Luận văn tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (381.31 KB, 1 trang )
20
21
22
23
17
18
129
13
10
14
11
12
26
27
24
25
7642598316
15
28
30
31
19
111
ớ
r
n
B
GIO
V
O
(iii)B
ban
õy
iu
kin
ban
u
õy
chỳng
ta
s
B
cp
n
tớnh
DC
cht
V
quan
O
trng
ỏnh
x
a
tr
Tp
Mc
nh
nghim
ngha
nghiờn
yu
1.7.
ca
D
M
V
Iy&
(cỏc
H
(ctp
.=
,tớnh
( uTO
))tc
c
hiu
l
Gi
s
Cho
ti
v
Hn
ii)
U
Trong
c
Cho
Mt
fSau
)Trong
ls
vúi
*ớch
na,
ằ
G
mi
gi
hm
phn
H
nh
0.
1.3.
l
khụng
dóy
(a
Vỡ
nh
jCarathộodory
)^H
ca
theo
2.3
sao
gian
Hna
rng
t
di
A
cho
ca
tụpụ,
liờn
mt
qua
{L
vi
xchng
õy,
tp
YGIO
}bit
mi
c.trờn
ta
X
khụng
Xs
ĩ
ny,
vo
,a
vi
JDC
thit
{m(/3)
mt
tớnh
gian
}liờn
lp
L
compact
giỏ
vộct
tr
sc
liờn
khụng
atụpụ.
oTO
v
cca
gi
compact
ht
rng
ohm
ca
lyli,
compact
ỏnh
compact,
G
u
Jx
(tuyt
c
tp
xkhỏc
u
tn
)na
nghim
nhxỏc
gn
ti
uttrờn
mt
xX>v
ca
e0.t
t
Gi
(i)
hu:
õy,
(2.1.
/3
)X
:=l
nghim
R"XZ
Il
L
U
+lý
I2,
2cu
yu
L
M
'chỳng
M
theo
l
+
mt
ngha
ta
'tc
Lỏnh
Carathộodory
Ta
x
rng
bit
tr
hvY,
tc
l
0.
()Y
t,hm
Khi
)L
vi
l
mt
giỏ
ú
X
(t)
tr
(2.14)
liờn
liờn
úng,
tc
v
tc
(2.15)
i
rng
vi
{liờn
)nh
mi
ktH
ktr
ay.
arng
akớ
av
atc
aựtip
2suy
bl
K
v
{
Y
)
=
P
v
{
Y
)
n
K
(
Y
)
=
{
D
e
P
{
Y
)
:
D
l
compact
v
li}.
1.3.
Bao hm thc
v
phõn
n
TRNG
I
HC
sm
PHM
H NI
NI 22
ri
n
I
HC
s
PHM
2 Khi
Li
Cho
A
cu/3
X
.thc
ú
Gi
thit
rng
H
:]
R
=4
R
l
(p
gi
n
iu
v
na
di
vi
cỏc
0}aca
trờn.
S[0,
(cỏc
Dkhi
Nghiờn
M
V
(\1.11.
,L
cu
vta
tớnh
n
nh
thc
bin
phõn
(1).
C
=
tul
ehlõn
[mi
0
,cn
Tbt
\V
Ing
:+xca
\+
\T=
)l
-hV,
yxn(vi
((
ttH
=
.úng
dóy
con
nh
bt
>
ca
x
Xgian
U
a
vJ)[
*.xcú
, TRNG
T
y,v
ký
bin
hiu
XX(xphõn.
>
ằ
l
t07*
P
ỡ(chun
(tysao
Y
G
)txj]-(ec
cho
^)utt2)
())
)U
.+
gi
J](vi
*y-\tu
>
a)suy
vi
di
*tc
ti
H (tp
mt
th
) .Uchỳng
im
Hn
th
X
G
ong
X
tp
G
[0,
hp
khụng
Tv
]Ing
H
ch
(món
khi
0nh
tn
chun
ti
zV,
mt
){vi
vi
compact.
Mil
X
sup
sao
||a;(ớ)||.
cho
ca
H(2.9)
( xgiỏ
) tụi
l
q)ltha
+
t2,
t
đn(0)
<Ê>(t)
-\)e)(\Juliờn
f*bao
jliờn
2)
>T].
T
T]
(2.16),
tha
(2.17)
(1.5)
v
món
(1.4)
[0,
vi
hu
khp
ta
ni
ra
t(t0unG
aT:(2.25)
2y
(
w
Wi
w
M
.}tc
(
t
)
=
,
b
{
,
(
,[0,
Mnh
(
c
(
t
)
+
U
*
,
)
u
i
p
u
)
>
=0.G
1,2,...
Tp ỏnh
iy ỗc(ớ,
Xk {t))
nh
ngha
ỡX
ky(t))
k
-Fc(t,
=trJyc(t,
(t))((t)
+Y
(2.21)
Khi
x
akYtrc
nhn
giỏ
trong
cỏc
tp C ( Y-)k ,y(ớ)
K
()0,
)/,k hoc
P v ( Y ) thỡ ta
núi
te[0,T]
m
=1, ( p ) ờn
nh
ngha
1.10.
Gi Ss( LI ,lqmt
khong
M.KMt
s
/ q: I
tr
khỏc
rng
compact,
+ a
H
tc
0ng
vtc
ụ0icỏc
?igiỏ
Q
ÊMli,
c(ớ).
h icn
hm
úcS(X
L
nghiờn
cu
tớnh
na
liờn
tc
trờn
v
c
tớnh
liờn
ca
s
(
D
V
/(lớ,
v))
khi
(t
L(2.1)
H
na
X
nu
(2.6)
vi
ch
mi
ra
rng
tp
m
V
ỗ
Y
sao
cho
7()
n
y
thỡ
tn
ti
mt
lõn
),\
ca
ii)
L
:
Z
=4
M"
l
mt
hm
tr
liờn
vi
tr
úng,
b
chn.
compact.
Mnh
1.7.
nh
lý
2.3.
i)
Giao
ca
tt
c
cỏc
tp
li
cha
tp
c
gi
l
bao
li
ca
D
M
V
I
:
ớ
Nu
t
G
([0,T]
\
I
)
\
x
thỡ
II
(
t
)
y
(
t
)
II
>
0
v
do
ú
^ll(ớ)
Tớnh
<Ê
gi
n
iu
ca
H
kộo
theo
rng,
vi
bt
k
t*
H
{
ự
)
,
(
q
+
t*,
2A
u
(
t
)
G
S
(
L
,
c
(
t
,
x
(
t
)
)
+
H
,
i
f
)
,
M
t
G
[0,
T
]
,
Nu
cỏc
ỏnh
x
a
tr
J-Q,
T\
:
X
>
K
{
)
l
na
liờn
tc
trờn
(na
liờn
tc
nh
ngha
2.2.
iu
kin
sau
cựng
cú
th
s
dng
dóy
thụng
thng
vi
iu
kin
X
v
Y
l
cỏc
Cho
F
tng
(x
,
o
ng
j
)
cú
>
giỏ
(x0,
úng,
co).
compact
Ta
cũn
phi
hoc
chng
li.
minh
rng
nh
lý
1.5
(Xem
((0
[4]).
y
{
t
)
,
(
t
)
(0)
<
h
(
t
)
\
\
(
t
)
y
{
t
)
\
\
.
(2.26)
Ta
cú
mt
s
kt
qu
sau
õy.
v
vỡ
n
n
Lý
do
chn
ti
(
{
t
)
y
{
t
)
,
(
t
)
(
t
)
)
Qua
vic
U ỳliờn
chn,
ta{2i
bit
tn
ti
u js
giúihn
nh
lý
o
k btc
k vi
eM
ul2.1.
[
x(0)
=
ry
=
{v
,y(t)\\
y rng
)GX
:c(ớ).
x ,y )h(r])\\{ri)
e mt
X
Y,
x dng
econ
X
yhi
e ngha
xca
)l
} tn
tuyt
trờn
I,(
vúi
mixn dóy
s
ÊT,t{cú
mt
sao
(Hisao
ú
lcho
/ l
bi
H
<{hai
M||
y||
M
>0.
b
chn
ca
L
cú
tidng
mt hng
s
\\{t)
-x)gi
- a,y(r])\\dri
+
,xC
v
li
vi
mi
qmi
b
nhiu
tham
s
khỏc
nhau.
X
F
x
'
)
n
V
0
vi
x
'
G
V
(
x
)
.
i
i
)
(
,
V)
l
t
p
n
iu
trờn
R
vi
mi
V
Ê
z2.
h
o
T
:
X
ằ
K
(
Y
l
ỏ
n
h
x
a
t
r
n
liờn
tc
trờn.
Nu
A
ctcX l
Gi
s
rng
(a,
6,
c)
tha
món
cỏc
iu
kin
(^4)
,
(
B
)
v
(c
),
u
z
i , Vo
z2
0
m:chỳng
m Rm
n
di)
thỡ
tng
ca
J-Q
+
J-\
:
X
>
K
(
Y
)
,
khụng
gian
metric.
Mt
hm
s
a
>
(tng
ng
b
:
>
Rmxn)
c
gi
l
liờn
(y(t)\\
Q
+
ỹt mt
*(DVIs)
-ỏnh
ỹ\
)x
+
-)v
(rng
p{(B),
(cú
quỏt
)zgiỏ
<
0l-Z,
T
nh
ngha
ta
thy
rng
mt
a
tr
úng
tr
úng.
Cho
h
:
ớỡ
X
R
>
R
l
hm
liờn
tc
vU
:
ớ
=Ê
R
mt
hm
a
tr
úng
Lun
ò -,(v
Bt
ng
thc
vi
bin
phõn
mụ
hỡnh
tng
ca
nhiu
bi
toỏn
trong
ới)
+
>
<
(
h
t)
t
)
\
(
t
)
>
y
0
(
t
\
\
.
=
(
{
t
)
i
)
)
a
i
t
,
y
t
))
+
ũ(ớ,
t
)
)
{
t
)
(ớ,
y(ớ)M)).
ĩKt
Chng
Chng
J
Q
.
V
H
1
2
l
na
liờn
tc
trờn
vi
cỏc
giỏ
tr
khỏc
compact
nờn
tn
ti
mt
dóy
Gi
thit
rng
(a,
,
c)
tha
món
iu
kin
(i4)
U
G
VQ
G
^2
c
cho
B
1.1
(Xem
[1]).
Q
coA
=\\z\\
Xlýcỏc
:tc
X \\z\\
=tuyt
ctXi,
X
Ê(M
(k=u) mt
1,2,
con
i=
nh
lý
(xem
[2,
3.1,
trang
12]).
Mc
lc
0nhau
Do
II
t1.2
) khi
2/(ớ)
II nh
l
i
nờn
tn
/4
T;] lmón
vi
m(/4)
cho
bt
c
no
cp
ri
xA
yIti
ca
)cú
vi
xkvit
, y kc,li
n[0,
I>tha
Lũi
cm
n
kV,ỡ (2.21)
L'
>
0(v
sao
L'
Theo
ta0tp
th
nh
sau
,c
)fna
eL'.
Scam
(D
,mi
vnu
0<
0nm
0T
oan
Nhim
nghiờn
Mt
ỏnh
x
tr
Tta
c
gi
l
liờn
tc
di
lY.R+
na
liờn
( i Chng
vmt
)l
Sl
(cho
L
( ua
)cu
, a
qrr-11_
+
H
( v
- ?
, (x
v1rng
, (Li
)l
khỏc
rng
vi
q.)).nú
Ê>
c(f)
vxỏc
Sq((2.20)
Lnh
(tc
uc(ớ).
)nh
,di
J Gi
(sau
qti
+
tp
compact
thỡ
nh
ca
nú
(A)
tp
compact
trong
cỏc
im
cho
trc
v
cỏc
gi
di
õy
ỳng
0x
)thit
l
th
ca
ỏnh
tr
y.
_
rt
1
__ớ-\______.
,
_
rrv
rri\
minh.
u
tiờn
ch
ra
S
(
L
,
q
+
H
,
i
f
)
úng
vi
mi
G
Cho
Y
khụng
gian
metric.
Hm
s
h
:
K
(
Y
)
X
K
(
Y
1
Lipschitz
khi
vchớnh,
ch
khi
tnsti
mt
hng
sa
La
>
0(L
0)
sao
cho,
vi
bt
bv>thnh
(2.16)
xõy
dng
iu
kin
cho
ỏnh
x
tr
úng
tr
na
liờn
tc
trờn,
ta
cn
tilnh
ú
n
=
[0,
T
]
X
Mm,
a
:
n
->
Rm,
b
:
n
->
Mmxr\
c
:
->
l
cỏc
ỏnh
x
cho
sao
cho
vi
mt
vi
hng
]u
>
0,
n
cỏc
yc
ti
kinh
t,
giao
thụng,
ti
u
húa
khoa
hc
k
thut.
n
nay
(
J
-3
+
T
i)(x)
=
T
3(0:)
+
Ti
(
x
)
con
hi
t
ca
0J
*
,
ký
hiu
li
l
U)*
sao
cho
(1
^
U
J
Q
&
H(co).
Tớnh
na
liờn
trc
v
cỏc
gi
thit
di
õy
ỳng
C
h
o
u
(
t
)
,
v
(
t
)
,
w
(
t
)
:
[
a
,
b
]
>
R
l
ba
hm
s
trong
ú
u
khụng
õm
v
kh
Nu
ớ
G
z,
do
II
(
t
)
y
{
t
)
II
>
0
v
||(i)
y
(ớ)
II
cú
i
kh
vi
ti
ớ
G
X
,
ta
k t e [0, T v
cvi
l
li,
Khi ú
= do
0 Cho
sao
/4, FII:k(Kt )>
yM
( t ) lII liờn
kh tc.
vi (xem,
vớ tn
d, [5]).UGK
Hnsao
na
v
úv cho
K)X,G
S)Rn
(Xcompact
Lmi
, qcompact
+ n u
Hcht
, iti
p]ca
)\.(ô0,
ncu
Nghiờn
cỏc
tớnh
ỏnh
nghim
yu
Carathộodory
di
mt
s
iu
mi
im
G
.
H
(
,
)
p
v
)
.
x
2
vi
mi
[0,
T].
Theo
B
1.1
vi
mi
t
e
[0,
T],
ta
suy
ra
(i)
H
:
M
X
z
=Ê
K
l
mt
ỏnh
x
a
tr
liờn
tc
vi
giỏ
tr
li,
úng,
khỏc
rng,
Tip
theo
l
nhng
khng
nh
v
tớnh
liờn
tc
tuyt
i
ca
cỏc
phộp
toỏn
trờn
ỏnh
thit
rng
u jca
csau
Shc
(l{phõn
LAcỏc
+=]li
H
() p>0:C
)cha
vi
{AB
Khi
tn
ti
c*
Gcú
Btp
)T
inf{e
VUetớnh
)liờn
,nghiờn
B>tc
cu jV
Av
) }li
,ú
n ca
: ,[q
ntn
dóy
Tớnh
compact
0,
Xnhiu
z, 2lim
ch
ra(toỏn
ti
mt
e. {bao
con
ca
cng
kớ
k
(2,1/)
e2nH
n Giao
Do
Lipschitz
ac*,
,ca
chỳng
ta
ii)
tt
úng
tp
c
gi
l
A,
ký
cỏc
nh
ngha
trc.
ng
thc
vi
c
nh
cu
t
c
nhiu
kt
tc
yu
ca
rng
ip(iỳo)
<
inftc
prng
(b]
ohc
j v
.HUY
( i ) bt
H
:(1,2;),
M
X
=4
mt
hm
a
trxliờn
liờn
tc
vi
giỏ
tr
khỏc
rng,
li,
úng
v
tớch
Lebesgue
[(tng
a=(sup
,V0.
b)]\\u\\
,c
w NGUYN
liờn
tc
trờn
[a,
V&liờn
tc
tuyt
iúng
trờn
[a,
b].(1.6)
Gi
suyra|||(ớ)
ysuy
{trờn
tR
)]Tra
\\\l
k )cỏc
Cho
V
ỗ[0,
Ytrờn
,bin
nh
ngha
cho
vúi
mi
tz2
e-ip
T
/4,
QUANG
NGUYN
QUANG
HUY
l
na
liờn
tc
ng
na
di).
y
^
v
k
x
)
<
<
77^(1
+
||x||),
V(ớ,x)
Q.
k
Kin
thc
c
s
t*,
t
-bin
t2)
+trờn
>(t)
- 0
0. z2.thc
Tớnh
n
nh
ca
ng
thc
vivi
phõn
2
kin.
K
hB
i lý
údung
D
M lun
Vbt
Iiu
(minh.
uc
,(
v))+lG
l
na
liờn
tc
(u
,ca
v0l)k bt
Ni
ca
vn
nghiờn
cu
tớnh
n
nh
bin
cm
n
U
^Êhp
Z1
J)X
H
(,c
- S,L
v(..........................................................................................................
n
ngt
trờn
mi
V)hm
Ê+ ti
z
v
tp
(L
0 na
,vi
]Mn,
X(2.22)
zphõn
x
a
tr.
0H
2)cừA.
chng
2>
2)i l
HLi
( cn)
sao
cho
vúi
tt
c
L)tp
, Do
nh
1.1.
hiu
l
c*
sao
cho
c*
ằ
c.
(c
,
v
)
(c
,
v
)
v
H
liờn
tc
2s
hiu
l
n
ntn
0tớnh
(
J
c
(
t
,
(
t
)
(
(
t
)
y
(
t
/,
z
(
t
)
z
(
t
<
0.
0
Gi
[0,
T
]
l
kớ
hiu
tt
c
cỏc
o
c
ĩ
J
:
[o,
T
][l
>TK
tha
y
qu
phong
phỳ
bao
gm
cỏc
kt
qu
v
s
ti
nghim,
duy
nht
ca
nghim,
õy
V
l
mt
e
lõn
cn
ca
mt
tp,
c
gi
l
metric
Hausdorff
trờn
{
Y
)
.tip
nh
ngha
1.8.
cw(t)
k
tp
Hú,
(
L
[
0,
T
]
X
z
)
l
compact.
s
rng
l
mt
nghim
ca
bt
ng
thc
sau
a(2,
y)Il
<
L
a
i
t
x
21
+
\
\
x
y||),
Do
vi
mi
t
G
[0,
T
]
\
I
chỳng
ta
cú
2
\
\
(
t
)
y
(
t
)
\
\
=
({Ft l)gian
(sõu
V{ t
))))> <0,
Vu e KThnh
ueU(t,x)
Tụi
xin
bit
Nguyn
Anh,
Thydn
ó trc
( 1.12.
(Yby
t v
) -t
{lũng
t cỏc
) , alun
(khụng
t , n
)uny
-),asc
,ti
ytụi
(utTS.
La||(ớ)
-.di
y { t )||2.
(2.17)
Cho
X,
zyoan
l
tụpụ.
Mnh
Tụi
xin
cam
vn
do
hon
thnh
s
hng
ca
TS.
Thit
lp
nhng
kt
qu
v
tớnh
liờn
tc
v
na
liờn
tc
liờn
quan
n
ỏnh
(1).
C
th
chỳng
tụi
nghiờn
cu
tớnh
na
liờn
tc
trờn
v
c
tớnh
liờn
tc
ca
Do
vy
F
{
V
)
=
{
x
&
X
:
y(z)
c
V
}
compact.
( rng
( t )....................................................................................................
-cO
yn+00.
(QTt ) ,:eX(H
t
) (cg(ớ),
- P((tY) ))vc
Lũi
cam
oan
ix
thỡ
Chng
minh.
trờn,
ta
bit
)
t
tớnh
na
liờn
tc
trờn
ca
L
ta
suy
ra
0
Mt
ỏnh
x
a
tr
gi
l:
món
||6(ớ)||2C
<
C
ỏ
c
iu
kin
sau
l
tng
ng:
trỳc
v
dỏng
iu
ca
tp
nghim
v.v...
Tuy
nhiờn
cỏc
ti
nghiờn
cu
v
tớnh
n
m
m
( i i cu
)B
L
:
Z\
=4
M
l
mt
hm
a
tr
liờn
tc
vúi
cỏc
giỏ
tr
li,
úng,
b
chn.
Ta
d
dng
chng
minh
c
cỏc
khng
nh
sau:
(
q
+
uj*n,uj
c
)
+
(p
(c)
(
p
(
u
)
>
0.
(2.3)
2.2.
n oiu
n T\
Gi
s
Vthit
T]
>
l
:t-[0,
l
mtvn
hm
liờn
ging
dy,
tn
tỡnh
hng
v
giỳp
tụi
lun
ny.
Mnh
(tngng,
||6(i,x)
bl
tĩĩQ)
yh))liờn
\kin
<
Ê&(|1
- tp(ỹJo)
+
\>M
\tc
xo,nhau.
- di)
y|D).
T
gi
(iii)
(2.22)
ta
cú
2tp
2 \ Jliờn
Mnh
f
M
tmt
) K()
-/to
yuhm
{-(b
tsmi
)II
<(,sc
(d\tbi
\abuc
(X
)ỹtham
y(ớ)||.
v(t)
+
)-(w
s)+,\v
athnh
v
th
I:1.8.
(1.3.
tu[0,
ya
ttr
)w(t)
-nh
lý
1.3
(xem
[2,
lý
4.2,
ang
13]).
Nguyn
Thnh
ỏnh
x
TM
:)c
>
na
(na
v
()Carathộodory
c:=(Anh.
t Q){v
Q
ĩQ,ĩ
itc
phai
)<
-nhiu
Va;
GKhuụn
L.
nghim
yu
khi
ỏnh
x
v
rng
b
bi
hai
tham
s.hmkh
Snh
( vỡ
DNu
A
V
(
v
khi
L
v
H
nhiu
s
khỏc
n), X
Gi
s
M
Vl
Itớnh
(tvi
uchỳng
,bin
V
khụng
l
na
liờn
tc
trờn
ti
v 0v
) c
Êb
Khi
ú,
:u
\Sng
R
mt
hm
atrỡnh
tr
liờn
tc
cỏc
giỏ
tr
li,
úng,
(ớ)
Lbt
(Z=
uc
)( +Dv
na
liờn
tc
di
ca
ta
suy
ra (u
vi
mi
enchn.
LXv
(V.
utớnh
, tn
1L
0 ,s
Lũi
m
........................................................................................................
1
nL
0i)
=4
0 )tr,
(ỗ1)
+(i)
t*,t
+g))
(Aớ^(ti)
+vi
(1mong
vi
A)<Ê?(t2))
>cz2.
0,
((i)
-t
(ngha
,
lim
Trong
chng
ny,
by
mt
s
kin
thc
ỏnh
x
a
bao
ca
phõn
cũn
ớt.
Vi
mun
tỡm
hiu
thờm
n
v
(V)
nh
( i i nh
ic
)tc
H(Ati
(li
-rng
,v(t)
V(1
)thc
liv
yA)t2))
t(Êgian
p)cm
trờn
R
mi
V
G
compact
nu
min
giỏ
Fn
(coA;
X
)iu
l
compact
tng
i
trong
Y,
tc
l
F
{mt
X
)Vỡ
\tShm
Lvy
ACũn
l
tp
khi
ch
khi
A,ztụi
=
thit
(,
b,
c)
tha
món
iu
kin
v
(
B
)
,
H
:
R"
^
R
l
m
i
f
n(A)
tha
món
G
h
t
,
x
(
t
)
u
(
t
,
x
(
t
)
)
)
vi
mi
t
G
[0,T].
Khi
ú
tn
ti
Tụi
xin
chõn
thnh
n
Ban
Giỏm
hiu,
Phũng
Sau
i
hc
Trng
i
hc
S
C
h
o
X
l
khụng
tụpụ,
Y
l
khụng
gian
metric.
nh
x
a
tr
T
:
X
>
ks
h( ỡfGi
iyr
ú
,
v
i
m
t
[
a
,
b
]
phi
chng
t
z
(
t
)
=
(
t
)
.
Vi
mi
t
[0,
T
]
chỳng
ta
cú
nh
ngha
2.1.
)
ỏnh
x
a
tr
T
:
X
>
P
(
Y
)
l
n
a
liờn
tc
di;
ktớch
Nu
cỏc
x
a
tr
F
: cu
X
>
P (rng
Ytụi)Mthit
P
)))l
na
liờn
trờn
Cho
K
cvỏnh
M"
lliờn
úng
v
li,
F
: khỏc
Kvn,
ằ
liờn
tc.
iu
kin
cn
v
tc
tn
Trong
quỏ
ỡnh
hon
thnh
lun
ó
thnh
khoa
hcca
ca
cỏc
:tng
X >
R
ltrờn
tc,
thỡby
ca
chỳng
fv
lF
Tk(T4),
::tha
XY>
K((Z(c
Yqu
,sau
Vỡ
i
H
na
liờn
tc
phm
vi
vi
nghiờn
cỏc
giỏ
tr
compact,
tn
ti
mt
dóy
con
c*,
lun
vn
dnh
cho
vic
trỡnh
v
2
T
Trong
phn
tip
theo
ta
s
s
dng
cỏc
gi
(B
)
v
õy.
Ta
suy
ra
N
NH
BAT
THC
VIBIEN
PHN
tn
ti
mt
dóy
vec
)T],
cu (n)
Z
z( 2tv
( b( uthc
(c
tkG
, [o,
)kvi
t )sao
-Xnim
ycho
)vi
, di
zn(CA
t ) s
-khỏc.
zc.
( t ) )ANG
< dn
\ \ TS.
- yNguyn
\|
ti
mt
dóy
c
v
LTNH
(s
c
ằ
T2 M
=
lim---------Chng
s..................................................................................
3 th
hm
thc
vi
phõn
v
khỏi
kt
bt
ng
thc
bin
Hn
na,
vi
t)),
.hng
tmt
( i vnh
)2)
S1.
(liờn
LKin
(nmi
u2;
))cỏc
,ớkhi
q nmt
+nht
H
(,
v)khi
,v
( f{igiỏo
khỏc
rng
vi
qrng
c(ớ).
trong
Ythy
(gi(imi
ica
) compact
ccú
kh
vi
Frechet
trờn
n-)phõn
Jtliờn
(tc
tcỏc
, qu
X
)y(ớ'))
= l
btr
(mt
tkhỏc
,mi
xỏnh
)PHN
,G
tu(t)
ca
in
G
útr
J(
c, (xX
t ,vo
xtrong
) Thnh
biu
co
An
l
tp
li
nh
cha
A\
0v
sau:
x ]c
xt
i
iu
na
liờn
tc
trờn
vi
giỏ
compact,
L
mt
tp
(
(
t
y
((ớ')
((ớ)
y
{
t
)
)
)
vi
t
G
L.
phm
H
Ni
giỏo,
cụ
ó
trc
tip
ging
dy,
giỳp
tụi
sut
o
c
Ta
u
tớnh
:
[0,T]
cht
>
quan
trng
sao
cho
U
t
t
)
)
v
sau
Cp
(
X
,
J
xỏc
nh
trờn
[0,
T
c
gi
l
nghim
yu
Carathộodory
ca
K
Y
)
l
tc
v
ch
nú
nh
x
khụng
TNH
N
NH
CA
BAT
ANG
THC
VIBIEN
U( l
(na
liờn
tc
di)
thỡ
tớch
hp
thnh
T\
o
F
:
X
>
p
(
z
)
c
xỏc
nh
nh
ti
mt
nghim
cho
bi
toỏn
(1.1)
l
tn
ti
R
>
0
sao
cho
mt
nghim
R
Ê
KR
ca
u
(
s
)
d
s
r
f
u{ri)dri
dv
nh
toỏn
hc
vi
s
trõn
trng
v
bit
n
sõu
sc.
Lun
vn
ny
khụng
trựng
lp
vi
F
z
\
V
)
=
{
x
X
:
T
{
x
)
n
V
y
0}.
x c ny
xthc
i
l
tng
c*,
nghiờn
sao
cho
cu:
c*
Bt
ằ
ng
CQ
vi
vi
CQ
bin
phõn
G
H
cú
(Caratheodory
c0).
nhiu
Tớnh
dng
na
(1).
liờn
Phm
tc
vi
di
Trỡnh
by
mt
cỏch
tng
quỏt
cỏc
kin
thc
v
gii
tớch
a
tr,
bt
ng
thc
bin
phõn
Vt
t'
t
( A )ký
:
a,
6
v
l
hm
liờn
tc
Lipschitz
trờn
n
vi
ln
lt
cỏc
hng
s
Lipschitz
a)tn
Trong
chng
mt
nh
lý
ti
nghim
yu
ca
bt
ng
thc
(hiu
iQua
)
t
p
J
Z
{
v
)
l
m
(/
v
F
i
)
m
{
)
i
=
t
f(x)
p
m
V
c
Y
;
z(t)
G
5(L(u),c(ớ,ớ/(ớ))+fi'(-,v),^),
z0
=
a
(
t
,
x
+
b
(
(ớ)
t
,
X
G
)
S(L(u),c(t,y(t))+H(-,v),ip)
U
J
e
F
(o,
a^o)
v
z(t)
G
0
0
0
0
0
ớ
(2.7),
(2.8)
v
(2.9)
ta
cú
w
i
t
)
<
v
(
a
)
e
+
e
*
.as.
Tớnh
li
ca
<
p
kộo
theo
(c(t,
y(t))
+
H(z(t),v),z(t)
z(t))
+
^(^(ớ))
0
1.1.
Tớnh
na
liờn
tc
trờn,
na
liờn
tc
di
ca
ỏnh
x
a
tr
..............
3
Anh,
tụiSma
ó
chn
"Tớnh
n
nh
ca
bt
ng
thc
vivi
bin
phõn".
C Khi
th tụi
n cti
Khi
ú
({/(D
M(K
V
I)Y
(úng
u)uX,,ti
vtuyt
))
úng
(u
, vG
G
Z
[0,
X
z2.
3)
cừA
l
tp
li
nh
nht
cha
A;
trn
Jacobian
ca
(
t
,
x
)
.
)
()[0,
r
=
u
r
{
x
)
;
con
li,
úng,
b
chn
ca
K
.
Gi
s
S
L
,
q
+
H
,
(
p
)
^
0
mi
q
G
c(n).
ú
quỏ
v
vỡ
trỡnh
vy
hc
tp
ti
trng.
Nu
l
liờn
tc
i
ờn
[,
6]
thỡ
/
cú
J
a
mt
o
hm
d
s
/'
hu
khp
ni,
cỏc
o
vbt
D
(
t
M
)
=
V
h
I
2.1)
t
,
x
(
nu
t
,
(
t
l
)
)
mt
v
i
hm
m
liờn
i
t
tc
trờn
T
]
.
T
]
v
tha
món
phng
trỡnh
vi
phõn
gian
metric
(
h
).
J H
v ) \ \Tớnh
{ y )ỏn
- khỏc.
y { y ) ca
\Cỏc
\ d ybt
(1.1)
món
k
lun
vn,
lun
kt
qu
trớch
dn
trong
lun
vn
ny ó
c
chna
rừ
ca
(bin
nghiờn
pb tha
ch
ra
n
nh
ng
thc
vi
bin
phõn
(1).
v
s
bt
ng
thc
liờn
quan.
L
Lmt
v
LCQ
.Frng
phõn
c
ỡnh
by
v
t
ú
thit
lp
nhng
kt
qu
vLtớnh
liờn
tc
v
a : nh
ccu:
x
e
x
v
vy
úng.
Theo
nh
lý
1.1
v
1.4
ta
cú
th
kt
lun
giỏ
tr
ban
u
1.1.
Tớnh
na
liờn
tc
trờn,
na
liờn
tc
di
ca
ỏnh
x
a
tr
(i)xột
lvi
Tn
na
ti
liờn
tc
G
trờn
H
(co,
(tng
v
0)
ng
sao
na
cho
liờn
vi
tc
mi
di).
t
e
[0,
T
]
v
cn
e
(
u
0)
=
^Ă737
[(Ê90
2/(0>2/(0)
y{t'))
\\(t)
2/(0
II2]
l
X
Y -úng
l khụng
tụpụ.
Bt
2(1
(ibi
itoỏn
iCho
il
)toỏn
tD
LM
({qQutkhi
)k]cú
lvv
gian
úng
vi
mi
tp
c
Y.
4)
l
tp
ch
khi
A
= {A)t2)
cừA.
,ta
)(
kv
,úng
u
ÊtQ
SG
D
MLA)ớ^(t2)
V
ut ,kgiỳp
, xvv
+( (1
L(w)
vúi
2p,sau:
(ớ)
L(u)
cú
kv
bi
IG
2.1)
mt
nghim
yu.
(1.2.................................................................................................................
vATụi
)hu
Sgc.
(ht
(li
utVJ0G
){Lebesgue
,[o,
+
H
-->
,n
vG(u
)L0+,,^o),
rng
vi
mi
q, Iec(ó
S) (+Lv(Hung
qvi
+
xin
chõn
thnh
cm
ỡnh,
hm
kh
tớch
v
vi
C
[o,
T
ckAớ^(ti)
)gii
Snghip
(
(c(fi)
(k))
t )
,) ,i pf ()viờn
0gia
Chng
minh.
v
0
ngun
l
na
liờn
tc
trờn
(tng
ng
na
liờn
tc
di).
Chuyờn
ngnh:
Toỏn
tớch
Mnh
1.4.
Phng
phỏp
nghiờn
cu
nh
lý
tn
ti
nghim
yu
Caratheodory
ca
bt
ng
thc
vi
bin
phõn
c
trỡnh
(1.4.
B )Dliờn
:
b
b
chn
trờn
n
vi
=
sup
||&(,
a:)
Il
<
oo;
(ii)
compact
a
phng
nu
vi
mi
im
X
e
X
cú
lõn
cn
u
(
x
)
sao
cho
hn
ch
tc
liờn
quan
n
ỏnh
x
nghim
yu
Carathộodory
khi
ỏnh
x
v
tp
rng
buc
b
b
(
(
t
)
y
(
t
)
,
b
(
t
,
)
(
z
(
t
)
z
(
t
)))
<
2
L
'
M
\
\
y\\2.
(2.23)
MGi
Vng
I {Mt
2 .(1)
cú
nghim
iu
ny
hon
thnh
vic
chng minh.
<< R,
(1.2)
nim
kt
qu
/2 )i pl
( uhai
jkhỏc
)khụng
lim
2 gian
inf
<^(c
0M
n).Gi s L c Rn l mt10
thc
phõn
s
Zs
[IIKO-V(OIIIIKO-V(*
, khỏi
d mt
ibin
) v
( Z 2v
, .................................................................................................
dyu.
metric.
tp
nh
ngha
1.2.
Mnh
1.13.
nh
ngha
1.4.
(i,x)eớ
<
)II
112/(0
-2/(0
II
]
H
(,
v)),
i flun
) by
compact
u
ti
(u0,
v60
)46
., sao
tụi
thnh
vn
ny.
mi
t hon
G
[0,
Ttrỡnh
] .6thit
Ni
dung
mc
ch
yu
ly
t
cỏc
ti
liu
(c(ớ,cco(ớ))
+(ii),
t(ớ),ừ>0
+c)c
Ơ>(^o)
-tta
<^(^o(ớ))
>
(2.10)
Qua
gi
(iii)
v
v
2.3,
cú
th
suy
ra
rng
tn
mt
Mnh
1.5.
fny
)tn(ớ))
fliờn
(nB
a>UJQ
+
01
ftc
{cho
)v
dbit
t na
v
mt
tp
m
vi
(H(z(t),v),z(t)
D
M
V
I(liu
(x-u(iv)
,=cú
vUJ
))
(x
,
9(xem
vi
k[1][5]).
Mó
s:
02
0 l
kv
C
ocỏc
X
lchn
v(ớ))
khụng
tụpụ,
Y
khụng
gian
metric
T
:0.
Xtc
Cquan
(=Y ) ti
lCho
mt
Thu
thp
nghiờn
cu
ti
quan,
c
l
cỏc
bi
bỏo
mi
trong
v
by
vhca
t
ú
xõy
dng
nhng
kt
qu
v
tớnh
liờn
liờn
liờn
n
ỏnh
Chng
minh.
Mnh
1.9.
(c(ớ,
+Sớgian
z{t))
+
Ơ>(*(*))
>
0
nhiu
lon
bi
hai
tham
s.
T
trờn
u
(
x
)
l
compact;
()
:
a
b
ờn
vi
x)||
<
00.
a = sup- ||a(,
J
a
B
2.3
(Xem
[6]).
v
do
ú
(c{t,
y(t))
+
H(z{t),
u),
i(ớ)
z(ớ))
+
ip(z(t))
^(^(ớ))
>
0.
1.3.
Bao
hm
thc
vi
phõn
....................................................................................
12
li
úng
b
nhiu
bi
tham
s
u
thay
i
trong
(
z
d
)
.
iu
ny
cú
ngha:
L
:
Z
^
Mt
ỏnh
x
a
tr
y
:
X
ằ
P
(
Y
)
l
n
a
liờn
tc
trờn
ti
mt
im
X
G
X
nu
1
:
v
i
Cho
K
f
t
Y
=
l
B
khụng
(
0,
R
gian
)
n
K
Banach.
.
Nu
ỏnh
x
a
tr
T
:
X
>
K
(
Y
)
l
na
liờn
tc
(ớ,x)ef2
Bõy
gi
ta
cú
th
vit
li
(2.23)
nh
sau
ỏnh
[0,t]\[0,t]n
x
a
T P;))
va
ll
na
liờn
tc
v
va
lzX2rng
na
c
inh
ngha
1.11.
X
,suy
YGi
cỏc
tp
bt
(trờn.
Yli,
)cú
tp
cmi
cỏc
nm
trong
Ta
t
(2.3)
rng
vi
c
Gú
Ltt
, Tti
lõn
U
V
(y(0ii
u(<
)ta
sao
cho
vi
(ờn
utp
,[o,ớ]n/
vcon
Gkhỏc
UXM
V,( 2.1)
Sliờn
( Lc
(tc
u ) ,di
qY.
+thỡHl
(-,
0\u
ỡ, v
1K
,hcn
2Mt
,l
.ra
.a
.X
ix
ú.nghim
(v
M
V
I
l
tc
(ô0,
) YZ
\
Gi
s
Tp
yu
Carathộodory
ca
giỏ
tr
ban
D
IK
ký
hiu
(ii)
ỏnh
Vúi
mi
0S=A
tr
<
na
sca
tc
T,0mi
Khi
ú
l
úng.
s
cD
Xvn
mt
tp
khi
Ii(ớ)
-liờn
lim
ngoi
nc
cn
nghiờn
x
nghim
yu
Carathộodory
khi
ỏnh
x
rng
buc
nhiu
lon
bi
hai
Nu
cỏc
ỏnh
x
a
tr
pQ
:liờn
Xcu.
>
K
(v
Y
)tp
v^o)
tp
:u
V
b.A
(cz )Xl
na
liờn
tctham
trờn
n (iii)
ta
compact
nu
hn
ch
ca
nú
trờn
mi
compact
l
compact.
C
h o Xtp
(chng
ztrờn
dtc
a
)aVny
vbctr
]Y.chỳng
(sao
z 2giỏ
, bao
dtụi
lch
hai
khụng
gian
metric,
UQ
G
Z1
v
VQ
G
z2
lkhi
u m
2 )li
1.4.................................................................................................................
Mt
Rtrờn
l
mt
ỏnh
x
vi
tr
li
úng
khỏc
rng.
Trong
s
ra
tớnh
na
liờn
tc
trờn
ca
(D
M
V
I
(
u
,
v
)
)
vi
mi
cho
y(X)
c
V
thỡ
tn
ti
mt
lõn
cn
U
(ặ)
ca
X
sao
cho
H
Ni,
thỏng
6
nm
2016
(na
liờn
di)
thỡ
ca
nú
cừj:
X
>
K
v
(
Y
)
,
v
vúi
mi
[
,
gi
l
tc.
t)A)t2))
-,ớ
+
ớ f ibngt
{,q{((i)
+))liờn
t*,t
(At
+tvi
(1
+y2/(0
<^(t)
( (Xto, trờn
i{ +
(1
A)t2)
> 0, (2.4)
Chng
minh.
2{=>
Thc
cht,
vi
mi
0
<
s
<
<
T
vHn
)nh
p
0
v
b
chn
mi
q
G
c(f).
(S2.1.
t
y
(
t
)
,
b
i
t
,
)
)
z
{
t
b
(
t
,
{
t
)
)
z
(
t
)
y
t
)
)
z
{
t
)
b
(
t
,
na
Hm
da
tr
H
:
Rn
=1
Rn
d
\
\
c
2/(0
gi
l
II
n
iu
mt
tp
li
Rừ
rng
(
i
)
(
)
=>
(
U
i
)
.
Phỏt
biu
bi
toỏn
(D
M
V
I=
) ll(0
v
tp
tt
c
cỏc
U
)
c
kớ
hiu
l
S
(
L
,
J
(
q
+
H
)
,
<
p
)
.
ngha
1.1.
S
dng
cỏc
phng
phỏp
ca
gii
tớch
a
tr,
phng
phỏp
bin
phõn,
...
LUN
YN
THC
s
TON
HC
s.
Chng
minh.
(na
liờn
tc
di)
thỡ
tớch
-cỏc
pQ
X
:
X
>
K
(Y
X
Z)
c
xỏc
nh
nh
sau
(v
q= bao
+
CQ,
c
+ĩJ( fx
( uSnh
) ( -L ,
X)
ait,
+VN
bit,
x)ỹJ
:tp
G
cHC
( t , x )L>+:0.ZH ^, Xi pl
) . mt(2.27)
1.6.
i)nh
Phn
trong
n -2/(011
t Av
úng
Akhụng
l
cỏc
d-a
tc0)
cỏc
im
cho
trc.
Cho
Xqu
lX)
mt
gian
Banach,
hm
LUN
THC
sli;
TON
sngha
khỏi
nim
kt
khỏc
................................................................................
Gi
s
H0tp
:t )Mn
=4
Mn
l
ỏnh
x
b
nhiu
bi
tham
s
V} thay
i
(13
Z 2 ch
,
c
ỏnh
x
v
rng
buc
b
nhiu
lon
bi
hai
tham
s
khỏc
nhau.
Hn
na,
cũn
y((a;))
c
V.
[0,t]\[0,t]ni
7 x tr
x
(
x
(
s
)
=
(
f
i
)
)
+
b
(
f
i
,
x
{
t
ỡ
)
)
u
{
t
ỡ
)
]
d
ftrờn
i .ta
(2.11)
0
0
0
0
D
thy
rng
nu
tn
ti
mt
nghim
cho
bi
toỏn
(1.1),
thỡ
u
l
mt
nghim
ca
(cừ
)^)
=
ừ(.F(:X))
T
B
2.2
ta
suy
ra
S
(
D
M
V
I
(
u
,
v
)
)
khỏc
rng.
Vi
dóy
bt
k
cho
trc
nh
lý
1.4
(Xem
[4]).
H
Ni,
thỏng
6
nm
2016
(
H
(
z
(
t
)
,
v
)
H
(
z
(
t
)
,
v
)
,
z
(
t
)
z
{
t
)
)
<
0.
(2.29)
LGi
c
Rn
khi
v
ch
khi
vi
X,
y
bt
k
thuc
L
,
x
V
{
H
{
x
)
H
{
y
)
,
X
y
)
{
t
)
)
z
{
t
)
)
<
2
L
'
M
\
\
y\\2.
Ta
xột
mt
lp
cỏc
ỏnh
x
a
quan
ng
hn.
Gi
s
Z
i
,
d
i
)
v
(z
,
d
2)
l
hai
khụng
gian
metric.
Gi
thit
rng
tp
li,
úng,
nh
x
a
tr
T
:
X
=4
Y
l
mt
tng
ng
m
mi
X
e
X
cho
ta
mt
tp
khỏc
(
c
(
t
,
y
(
t
)
+
H
(z
{
t
),
v
)
,
z
(
t
)
z(ớ))
+
<
p
{
z
{
t
)
)
Ơ>(z(ớ))
>
0.
thuyt
khoa
hc
vi
mi
t
G
L.
2 cú
Do
thi
v
trỡnh
hn
nờn
vn
khụng
trỏnh
khi
nhng
u
tiờn
ta:ch
ra=4rng
Sl(X
D
Ix )uchc
,=Tp
vtr
)v
tp
im
viúng,
mi
(lớ,A,
Vkhỏc
) (2.13)
e mi
Zrng
\>X
Mnh
1.6.
(pQ
PMi )V
{tớnh.
pI)chn
{tl
xcLL
)lun
X
Pmt
itp
(^x0.
)s
Cho
X
lgian
khụng
gian
tụ
pụ
tuyn
l
li
nu
Va,
b li,
vi
A
Gi
scỏc
H
Rn
Mn
mt
hm
a
l
mt
tp
con
a
tr
vi
giỏ
tr
khỏc
rng,
úng,
li
v
n
(
(
u
))
Gi
s
rng
tn
ti
mt
v
0
Chng
2.
Tớnh
n
nh
ca
bt
ng
thc
vi
bin
phõn
...................
15
dDo
)
.
iu
ny
cú
ngha
l
H
:
Mn
X
z
=4
Mn.
Tng
t,
ta
cú
th
chng
minh
rng
ú
CQ
G
S
(
L
,
q
+
H
,
(
p
)
nờn
S
(
L
,
q
+
H
,
<
p
)
l
úng.
ra
liờn
tcx
(xmt
D
VAI (u
,ỡ
)na
khi
c
ỏnh
x
vnu
tp
bucliờn
b nhiu
Mt
ỏnh
tr
c
gi
tc
trờn
lvi
na
tc
mi
2 tớnh
2 0liờn
Vỡ
LVi
b
chn,
tn
ti
hng
s
M
sao
cho
||cII
J G)trờn
Slon
(Ta
Lti
,cú
qbi
+ hai
myM
ii)
X
G
nca
ta
Avúi
,SK
hshm
,>
xtr
cly
ntA;
(1.1)
i
2 )na
R(,2u
cth
U
Xmin
Vtrờn
vmt
-)
(ô0,
Vo),
(uu.,bo
vuvy
)trờn
Gỏnh
SM
(
MaVmi
((ZuTĩ
Cho
Fvi
:kin
=4
K
a
liờn
vúi
cỏc
giỏ
tr
nÊ,õy
n )t\u\
n (,tc
n thay
n, ,dvkhỏc
n) ). tc
zl
0;
khỏc
rng
L
c
Mn
b
nhiu
bi
mt
tham
s
i
trờn
i
l
L
l
rng
na
p
{
liờn
x
)
tc
c
Y,
p
{
x
(tng
)
c
ng
gi
na
l
giỏ
liờn
tr
tc
ca
di).
X
Vỡ
x
cú
th
vit
nh
(iii)(wn,v)
iu
ban
u
Cú
a
ra
c
mt
s
iu
kin
m
tớnh
n
nh
bt
ng
thc
vi:
khim
khuyt,
tỏc
gi
rt
mong
nhn
c
nhng
gúp
ý
quý
bỏu
ca
Quý
Thy
Cụ
Tuy
nhiờn,
nu
z
(
t
)
(
t
thỡ
tớnh
n
iu
ngt
ca
H
(
,
v
)
cho
ta
Z
.
Gi
s
(
,
z
)
,
(
y
,
z
)
S
(
D
M
V
I
(
u
,
v
)
)
.
Ta
cn
ch
ra
(
,
z
)
=
(
y
,
z
)
.
Gi
Gi
thit
rng
ớ
=
Ati
+
(1
A)t
v
cho
t
=
ớ
+
i{v
ớ),
vi
V
G
L
2
C
h
o
T
:
X
ằ
K
(
Y
)
l
ỏ
n
h
x
a
t
r
úng
v
compact
a
phng.
Khi
nh
1.5.
2+oo] l mt hm li na liờn tc di thc v
A
ena
[0,1]
cú
ca
vngha
itapta
:tc
ằ
Do
ú,
cú
l
liờn
trờn
na
liờn
tc
di).
lõn
cn
U
X
Xsuy
ca
(chng
u(tng
v [0,
sng
aTo](A)
c(00,
hrng,
ol
M
uM
L
(V(t
utrờn
),iu
,xH
, Rn
0minh
Thờm
na
2.1.................................................................................................................
Phỏt
tham
s
khỏc
nhau.
hon
thnh
ta
ch
cũn
phi
ch
ra
rng
S
(
L
,
q
4H
,
i
p
)
li.
Gi
im
X
G
X.
(ii)
Hm
a
tr
H
:
Rn
c
gi
i
p
gi
n
ờn
mt
tp
li
Do
U
(
t
)
b
chn
trờn
,
a
v
b
b
chn
Q
nờn
t
(2.13)
ta
suy
ra
{ặfc}
Chỳng
tụi
xột
bt
ng
thc
vi
bin
phõn
D
I
(
(
v
)
,
L
(
u
)):
x
(
t
)
H
,
(
p
)
.
Ta
ra
t
gi
thit
vi
mi
)
G
ớ,
tn
ti
P
a
>
0
v
p
>
:
Gi
ss
rng
U- Rtn
G ti
KR mt
tha
món
Khi
ú
lmón
mt nghim ca bibtoỏn
rng.
Gi
rng
lng
vụ
hng
]'
>RT
tha
(2/(0
2/(0,2/(0
-tr
A
{cho
t. )iKhi
}n(1.2).
>tr
II
(itnt)úng
-A[0,
yU
(v
t )]0cng
U
U
Z
Tm
=Ê
Mn
l
mt
ỏnh
xvgi
vi
giỏ
li,
khỏc
rng.
Cho
ỏnh
x X
a,=tr
sau
(2.12)
bin
phõn.
(i)
Tn
ti
C*
G
H
(ựJ
,
)
sao
vi
mi
G
v
G
u([0,
,tyhn!
cỏc
bn
bn
thõn
tỏc
cng
nh
bn
lun
vn
ny
c
hon
iii)
s
Nu
)
n
t
l
A
7^
o
0
t
Lebegues
h
ỡ
A
=
i
n
ca
t
I
,
t
A
ú,
=
tn
t
ti
.
mt
tp
con
l =
c{(thiờn
](u) vi
i)
Zo(0)
n
na
ntheo
n ,)mt
v
/i
G
(0,1].
Ly
<*
G
i/(t
+
i{v
<).
Khi
ú
(2.4)
kộo
ú
na
liờn
tc
trờn.
Mt
ỏnh
x
a
tr
T
c
gi
l
úng
nu
th
ca
nú
/V
Xm
G
y0
Xa
+
(1
)6
A.
s,
bi
toỏn
bt
ng
thcbt
vi k
binx ,phõn
tỡm
ra( xu) ,e yL*v
uL*(y
): sao
cho
vi
L
cchn
Rn
khi
v
ch
khi
vi
yH, ((Ê(tz)p(l
L[0,ớ]\[0,ớ]n/
,).phi
X*
Êz ( H
e>H
),xH
0i
Mnh
1.10.
biu
bi
toỏn
................................................................................................................
15
thit
rng
C1,
C2
G
S
(
L
,
q
+
H
)
Ta
cn
chng
minh
rng
{
H
(
z
(
t
)
,
v
)
t
,
v
)
,
t
)
z
(
t
))
0
(2.30)
b
u
vi
||CII
1
=
sup
IIX
II
v
ng
liờn
tc.
T
nh
lý
Arzela0(1.1).
sao( cho
{
t ) 1.1.
-ng
y (=t )a\u,thc
tx,bin
t+phõn
) )bV
z({tet, )K,
,wy({tt)), ) { ) Nguyn Quang Huy
(Rtb\,(<
( thm
)){cho
x-na
(bt )i t liờn
1.2.
HMnh
: (M
XBt
=4
tr
di
giỏ
li,
(Tht
tV
,tp
vy,
(con
tX) nhiu
)*I 2-l
cmt
(bi
tR,
, ymt
{HNG
t vi
))a
+ớe[0,T]
H(s
(z
(V,
t =),^(0vKHOA
H
( zvi
(vi
t )mi
, cỏc
v ) NGUYN
, z2
(,t )tr
- khụng
z) (THNH
t )) rng,
< 0. (2.18)
H
:c Rn
=4
b
tham
v)sao
thay
trờn
tc
Mn X
NGI
DN
HC
ANH
P
:
X
Ptc
{-
.i
v
mt
c
[0,
T
]
m
I
2)
G
^(x)}
l
mt
tp
con
úng
ca
khụng
gian
1x7.
(
c
(
t
,
xn(t))
+
o*(t),
cn(t))
-,TaTS.
(úng
tdti
)2))0.
0; l H :(2.7)
Do
[0,
t
]
\
[0,
t
]
n
I
c
[0,
T
]
\
I
,
nờn
vi
t()tV
G
])pt-p(z
nh
ngha
1.9.
mi
uvy
'c(M
eXỏnh
L
vy,
Êớ*,
Snh
(D
M
V
Ion
(bt
u)0thc
,nng
v+0 C
)<^(ớ
)( \ni
):,S+ymi
(ỏ+
()<))
u<
v<
)ta
(>uV(,I)1.
^1
2.2.
Tớnh
n
nh
ca
bt
ng
sup
llyII
v
bin
eD
phõn
ƠM
,c
xI-[0,
{usuy
lỡFn+(ra
||z||),
(1.3)
0 , v 0 )Ke((2.5)
(
+
ji{v
C
)
[(V
>
0J^O)
v
vỡ
w<^(t)
Cho
x
a
tr
F
:
X
ằ
n
h
x
r
:
X
ằ
) Xl
Ta
cú
mt
vi
khỏi
nim
sau:
Tp
2.2.
A
Tớnh
mi
n
Va,
b
e
ca
A
thng
thc
a
v
vi
bin
6
phõn
xỏc
......................................
nh
bi
17
( xta
* ,suy
y w
- ra
xt)tn
+
i(pLmt
((yu) )-dóy
(c(ớ,
p (con
xx)( tca
>) ) 0+
=
y,*v, y)c
- x)) )+ký
i hiu
p {ey[0,
)l-T],
( xp k(}x )hi
> t
0.ti
Ascoli
ti
{
x
{
x.
(
)
e
S
,
H
,
,
Vớ
(1)
k }((cng
compact
yu.
s
Aci
G
Svy
{atp
, tham
+)Mn
){+
LyR'ú,
M
-)
y\\2
+phõn
'v
\<
\hn
bF(K{P
tx
,vúi
yL>
{+
te)q,M
)Nguyờn
-p0H
by=
ttD
,1pliờn
) tc.
) \ \v\ Huy
\Xột
y\\.{toỏn
(2.24)
iu
Cỏc
ny
iu
mõu
kin
sau
lII
Do
tng
((1
ttrong
={nzA)C2
tx)RL
i)))v
ỏnh
vỡ
(y
a
ztr
zQuang
)t.||x||).
sup
II
:\+zy\ng
G
Ơbin
t:,(Mn
)(,(,
(l
z
=4
Kn.
Ta
bt
ng
thc
vi
s
M
V
) ,- bi
L
u ) )
b
t 2e Cho
[0,T
]Xl\l
khụng
,t thun.
Cho
KlGi
lxột
mt
li
úng
:
K
wrng
=
+
e(v
U
G
>
nh.
R
gian
metric.
Mt
xmi
a
ờn
F : X ằ K ( Y ) ,
zna
H
(
- tc
, 01.2.
v trờn
) sln
cht
trờn
M7^ỏnh
vi
Ztr
Gna
z 2 h, liờn
ta cú
2Do
liờn
v
0, ớp{u')
X
útc
Mnh
0 (P
n F l : X > K ( Y ) ,
(ii)
Vi
mi
t\theo
<
Cx&
({phn
Yt<
)M
=kộo
{tip
D
Ê(H
:thc
úng};
z(0)
-^
\=+
F
y. T
)x-(hm
-)(u*,u'
yn)v{tớnh
(F
)i,)(\D
\xpna
d)l
ru)
ỡcompact
<
JVa:
h
(G
ygiỏ
)trờn
\\.\ti
K
(ban
yca
)i{>-tu
y0.
(Fyy(nờn
)D
\ )\I \d)tn
v. - ti
+
ip{ự)
Trong
liờn
tc
ỏnh
x
tp
nghim
yu
DO
S
(
L
(
U
0),
q
(
)
i
)
u
(w0,
^o)
mt dóy
con
x
Tớnh
li
ca
99
:Y
0y
Vi
mi
,
thỡ
bao
vi
phõn
vi
tr
(
)
2/(0,2/(0
t
=
II2/(0
y
{
t
)
\
j
\
\
)
{
t
\v
(2.28)
theo,
t
D
dng
thy
rng
mt
ỏnh
xnh
n
iu
l rng
>gi
n
ngc
viunhn
mi
V &chng
V, ỏnh
xng
XcaI^
H
(x,
V)ngt
lsau
na
liờn
tc
trờn iu,
n
Tng
tKnh
minh
lý
2.2,
ta
thy
S(DMVI
(u,t pvnhng
) ) gl liờn
: (ỡ)
Tỡm
e
tha
món
bt
thc
bin
phõn
t
)
=
a
{
t
,
{
t
)
)
+
b
t
,
{
t
)
)
z
{
t
)
(2.14)
compact
ờn
mi
tp
con
b
chn
ca
X
c
gi
l
na
liờn
tc
trờn
hon
ton.
vi
bt
k
AP
[0,1].
tn
cjj
G Hchng
(ci)
v
C2
G na
H (c2)
c
F
X
(
)tng
lthit
0K:
nxtrng
() minh.
tc
trờn;
(2.24)
an)vy,
, ta
ỏF
cFlý
iu
kin
sau
l
tng
Do
vy
tuyn
tớnh.
minh
tớnh
liờnsao
tccho
trờnvi
cabt
(T
F: nh
n>
R)cú
(v
xG
)Ygi
F
(Tht
Fliờn
( xcú
) ng:
lti
na
liờn
tc
trờn.
C
Suy
ra
U
K
cchng
0R)=
Carathộodory
vi
ng
vi{H
bin
phõn
s
c
thit
trong
nh
{cfc},
ký
hiu
l
0J
ĩQ.
T
nh
lý
2.1
ta
suy
ra
S;I ((lớ,
DM
VlýI (2.19)
(2.2.
u , v ))
Tp
nghim
Caratheodory
bi
toỏn
ny
c
kớ
hiu
l
slp
(D
M
V
!>)).
K
{yu
Y
)Si
{{sao
D,sbt
Ê=cho
P
{[)tp
Y, ca
)vthc
k:)iằ
D
l
compact};
(77(
z
(
t
(
z
(
t
)
,
v
)
,
z
(
t
)
z(ớ))
>
0.
x
{
t
x
)
/
a
(
,
x
p
)
)
+
b
{
p
,
x
{
i
)
)
u
j
{
i
)
]
d
p
(2.8)
n
n
n
n
n
li
thỡ
cha
chc
ỳng.
iu
trờn
M
Ký
hiu
(
L
,
H
i
f
)
l
nghim
ca
bi
toỏn
ny.
Ta
vit
X
=
^
l
o
hm
tc
Giti
s ( uI0 =, v/30 )u. /4 <Ê>(t
thỡ m )+=/x(
0. Khi
ú, t
(2.26)
v
(2.28)
vi mi t [0, T ] \ (1.4)
I tathi
cú
t))
/i)ớ^(t).
XGi
Et
F(ớ,
:r),
tt(kÊt,)x)[0,
T(
]n) ,l
x
(
t
)
=
a
(
t
,
x
(
)
)
+
b
(
,
x
ớ
t
k
c
G
L
trờn
n
ta
ch
cn
ch
ra
F
úng.
thit
rng
(
)
c
mt
v
vi
mi
t
e
[0,
T
]
\
I
k
Vúi
mi
t
G
[0,
T],
chỳng
2 ,ta cú
1
r
Sau
ú
ca
nghim
thit
lt Cỏc
ti
()()X
u{ul0tcu
,<,)vm
v(x
&
D
uYsn
)))- U
c<9(2L
.ca
Hn
na,
k)
||2s
nghiờn
ca
da
ti
tham
Q
0 ,;{vt0)chớnh
úng
plý
(V
thỡ
( (t(.,
ỏnh
i{0{t,,cj0)
m
)Rl
m
(Nu
(y+
t2.2.
yc
)tc
bO)
,evUchỳng
minh.
)x
)),ztụi
tt)ch
-Sp)khỏc
b(li};
{ tM
,erng
yVyu
)Carathộodory
's
M
+liu
' L(x
kho
- ytrong
.9, k
cYliờn
Ptớnh
{(-L
=
D
P
Y
:-i{tp
D
U
=
{trờn
F{Ict(()uv
, vchn.
Vc
eL K
,bk)ỡ\o\lp
( i i(ii)
)nh
Sv)A
,{)(F
V
)w
<
P
R )Q
R ) vi
Rz)b
gian
ca
hm
.H
nh
lý
Tp )(2.18)
(2.19) ta (1.5)
suy
UJ) ( l
i ) úng;
G ớS (v
Lz(0)
( u(0()-t,^(011^112/(0
(+t ) b)< MOII2KO
Ht x-(2/(OI|
. ), vu2- )j ,k <
, V t Gv
(2.2)ra
=kc, x( xt ,k )x- 2/(011
Bõy
gi
(2.5)
suy
dóy
hi
t
tia
(0,
ặo)
(+t(1
z.[0,T],
k,
kA)ũ;
G Mm khi k
(ỡ)Gi
ỏnh
x
tr
[ ara
,b,
b ]c)G
=ớ/a
{x
Ê9al|.A
: thu
Xiu
=c
Xkin
a +iu
0hi
<(c
At),
nh
lý s
2.3.
=
1,2,...
suy
ra
(x
Ta
ngc
li
hay
nh
lý
c
chng
[5]
rng
(a,
món
cỏc
(
)
,
(
B
)
v
u
E
Z
i
,
v
E
z
l
0,CJ0)
0
rca
({ADúng
)NI,
Fthc
{ :x D
) vilU'
H
Kh
ú
tn
lõn
U'
(w
)uQ2016
vi
X V'
U Xgiỏ
V sao
Trong
chng
ny,
ta
bi
toỏn
bt
bin
phõn
vi
tr cho, 2vúi
C
v (ti
Yyr1.12.
)1mt
= Pl
vúng
( Ycn
) nxột
C X
)V'=
Ê=0ng
P
(2016
YcVo)
)Y.
úng
vc li};
H
NI,
(iii)
nh
ngha
tp
(Q)
vi
mi
tp
Mi)
ợ/(*)ll
=
llử(0)
ợ/(0)Il
+
J
J-\\(y)
y(^)ll^
(2.25)
z(0)
=
Xo,
00, trong ú U ) k G S(q
( L ,+c UJ\,
( t k , xc
k) +- ci)
H , ớ+p )Xvi
1, 2,... >Ta0 suy ra tn
A)k- -=
cú
mt
nghim
yu theo
ngha
minh.
G
{u(V
q()t+toỏn
VCarathộodor.
<)
+((>0,
{EubK.
<^(ừ)
(2.15)
(1.1)
tc
l Uv)
nghim
thit
{=u,
t )-(1.1).
a)F(u))
()-t,, c<
yl
,i)))pỡ/(ớ)),
+
((ớ)
t0,
tz){)b
tz)(>)chn.
t )0.
<. 0.
(2.6)
(2.20)
cỏc
im
trc
gi
Rcho
mi
(u,
GlU'
X V,vSca
(cỏc
L (c(ớ,
(bi
,)
H(.,
vsau
pttỳng
khỏc
rng
