rất tự nhiên, khi biện luận phương trình hoặc bất phương trình có chứa tham số thì việc
đầu tiên cần làm là cố gắng đưa tham số về một vế độc lập. Sau đó sử dụng các tính chất đơn điệu của hàm số mà
bạn đã biết. Để tiện đối sánh, tôi xin nhắc lại một số "hằng đẳng thức" sau:
\quad a) Nghiệm của phương trình u(x)=v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=u(x) với đồ thị y=v(x)
\quad b) Nghiệm của bất phương trình u(x) \geqslant v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y=u(x) nằm ở
phía trên so với phần đồ thị y=v(x)
\quad c) Nghiệm của bất phương trình u(x) \leqslant v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y=u(x) nằm ở
phía dưới so với phần đồ thị y=v(x)
\quad d) Nghiệm của phương trình u(x)=m là hoành độ giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị y=u(x)
\quad e) Bất phương trình u(x) \geqslant m đúng với \forall x \in I \Leftrightarrow \mathop {min}\limits_{x \in I} u(x)
\geqslant m
\quad f) Bất phương trình u(x) \leqslant m đúng với \forall x \in I \Leftrightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in I} u(x)
\leqslant m
\quad g) Bất phương trình u(x) \geqslant m có nghiệm x \in I \Leftrightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in I} u(x) \geqslant
m
\quad h) Bất phương trình u(x) \leqslant m có nghiệm x \in I \Leftrightarrow \mathop {min}\limits_{x \in I} u(x) \leqslant m

Lời giải.
a) Biến đổi phương trình f(x)=0 sao cho tham số m nằm về một vế độc lập:
f(x) = m{x^2}+2mx-3 = 0 \Leftrightarrow m({x^2+2x}) = 3 \Leftrightarrow \frac{3}{x^2+ 2x}=m
Đặt g(x):=\frac{3}{x^2 + 2x}=\frac{3}{(x+1)^2-1}=m
Để f(x)=0 có nghiệm x \in [1;2] thì m phải lớn hơn hoặc bằng GTNN và nhỏ hơn hoặc bằng GTLN của hàm g(x) trên
đoạn [1;2] (Xem "hằng đẳng thức" (d) và hình 1), tức là:
\mathop {min}\limits_{x \in [1;2]} g(x) \leqslant m \leqslant \mathop {Max}\limits_{x \in [1;2]} g(x)
Bây giờ xét hàm g(x) trên [1;2] tương tự như ở vấn đề 1, cụ thể như sau:
Vì g(x) = \frac{3}{(x + 1)^2- 1} là hàm liên tục trên [1;2], có đạo hàm g'(x) = - \frac{2(x + 1)}{(x+1)^2-1} < 0,\forall x \in
[1;2] nên g(x) là hàm nghịch biến trên [1;2].
Do đó,
\begin{align*} & \mathop {min }\limits_{x \in [1;2]} g(x) = g(2) = \frac{3}{8}\\ & \mathop {Max}\limits_{x \in [1;2]} g(x) =

g(1) = 1 \end{align*}
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: \frac{3}{8} \leqslant m \leqslant 1
b) Với \forall x \in [1;4], ta có:
\begin{align*} f(x) \leqslant 0 & \Leftrightarrow m{x^2} + 2mx - 3 \leqslant 0\\ & \Leftrightarrow m(x^2+2x) \leqslant 3\\ &
\Leftrightarrow g(x):= \frac{3}{x^2+2x} \geqslant m,\forall x \in [1;4] \end{align*}
Để f(x) \leqslant 0 nghiệm đúng với mọi x \in [1;4] thì g(x):= \frac{3}{x^2+2x} \geqslant m,\forall x \in [1;4], điều này có
được khi \mathop {min }\limits_{x \in [1;4]} g(x) \geqslant m (xem (e) và hình 1)
Vì hàm g(x) liên tục và có đạo hàm g'(x)=- \frac{2(x + 1)}{(x+1)^2-1} < 0 trên đoạn [1;4] nên g(x) là hàm nghịch biến
trên [1;4].
Do đó \mathop {min }\limits_{x \in [1;4]} g(x) = g(4) = \frac{1}{8}
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: m \leqslant \frac{1}{8}
b) Với x \in [-1;3], ta có:
\begin{align*} f(x) \geqslant 0 & \Leftrightarrow m({x^2+2x}) \geqslant 3 & \Leftrightarrow m \geqslant \frac{3}{x^2+ 2x}
(1) \end{align*}
Đặt và xét hàm số g(x): = \frac{3}{x^2+2x},x \in [-1;3] (2)
Ở đây ta gặp chút rắc rối là đoạn [-1;3] chứa điểm "đặc biệt" mà làm cho g(x) không xác định là điểm x=0. Kỹ thuật là
ta sẽ tách ra làm hai đoạn và đi xét riêng điểm x=0. Cụ thể:
converted by W eb2PDFConvert.com


Xét các khả năng sau:
\bullet Nếu x=0, thay trực tiếp vào (1), bất phương trình trở thành m.0=0 \geqslant 3. Vô nghiệm!
\bullet Nếu x \in (0;3] thì
\begin{align*} \text{bất phương trình đã cho }& \Leftrightarrow g(x) \leqslant m \text{ có nghiệm } x \in (0;3] &
\Leftrightarrow \mathop {min}\limits_{x \in (0;3]} g(x) \leqslant m \end{align*}
Do g\left( x \right) = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 1 nghịch biến trên (0;3] nên \mathop {min}\limits_{x \in(0;3]}
g(x) = g(3)= \frac{1}{5} \leqslant m
\bullet Nếu x \in [-1;0) thì x^2+2x<0 nên
\begin{align*} \text{bất phương trình đã cho }& \Leftrightarrow g(x) \geqslant m \text{ có nghiệm }x \in [-1;0)\\ &
\Leftrightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in [-1;0)} g(x) \geqslant m \end{align*}

Do g(x) nghịch biến trên [-1;0) nên \mathop {Max}\limits_{x \in [-1;0)} g(x)=g(1) =- 3 \geqslant m.
Kết hợp các trường hợp ta đi đến kết luận:
f(x) \geqslant 0 \text{ có nghiệm }x \in [-1;3] \Leftrightarrow m \in (-1;3] \cup [\frac{1}{5};+ \infty)
\quad Ví dụ sau đây tương tự như câu 1 của Ví dụ 4.2, cung cấp cho các bạn một kỹ thuật khi gặp khó khăn trong
việc khẳng định tính đơn điệu của một hàm số bằng công cụ đạo hàm.
Ví dụ 4.2. Tìm m để pt: x\sqrt x +\sqrt{x+12}=m({\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x}}) có nghiệm.
Lời giải.
Điều kiện: 0 \leqslant x \leqslant 4
Biến đổi phương trình đã cho và đặt hàm f(x) như sau:
f(x): = \frac{x\sqrt x + \sqrt {x + 12}}{\sqrt {5 - x}+ \sqrt {4 - x} } = :\frac{u(x)}{v(x}=m
\quad Việc tính đạo hàm f(x) là khá phức tạp, tuy nhiên ta dễ suy ra u(x)>0 và là hàm tăng trên TXĐ, còn v(x)>0 và là
hàm giảm (tức là \frac{1}{v(x)}>0 và là hàm tăng) trên TXĐ.
Suy ra f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} là một hàm số tăng trên đoạn [0;4].
Như vậy:
f(x)=m có nghiệm \Leftrightarrow m \in \left[ {\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} f\left( x \right);\mathop
{Max}\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} f\left( x \right)} \right]
= \left[ {f\left( 0 \right);f\left( 4 \right)} \right]
= \left[ {2\left( {\sqrt {15} - \sqrt {12} } \right);12} \right]
Kết luận: m \in [2(\sqrt {15}- \sqrt {12});12]
Ví dụ 4.3. Tìm m để phương trình 3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x^2-1} \quad (1) có nghiệm thực.
Lời giải.
Điều kiện: x \geqslant 1
Biến đổi phương trình (1) và xét hàm f(x) như sau:
f(x):= -3\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=m \quad \quad (2)
Có thể đặt ẩn phụ t=\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=\sqrt[4]{{1-\frac{2}{x+1}}} thì \sqrt {\frac{x - 1}{x + 1}} = {t^2}, với t \in [0;1).
Khi đó (2) trở thành: g(t)=- 3{t^2}+3t=m.
Đó là một hàm số bậc hai, việc khảo sát không có gì khó khăn!\par
Ta có g'(t)=0 \Leftrightarrow t= \frac{1}{3}.
Lập bảng biến thiên cho hàm g(t) như sau:

Nhìn vào bảng biến thiên dễ dàng suy ra giá trị của m cần tìm là: - 1< m \leqslant \frac{1}{3}.
Ghi chú:
\quad a) Đối với ẩn phụ t ở trên, các bạn buộc phải tìm miền giá trị của nó, chớ có để sót bước này.
\quad b)Bài toán này ở đề thi khối A-2007 và còn một số cách giải khác, các bạn tự tìm hiểu thêm!
converted by W eb2PDFConvert.com


Ví dụ 4.4. Tìm m để bất phương trình: m4^x+(m-1)2^{x+2}+m-1>0 \text{ đúng }\forall x \in \mathbb{R} \quad \quad (1)
Lời giải.
Đặt 2^x= t,t > 0 thì (1) trở thành:
\begin{align*} mt^2+ 4(m-1)t+m-1 > 0 & \Leftrightarrow m(t^2+ 4t + 1) > 4t + 1\\ & \Leftrightarrow \frac{4t + 1}{t^2 + 4t +
1} < m \end{align*}
Đặt g(t): = \frac{4t + 1}{t^2 + 4t + 1} với t>0.
Khi đó (1) đúng với \forall x \in \mathbb{R} khi và chỉ khi g(t)Dễ thấy g(t) là hàm nghịch biến trên [0; + \infty), theo "hằng đẳng thức" (f) thì
\begin{align*} \text{yêu cầu của bài toán} & \Leftrightarrow \mathop {Max}\limits_{t \in [0; + \infty)} g(t) < m\\ &
\Leftrightarrow g(0) < m\\ & \Leftrightarrow 1 < m \end{align*}
Kết luận: \boxed{m > 1}
Ví dụ 4.5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: \left\{ \begin{gathered} x+\frac{1}{x}+y+ \frac{1}{y}=5 \\ x^3+
\frac{1}{x^3}+y^3+ \frac{1}{y^3} = 15m-10 \\ \end{gathered} \right. \quad \,(1)
\quad Nhận định: Đây là hệ đối xứng loại I, nếu đề bài yêu cầu giải hệ thì bài toán đơn giản, song ở đây xuất hiện m
và yêu cầu tìm giá trị m để hệ có nghiệm. Nhiều bạn sẽ chọn cách đặt ẩn phụ và cố gắng biến đổi sao cho sử dụng
được Định lý Viète rồi biện luận theo m.
\quad Lời giải sau cũng đi theo hướng đó nhưng bước cuối cùng lại rẽ sang hướng khác!
Lời giải.
Đặt u: = x + \frac{1}{x} và v: = y + \frac{1}{y}.
Khi đó:
\left| u \right| = \left| {x + \frac{1}{x}} \right| = \left| x \right| + \left| {\frac{1}{x}} \right| \geqslant 2\sqrt {\left| x \right|\left|
{\frac{1}{x}} \right|} = 2
Tương tự ta cũng tìm được: |v| \geqslant 2

Ta lại có:
\begin{align*} x^3+ \frac{1}{x^3} & = {(x + \frac{1}{x})^3} - 3x^2.\frac{1}{x} - 3x.({\frac{1}{x}})^2\\ & = {({x + \frac{1}{x}})^3} 3( {x + \frac{1}{x}})\\ & = {u^3} - 3u \end{align*}
Tương tự, {y^3} + \frac{1}{y^3}={v^3} - 3v
Thay vào hệ (1): \left\{ \begin{gathered} u + v = 5 \\ {u^3} + {v^3} - 3\left( {u + v} \right) = 15m - 10 \\ \end{gathered}
\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u + v = 5 \\ uv = 8 - m \\ \end{gathered} \right.
Suy ra u, v phải là nghiệm của phương trình bậc hai g(t):=t^2-5t+8=m
Như vậy, hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình
g(t)=m có hai nghiệm t_1, t_2 sao cho |{t_1}| \geqslant 2 và |{t_2}| \geqslant 2.
\quad Bây giờ công việc còn lại là khảo sát hàm số g(t) trên tập D = \mathbb{R} \backslash (-2;2).
Ta sẽ nhìn thấy kết quả của việc khảo sát hàm g(t) qua bảng biến thiên sau:

Kết luận: Hệ (1) có nghiệm \Leftrightarrow \frac{7}{2} \leqslant m \leqslant 2 hoặc m \geqslant 22.
Bài tập 4.1. Tìm m để bất phương trình: -x^3+3mx-2 < -\frac{1}{x^3} nghiệm đúng \forall x \geqslant 1
Bài tập 4.2. Tìm m để bất phương trình: x^3+3{x^2}-1 \leqslant m({\sqrt x}-\sqrt {x-1})^3 có nghiệm.
Bài tập 4.3. Tìm m để bất phương trình: \sqrt {(4+x)(6-x)} \leqslant {x^2} - 2x + m nghiệm đúng \forall x \in [-4;6]
Bài tập 4.4. Tìm m để bất phương trình: \sqrt {3+x}+ \sqrt {6-x}- \sqrt {18+3x-x^2} \leqslant {m^2}-m+1 đúng \forall x \in
converted by W eb2PDFConvert.com


[-3;6].
Bài tập 4.5. Tìm m để phương trình: \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {18 + 3x - {x^2}} = m có nghiệm.
Bài tập 4.6. Chứng minh rằng: Với mọi m>0 phương trình {x^2} + 2x - 8 = \sqrt {m\left( {x - 2} \right)} luôn có đúng hai
nghiệm phân biệt.
Bài tập 4.7. Tìm m để phương trình: \root 4 \of {2x}+ \sqrt {2x}+2\root 4 \of {6-x}+2\sqrt {6-x}=m có đúng hai nghiệm
thực phân biệt.
Bài tập 4.8. Tìm x để bất phương trình: x^2+2x(\sin y+\cos y)+1\geqslant 0 đúng với \forall y \in \mathbb{R}
Bài tập 4.9.(A-2002). Tìm m để phương trình: \log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} - 2m - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm
thuộc đoạn [1;3^{\sqrt 3 }]
...............................Loading!.....................

Các bạn thảo luận và đặt câu hỏi ở bên dưới. Cần lưu ý các quy định sau:

QUY ĐỊNH VỀ THẢO LUẬN
1. Tuân thủ Nội quy diễn đàn.
2. Khi hỏi bài tập cần nêu rõ nguồn (đề thi, bài trên lớp, trong sách...) và trình bày những suy nghĩ của mình
về bài toán đó (đã làm được đến đâu, đề có chỗ nào chưa hiểu, chưa xử lí được điều kiện nào).
3. Khi giải bài (giúp các bạn khác) cố gắng đưa ra lời hướng dẫn hoặc đường hướng giải quyết bài toán
hay phân tích rõ các giả thiết của bài toán và sử dụng các giả thiết ấy như thế nào...
Khuyến khích cả các bạn chưa có lời giải cuối cùng cũng tham gia thảo luận (chẳng hạn như "mình nghĩ
phải làm thế này thế này, nhưng chỉ làm được đến đây thì chịu...", hay "BĐT ấy mình đánh giá được đến đây rồi
bạn nào giúp mình đánh giá tiếp với...").
4. Bên cạnh các bài tập tự luyện, khuyến khích các bạn gửi những bài toán hay (kể cả các bạn đã làm được và
chưa làm được) trong quá trình ôn tập mà các bạn gặp phải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:15
E. Galois, minhson95, leminhansp và 9 người khác yêu thích

Đi sau đến muộn--->Đang làm quen và sục sạo khắp nơi trên diễn đàn!

#5

z0r0
Lính mới

Đã gửi 02-10-2012 - 22:01
Vào lúc 16 Tháng 9 2012 - 08:13, 'NosoZ' đã nói:
\quad \quad c) \sqrt {2{x^2} + 23} = 4x - 2 + \sqrt {2{x^2} + 7}

\quad \quad d) \sqrt {{x^2} + 15} = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8}
Thành viên

Thưa thầy hai bài này làm thế nào ạ?
2 Bài viết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi z0r0: 02-10-2012 - 22:03

Giới tính: Nam
Đến từ: Thái Nguyên

converted by W eb2PDFConvert.com


#6

dangerous_nicegirl
Binh nhất

Đã gửi 03-10-2012 - 18:09
Vào lúc 02 Tháng 10 2012 - 10:01, 'z0r0' đã nói:
Thưa thầy hai bài này làm thế nào ạ?

Thành viên

chuyen ve xong nhan lien hop ban ak
z0r0 yêu thích

37 Bài viết

#7

z0r0
Lính mới

Đã gửi 04-10-2012 - 00:03
Vào lúc 03 Tháng 10 2012 - 06:09, 'dangerous_nicegirl' đã nói:
chuyen ve xong nhan lien hop ban ak

Thành viên

Hi mình tưởng dùng tính đơn điệu của hàm số chứ?

2 Bài viết
Giới tính: Nam
Đến từ: Thái Nguyên

#8

NosoZ
Binh nhất

Đã gửi 06-10-2012 - 21:42
Vào lúc 02 Tháng 10 2012 - 10:01, 'z0r0' đã nói:
Thưa thầy hai bài này làm thế nào ạ?

Thành viên

24 Bài viết
Giới tính: Nam

Pt c) \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 23} - \sqrt {2{x^2} + 7} = 4x - 2

VT luôn dương với mọi x nên với x \leqslant \frac{1}{2} thì phương trình vô nghiệm.
Xét hàm f\left( x \right) = 4x - 2 + \sqrt {2{x^2} + 7} - \sqrt {2{x^2} + 23} trên \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).
Ta thấy f(x)=f(1).
Bây giờ bạn chỉ cần chứng minh f đồng biến trên \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right) và đi đến kết luận pt có nghiệm x=1.
Bài d) bạn làm tương tự...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NosoZ: 06-10-2012 - 21:42
minhson95 yêu thích

Đi sau đến muộn--->Đang làm quen và sục sạo khắp nơi trên diễn đàn!

#9

hanh ngan
Lính mới

Đã gửi 25-10-2012 - 21:23

thua thầy trong phần này em thấy mình không nên mò nghiệm mà nên bấm máy tính giải pt ra trc như vây nhanh va
chính xác hon

Thành viên

2 Bài viết

anhtuan2b

#10

converted by W eb2PDFConvert.com

Lính mới

Đã gửi 05-11-2012 - 21:20

Mò nghiệm thì có nhiều cách bạn à, có thể bấm máy tính mà cũng có thể nhẫm ra được mà không cần dùng máy tính.
Vui vui
Thành viên

8 Bài viết
Giới tính: Nam
Đến từ: Tp HCM
Sở thích: Du ngoạn

#11

hoangthuong893
Lính mới

Đã gửi 05-04-2013 - 16:13

thầy ơi để tải tài liệu của thầy thì làm sao ạ?

Thành viên

1 Bài viết

#12

25 minutes

Thành viên nổi bật 2015

Đã gửi 06-04-2013 - 00:40
Vào lúc 02 Tháng 10 2012 - 10:01, z0r0 đã nói:
Thưa thầy hai bài này làm thế nào ạ?

Thành viên nổi bật 2015

2794 Bài viết
Giới tính: Nam
Đến từ: KHTN-NEU
Sở thích: Cafe + radio +
mưa

Câu d: Ta có \sqrt{x^2+15} > \sqrt{x^2+8}
\Rightarrow 3x-2 > 0\Leftrightarrow x>\frac{2}{3} với x \in \left ( \frac{2}{3},+\infty \right )
Xét f(x)=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2
\Rightarrow f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}-3
Dễ thấy \frac{x}{\sqrt{x^2+15}}<\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}
\Rightarrow f'(x)<0
Suy ra f(x) nghịch biến trên \left ( \frac{2}{3},+\infty \right )
Dễ thấy f(1)=0
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.

Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây
#13

bugatti

Thượng sĩ

Đã gửi 11-04-2013 - 20:03

Ai tổng hợp bài giảng này thành file PDF hay word được không?
p/s: Xin cảm ơn!

Thành viên

Nếu bạn thích bài viết của tôi hãy chọn "LIKE" nhé,
còn nếu không thích hãy chọn "LIKE" coi như đó là 1 viên gạch

207 Bài viết

converted by W eb2PDFConvert.com


Giới tính: Nam
Đến từ: Đại học Bách Khoa
Hà Nội

#14

namcpnh
Red Devil

Đã gửi 02-05-2013 - 19:02

Nhờ BBT vào tổng hợp bài giảng này thành file PDF hay word.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây

Hiệp sỹ

1078 Bài viết
Giới tính: Nam
Đến từ: Ho Chi Minh City
University of Science
Sở thích: Mathematical
Analysis

#15

Zaraki
PQT

Đã gửi 03-05-2013 - 12:24

Xem tại đây .

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.
Thành viên nổi bật 2015

4131 Bài viết
Giới tính: Nam
Đến từ: Đảo mộng mơ.
Sở thích: Geometry, Number
Theory, Combinatorics,

Manga

#16

younglady9x
Binh nhất

Đã gửi 15-06-2013 - 00:18
Vào lúc 16 Tháng 9 2012 - 08:48, NosoZ đã nói:

Thành viên

26 Bài viết
Giới tính: Nữ
Đến từ: THPT chuyên
Lương Văn Tụy-Ninh Bình
Sở thích: Ăn, ngủ, chơi

Vấn đề 2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình, hệ phương trình
Ví dụ 2.1.
c) \sqrt {{x^2} - 2x + 3} - \sqrt {{x^2} - 6x + 11} > \sqrt {3 - x} - \sqrt {x - 1}
Điều kiện: 1 \leqslant x \leqslant 3
Bất phương trình đã cho tương đương: \sqrt {{x^2} - 2x + 3} + \sqrt {x - 1} > \sqrt {x^2 - 6x + 11} + \sqrt {3 - x}
\Leftrightarrow \sqrt {(x-1)^2+ 2}+ \sqrt {x - 1} > \sqrt {(3- x)^2+2}+ \sqrt {3 - x} \quad \quad (1)
Đặt u: = (x - 1)^2 và v: = (3 - x)^2 thì (1) thành \sqrt {u + 2} + \sqrt u > \sqrt {v + 2} + \sqrt v hay f(u)>f(v).
Xét hàm số f(t) = \sqrt {t+2}+ \sqrt t trên [1;3].
Khi đó f(x) là hàm liên tục trên [1;3] và có đạo hàm f'(x) = \frac{1}{2\sqrt {x + 2}} + \frac{1}{2\sqrt x }>0 trên [1;3]
nên hàm f(t) đồng biến trên [1;3].
Vì tính đồng biến nên từ f(u)>f(v) suy ra u>v hay x-1>3-x \Leftrightarrow x>2.
Kết hợp với điều kiện ta có: 2 < x \leqslant 3

Kết luận: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là: S=(2;3].
Cho em hỏi khi đặt t=\sqrt{x-1} mà khoảng xác định của x là [1;3] thì phải xét hàm số f(t) trên [0;2] chứ đâu còn là [1;3] nữa ạ. Bản
chất của vấn đề thì em đã hiểu nhưng cái chỗ khoảng đồng biến nghịch biến thì chưa được rõ lắm, cái chỗ u với v cứ loạn xạ lên.
Mong thầy giúp em

converted by W eb2PDFConvert.com


#17

mentos
Lính mới

Đã gửi 19-06-2013 - 16:55

thầy ơi giải giúp em hệ pt này
\left\{\begin{matrix} &x^{2}-2x+1=2y & \\ &y^{2}-2y+1=2z & \\ &z^{2}-2z+1=2x & \end{matrix}\right.
e cũng giải theo cách xét hàm số f(t)=t^{2}-2t+1 ,f'(t)=2t-2 nếu t<1 thi hàm f(x) nghịch biến thì chứng minh x=y=z kiểu gì
hả thầy?
Thành viên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mentos: 19-06-2013 - 16:59
2 Bài viết

#18

25 minutes
Thành viên nổi bật 2015

Đã gửi 20-06-2013 - 11:22
Vào lúc 19 Tháng 6 2013 - 04:55, mentos đã nói:

Thành viên nổi bật 2015

2794 Bài viết
Giới tính: Nam
Đến từ: KHTN-NEU
Sở thích: Cafe + radio +
mưa

thầy ơi giải giúp em hệ pt này
\left\{\begin{matrix} &x^{2}-2x+1=2y & \\ &y^{2}-2y+1=2z & \\ &z^{2}-2z+1=2x & \end{matrix}\right.
e cũng giải theo cách xét hàm số f(t)=t^{2}-2t+1 ,f'(t)=2t-2 nếu t<1 thi hàm f(x) nghịch biến thì chứng minh x=y=z kiểu gì hả thầy?

Dễ thấy x,y,z >0
Nếu thế ta sẽ xét 2 TH :
+) x,y,z \geqslant 1
Dễ thấy x \geqslant 1\Rightarrow z^2-2z+1=2x\geqslant 2\Rightarrow z \geq 1+\sqrt{2}
\Rightarrow y^2-2y+1=2z \geqslant 2+2\sqrt{2}\Rightarrow y >3
Tóm lại ta phải có x,y,z \geqslant 1
Khi đó xét f(t)=t^2-2t+1,t \in \left [ 0;+\infty \right ]
\Rightarrow f'(t)=2t-2 \geqslant 0
Từ đó ta có x=y=z \geqslant 1
Tương tự xét 0 \leqsalnt x,y,z \leqslant 1

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.

Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây
#19

mentos

Lính mới

Đã gửi 20-06-2013 - 16:54
Vào lúc 19 Tháng 6 2013 - 23:22, Toc Ngan đã nói:

Thành viên

2 Bài viết

Dễ thấy x,y,z >0
Nếu thế ta sẽ xét 2 TH :
+) x,y,z \geqslant 1
Dễ thấy x \geqslant 1\Rightarrow z^2-2z+1=2x\geqslant 2\Rightarrow z \geq 1+\sqrt{2}
\Rightarrow y^2-2y+1=2z \geqslant 2+2\sqrt{2}\Rightarrow y >3
Tóm lại ta phải có x,y,z \geqslant 1
Khi đó xét f(t)=t^2-2t+1,t \in \left [ 0;+\infty \right ]
\Rightarrow f'(t)=2t-2 \geqslant 0
Từ đó ta có x=y=z \geqslant 1
Tương tự xét 0 \leqsalnt x,y,z \leqslant 1

nếu 0
kidngoc1412

#20

converted by W eb2PDFConvert.com


Lính mới

Thành viên

1 Bài viết

Đã gửi 12-07-2013 - 15:58

mình có một chút thắc mắc về vấn đề này đó là tập xác định mà ta khảo sát một hàm dưới dạng F(a)=F(b)( đây có thể
là pt hay hpt mà đã được đưa về dạng này rồi),nhưng tập xác định thì mình không rõ ví dụ như bài toán này nhé:
xét hpt
{(4x^2+1)x+(y-3).căn(5-2y)=0(1)
{4x^2+y^2+2 căn(3-4x)=7(2)
dk y<=5/2,x<=3/4
và pt 1 đưa về dạng 2x[(2x)^2+1]=[(5-2y)+1].căn(5-2y)
có dạng f(2x)=f(căn(5-2y))
xét hàm f(t)=t^3+t và tập xác định lại là t>=0
mình ko hiểu chỗ tập xác định lại là t>=0
điều kiện này do đâu mà có, tại sao lại không phải là dk của x hay y
và ai có thể giúp mình cách tìm "tập xác định khi đưa về hàm đặc trưng theo t và t là trung gian giữa 2 hàm trên
không"
TXD mình không hiểu, làm ơn giải thích rõ cái nha

quandan yêu thích

Trang 1 / 2 1 2

Trở lại Ôn thi Đại học

SAU
Like 31

Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chuyên đề, ôn thi đh
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Tài liệu - đề thi THPT → Thi TS ĐH →

Tổng hợp tài liệu, chuyên đề CASIO - Bùi Thế Việt
Bắt đầu bởi nthoangcute, 07-08-2016

bùi thế việt, casio, tài liệu và .

Toán Trung học Cơ sở → Số học → x^{2010}-1 chia hết cho y+1
Bắt đầu bởi phuocchubeo, 11-04-2016
chuyên đề
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Tài liệu - đề thi THPT → Thi TS ĐH →

Tổng hợp 22 chuyên đề toán ôn thi ĐH-CĐ
Bắt đầu bởi hotrohoctot123, 22-12-2014

chuyên đề toán và .

Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Chuyên đề toán THPT →

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP - LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bắt đầu bởi leminhansp, 23-07-2013

elip, hình học phẳng và .

Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Ôn thi Đại học →

Phương pháp ôn thi, Kinh nghiệm phòng thi, Kĩ năng làm bài, v.v...
Bắt đầu bởi Nesbit, 19-05-2013

ôn thi đh, luyện thi đh

0 Trả lời
360 Views

nthoangcute
07-08-2016

1 Trả lời
124 Views

I Love MC
12-04-2016

0 Trả lời
760 Views

hotrohoctot123
22-12-2014

4 Trả lời
15876 Views

anhtuan2b
21-05-2014

20 Trả lời
4214 Views

toloc
17-12-2015

2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
Diễn đàn Toán học → Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Ôn thi Đại học
Vietnamese
Đang xử lý toán: 5%

Trợ giúp

Nội quy Diễn đàn Toán học · Privacy Policy
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học

converted by W eb2PDFConvert.com