ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

TRẦN THỊ CHIÊN

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2014


Mục lục
Mở đầu

2

1 Kiến thức cơ sở
1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm . . . .
1.1.1 Không gian metric . . . . . . .
1.1.2 Không gian véctơ tôpô . . . . .
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị . . . .
1.2.2 Một số định lí về sự tương giao
ánh xạ đa trị . . . . . . . . . .
1.2.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

. .
. .
. .
. .
. .
và
. .
. .

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
về điểm
. . . . .
. . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
bất động của
. . . . . . . .

. . . . . . . .

2 Bài toán quan hệ biến phân
2.1 Phát biểu bài toán và một số ví dụ . . . . . . . . .
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
2.2.1 Định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao . . . . .
2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên điểm bất động . . . .

.
.
.
.
.

3 Tính chất tôpô của tập nghiệm của bài toán quan
3.1 Tính lồi của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính bị chặn của tập nghiệm . . . . . . . . . . . .
3.3 Tính đóng của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Tính ổn định của tập nghiệm . . . . . . . . . . . .
3.5 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân . . . . .
3.5.2 Bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

hệ
. .
. .
. .

. .
. .
. .
. .
. .
. .

1

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

5
5
5
6
10
10

. 14
. 14


.
.
.
.
.

24
24
28
28
30
35

biến phân
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

39
40
42
43
45

52
53
55
58
59

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


Mở đầu
Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá
trị của Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1886. Cho tới những năm
cuối thế kỉ XX lý thuyết tối ưu trở thành một ngành toán học quan trọng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học, kĩ thuật và kinh tế cũng như
trong thực tế.
Trong xu thế phát triển chung của lý thuyết tối ưu và áp dụng lý thuyết cân
bằng vào giải quyết các lĩnh vực cơ bản khác nhau của cuộc sống, một lớp bài
toán mới, bài toán "Quan hệ biến phân" được đề xuất lần đầu tiên vào năm
2008 bởi GS. Đinh Thế Lục nhằm nghiên cứu một bài toán tổng quát hơn theo
nghĩa một số lớp bài toán quen thuộc có thể được suy từ bài toán này như bài
toán tối ưu tuyến tính, bài toán tối ưu phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán
tựa cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biến
phân, bài toán bất đẳng thức biến phân,...
Bài toán quan hệ biến phân được phát biểu như sau: Tìm a¯ ∈ A sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b),

trong đó A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y
là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần
tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y.
Các vấn đề nghiên cứu trong bài toán quan hệ biến phân là sự tồn tại nghiệm
của bài toán, cấu trúc tập nghiệm của bài toán (tính đóng, tính lồi, tính ổn
định, tính liên thông,...).
Luận văn có mục đích trình bày bài toán quan hệ biến phân và tính ổn định
của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân. Luận văn được chia thành ba
chương.
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết cho hai
chương sau, nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, trình bày một số khái
niệm, tính chất và tính liên tục của ánh xạ đa trị.
2


Chương 2. Bài toán quan hệ biến phân. Mục đích chính của chương này
là trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên tính
chất tương giao KKM và các định lí về điểm bất động.
Chương 3. Tính chất tôpô của tập nghiệm. Chương này trình bày một
số tính chất tôpô của tập nghiệm như tính lồi, tính bị chặn, tính đóng và tính
ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân có tham số.
Luận văn này cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh
được cụ thể và chi tiết hơn) về sự tồn tại nghiệm và các tính chất của tập nghiệm
của bài toán quan hệ biến phân được đề cập trong các bài báo [4, 5].

3


Lời cảm ơn


Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS.
Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp
các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả luận văn
Trần Thị Chiên

4


Chương 1

Kiến thức cơ sở
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như các
khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô,..và khái
niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị,... cần thiết cho việc trình
bày các nội dung ở chương sau.

1.1
1.1.1

Kiến thức tôpô và giải tích hàm

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho tập X = ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập
hợp các số thực R được gọi là một metric trên X nếu các tiên đề sau đây được
thỏa mãn:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất);
2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác).
Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là không gian metric, kí hiệu là
(X, d) hay thường được viết là X. Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử
x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là hai không gian metric, một điểm x ∈ X và A là
một tập con của X . Khoảng cách từ điểm x đến tập A được xác định bởi
d(x, A) = inf d(x, a).
a∈A

Định nghĩa 1.1.3. (Khoảng cách Hausdorff) Cho X và Y là hai không gian
metric, một điểm x ∈ X và A, B lần lượt là các tập con trong X , Y . Khoảng

5


cách Hausdorff từ tập A đến tập B được xác định bởi
dH (A, B) = max sup inf d(a, b), sup inf d(a, b) ,
a∈A b∈B

b∈B a∈A

hay

dH (A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A) .
a∈A

b∈B

Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian metric X . Một dãy {xn } được gọi là dãy
cơ bản nếu
(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn , xm ) < ε.

Nhận xét 1.1.1. Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếu xn → x thì
theo bất đẳng thức tam giác ta có
d (xn , xm ) ≤ d (xn , x) + d (x, xm ) → 0 (n, m → ∞).

Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhất
thiết hội tụ. Chẳng hạn nếu xét khoảng (0, 1) là một không gian metric với
d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ (0, 1) thì dãy

1
, mặc dù là dãy cơ bản, nhưng
n

không hội tụ trong không gian ấy.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ
(tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian đủ.
Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ P : X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu
∃k > 0 : d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y).
• k = 1: f được gọi là ánh xạ không giãn.
• 0 < k < 1: f được gọi là ánh xạ co.

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co P từ không

gian metric đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x¯ duy nhất, nghĩa là
tồn tại duy nhất x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức P x¯ = x¯.
1.1.2

Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.1.7. (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅. Một họ τ các tập con
của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
(i) ∅, X ∈ τ ;
6


(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ ;
(iii) Hợp của một số tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.8. Cho hai tôpô τ1 và τ2 . Ta nói τ1 yếu hơn τ2 (hay τ2 mạnh
hơn τ1 ) nếu τ1 ⊂ τ2 , nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ1 đều là tập mở trong τ2 .
Định nghĩa 1.1.9. Cho (X, τ ) là không gian tôpô.
• Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ.
• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.

Định nghĩa 1.1.10. Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X . Tập
U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A. Khi
A = {x} thì U là một lân cận của điểm x.
Định nghĩa 1.1.11. Một họ V = V : V là lân cận của điểm x ∈ X được gọi
là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại lân cận
V ∈ V sao cho x ∈ V ⊂ U.
Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì của
X . Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:
(i) x là điểm trong của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A.

(ii) x là điểm ngoài của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong
X\A.
(iii) x là điểm biên của A nếu x đồng thời không là điểm trong và không là
điểm ngoài của A. Hay nói cách khác x là điểm biên của A nếu mọi lân cận
của x đều giao khác rỗng với A và X\A.
Định nghĩa 1.1.13. Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ). Ta
gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở nằm trong A, và nó là tập
o
mở lớn nhất. Kí hiệu là A hoặc intA.
Định nghĩa 1.1.14. Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ). Ta
gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng nằm trong A, và nó là tập
đóng nhỏ nhất. Kí hiệu là A¯ hoặc clA.
Định nghĩa 1.1.15. Cho X , Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f từ X vào
Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0 ) đều tồn tại
một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V.
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .
7


Định nghĩa 1.1.16. Không gian tô pô (X, τ ) được gọi là không gian Hausdorff
(hay T2 − không gian) nếu mọi cặp điểm x khác y trong X đều tồn tại một lân
cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.1.17. Giả sử F là một trường R hoặc C. Các phần tử của F
được gọi là số (đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V định nghĩa trên
trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng véctơ và phép
nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính chất cơ bản sau đây
được thỏa mãn:
1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán:

Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;
3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa:
Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;
4. Phép cộng véctơ có phần tử đối:
Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0;
5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:
Với mọi α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;
6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng:
Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô
hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v;
8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép
nhân vô hướng: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1.
Định nghĩa 1.1.18. Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X được gọi là tập
lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách
khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó).
Định nghĩa 1.1.19. Cho X là không gian véctơ, x1 , x2 , ..., xk ∈ X và các số
k

λ1 , λ2 , ..., λk thỏa mãn λj ≥ 0, j = 1, 2..., k và

k

λj = 1. Khi đó, x =
j=1

gọi là tổ hợp lồi của các véctơ x1 , x2 , ..., xk ∈ X.
8

λj xj , được

j=1


Định nghĩa 1.1.20. Giả sử S ⊂ X. Bao lồi của S, kí hiệu là convS là tập hợp
các tổ hợp lồi của các điểm trong S.
Định nghĩa 1.1.21. Cho X là không gian véctơ.
1. Một tập C ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi λ ≥ 0, mọi x ∈ C thì λx ∈ C.
2. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi. Như vậy, một tập C
là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
(i) λC ∈ C với mọi λ ≥ 0,
(ii) C + C ⊆ C.
Định nghĩa 1.1.22. Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X tương hợp với
cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô đó, tức là
nếu:
1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y ; cụ thể với mọi lân cận V của
điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho
nếu x ∈ Ux , y ∈ Uy thì x + y ∈ V.
2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x; cụ thể với mọi lân cận V của αx
đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho |α − α | < ε, x ∈ U thì
α x ∈ V.

Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi
là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính).
Định nghĩa 1.1.23. Một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian véctơ
tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tập
lồi.
Định nghĩa 1.1.24. Cho X là không gian tôpô lồi địa phương và tập C ⊆ X.
Ta nói véctơ d là một phương lùi xa của C nếu x + λd ∈ C với mọi x ∈ C, λ > 0.
Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được kí hiệu
là o+ (C). Vậy, o+ (C) = {λ ∈ X : x + λd ∈ C} với mọi x ∈ C, λ > 0.

Định nghĩa 1.1.25. Cho tập I khác rỗng được gọi là định hướng nếu trên nó
xác định một quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn các tính chất sau:
(i)) Với mọi m, n, p ∈ I sao cho: m ≥ n, n ≥ p thì m ≥ p;
(ii) Nếu m ∈ I thì m ≥ m;
9


Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự
nhiên và Công nghệ.
[B] Tài liệu Tiếng Anh
[3] J. P. Aubin and H. Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer, New
York.
[4] P. Q. Khanh and D. T. Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric
Variational Relation Problems, Set-Valued Anal, 16, 1015-1035.
[5] D. T. Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J. Optim.
Theory Appl. 138, 65 - 76.
[6] B. S. Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation I: Basic Theory, Springer, 331.

59