TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM

BÀI BÁO CÁO

ĐẠI SỐ SƠ CẤP NÂNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH HÀM
GVHD: TS PHÙNG KIM CHỨC
Nhóm thực hiện: Nhóm 1
1. Phạm Thị Ái Minh
2.

Dương Thị Ngọc Hiền

3.

Nguyễn Thị Thanh Hà

4.

Ngô Thị Hồng Nga

5.

Nguyễn Thị Diễm

6.

Trần Thị Minh Thái

7.

Triệu Hòa Tâm

8.

Nguyễn Minh Khoa

9.

Lê Hoài Nở

10. Hồ Thúy Như
11. Phan Tuyết Mai
12. Nguyễn Thanh Hoàng

Năm 2016


MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục tiêu nghiên cứu
3. Phương pháp nghiên cứu
4. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

B. PHẦN NỘI DUNG
PHẦN 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Chương 1: Một số tính chất cơ bản của phương trình hàm

1.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ
1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn
1.3 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính
1.4 Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính
1.5 Đặc trưng hàm của một số hàm sơ cấp
Chương 2: Phương trình hàm với cặp biến tự do
2.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học
2.2 Hàm số chuyển đổi các đại lượng trung bình
2.3 Hàm số sinh bởi các đặc trưng hàm của các hàm số lượng giác
2.4 Một số dạng khác của phương trình hàm với cặp biến tự do
2.5 Phương trình với nhiều ẩn hàm

2


Chương 3: Phương trình hàm với phép biến đổi đối số
3.1 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng
3.2 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi phân tuyến tính
3.3 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi đại số
3.4 Phương trình trong lớp các hàm tuần hoàn
PHẦN 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN

1. Phương pháp hệ số bất định
2. Phương pháp quy nạp
3. Phương pháp sử dụng đạo hàm
4. Phương pháp sử dụng tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh của hàm số
5. Phương pháp thế biến
6. Phương pháp dung tính liên tục của hàm số
C. KẾT LUẬN


3


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Phương trình hàm là một mảng kiến thức thường xuất hiện trong các kì thi học
sinh giỏi trong những năm gần đây, ví dụ như các kì thi: HSG quốc gia, HSG cấp tỉnh,
Olympic 30/4, Olympic Lê Hồng Phong, Trại Hè Phương Nam, HOMC (olympic toán
Tiếng Anh),… cả trong nước và quốc tế. Do đó việc nghiên cứu về Phương trình hàm là
hết sức cần thiết để góp phần quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học
sinh giỏi Toán quốc gia, khu vực và quốc tế. Vì thế chúng tôi tham khảo và nghiên cứu
một số tài liệu về phương trình hàm và rút ra một số vấn đề cơ bản về phương trình hàm
để trao đổi cùng với đồng nghiệp.
2. Mục tiêu nghiên cứu:
Nhằm hệ thống kiến thức về phương trình hàm, trình bày các kết quả qua quá
trình nghiên cứu phương trình hàm Giúp các em học sinh có kiến thức tốt về Phương
trình hàm, mở ra một số hướng cho các em học sinh suy nghĩ và sáng tạo những bài toán
mới.
3. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp suy luận, tổng hợp, phân tích lý luận
4. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
a. Thuận lợi:
Bài tập về phương trình hàm phong phú và đăng nhiều ở tạp chí Toán học và tuổi
trẻ, trong một số tài liệu tham khảo dung để bồi dưỡng học sinh giỏi.
b. Khó khăn:
- Phép giải một phương trình thông thường nói chung đã là việc không đơn giản
nên phép giải một phương trình hàm (phương trình có nghiệm là những hàm số) càng
phức tạp hơn và do đó khó có thể chỉ ra một đường lối chung để giải.
- Đứng trước một bài tập về phương trình hàm, học sinh thường rất khó phát hiện
hướng giải quyết vấn đề: phải bắt đầu từ đâu, cần thực hiện những điều gì, trình bày lời

giải như thế nào để lời giải được rõ ràng, hợp logic, …

4


B. PHẦN NỘI DUNG
PHẦN 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Nguyên lý Archimedes
  0, x  0, k  N * : k  x.

2. Tính trù mật
- Tập A  R được gọi là trù mật trong R
 x, y  R, x  y, a  A : x  a  y.

- Hệ quả: các tập Q; 

m

m  Z , n  N  trù mật trong R .
n
2


3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho   A  R.
- Số x  R được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu: x  A; a  x a  A.
Khi đó ta viết: x  max a : a  A  max a.
aA

- Số x  R được gọi là giá trị nhỏ nhất của A nếu: x  A; a  x a  A.

a.
Khi đó ta viết: x  min a : a  A  min
aA

4. Cận trên, cận dưới, cận trên đúng, cận dưới đúng
Cho   A  R.
- Số x  R được gọi là cận trên của A nếu: a  x a  A.
- Số x  R được gọi là cận dưới của A nếu: a  x a  A.
- Số thực x  R được gọi là cận trên đúng của A nếu x là một cận trên của A và là
cận trên nhỏ nhất trong tập các cận trên của A .
Tức là a  x a  A và   0, a  A : a  x   .
Khi đó ta viết: x  sup a : a  A  sup a.
aA

5


- Số thực x  R được gọi là cận dưới đúng của A nếu x là một cận dưới của A và
là cận trên lớn nhất trong tập các cận dưới của A .
Tức là a  x a  A và   0, a  A : a  x   .
Khi đó ta viết: inf a : a  A  inf a.
aA

5. Ánh xạ
5.1. Định nghĩa: Một ánh xạ f từ tập A đến tập B là một quy tắc đặt tương ứng
mỗi phần tử x của A với một (và chỉ một) phần tử của B . Phần tử này được gọi là ảnh
của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f ( x).
(i). Tập A được gọi là tập xác định của f ; tập B được gọi là tập giá trị của f .
(ii). Ánh xạ f từ A đến B được kí hiệu là
f :A B

x  y  f ( x)

(iii). Khi A và B là các tập số thực, ánh xạ f được gọi là một hàm số xác định
trên A .
(iv). Cho a  A, y  B. Nếu f (a)  y thì ta nói y là ảnh của a và a là nghịch ảnh
của y qua ánh xạ f .
(v). Tập hợp B   y  B x  A, y  f ( x) gọi là tập ảnh của f . Nói cách khác, tập
ảnh f ( A) là tập hợp tất cả các phần tử của B mà có nghịch ảnh.
5.2. Đơn ánh, song ánh, toàn ánh
- Ánh xạ f : A  B được gọi là đơn ánh nếu x, y  A mà x  y kéo theo
f ( x)  f ( y).

* Lưu ý: A  B
Một cách diễn đạt khác: f là đơn ánh  x, y  A, f ( x)  f ( y)  x  y
- Ánh xạ f : A  B được gọi là toàn ánh thì với mỗi y  B, x  A : f ( x)  y.
* Lưu ý: A  B .
6


- Nếu f : A  B được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
* Lưu ý: A  B .
5.3. Ánh xạ ngược
Ánh xạ ngược của f , được kí hiệu bởi f 1 , là ánh xạ từ B đến A gán cho mỗi
phần tử y  B phần tử duy nhất x  A sao cho y  f ( x). Như vậy f 1 ( x)  y  f ( x)  y.
* Lưu ý: chỉ xác định được ánh xạ ngược của f khi f là song ánh.
5.4. Ánh xạ hợp
Nếu g : A  B và f : B  C và g ( A)  B thì ánh xạ hợp
f g : A  C được xác định bởi: ( f g )(a)  f ( g (a)).

6. Các loại hàm số đặc biệt

Hàm số f : E  R ,   E  R được định nghĩa là:
a) Hàm số tăng nếu a, b  E, a  b  f (a)  f (b)
b) Hàm số tăng thực sự nếu a, b  E, a  b  f (a)  f (b)
c) Hàm số giảm nếu a, b  E, a  b  f (a)  f (b)
d) Hàm số giảm thực sự nếu a, b  E, a  b  f (a)  f (b)
e) Hàm số đơn điệu nếu hàm này tăng hoặc giảm
f) Hàm số đơn điệu thực sự nếu hàm này tăng thực sự hoặc giảm thực sự
g) Bị chặn nếu M : f ( x)  M , x  E.
h) Bị chặn trên nếu   R : f ( x)   , x  E.
i) Bị chặn dưới nếu   R : f ( x)   , x  E.
j) Hàm chẵn nếu f ( x)  f ( x) x  E ( E là miền xác định đối xứng)
k) Hàm lẻ nếu f ( x)   f ( x) x  E ( E là miền xác định đối xứng)
l) Hàm tuần hoàn nếu T  0 : x  E  x  T  E và f ( x  T )  f ( x)
7


m) Hàm lồi  a, b  E,   0,1 ta có: f (a  (1   )b)   f (a)  (1  ) f (b).
n) Hàm lõm   f là hàm lồi.
7. Giới hạn hàm số
7.1. Định nghĩa
Cho tập con E  R, f : E  R và x0 được gọi là điểm tụ của tập E. L  R được gọi là
giới hạn của hàm số f ( x) tại điểm x0 nếu:
  0,   0, x  E : 0  x  x0    f ( x)  L   .
f ( x)  L hoặc f ( x)  L ( x  x0 ).
Kí hiệu: xlim
x
0

Nếu hàm số có giới hạn tại điểm x0 thì giới hạn đó là duy nhất.
7.2 Giới hạn một phía

a) L  R được gọi là giới hạn bên trái của f ( x) tại điểm x0 , kí hiệu lim f ( x)  L
x  x0

nếu:   0,   0, x  E : 0  x0  x    f ( x)  L   .
b) L  R được gọi là giới hạn bên phải của f ( x) tại điểm x0 , kí hiệu lim f ( x)  L
x  x0

nếu:   0,   0, x  E : 0  x  x0    f ( x)  L   .
7.3. Một số tính chất
f ( x)  L, lim g ( x)  K . Khi đó:
Giả sử tồn tại các giới hạn xlim
x
x x
0

0

a ) lim [f ( x)  g ( x)]  L  K
x  x0

b) lim [f ( x) g ( x)]  LK
x  x0

c) lim

x  x0

f ( x) L

( K  0)

g ( x) K

d ) f ( x)  g ( x) (trong lân cận của x0 )  L  K

e) lim f ( x)  L .
x  x0

7.4. Định lý kẹp
8


Giả sử lim g ( x)  lim h( x)  M và g ( x)  f ( x)  h( x) x  E.
x x
x x
0

0

Khi đó: lim f ( x)  M .
x  x0

7.5 Một số mở rộng
7.5.1. Giới hạn  hay  .
a) lim f ( x)      0,   0, x  E : 0  x  x0    f ( x)  
x  x0

b) lim f ( x)      0,   0, x  E : 0  x  x0    f ( x)  
x  x0

7.5.2. Giới hạn tại điểm  hay 

a) lim f ( x)  L    0,   0, x  E : x    f ( x)  L   .
x 

b) lim f ( x)  L    0,   0, x  E : x    f ( x)  L   .
x 

Suy luận tương tự, ta có thể định nghĩa các giới hạn sau:
lim f ( x)  ,

x 

lim f ( x)  ,

x 

lim f ( x)  ,

x 

lim f ( x)  .

x 

8. Hàm liên tục
8.1 Định nghĩa
Hàm số f ( x) xác định trong tập E  R được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu
  0,   0, x  E : x  x0    f ( x)  f ( x0 )   .
f ( x)  f ( x0 ).
Nếu x0 là điểm tụ của tập E  R thì f ( x) liên tục tại điểm x0 nếu: xlim
x

0

Nếu f ( x) liên tục tại mọi điểm x  E thì f ( x) được gọi là liên tục trên E .
8.2 Liên tục một bên
a) Hàm số f ( x) được gọi là liên tục bên trái tại điểm x  x0  E nếu lim f ( x)  f ( x0 ).
x  x0

b) Hàm số f ( x) được gọi là liên tục bên phải tại điểm x  x0  E nếu lim f ( x)  f ( x0 ).
x  x0

9


c) Hàm số f ( x) được gọi là liên tục tại điểm x  x0  E  lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ).
x  x0

x  x0

8.3 Hàm số gián đoạn
Hàm số f ( x) được gọi là gián đoạn tại điểm x0 nếu nó không liên tục tại điểm đó.
Hàm số f ( x) được gọi là gián đoạn khử được tại x0 nếu nó gián đoạn tại x0 và tồn
f ( x). Cũng lưu ý rằng trong một số tình huống nào đó, có thể xem hàm gián đoạn
tại xlim
x
0

khử được tại x0 là hàm liên tục tại điểm x0 .
Điểm x0  E được gọi là điểm gián đoạn loại một của f ( x) nếu:
+ f ( x) gián đoạn tại x0
+ Tồn tại các giới hạn lim f ( x),

x x0

lim f ( x)

x x0

Nếu f ( x) gián đoạn tại x0 nhưng không gián đoạn loại một tại điểm đó thì ta nói
f ( x) gián đoạn loại hai tại x0 ; còn x0 là điểm gián đoạn loại hai.

8.4 Tính liên tục đối với các phép toán
Nếu f ( x), g ( x) là những hàm liên tục tại điểm
f ( x) g ( x) ;

thì các hàm f ( x)  g ( x) ;

f ( x)
với g ( x)  0 ;  f ( x) với   . min  f ( x), g ( x), max  f ( x), g( x) cũng là
g ( x)

những hàm số liên tục tại x0 .
8.5 Sự liên tục của hàm hợp
Cho f : (a, b)  (c, d ) là hàm số liên tục tại điểm x0  (a, b) , g : (e, f ) 

là hàm liên

tục tại điểm t0  f ( x0 )   c, d  với  c, d    e, f  . Khi đó hàm hợp g f :  a, b   xác định
bởi g f ( x)  g ( f ( x)) cũng liên tục tại x0 .
Lưu ý rằng: Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó.

10



8.6 Bổ đề Bolzano – Weierstrass.
Mỗi dãy xn    a; b đều có dãy con  xn  hội tụ đến một điểm nằm trong  a; b
k

8.7 Định lý Weierstrass.
Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên  a; b thì đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên
đoạn  a; b . Nghĩa là tồn tại c, d   a; b sao cho f (c)  f(x)  f(d) với mọi x   a; b .
8.8 Định lý trung gian
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a; b và f (a) f (b)  0 thì tồn tại c   a; b sao cho
f (c)  0 .

8.9 Định lý Bolzano – Cauchy
Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b và f (a)  u; f (b)  v thì mọi w nằm
giữa u và v đều tồn tại c   a; b  sao cho f (c)  w
8.10 Định lý (liên tục và ánh xạ ngược)
Cho E là một khoảng của

, f :E 

là một ánh xạ, ta ký hiệu

f : E  f (E)
x
f ( x)

Nếu f liên tục và đơn điệu thật sự thì:
a) f ( E ) là một khoảng
c) f


1

b) f là song ánh

đơn điệu thật sự cùng với f

d) f

1

liên tục trên f ( E )

8.11 Liên tục đều
Hàm số y  f ( x) xác định trên tập E gọi là liên tục đều trên E nếu
  0,   0, u, v  E : u  v    f (u)  f (v)  

8.12 Định lý Cantor
11


Nếu hàm số f liên tục trên  a; b thì nó liên tục đều trên  a; b
8.13. Ánh xạ Lipschitz
8.13.1 Định nghĩa: Cho ánh xạ f : E 
a) Với k là số thực dương. Ta nói f là ánh xạ k –Lipschitz khi và chỉ khi với mọi
u, v  E, f (u )  f (v)  k u  v .

b) Ta nói f là ánh xạ Lipschitz khi và chỉ khi tồn tại k 




sao cho f là ánh xạ

k –Lipschitz .
c) Một ánh xạ f : E  E là ánh xạ co khi và chỉ khi tồn tại k  0;1 sao cho f là ánh
xạ k –Lipschitz .
8.13.2 Mệnh đề: Nếu f : E 

là ánh xạ Lipschitz thì f liên tục đều.

9. Đạo hàm
9.1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng  a;b  , x0 là một điểm
thuộc khoảng đó.
Ký hiệu: x  x  x0 , x   a; b  là số gia của đối số tại điểm x0 .
y  f ( x)  f ( x0 ) là số gia của hàm số tương ứng với số gia x của đối số.

Xét tỉ số

f ( x)  f ( x0 )
y
y
 lim
. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim
thì giới hạn
x 0 x
x  x0
x  x0
x

này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 . Đạo hàm của hàm số f(x) tại

x0 thường được ký hiệu là f ' ( x0 ),

df
( x0 )
dx

9.2 Một số lưu ý.

12


a) f ' ( x0 ) bằng hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm  x0 ; f  x0   .
b) f(x) có đạo hàm tại x  x0 thì f(x) liên tục tại x  x0 .
c) f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi khả vi tại đó, tức là tồn tại hằng số C để số
gia y được viết dưới dạng y  f  x0  x   f  x0   C.x  0.  x   x  0
Hơn nữa khi đó C  f ' ( x0 )
df  f ' ( x0 ).x  f ' ( x0 ).d x được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x  x0 tương

ứng với số gia x của đối số x.
9.3 Đạo hàm một phía. Điều kiện để tồn tại giới hạn hàm số tại một điểm
Các giới hạn một phía lim
x o



y
y
, lim
tương ứng là đạo hàm bên phải và đạo
x xo x


hàm bên trái của hàm số f(x) tại điểm x0 và lần lượt được ký hiệu là f ' ( x0 ) , f ' ( x0 )
f(x) có đạo hàm tại điểm x0  f ' ( x0 )  f ' ( x0 )  f ' ( x0 )
9.4 Các tính chất thông dụng
Cho các hàm số f ( x) và g ( x) xác định trên (a; b) , khả vi tại x0  (a; b) và   .
Khi đó:
a) f ( x)  g ( x) khả vi tại x0 và  f  g   x0   f ' ( x0 )  g ' ( x0 )
'

b)  f ( x) khả vi tại x0 và   f   x0    f '  x0 
'

c)  fg  x   f ( x) g ( x) khả vi tại x0 và  fg   x0   f ' ( x0 ) g ( x0 )  f ( x0 ) g ' ( x0 )
'

13


 f 

f ( x)

d) Nếu g ( x0 )  0 thì    x  
khả vi tại x0 và
g ( x)
g
'

 f 
f ' ( x0 ) g( x0 )  f ( x0 ) g ' ( x0 )

x



  0
g 2 ( x0 )
g

9.5 Đạo hàm của hàm hợp
Giả sử g : (a; b)  (c; d ) khả vi tại x0  (a; b) . Hơn nữa (c; d )  (e; f ) và h : (e; f ) 
khả vi tại x0 và  h g   x0   h'  g ( x0 )  g ' ( x0 )
'

khả vi tại điểm g ( x0 ) . Khi đó h g : (a; b) 
9.6 Đạo hàm của hàm ngược
Cho x0  I  (a; b), f : (a; b) 

là hàm đơn điệu thực sự, liên tục trên (a; b) khả vi

tại x0 , f ' ( x0 )  0 . Khi đó hàm ngược f 1 : f ( I )   a; b  khả vi tại f ( x0 ) và

 f   f (x ) 
1

'

0

1
.

f ( x0 )
'

9.7 Đạo hàm cấp cao
9.7.1 Định nghĩa
Cho hàm số y  f ( x) . Nếu f(x) có đạo hàm với mọi x  (a; b) thì f(x) cũng có đạo
hàm trên (a; b) . Khi đó f ' ( x) có đạo hàm trên (a; b) thì ta gọi  f ' ( x)  là đạo hàm cấp hai
'

của f(x) ký hiệu f '' ( x) . Đạo hàm cấp n của f(x) được ký hiệu f ( n) ( x) . Theo định nghĩa ta
có: f ( n1) ( x)   f ( n) ( x)  . Quy ước f (0) ( x)  f ( x) .
'

9.7.2 Các công thức
Cho các hàm số f ( x) và g ( x) có đạo hàm cấp n trên (a; b) . Khi đó
n
(i) f ( x)  g ( x) có đạo hàm cấp n trên (a; b) và  f ( x)  g ( x)    f ( n) ( x)  g ( n) ( x) .

(ii)  f ( x) có đạo hàm cấp n trên (a; b) và   f ( x)    f ( n) ( x) .
( n)

14


n

(iii) f ( x) g ( x) có đạo hàm cấp n trên (a; b) và  f ( x) g ( x)    Cnk f ( k ) ( x) g ( nk ) ( x)
(n)

k 0


(công thức Leibniz).
(iv)

f ( x)
có đạo hàm cấp n trên (a; b)  g ( x)  0, x  .
g ( x)

10. Định lý giá trị trung bình
10.1 Định lý Fermat
Cho f(x) xác định trên khoảng (a; b) . Nếu f(x) đạt cực trị tại x0 và khả vi tại x0 thì
f ' ( x0 )  0 .

10.2 Định lý Rolle
Giả sử f(x) xác định và liên tục trên  a; b hữu hạn, khả vi trên (a; b) và
f (a)  f (b) . Khi đó tồn tại c   a; b  sao cho f ' (c)  0 .

10.3 Định lý Lagrange
Cho f(x) xác định và liên tục trên  a; b , khả vi trên (a; b) .Khi đó tồn tại c   a; b 
sao cho f ' (c) 

f (b)  f (a)
..
ba

10.4 Định lý Cauchy
Cho f ( x) và g ( x) liên tục trên đoạn  a; b , khả vi trên khoảng (a; b) , ngoài ra
g ' ( x)  0, x  (a; b) . Khi đó tồn tại c   a; b  sao cho

10.5 Định lý Darboux


f (b)  f (a) f ' (c)
.

g (b)  g (a) g ' (c)

Cho f ( x) khả vi trên (a; b) và  ,    a; b  . Khi đó f ' ( x) nhận

mọi giá trị trung gian giữa f ' ( ) và f ' ( )

15


B. PHẦN NỘI DUNG
PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH HÀM
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ
1.1. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ
Xét hàm số

là tập con của R và tập giá trị R( f )  R

với tập xác định

Định nghĩa:
a)
được gọi là hàm số chẵn trên M, M thuộc
(gọi tắt là hàm chẵn trên
M) nếu
và
,

b)
được gọi là hàm số lẻ trên M (gọi tắt là hàm lẻ trên M) nếu
và
,

Bài toán 1. Cho

. Xác định tất cả các hàm số
,

.

sao cho

(1)

Giải.
Đặt
Khi đó
và (1) có dạng

.

Đặt

thì

(2)

,


Khi đó (2) có dạng

,

Kết luận:

,

trong đó

là hàm chẵn tùy ý trên R.

. Vậy

16

là hàm chẵn trên R.


Bài toán 2. Cho

. Xác định tất cả các hàm số

sao cho

(3)
Giải:
Đặt
khi đó

và
Khi đó (3) có dạng
Đặt
Khi đó có thể viết (4) dưới dạng

Hay
Vậy

là hàm số lẻ trên .

Kết luận:
Trong đó

,
là hàm lẻ tùy ý trên R.

1.2. HÀM SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN
1.2.1 Định nghĩa hàm tuần hoàn:
a) Hàm số
nếu

thuộc

được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ
và

trên M

(4)


b) Cho
là một hàm tuần hoàn trên M. Khi đó T ( T> 0) được gọi là chu kỳ cơ
sở của
nếu
tuần hoàn với chu kỳ T mà không là hàm tuần hoàn với
bất cứ chu kỳ nào bé hơn T.
1.2.2 Định nghĩa hàm phản tuần hoàn:
17


a) Hàm số

được gọi là phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ

M nếu M là tập con của

và

trên
(5)

b) Nếu
là hàm tuần hoàn chu kỳ
trên M mà không là hàm phản tuần hoàn
với bất cứ chu kỳ nào bé hơn
được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm phản tuần hoàn
trên M.
Bài toán 1. Cho cặp hàm
với


tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là a và b

,

. Chứng minh rằng

cũng là

và

những hàm tuần hoàn trên M.
Giải.
Theo giả thiết

sao cho

Đặt

. Khi đó

Hơn nữa, dễ thấy

. Vậy

thì

là những hàm tuần hoàn trên

,


M.
Bài toán 2. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên M cũng là hàm tuần hoàn
trên M.
Giải:
Theo giả thiết,

Suy ra

Vậy

sao cho

thì

thì

và

và

là hàm tuần hoàn với chu kỳ

trên M.

18


Bài toán 3. Chứng minh rằng
chỉ khi
Với


là hàm phản tuần hoàn với chu kỳ b trên M khi và

có dạng

,

là hàm tuần hoàn chu kỳ

(6)

trên M.

Giải:
Thật vậy, với

thỏa mãn (6) ta có

Hơn nữa,

thì

Ngược lại, với

. Do đó

là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M.

là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M,


chọn

là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M (bài toán 3) và

thì

1.3. HÀM TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN NHÂN TÍNH
1.3.1 Định nghĩa hàm tuần hoàn nhân tính
được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a khác 0, 1 và -1) trên M nếu
M là tập con của

và

1.3.2 Định nghĩa hàm phản tuần hoàn nhân tính
được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a ( a {0,1, 1}) trên M
nếu M là tập con của

và

19


Bài toán 1. Cho

,

là hai hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a và b, tương ứng

trên M và


Chứng minh rằng

là những hàm tuần

và

hoàn nhân tính trên M.
Giải:
Từ giả thiết suy ra

. Ta chứng minh

là chu kỳ của

và

. Thật vậy, ta có
.

Hơn nữa,

. Do đó

thì

và

là những hàm tuần hoàn nhân

tính trên M.

Bài toán 2. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M cũng là hàm
tuần hoàn nhân tính trên M.
Giải:
Theo giả thiết, b {0,1, 1} sao cho

thì

và

.
Suy ra

thì

và
.

Như vậy,

là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ

20

trên M.


Bài toán 3. Chứng minh rằng

là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b


(b khác 0, 1 và -1) trên M khi và chỉ khi

có dạng:

(7)
Trong đó

là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ

trên M.

Giải:
Thật vậy, nếu

Hơn nữa,

có dạng (7) thì

thì

. Do đó

là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên

M.
Ngược lại, giả sử

là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M.

Khi đó


là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ

21

trên M (bài toán 2) và


1.4. MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC HÀM TUẦN HOÀN CỘNG TÍNH VÀ NHÂN
TÍNH
Bài toán 1. Cho
,

. Xác định các hàm

và
.

sao cho

(8)

Giải:
Xét các trường hợp
i) Với
Xét

. Đặt

Xét


. Đặt

ii) Với
Khi đó

và

.

và
. Khi đó

và

và

.
và mọi nghiệm của (8) được cho bởi công thức
, (i)

Trong đó
Thật vậy, nếu

Ngược lại, nếu

có dạng (i) thì ta có

thỏa mãn (8) thì chọn


. Khi đó

và
.
Tiếp theo, áp dụng kết quả nhận được trong (i).
22


Kết luận:
Với a

:

Trong đó
Với

,

là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R.
, trong đó

:

Trong đó

,

Bài toán 2. Cho

là các hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ 1 trên R.

. Xác định các hàm

,

sao cho
(9)

Giải.
Từ (9) suy ra
Vậy mọi nghiệm của (9) có dạng
,
Trong đó

Thật vậy, nếu

có dạng đó thì ta có

23


Ngược lại, với mỗi

thỏa mãn (9), chọn

. Khi đó

Và
.
Từ kết quả của Bài toán 1 suy ra nghiệm của (9) có dạng
,

Trong đó

Với

là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R.

,

Nhận xét: Nếu

là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ

trên R thì

là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ
Ngược lại, nếu

là hàm tuần hoàn nhân tính chu kì

là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ

24

trên

.
trên

trên R.


, thì


1.5 ĐẶC TRƯNG HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP
Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệm của
các bài toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất hàm tiêu biểu của một số dạng hàm
số quen biết.
1. Hàm bậc nhất:

có tính chất
.

2. Hàm tuyến tính:

có tính chất
.
có tính chất

3. Hàm mũ:
.

có tính chất

4. Hàm logarit:
5. Hàm lũy thừa:

có tính chất

6. Hàm lượng giác:
Hàm

có tính chất
,
có các tính chất
,

Hàm
Và
Cặp hàm

.
.
.
có tính chất

và

có tính chất

Hàm

Với
có tính chất

Hàm

,
Với

25