BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ

PHƢƠNG TRÌNH
GIÁO VIÊN HƢỚNG DẪN: TS. PHÙNG KIM CHỨC
NHÓM THỰC HIỆN: NHÓM 3
1. Lê Ngọc Kim Chi
2. Nguyễn Minh Duy
3. Nguyễn Thị Tuyết Hằng
4. Đặng Nguyễn Xuân Hƣơng
5. Nguyễn Quốc Khánh
6. Nguyễn Thị Lài
7. Nguyễn Thị Thanh Thùy
8. Kim Thị Minh Thƣơne
9. Trang Tiền
10. Phạm Thị Bảo Trân
11. Nguyễn Hữu Trí

1


MỤC LỤC

CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH ............................................................................ 7
1. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ........................................................................... 7
1.1. Dạng ax  b  0 ............................................................................................. 7
1.2. Cách giải và biện luận .................................................................................... 7
1.3. Ví dụ .............................................................................................................. 7
2. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ............................................................................... 9
2.1. Dạng ax 2  bx  c  0 .................................................................................... 9
2.2. Cách giải và biện luận .................................................................................... 9
2.3. Định lí Vi-ét ................................................................................................... 9

2.4. Ứng dụng của định lí Vi-ét ............................................................................. 9
2.5. Ví dụ ............................................................................................................ 10
2.6. Bài tập tự luyện ............................................................................................ 13
3. PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA .............................................................................. 15
3.1. Dạng ax3  bx2  cx  d  0 ......................................................................... 15
3.2. Cách giải ...................................................................................................... 15
3.2.1. Phƣơng trình ax3  bx2  cx  d  0 có nghiệm x  x0 . .......................... 15
3.2.2. Công thức Cardano để giải phƣơng trình x3  ax2  bx  d  0 .............. 15
3.3. Định lý Vi-ét ................................................................................................ 15
3.4. Ví dụ. ........................................................................................................... 16
4. PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN............................................................................ 19
4.1. Dạng ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0 ................................................................ 19
4.2. Cách giải ...................................................................................................... 19
4.2.1. Nếu phƣơng trình có nghiệm x  x0 thì ta biến đổi đƣa phƣơng trình đã

cho về dạng  x  x0  f ( x )  0 , trong đó f ( x ) là biểu thức có dạng bậc ba. ..... 19
2


4.2.2. Dạng ax 4  bx 2  c  0 .......................................................................... 19
4.2.3. Dạng ax 4  bx 3  cx 2  bx  a  0 ......................................................... 20
4.2.4. Phƣơng trình dạng ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  k với a  b  c  d , k  0
......................................................................................................................... 20
4.2.5. Phƣơng trình dạng ( x  a)4  ( x  b)4  k , k  0 ..................................... 21
2

c d
4.2.6. Phƣơng trình dạng ax  bx  cx  dx  e  0 với    .............. 21
a b
4


3

2

4.2.7. Dạng x 4  ax 3  bx 2  cx  d  0 ........................................................... 22
4.2.5. Giải bằng phƣơng pháp hệ số bất định.................................................... 23
5. PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ .................................................................................. 25
5.1. Phƣơng trình dạng cơ bản............................................................................. 25
5.1.1. Phƣơng trình

 A  0 (B  0)
.......................................... 25
A B 
A  B

5.1.2. Phƣơng trình


B  0
......................................................... 25
AB
2
A

B



5.1.3. Phƣơng trình chứa nhiều dấu căn bậc hai, bậc ba ................................... 26

5.2. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỉ thƣờng gặp .............................. 29
5.2.1. Phƣơng pháp đặt ẩn số phụ ..................................................................... 29
5.2.2. Phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp. ......................................................... 35
5.2.3. Phƣơng pháp hàm số. ............................................................................. 38
5.2.4. Phƣơng pháp đánh giá. ........................................................................... 42
5.2.4. Phƣơng pháp lƣợng giác hóa .................................................................. 43
5.3. Bài tập tự luyện ............................................................................................ 46
6. PHƢƠNG TRÌNH MŨ ...................................................................................... 49
6.1. Sử dụng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng ................................................ 49
6.1.1. Phƣơng pháp: ......................................................................................... 49
6.1.2. Ví dụ ...................................................................................................... 49
6.1.3. Bài tập tự luyện ...................................................................................... 50
3


6.2. Sử dụng phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số ..................................................... 50
6.2.1. Phƣơng pháp: ......................................................................................... 50
6.2.2. Ví dụ ..................................................................................................... 51
6.2.3. Bài tập tự luyện ...................................................................................... 51
6.3. Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 1. ................................................... 52
6.3.1. Phƣơng pháp: ......................................................................................... 52
6.3.2. Ví dụ ...................................................................................................... 53
6.3.3. Bài tập tự luyện ...................................................................................... 55
6.4. Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 2 ................................................... 55
6.4.1. Phƣơng pháp: ......................................................................................... 55
6.4.2. Ví dụ ...................................................................................................... 55
6.4.4. Bài tập áp dụng ...................................................................................... 56
6.5. Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 3 ................................................... 56
6.5.1. Phƣơng pháp: ......................................................................................... 56
6.5.2. Ví dụ ...................................................................................................... 57

6.5.3. Bài tập áp dụng ...................................................................................... 58
6.6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ................................................................ 58
6.6.1. Phƣơng pháp: ............................................................................................ 58
6.6.2. Ví dụ ...................................................................................................... 59
6.6.4. Bài tập tự luyện ...................................................................................... 62
7. PHƢƠNG TRÌNH LÔGARIT ........................................................................... 63
7.1. Sử dụng phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số ..................................................... 63
7.1.1. Phƣơng pháp: ......................................................................................... 63
7.1.2. Ví dụ ...................................................................................................... 63
7.1.4. Bài tập tự luyện ...................................................................................... 64
7.2. Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 1 ................................................... 64
7.2.1. Phƣơng pháp: ......................................................................................... 64
7.2.2. Ví dụ ...................................................................................................... 64
7.2.3. Bài tập áp dụng ...................................................................................... 67
4


7.3. Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 2 ................................................... 67
7.3.1. Phƣơng pháp: ......................................................................................... 67
7.3.2. Ví dụ ...................................................................................................... 67
7.3.3. Bài tập áp dụng ...................................................................................... 68
7.4. Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 3 ................................................... 68
7.4.1. Phƣơng pháp: ......................................................................................... 68
7.4.2. Ví dụ ...................................................................................................... 68
7.4.3. Bài tập tự luyện ...................................................................................... 69
7.5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm ................................................................... 69
7.5.1. Phƣơng pháp: ......................................................................................... 69
7.5.2. Ví dụ ...................................................................................................... 70
7.5.3. Bài tập tự luyện ...................................................................................... 73
8. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC .................................................................... 74

8.1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.................................................................... 74
8.1.1. Dạng....................................................................................................... 74
8.1.2. Ví dụ ...................................................................................................... 74
8.2. Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác .................................... 75
8.2.1. Dạng: ..................................................................................................... 75
8.2.2. Ví dụ ...................................................................................................... 75
8.3. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx .................................................. 76
8.3.1. Dạng phƣơng trình: a sin x  b cos x  c (1) ........................................... 76
8.3.2. Cách giải ................................................................................................ 76
8.3.3. Ví dụ. ..................................................................................................... 77
8.4. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx ................................... 78
8.4.1. Dạng phƣơng trình: a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d (1) ................ 78
8.4.2. Cách giải ................................................................................................ 78
8.4.3. Ví dụ ...................................................................................................... 79
8.5. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx ................................................. 79
8.5.1. Dạng 1: a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 ........................................ 79
5


8.5.2. Cách giải ................................................................................................ 79
8.5.3. Ví dụ ...................................................................................................... 80
8.5.4. Dạng 2: a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 ........................................ 81
8.5.5. Cách giải ................................................................................................ 81
8.5.6. Ví dụ ...................................................................................................... 81
8.6. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực ............. 82
8.6.1. Phƣơng pháp đặt ẩn số phụ .................................................................... 82
8.6.2. Giải phƣơng trình lƣợng giác bằng cách đƣa về phƣơng trình tích ......... 89
8.6.3. Phƣơng pháp đƣa về tổng các biểu thức không âm ................................. 91
8.6.4. Phƣơng pháp nhận xét ........................................................................... 92
8.6.5. Phƣơng pháp đƣa về tích ........................................................................ 93

8.7. Bài tập tự luyện ............................................................................................ 94

6


CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH
1. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
1.1. Dạng ax  b  0
1.2. Cách giải và biện luận

b
Nếu a  0 thì phƣơng trình có nghiệm duy nhất x   .
a
Nếu a  0 và b  0 thì phƣơng trình vô nghiệm.
Nếu a  0 và b  0 thì phƣơng trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc  .
1.3. Ví dụ





Ví dụ 1. Giải và biện luận phƣơng trình m2  1 x  m  1  0 theo tham số m
Giải

m  1 và z: phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x 

m 1
m2  1




1
m 1

m  1 : phƣơng trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc  .

m  1 : phƣơng trình vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải và biện luận phƣơng trình

x m x 3

 2 theo tham số m
x 2
x
Giải

Điều kiện x  0, x  2
Với điều kiện trên, phƣơng trình đã cho đƣợc biến đổi thành (m  1) x  6
Với m  1 : phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
Với m  1 : phƣơng trình (*) có nghiệm duy nhất x 

7

6
.
m 1

(*)



 6
 m  1  0 m

Kết hợp với x  0, x  2 ta có: 
6
m  2

2
 m  1
Kết luận:
Với m  1 và m  2 : phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x 
Với m  1 và m  2 : phƣơng trình đã cho vô nghiệm.

8

6
.
m 1


2. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1. Dạng ax 2  bx  c  0
2.2. Cách giải và biện luận
a  0 phƣơng trình trở thành phƣơng trình dạng bx  c  0 .
a  0 : Tính   b2  4ac

  0 : phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x 
  0 : phƣơng trình có một nghiệm x  

b  

b  
và x 
.
2a
2a

b
.
2a

  0 : phƣơng trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm thu gọn: khi b  2b '
Tính  '  b '2  ac

 '  0 : phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x 

b '  '
b '  '
và x 
a
a

.

 '  0 : phƣơng trình có một nghiệm x  

b'
.
a


 '  0 : phƣơng trình vô nghiệm.
2.3. Định lí Vi-ét
Hai số x1 và x2 là hai nghiệm của phƣơng trình bậc hai ax 2  bx  c  0 khi và chỉ
khi chúng thỏa mãn các hệ thức x1  x2  

b
c
và x1x2  .
a
a

2.4. Ứng dụng của định lí Vi-ét
Nếu phƣơng trình bậc hai ax 2  bx  c  0 có a  b  c  0 thì nó có hai nghiệm
c
x  1 và x  .
a

9


Nếu phƣơng trình bậc hai ax 2  bx  c  0 có a  b  c  0 thì nó có hai nghiệm
c
x  1 và x   .
a
Nếu đa thức f ( x )  ax 2  bx  c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích
thành nhân tử f ( x )  a  x  x1  x  x2  .

Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là các nghiệm của phƣơng trình
x 2  Sx  P  0 .


Cho phƣơng trình bậc hai ax 2  bx  c  0 có hai nghiệm x1 và x2  x1  x2  . Đặt

S

b
c
và P  . Khi đó:
a
a

Nếu P  0 thì x1  0  x2 (hai nghiệm trái dấu)
Nếu P  0 và S  0 thì 0  x1  x2 (hai nghiệm dƣơng).
Nếu P  0 và S  0 thì x1  x2  0 (hai nghiệm âm).
2.5. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải và biện luận phƣơng trình mx 2  2(m  2) x  m  3  0 theo tham số
m
Giải
Với m  0 , phƣơng trình đã cho trở thành 4 x  3  0 , nó có nghiệm x 

3
4

Với m  0 ,
 '  (m  2)2  m(m  3)  4  m

Do đó:
Nếu m  4 thì  '  0 nên phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
Nếu m  4 thì  '  0 nên phƣơng trình đã cho có một nghiệm x 
10


m2 1
 .
m
2


Nếu m  4 thì  '  0 nên phƣơng trình đã cho có hai nghiệm x 
và x 

m2 4m
m

m2 4m
.
m

Kết luận:

m  4 : phƣơng trình vô nghiệm.
m  0 : phƣơng trình có một nghiệm x 

3
.
4

m  4 : phƣơng trình có một nghiệm x 

1
.

2

m  4 và m  0 : phƣơng trình có hai nghiệm x 

x

m2 4m
và
m

m2 4m
.
m

Ví dụ 2. Không giải phƣơng trình x 2  3x  2016  0 , hãy tính:
a) Tổng bình phƣơng hai nghiệm của nó.
b) Tổng lập phƣơng hai nghiệm của nó.
c) Tổng lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.
Giải
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phƣơng trình. Khi đó: x1  x2  3 và

x1x2  2016 . Do đó ta có:
2

a) x12  x22   x1  x2   2 x1x2  32  2.(2016)  5041
3

b) x13  x23   x1  x2   3x1x2  x1  x2   33  3.(2016).3  18171




c) x14  x24  x12  x22



2

2

 2  x1x2   50412  2.(2016)2  17283169

Ví dụ 3. Tìm các giá trị của m để phƣơng trình x 2  4 x  m  1  0 có hai nghiệm

x1, x2 thỏa mãn x13  x23  40 .
11


Giải
 '  (2)2  (m  1)  3  m .

Phƣơng trình có hai nghiệm khi và chỉ khi 3  m  0 hay m  3 .
Khi đó: x1  x2  4 và x1x2  m  1 .
Do đó x13  x23  40  43  3.(m  1).4  40  m  3 (thỏa điều kiện).
Vậy m  3 .
Ví dụ 4. Cho phƣơng trình: x 2  2  m  1 x  2m  10  0
a) Tìm m để phƣơng trình trên có hai nghiệm x1, x2 . Khi đó hãy tìm hệ thức
liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m .
b) Tìm các giá trị của m để T  x12  10 x1x2  x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
2


 '    m  1  (2m  10)  m2  9

m  3
a) Phƣơng trình có hai nghiệm khi và chỉ khi m2  9  0 hay 
.
m


3


 x  x  2(m  1)  x1  x2  2  2m

 x1x2  x1  x2  2  10
Ta có:  1 2
 x1x2  2m  10
 x1x2  2m  10
hay x1  x2  x1x2  8  0
2

2

b) x12  10 x1x2  x22   x1  x2   8x1x2  2(m  1)  8.(2m  10)
 4m2  20m  84  (2m  5)2  59
T  (2m  5)2  59 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi (2m  5)2  0 hay m  

Ví dụ 5. Cho phƣơng trình (m  1) x 2  2 x  1  0
12


5
.
2


a) Tìm m để phƣơng trình trên có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phƣơng trình trên có hai nghiệm phân biệt dƣơng.
Giải
 '  22  (m  1)(1)  m  3 ; S 

2
1
; P
m 1
m 1

a) Phƣơng trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

1
 0 hay m  1 .
m 1

 '  0

b) Phƣơng trình trên có hai nghiệm phân biệt dƣơng khi và chỉ khi  S  0
P  0



m  3  0

m  3


2


hay 
 0   m  1  m .
m 1
m  1

 1

0
 m  1
2.6. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho phƣơng trình: x 2  2mx  m2  m  1  0 1
a) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm x  1.
b) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm x  1.
c) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm x1  1  x2 .
d) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm x1  x2  1 .

Bài 2. Cho phƣơng trình: x 2   3m  1 x  2m2  4m  0

1

a) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm x  1.
b) Tìm m để phƣơng trình (1) có hai nghiệm thỏa: 1  x1  x2 .
c) Tìm m để phƣơng trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1  1  x2 .
d) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm x   1;   .


Bài 3. Cho phƣơng trình: x 4  2  m  1 x 3   3m  2  x 2  2  m  1 x  1  0 (1)
a) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phƣơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
13


c) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm dƣơng.
d) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm âm.
Bài 4. Cho phƣơng trình:  x  1 x  2  x  3 x  4   2m  1
a) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phƣơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
d) Tìm m để phƣơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 5. Cho phƣơng trình:



2 x2  4x  2
a)
b)
c)
d)



2






 3  2m  1 x 2  4 x  2  m2  3m  1  0 1

Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phƣơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
Tìm m để phƣơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất.

14

1


3. PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA
3.1. Dạng ax3  bx2  cx  d  0
3.2. Cách giải
3.2.1. Phƣơng trình ax3  bx2  cx  d  0 có nghiệm x  x0 .
Phân tích ax3  bx 2  cx  d   x  x0  f ( x) , trong đó f ( x) là một biểu thức bậc
hai.
3.2.2. Công thức Cardano để giải phƣơng trình x3  ax2  bx  d  0
a
Đặt x  y  , phƣơng trình đã cho đƣợc biến đổi thành phƣơng trình
3

y3  py  q  0 trong đó p  b 

a2
2a3  9ab
, qc

3
27

Nếu p  0 hoặc q  0 thì đƣa về trƣờng hợp đơn giản.
Nếu p  0, q  0 thì đặt y  u  v , khi đó ta đƣợc phƣơng trình

(u  v)3  p(u  v)  q  0  u3  v3  (3uv  p)(u  v)  q  0
Chọn u, v sao cho 3uv  p  0

u 3  v3   q

Từ đó ta giải hệ phƣơng trình 
p3 tìm u, v
3 3
u
v



27

q
q 2 p3 3 q
q 2 p3
Sau đó tìm y  u  v   
.

  

2

4 27
2
4 27
3

3.3. Định lý Vi-ét
Nếu x1, x2 , x3 là ba nghiệm của phƣơng trình ax3  bx2  cx  d  0

b
 x1  x2  x3   a

c

thì khi đó:  x1 x2  x2 x3  x3 x1 
a

d

x
x
x


1
2
3

a

15



3.4. Ví dụ.
Ví dụ 1. Giải phƣơng trình 3x3  2 x2  11x  4  0

(1)

Giải
Ta nhận thấy x 

4
là một nghiệm của phƣơng trình (Sử dụng MTCT)
3





Phƣơng trình (1) đƣợc biến đổi thành  3x  4  x 2  2 x  1  0

 x  1  2
Do đó x 2  2 x  1  0  
 x  1  2
Vậy phƣơng trình đã cho có ba nghiệm x 

4
, x  1  2 và x  1  2
3

Ví dụ 2. Giải phƣơng trình x3  9 x2  18x  28  0


(1)

Giải
Đặt x  y  3 , khi đó (1) trở thành y3  9 y  28  0

(2)

Đặt y  u  v , khi đó (2) trở thành u3  v3  (3uv  9)(u  v)  28  0

(3)

u 3  v3  28

Chọn u, v sao cho uv  3 , khi đó giải hệ phƣơng trình 
(9)3 ta đƣợc
3 3
u v  
27

 u3  1
 u  1
 3

v  27
 v  3

 3
 u  3
 u  27


 v3  1
 v  1
 

Từ đó y  4 và do đó x  7 .
Vậy phƣơng trình có nghiệm x  7 .
Ví dụ 3. Cho phƣơng trình 2 x 3  x 2  m  0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 .
Không giải phƣơng trình, hãy tính T  x12  x22  x32
16


Giải

1
 x1  x2  x3  2

Ta có:  x1 x2  x2 x3  x3 x1  0

 x1 x2 x3  m
2

2

x12  x22  x32   x1  x2  x3   2  x1x2  x2 x3  x3 x1  

1
2

1

Vậy T  .
4
Ví dụ 4. Không giải phƣơng trình x3  3x  1  0 , hãy tính T  x110  x210  x310
Giải
 x1  x2  x3  0

Giả sử x1, x2 , x3 . Theo định lí Vi-ét ta có:  x1 x2  x2 x3  x3 x1  3
x x x  1
 1 2 3

Đặt Sn  x1n  x2n  x3n . Ta có: Sn 3  3Sn 1  Sn , n  0
Ta có: S0  3, S1  0, S2  6 .

S10  3S8  S7  3 3S6  S5    3S5  S4   ....  90S2  53S1  27S0  593
Vậy T  593
Ví dụ 5. Tìm m để phƣơng trình x 3  (2m  1) x 2  (3m  2) x  m  2  0
ba nghiệm phân biệt.

(1) có

Giải
Dễ thấy phƣơng trình đã cho có nghiệm x  1 . Do đó, biến đổi phƣơng trình (1) ta





đƣợc ( x  1) x 2  2mx  m  2  0 .

17



Phƣơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phƣơng trình

x 2  2mx  m  2  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.
2

m  1
1  2m.1  m  2  0
hay 

2
m

m  m  2  0

Vậy với m  1 thì phƣơng trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.

18


4. PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN
4.1. Dạng ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0
4.2. Cách giải
4.2.1. Nếu phƣơng trình có nghiệm x  x0 thì ta biến đổi đƣa phƣơng trình đã
cho về dạng  x  x0  f ( x )  0 , trong đó f ( x ) là biểu thức có dạng bậc ba.
Ví dụ. Giải phƣơng trình x 4  10 x3  4 x 2  105x  72  0
Giải
Dễ thấy x  8 và x  3 là hai nghiệm của phƣơng trình (Sử dụng MTCT)






Biến đổi phƣơng trình đã cho ta đƣợc ( x  8)( x  3) x 2  5x  3  0
Giải phƣơng trình x 2  5x  3  0 ta đƣợc hai nghiệm x 

5  37
5  37
và x 
2
2

Vậy phƣơng trình đã cho có bốn nghiệm x  8 , x  3 , x 

5  37
5  37
và x 
2
2

4.2.2. Dạng ax 4  bx 2  c  0
Cách giải
Đặt y  x 2 , y  0 . Khi đó phƣơng trình theo y có dạng ay 2  by  c  0 (đây là
phƣơng trình có dạng bậc hai theo y .
Ví dụ. Giải phƣơng trình 2 x 4  3x 2  5  0
Giải
Đặt y  x 2 , y  0 . Khi đó phƣơng trình theo y có dạng

 y  10

2 y  9 y  290  0  
 y   58

4
2

Với y  10 , ta có: x 2  10  x   10
19


Vậy phƣơng trình có hai nghiệm x   10 .
4.2.3. Dạng ax 4  bx3  cx 2  bx  a  0
Cách giải
Ta thấy x  0 không là nghiệm của phƣơng trình. Do đó chia hai vế phƣơng trình
b a
cho x 2 , ta đƣợc ax 2  bx  c   2  0 .
x x

1
, khi đó phƣơng trình theo y có dạng ay2  by  c  2a  0 (đây là
x
phƣơng trình có dạng bậc hai đối với y .)
Đặt y  x 

Ví dụ. Giải phƣơng trình 2 x 4  3x3  31x 2  3x  2  0
Giải
Ta thấy x  0 không là nghiệm của phƣơng trình. Do đó chia hai vế phƣơng trình
3 2
cho x 2 , ta đƣợc 2 x 2  3x  31   2  0 .
x x

Đặt y  x 

1
, khi đó phƣơng trình theo y có dạng 2 y 2  3y  35  0
x

7
Giải phƣơng trình theo y ta đƣợc y  5 và y   .
2
Với y  5 , ta có: x 

1
5  21
 5  x 2  5x  1  0  x 
x
2

7
1
7
7  33
Với y   , ta có: x     2 x 2  7 x  2  0  x 
x
2
4
2
Vậy phƣơng trình có bốn nghiệm x 

5  21
7  33

, x
2
4

4.2.4. Phƣơng trình dạng ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  k với a  b  c  d , k  0
Cách giải
Biến đổi phƣơng trình trở thành  x 2  (a  b) x  ab   x 2  (c  d )x  cd   k



20


Đặt t  x 2  (a  b)x , thay vào phƣơng trình trên ta đƣợc (t  ab)(t  cd )  k (đây
là phƣơng trình bậc hai theo t ).
Ví dụ 6. Giải phƣơng trình ( x  1)( x  5)( x  3)( x  7)  297

(*)

Giải
Đặt t = (x – 1)(x+5) = x2 + 4x – 5 = (x+2)2 – 9 ³ - 9
 (x – 3)(x+7) = x2 + 4x – 21 = (x+2)2 – 25 = t – 16
Khi đó (*) thành: t(t – 16) = 297  t2 – 16t – 297 = 0
t  11 (loaïi)

t  27 (nhaän)

Với t = 27, ta có x2 + 4x – 5 = 27  x2 + 4x – 32 = 0

x  4


là nghiệm (*)
x


8

Vậy phƣơng trình có hai nghiệm x  4, x  8 .
4.2.5. Phƣơng trình dạng ( x  a)4  ( x  b)4  k , k  0
Cách giải
Đặt t  x 

ab
, thay vào phƣơng trình đã cho ta đƣợc phƣơng trình trùng phƣơng.
2

Ví dụ. Giải phƣơng trình ( x  3)4  ( x  5)4  16

c d
4.2.6. Phƣơng trình dạng ax  bx  cx  dx  e  0 với   
a b
4

3

2

Cách giải
Đặt t = x 


m 
d
 vôùi m   , thay vào phƣơng trình trên ta đƣợc:
x 
b

at 2  bt  c  2ma  0 (đây là phƣơng trình bậc hai theo t ).

Ví dụ. Giải phƣơng trình x4 – 5x3 + 4x2 – 10x + 4 = 0
21

(*)

2


Gii :
2

c 4 10 d
Ta thy

a 1 5 b

2

Vỡ x = 0 khụng l nghim (*) nờn chia 2 v (*) cho x2, ta c :

x 2 5x 4
x2


t t x

10 4

0
x x2

4


2

5
x


40
x
x2


(**)

2
4
t2 x2 2 4 8
x
x


t 0 (loaùi, do ủieu kieọn)
(**) thnh : t2 4 5t + 4 = 0 t2 5t = 0
t 5 (nhaọn)

Do ú : (*) x

5 17
2
= 5 x2 5x + 2 = 0 x
2
x

4.2.7. Dng x 4 ax 3 bx 2 cx d 0
Bin i phng trỡnh trờn ta c:
2

2 1
1
1 2 2 1 2
2
2 1
x ax y bx cx d a x y yx axy 0
2
2
4
4
2

2




1

1

1
1
1
x 2 ax y y a2 b x 2 ay c x y 2 d
2
2
4


2

4


(1)
2


1
1

1
Ta cn tỡm y trong phng trỡnh 4 y a2 b y 2 d ay c 0 v
4


4
2

phi ca phng trỡnh (2) cú dng (ex f )2

22


Thế y  y0 vừa tìm đƣợc vào phƣơng trình (2) ta đuợc:

 2 1
1
x  ax  y0  ex  f

2
 2 1
1 
2
2
 x  ax  y0    ex  f   
2
2 

 x 2  1 ax  1 y  (ex  f )

2
2 0
2


Giải các phƣơng trình (2) và (3) ta tìm đƣợc x .
Ví dụ. Giải phƣơng trình: x 4  x3  7 x 2  x  6  0
Giải
2


  1

29  1
Ta tìm y từ phƣơng trình: 4  y   y 2  6     y  1  0
4  4

  2

hay y3  7y2  25y  175  0 .
Ta tìm đƣợc một nghiệm thực y của phƣơng trình này là y  5

 2 1
5 7
1
x  2 x  2  2 x  2
Phƣơng trình đã cho sẽ đƣợc biến đổi thành 
 x2  1 x  5   7 x  1

2
2
2
2
 x  1


 x2  4x  3  0
x  3
hay 

  x  1
 x 2  3 x  2  0

  x  2
Vậy phƣơng trình đã cho có bốn nghiệm là: x  2, x  1, x  1 và x  3 .
4.2.5. Giải bằng phƣơng pháp hệ số bất định
Giả sử phƣơng trình x 4  ax 3  bx 2  cx  d  0 đƣợc phân tích thành

x

2

 a1x  b1



a1  a2  a

a a  b  b  b
2
x  a2 x  b2  0 . Khi đó ta có:  1 2 1 2
a1b2  a2 b1  c
b b  d
 1 2




23

(2)
(3)


Ta tìm các hệ số a1, a2 , b1, b2 từ hệ trên, ta thử các số nguyên từ b1b2  d .
Ví dụ. Giải phƣơng trình x 4  2 x3  34 x 2  31x  6  0
Giải
Giả sử phƣơng trình x 4  2 x3  34 x 2  31x  6  0 đƣợc phân tích thành

x

2

 a1x  b1



a1  a2  2

a a  b  b   34
2
x  a2 x  b2  0 . Khi đó ta có:  1 2 1 2
a1b2  a2 b1  31
b b   6
 1 2




Từ đó ta tìm đƣợc a1  5, b1  3, a2  7, b2  2 .







Do đó x 4  2 x3  34 x 2  31x  6  0  x 2  5x  3 x 2  7 x  2  0


5  13
x 
 x  5x  3  0
2


2

 x  7 x  2  0
7  57
x 

2
2

Vậy phƣơng trình đã cho có bốn nghiệm x 

24


5  13
7  57
,x
2
2


5. PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ
5.1. Phƣơng trình dạng cơ bản
5.1.1. Phƣơng trình

 A  0 (B  0)
A B 
A  B

Ví dụ. Giải phƣơng trình

x 3  3x  5  4 x  1

Giải

4 x  1  0

Phƣơng trình đã cho đƣợc biến đổi thành  3

 x  3x  5  4 x  1


1

x  4

1

x  2
x 

  x  2  
4
 x 3  7 x  6  0   x  3  x  1


  x  1
Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm x1  1 và x2  2 .
5.1.2. Phƣơng trình


B  0
AB
2

A  B

Ví dụ. Giải phƣơng trình

x 3  3x 2  10  3x  1

Giải



3 x  1  0
Phƣơng trình đã cho đƣợc biến đổi thành  3
2
2

 x  3 x  10  (3 x  1)

25