BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LUẬN

XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VỚI CÁC HÀM SPLINES

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LUẬN

XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VỚI CÁC HÀM SPLINES

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Tuấn, người
thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn
này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo
giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đã cổ vũ, động viên, tạo
điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Luận


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn, luận văn
chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “xấp xỉ và ổn định của một số lớp

phương trình với các hàm splines” ăược hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm
hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 1 năm 2016
Tác giả


Nguyễn Thị Luận


2

Mục lục
Mở đầu

5

1

8

Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

2

Không gian tuyến tính................................................................................... 8
1.1.1

Khái niệm không gian tuyến tính.......................................................... 8

1.1.2

Vectơ độc lập tuyến tính, không gian


con............................. 10

Không gian định chuẩn..................................................................................... 12
1.2.1

Khái niệm không gian định chuẩn...................................................... 12

1.2.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn............................................... 14

1.3

Không gian Hilbert........................................................................................... 14

1.4

Sự ổn định của hệ phương trình sai phân ..................................................... 16
1.4.1

Khái niệm mở đầu về phương pháp

1.4.2

Sự ổn định của bài toán sai phân.........................................................22

1.4.3

Phân tích ổn định Von-Neumann....................................................25


Hàm spline và phương pháp kết hợp
2.1

2.2

sai phân . . . .

16

29

Spline và B-spline..............................................................................................29
2.1.1

Không gian các hàm spline và B-spline...............................................29

2.1.2

Hàm spline bậc 3

34

Phương pháp kết hợp (Collocation Method)..................................................... 35
2.2.1

Định nghĩa

35



3

2.2.2
2.3

Ví dụ.....................................................................................................36

Xấp xỉ và ổn định của một số lớp phương trình............................................ 40
2.3.1

Phương pháp kết hợp với cơ sở B-spline bậc 5 giải
phương trình truyềnnhiệt một chiều.....................................................40

2.3.2

Phương pháp kết hợp với cơ sỏ B-spline bậc 3 giải
phương trình Burgers...........................................................................50

3

ứng dụng

58

3.1.............................................................................................................................
dụng với phương trình truyền nhiệt một chiều.........................................................58

ứng

3.2.............................................................................................................................


ứng

dụng với phương trình Burgers................................................................................69
Kết luận

77


4

BẢNG KÍ HIỆU
N

Tập

số tự nhiên

M*

Tập

số

M

Tập

số thực


c

Tập

số phức

tự nhiên khác không

C[a Ö] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, bị Ss( 7ĩ)
Tập tất cả các hàm spline đa thức bậc 3 II • II

Chuẩn


5

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong thực tế, để giải nhiều bài toán cần phải tính được giá trị của hàm số tại một điểm
nhưng để tính đúng giá trị của hàm số tại một điểm của một số hàm gặp rất nhiều khó
khăn. Bởi vậy, người ta sử dụng nhiều phương pháp gần đúng để giải quyết các vấn đề
trên.
Hàm spline là các đa thức trên từng đoạn có nhiều ưu điểm trong tính toán. Do vậy,
được sử dụng trong tính toán gần đúng. Tính xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm bằng
phương pháp hàm spline rất thuận lợi.
Đặc biệt, nghiên cứu để giải một số lớp phương trình bằng các hàm splines đang được
các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Cụ thể, các phương trình đạo hàm riêng
như phương trình truyền nhiệt, phương trình Burgers mô tả dòng nhiệt, dòng chảy của chất
lỏng và khí được nghiên cứu giải gần đúng bằng phương pháp kết hợp (Colocation
method) với cơ sở là các hàm spline ([5], [6], [8]).

Vậy để giải phương trình đạo hàm riêng thì tính ổn định của hệ sai phân là rất quan
trọng nên tôi đã nghiên cứu luận văn: "Xấp xỉ và ổn định của một số lớp phương trình
với các hàm splines".


6

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu sự ổn định của một số phương trình sai phân tương ứng với các phương
trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng như phương trình truyền nhiệt, Burgers.
- Giải xấp xỉ các phương trình trên.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm về hàm spline, các tính chất của hàm spline để giải gần đúng
phương trình truyền nhiệt và phương trình Burgers.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các hàm splines, lý thuyết xấp xỉ, tính ổn định của hệ sai
phân, phương trình truyền nhiệt, phương trình Burgers.
- Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu lớp phương trình trên trong không gian một chiều.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia.

6. Đóng góp mới của luận văn
- Trình bày kiến thức cơ bản để giải xấp xỉ các phương trình đạo hàm riêng bằng
phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng cơ sở là các hàm splines.


7


- Nghiên cứu giải phương trình truyền nhiệt một chiều bằng hệ cơ sở spline bậc 5.
- Làm rõ giải xấp xỉ phương trình Burgers.


8

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không gian tuyến tính,
không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian các hàm spline, sai số, sự ổn định
của hệ phương trình sai phân để phục vụ chứng minh ỏ chương sau.

1.1

Không gian tuyến tính

1.1.1

Khái niệm không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng mà các phần tử được kí hiệu:

X,

y, z , . . .

và K là một trường mà các phần tử được kí hiệu: a, /3, 7, . . . Giả sử trên X được trang bị
hai phép toán, gồm:
1. Phép toán cộng, kí hiệu + :

X X X —>x

(x,y)\—V x + y
2. Phép toán nhân, kí hiệu là • :

K XX

X


9

(cc, X )

a • X

thỏa mãn 8 tiên đề sau:
+ y — y + X , Vx, y e X;

•

X

•

( x + y ) + z = X + { y + £), Va;, y : z e X - ,

• tồn tại duy nhất 9 G X sao cho 9 +

X


=

X

+ 9,Vx € X (phần tử 9 gọi là phần tử

không);
• Với mỗi phần tử X € X tồn tại duy nhất phần tử — X G X sao cho X + (—x) = 9 (phần
tử — X gọi là phần tử đối của x);
• 1•X =

X,

Vx € X và 1 là phần tử đơn vị của trường K\

• a • {¡3 • x) = (a: • Ị3) ■
• {a + ¡3) •

X

= a •

• a • [x + y) = a •

X

X

X,


'ix € X và a, Ị3 € K ;

+ Ị3 • y, \/x € X và a, Ị3 € K ;

+ a • 7/, Va;, y G X và a € K.

Khi đó X cùng với hai phép toán trên gọi là không gian tuyến tính trên trường K.
Khi K = R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực.
Khi K =

c thì X được gọi là không gian tuyến tính phức.

Người ta còn gọi không gian tuyến tính là không gian vectơ.
Ví dụ 1.1.1.
Trong mặt phẳng thực R2, Tập X = R2 là tập
R2 = |(a;i,2;2) : X ị và X 2 là các số thựcị,
với mỗi số thực a và các vectơ X = (xi,X2),y = (2/1,2/2) £ -X”, phép cộng và nhân vô hướng
được định nghĩa:


10

x + y = (x 1 + 2/1,32 + y 2 ),
ax = (ax 1, ax 2),
là không gian tuyến tính.
Ví dụ 1.1.2.
Không gian C[a>6]
C[a6Ị = ị^x = x(t) : x(t) là hàm số liên tục trên [a, 6]|,
với mỗi số thực a và f(t),g(t ) € C[afc], phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa:

(/ + 9)(t) = f(t ) + g(t), a < t < b

(af)(t) = af(t),
là không gian tuyến tính.

1.1.2

Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con

Định nghĩa 1.1.2. Trong không gian tuyến tính X.
Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ X ị , x 2 ,

■ ■ ■,

x n G X là một tổng có dạng:

a\X\ + 0:22:2 + • • • + a n x n .
Các vectơ Xị, x 2 ,... ,x n được gọi là độc lập tuyến tính nếu:

a x x x T a 2 x 2 T ... T a n x n = 0 =7> ai = OỈ2 = ... = aỵ = 0.
Vectơ Xi : x 2 ,Xỵ gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu chúng không độc lập tuyến tính.
Nghĩa là, tồn tại những số Oi, a 2 ì . . . , aỵ trong đó có ít nhất một số khác 9 sao cho a\X 1
+ 0:22:2 + • • • + aỵXỵ = 0.


11

Chẳng hạn, hai vectơ X và — X là phụ thuộc tuyến tính vì:
1 • X + 1 • ( — x ) — 0.
Nếu trong các vectơ X ị , X 2i . ■., x n có một vectơ bằng 0 thì chúng là phụ thuộc tuyến tính.

Một không gian tuyến tính X được gọi là không gian k chiều nếu trong X có k vectơ
độc lập tuyến tính và không có k + 1 vectơ độc lập tuyến tính.
Trong trường hợp này một tập k vectơ độc lập tuyến tính của X gọi là một cơ sở của nó.
Các không gian k chiều, với k là một số nguyên bất kì > 0 gọi là không gian hữu hạn chiều.
Một không gian không hữu hạn chiều, tức là sao cho với mọi k đều tìm được k vectơ độc lập
tuyến tính của nó, gọi là không gian vô số chiều.
Ví dụ 1.1.3.
= |(ai, «2) • • •, ữfc)| a i € M| là không gian k chiều, với cơ sở là:
X \ = (1, 0 , . . . , 0), x 2 = (0,1, 0 , . . . , 0 ) , . . . , x k = ( 0 , 0 , . . . , 1).
Không gian C[a&] là vô số chiều vì với mọi k ta luôn có k phần tử của nó độc lập tuyến tính,
đó là:
xĩ(t) = t, x2(t) = t2,..., xk(t) = tk.
Nếu X là không gian k chiều và X i , X 2, ■ ■ ■ , X ỵ là một cơ sở của nó thì mọi X E X
đều được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:
X = 0t\X\ + 0:2X2 + • • • + o t k X k ]
các số «1, OÍ2, . . . , a k gọi là các tọa độ của vectơ X đối với cơ sở {xi, X 2 , . . . ,
làm phép ánh xạ 1 — 1 : X *->• («1, CC2; • • •; o t ỵ ) thì đó là một phép

Xỵ\.

Nếu ta


12

đẳng cấu giữa X và Rfe. Như vậy không gian tuyến tính k chiều bao giờ cũng đẳng cấu với
không gian Rfc.
Định nghĩa 1.1.3. Một tập con không rỗng M của một không gian tuyến tính X gọi là một
không gian con, nếu nó kín với phép cộng phần tử và phép nhân phần tử với một số, nghĩa
là:

1) Vx, y£M=>x + y€ M,
2) Va: € M, a e R => O i X e M.

1.2

Không gian định chuẩn

1.2.1

Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là
không gian tuyến tính X trên trường p (P = R hoặc p = C) cùng với một ánh xạ từ X
vào tập số thực R, kí hiệu là ||.|| và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1. (Va: G X) ||a;|| > 0, ||a;|| = 0 X = 9 (kí hiệu phần tử không là ớ);
2. (Va: e X) (Vcc e p ) ||Q!X|| = Ịc»íI ||x|| ;
3. (Va:, y £ X) ||a; + y\\ < ||a:|| + ||y||.
Số ||a:|| gọi là chuẩn của vectơ X . Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề
trên gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Ví dụ 1.2.1.
Không gian R2 là không gian định chuẩn với chuẩn thường chọn là chuẩn:


13

Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:
IMIi = |ah| + 1 ^ 2 1 ,
hay

\x\


{ k l l , |z2|}:
max-s \ X \

trong đó X = (£1,0:2) € R2.
Ví dụ 1.2.2.
Không gian C[afe] = |/ : [a, b] —»• M I / liên tục trên [a, 6]| là không gian định chuẩn,
với chuẩn:
l l / W I I = max |/(í)|.
a
Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn ||.||i và II. II2• Hai chuẩn này
được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và ra > 0 sao cho:

rall^l^ < ||a;||2 < M||£||1,V£ € X.
Trong ví dụ 1.2.1 thì cả 3 chuẩn đôi một tương đương. Chẳng hạn:
Mh < (211^11^,)* = V^Hoc,
mặt khác:

ịịxịịoo = max||xi| , |£2| j < {x\ + xị)i = \\ x h, do đó
chọn M = y/2, ra = 1, ta có:

< y/2\\x 00 •


14

1.2.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian định chuẩn và

c X,

Xo

€ X. Với

n —> oo, khi đó ta có các kết quả sau đây:
1) x n —> Xo (dãy x n
2) Nếu

hội tụ tới Xo) có nghĩa là \\x n —

x n —> X Q thì ||xn|| —> ||xo||, tức là chuẩn ||xn||

XoII —> 0.
là một hàm liên

tục của X .
Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu x n hội tụ thì (3M € M), M > 0,

3)

(Vn), lịx^ll < M.
4) Nếu

x n —> X o,

5) Nếu

x n —> x0, a n —> a0 thì x n a n —> x ữ a ữ ,

6)

yn

—> 2/0 thì x n + y n —> x 0 +

y0.

c

K, CCO € M.

Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy x n G X sao cho:
lim ||xn — x m II = 0.
171,71—Ï 00

Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là: II Xjị — xm|| —> 0
kéo theo sự tồn tại X o G X sao cho x n -7

1.3

X o,

thì không gian đó gọi là không gian Banach.

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1. (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên trường p (p là trường
số thực R hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ
tích Descartes X

X

X vào trường p, kí hiệu (.,.), thỏa mãn tiên đề:

1. (Vx, y e X) (x,y) = (y,x);


15

2. (Vx, y,z e X)(x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;
3. (Vx, y e X) (Vo: € p) (CKX, ỳ) = a (x, y );
4. (Vx £ X) (x, x) > 0, nếu X ^ ớ, (x, x) = 0, nếu X = 9 (9 là ký hiệu phần tử không).
Các phần tử x,y,z,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y) gọi là tích vô
hướng của hai nhân tử X và y , các tiên đề trên gọi là tiên đề tích vô hướng.
Định lý 1.3.1. Dối với mỗi X € X. Ta đặt

(1.1)
Khi đó Vx, y € X ta có bất đẳng thức Schwarz
K*.»)! < 11*11 IMI ■

(1.2)

Công thức (1.1) xác định một chuẩn trên không gian X.
Định nghĩa 1.3.2. Không gian tuyến tính trên trường p cùng với một tích vô hướng gọi là

không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.3.3. Ta gọi một tập H ^ 0 gồm những phần tử X, y, z,... nào đấy là

không gian Hilbert , nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1. H là không gian tuyến tính trên trường P;
2. H được trang bị một tích vô hướng (.,.);
3. H là không gian Banach với chuẩn ||x|| = yj(x,x),x € H.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian
Hilbert con của không gian H.

Ví dụ 1.3.1.


16

Không gian M k cùng với tích vô hướng:
k

{x,y) = X nVn,
71=1

với Mx = (x n) E My = (y n) G là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.2.
Không gian l 2 , lập thành bởi tập tất cả các dãy số phức X = (xi, X 2 , ■ ■ ■, x n)
oc
sao cho X) x n < oo, với các phép toán tuyến tính: X + y = (a?i + 2/1,
7Ỉ=1

+

2/2, • • )\OLX = { a x i , a x 2 , . . . ) , Va; = (a;„) e l 2 , V y = (y „) 6 l 2 và tích vô
hướng:
oo
2/) =

7Ỉ=1

là một không gian Hilbert.

1.4

Sự ổn định của hệ phương trình sai phân

1.4.1

Khái niệm mở đầu về phương pháp sai phân

Thông qua một ví dụ cụ thể chúng ta minh họa cho khái niệm hệ phương
trình sai phân.
a. Khái niệm về bài toán biên
Bài toán biên có phương trình vi phân cấp lớn hơn hoặc bằng hai và có
điều kiện bổ sung được cho tại nhiều hơn một điểm.
Chẳng hạn bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
có dạng:
I [p{x)y'{x)}' - q{x)y{x) = -f{x), a < X < b ,

[y(a) = a,y(b ) = /3,

(1.3)

17

bài toán trên được gọi là bài toán biên loại một.
Nếu điều kiện biên y(a ) = a,y(b ) = ß được thay thế bởi điều kiện biên:

-p(a)y'(a) + ƠI y(a) = a,
p{b)y’{b) + ơ 2 y{b ) = ß,
Ơ I > 0, ơ 2 > 0, ơ ị + ơ 2 > 0;
thì ta có bài toán biên loại 3.
Còn nếu ơ\ = Ơ2 = 0 thì ta có bài toán biên loại hai.
Trong thực tế ta còn gặp những bài toán mà tại X = a và X = b có điều kiện biên
khác nhau (chẳng hạn tại X = a ta có điều kiện biên loại 1 còn tại X = b ta có điều kiện
biên loại hai hoặc loại ba) khi đó ta có bài toán biên hỗn hợp.
Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phương pháp sai phân thông qua bài toán biên
loại một.
b. Bài toán vi phân
Cho hai số a và b với a < b. Tìm hàm y = y(x) xác định tại a < X < b thỏa mãn:

ị L(y) =-(py'Ỵ+ qy = f{x),
\

^y(a) = a; y (b) = ß,

(1-4)

trong đó p = p(x), q = q(x), f(x) là những hàm số cho trước đủ trơn thỏa mãn:
0 < C o < p(x) < C l ] Co, C l = const, q(x) > 0
còn cc, ß là những số cho trước.
Giả sử bài toán (1.4) có nghiệm duy nhất y đủ trơn trên [a, b].

c.

Lưới sai phân
Ta chia đoạn [a, 6] thành N đoạn con bằng nhau mỗi đoạn con dài h = (6 — a ) / N bởi

các điểm chia X i = a + ih : i = 0 , 1 , . . . , N . Mỗi điểm X i


18

gọi là một nút lưới, h gọi là các bước lưới.
• Tập = {Æj, 1 < ỉ < N

—

1} gọi là tập các nút trong.

• Tập T }J = {xoj^iv} gọi là tập các nút biên.
• Tập fi/j = Q h

u

Th

gọi là một lưới trên [a, b ].

d. Hàm lưới
Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới Q h - Giá trị của hàm lưới V tại nút X ị
viết là V ị .
Một hàm số y { x ) xác định tại mọi X

£ [a, b]

sẽ tạo ra hàm lưới y có giá trị tại nút X ị là y i = y

{ x ì ).

e.

Đạo hàm của hàm lưới
Xét hàm lưới V . Đạo hàm của hàm lưới tiến cấp một của V, kí hiệu là v x , có giá trị tại

nút X ị là:
Vi+1 - Vị
Vxi

7

h

Đạo hàm lưới lùi cấp một của V , kí hiệu là V x , có giá trị tại nút X ị là:
_ V i - Vi-!
Vxi

7

h
Sau đây ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới "xấp xỉ" được đạo hàm
thường (xem các công thức (1.7), (1.8), (1.9)).
Do đó có đạo hàm lưới cấp hai v x x :

__ V x i +1 V x ì 1 / V ị - ị -1 V ị
"h "h \ h

Vị

1\

V ị- ị- 1 2 V i

T Vị—\

h) ~

;

nếu a là một hàm lưới thì:
/

\

^i+l^äfi+l ^ i ^ x i ^î+l^î+l (^î+1 ""h ^ l ) ^ i H”

1

(av^u =-------------!±j. ---------=-----------------------^-------------------------•
f.

Quy ước viết vô cùng bé

19

Khái niệm "xấp xỉ" liên quan đến khái niệm vô cùng bé. Để viết các vô cùng bé một
cách đơn giản ta sẽ áp dụng quy ước sau đây:
Giả sử đại lượng p(h) là một vô cùng bé khi h —y 0. Nếu tồn tại số a > 0 và hằng số M

> 0 không phụ thuộc h sao cho:

|p(A)l < Afft“;
thì ta viết:

p(h) = 0{h a ).
Viết như trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì p{ỳì) là một đại lượng nhỏ và khi h —> 0 thì

p(h) tiến đến số 0 không chậm hơn Mh a .
g. Công thức Taylor
Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây vì nó là công thức quan trọng được sử dụng để xấp
xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
Giả sử F(x ) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp ra + 1 trong một khoảng (a,

ß ) chứa X và X + Ax, Ax có thể dương hay âm. Khi đó, theo công thức Taylor ta có:
F(x + Ax) = F(x) + AxF'{x) +

2!

+ ... + ^f^F { m \x)+

ra!

(Arr)

m+1
+

(m+1)

(ra+l)f

trong đó c là một điểm trong khoảng từ X đến X + Ax.
Có thể viết: c = X + ỠAx với 0 < 9 < 1.
Ta giả thiết thêm:

F { m + l \x)

< M = constjX G [a, ß],

(Aa:)m+1_______
khi đó 7-----------—F^ m + Ỉ ^(c)
là môt vô cùng bé khi Ax —> 0. Tức là tồn tai
w
(ra +1)!

hằng số K > 0 không phụ thuộc vào Ax sao cho:

lcj

’ (1.5)


20

(Aa:)

+1

j7(m+l)/ c \

< K(AxỴ m + 1 \

(m + 1)!
Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau:

Fix + Ax) = Fix) + AxF'(x) + ^X-F"(x) + ... + ỊAEẠp( m Ux)+
2!
ml
+0((Ax)m+1).

(1.6)
h. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới
Giả sử hàm y{x ) đủ trơn. Theo công thức Taylor (1.6) ta có:

y{x i + 1 ) = y(xi + h) = y(xị) + hy'(xị) + 0(/i2).
Ta suy ra

Vtí = ÿ(Xi+1^~ Ểĩủ = y'( X ị ) + ũ (ft);

(1.7)

y(xi- 1) = y{xi - h) = y(xi) - hy'(xi ) + 0(/i2);
m=

= v'(xi) + 0(ft).

(1.8)

Ngoài ra với quy ước:
zi+i = £i + ^,:yi+i = y(zi+i),
ta còn có

y(x i + 1 ) = y(x i + ị + ^) = y{x i + ỷ + ^y'(x i + i) + ^{^) 2 y"(x i + i_) + 0(/i3);

y(si) = y( x i+\ ~\)

=

y( x i+0 - 2 y'( x i+ỷ + ^ỵ(^1)22/,,(^+|) + oơ*3)-

Ta suy ra

2/0&i+i) - 2/(®i) = Vfai+O + °(^3)-


21

Do đó
Vxì

V x ì +1

y(xj+ 1) - y{xj) = y'(x i_) + 0{h 2 ).

i+
h

(1.9)

Đồng thời

y{x i + 1) + y{xj)

2

y(x i + 0 + O{h 2 ).

(1.10)

k. Phương pháp sai phân Sai số và
tốc độ hội tụ
Định nghĩa 1.4.1. số a được gọi là số gần đúng của số a* nếu a không sai khác a* nhiều.
Định nghĩa 1.4.2. Đại lượng A = a — a* là sai số thực sự của a.
Nếu A > 0 thì a là giá trị gần đúng thiếu, A < 0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a*.
Số a* nói chung không biết nên cũng không biết A, tồn tại A < 0 thỏa mãn điều kiện:
Ia* — a\ < Aa.
Định nghĩa 1.4.3. số A thỏa mãn điều kiện |o* — a I < Aa được gọi là sai số tuyệt đối của

a, còn ỗ = là sai số tương đối của a.

Ví dụ 1.4.1.
Giả sử a* = 7T; a — 3,14.
Do 3,14 < 7T < 3,15 = 3,14 + 0, 01 nên ta có thể lấy Aữ = 0, 01.

Do 3,14 < 7T < 3,142 = 3,14 + 0, 002 nên ta có thể lấy Aa = 0, 002.
Ví dụ 1.4.2.
Đo độ dài đoạn AB và CD ta thu được a = lOcm, b = lcm và Aa = A6= 0,01.
Khi đó ta có ỗa =

= 0,1%; ỗb =

Vậy phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD.


22

• Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
Ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng y(xị) tại các nút Xị € Gọi các giá trị
gần đúng đó là Vị. Muốn có Vị ta thay bài toán vi phân (1.4) bởi bài toán sai phân:
Ị L h v = -(aVx)xi + ÇiVi = fi]

^
^

Ị^o = a,v N = ß.
Trong đó: dị = p(xi - h/2),qi = q(xi), fi = f(xi).
Hệ phương trình (1.11) gọi là hệ phương trình sai phân ứng với hệ phương trình vi phân
(1.4).
Đối với mỗi phương pháp gần đúng để giải bài toán vi phân (1.4) ta đã kí hiệu Vị là giá
trị gần đúng thu được cho y{x).
Nếu \vị — y(xị) I = 0(h k ), k > 0,
thì ta nói phương pháp có độ chính xác cấp k hay là một phương pháp cấp k.

1.4.2

Sự ổn định của bài toán sai phân

Trích dẫn ([3])
a. Mở đầu
Xét một quá trình vô hạn (tức là gồm vô số bước) để tính ra một đại lượng nào đó. Ta
nói quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là các sai số quy tròn tích lũy lại không
tăng vô hạn. Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình là không ổn định.
Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì khó có hi vọng tính được đại lượng cần
tính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép. Cho nên, trong tính toán kị nhất là các quá trình
tính không ổn định.