BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
TRƯ Ờ NG Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

P H Ạ M THỊ HOA

PH Ư Ơ N G P H Á P X Ấ P XỈ GALERK IN
ĐỐI VỚI PH Ư Ơ N G T R ÌN H PARABO LIC
VỚI Đ IỀU K IỆN B IÊ N H Ỗ N HƠP
DIRICH LET - N E U M A N N

L U Ậ N VĂN THẠC s ĩ TO Á N HỌC

H à N ộ i, 2016


B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O T Ạ O
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

PH Ạ M TH Ị HOA

PH Ư Ơ N G P H Á P X Ấ P XỈ GALERK IN
ĐỐI VỚI PH Ư Ơ N G T R ÌN H PARABOLIC
VỚI Đ IỀU K IỆN BIÊ N H Ỗ N HỘP
DIRICH LET - N E U M A N N

LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ TOÁN HỌC
C h u y ê n n g à n h : T o á n g iả i tíc h
M ã số : 60 46 01 02

N gười hướng d ẫn khoa học

TS. N guyễn T h àn h A nh

H À N Ộ I, 2016


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trìn h bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin chân
th à n h cảm ơn trường Đại học Sư P hạm Hà Nội 2, nơi m à tác giả đã
hoàn th à n h chương trìn h cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tìn h và tâm
huyết của các Thầy, Cô.

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T S . N g u y ễ n
T h à n h A n h , người T hầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tậ n tìn h và
giúp đỡ để tác giả có thể hoàn th à n h luận văn này.

Cuối cùng, xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn, những
người đã giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tậ p và
hoàn th à n h luận văn của mình.

Hầ Nội, ngày ... tháng ... năm 2016
Tác giả luận văn

P ham T hi Hoa


LỜI CAM Đ O A N
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của T S . N g u y ễ n T h à n h A n h .
Trong quá trìn h nghiên cứu, tôi đã kế th ừ a th à n h quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn

trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hầ Nội, ngày ... thắng ... năm 2016
Tác giả luận văn

P ham T hi Hoa


M ục lục

M ở đầu

4

1

K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị

6

1.1. Không gian S o b o lev ....................................................................

6

1.2. Không gian phần tử hữu hạn

2

................................................

10


1.3. Một số b ất đẳng t h ứ c ..................................................................

11

X ấ p x ỉ G a le r k in đ ố i với p h ư ơ n g t r ì n h P a r a b o lic tu y ế n
t í n h với đ iề u k iệ n b iê n D ir ic h le t - N e u m a n n

13

2.1. P h á t biểu bài t o á n ....................................................................

13

2.2. Một số đánh giá tiên n g h iệ m ..................................................

17

2.3. Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ G alerkin nửa rời rạc

. . . .

21

2.4. Sự hội tụ của nghiệm ỡ - xấp x ỉ ............................................

27

K ế t lu ậ n


36

T à i liệ u t h a m k h ả o

37

3


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trìn h vi phân cung cấp các cơ sở của nhiều mô hình toán
học cho các ứng dụng thực tế cuộc sống. Những tìn h huống thực tế có
th ể dẫn đến nghiên cứu các bài to án biên đối với phương trìn h đạo hàm
riêng dừng hoặc phụ thuộc vào thời gian với những điều kiện biên khác
nhau. M ột trong những phương pháp tiếp cận quan trọng bậc n h ất cả
về phương diện lí thuyết và ứng dụng đối với các bài to án này là phương
pháp giải số.
Trong khuôn khổ đề tà i luận văn chúng tôi quan tâm phương pháp
xấp xỉ G alerkin cho bài to án biên ban đầu đối với phương trìn h parabolic
với điều kiện biên biên hỗn hợp Dirichlet

Neum ann. Bởi vậy, dưới sự

hướng dẫn của TS. Nguyễn T h àn h Anh, tôi đã chọn đề tài: " P h ư ơ n g
p h á p x ấ p x ỉ G a le r k in đ ố i v ớ i p h ư ơ n g t r ì n h P a r a b o lic v ớ i đ iề u
k iệ n b iê n h ỗ n h ợ p D ir ic h le t - N e u m a n n " .

2. M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tín h giải được, sự hội tụ và ước lượng sai số của dãy

nghiệm xấp xỉ G alerkin nửa rời rạc của bài toán.
4


3. N hiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu tín h giải được của bài to án trong không gian Sobolev.
• Nghiên cứu các đánh giá tiên nghiệm, sự hội tụ và ước lượng sai
số của dãy nghiệm xấp xỉ G alerkin nửa rời rạc của bài toán.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài to án biên ban đầu đối với phương trìn h parabolic với điều kiện
biên hỗn hợp Dirichlet

N eum ann trong miền bị chặn.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu tà i liệu th am khảo theo phương pháp: Hệ thống lại
các kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp, tín h chất của phương
trìn h đạo hàm riêng, không gian Sobolev và m ột số b ất đẳng thức.
• Phương pháp xấp xỉ Galerkin.

5


Chương 1
K iến thức chuẩn bị
1.1.

K hông gian Sobolev
Cho


là m ột miền trong Mn.

ơ °°(fì) = {u : fỉ —> R khả vi vô hạn } = n ơ fc(fỉ).
ơ£°(fì) ký hiệu các hàm trong

với giá com pact.

ư { £ t ) = {u : rỉ —»• M \u đo được Lebesgue, ||u||i p(fì) < oo}, trong
đó |MU*.(Í1) = ( f |w|prfa;>)
L}oc{íì) = {u : n

(p > 1).
R \u e L 1^ ' ) , Vfi' c c n } .

Cho trước m ột đa chỉ số a : ký hiệu:
iOla l7/(7*^
D au(x) = d x a ì

= d x ? ...dx%-u.

K hông gian Sobolev là m ột lớp không gian được dùng rấ t nhiều
trong quá trìn h nghiên cứu các phương trìn h đạo hàm riêng. Để đi đến
định nghĩa của lớp không gian này, trước tiên chúng ta phải tìm hiểu
khái niệm "đạo hàm yếu".
Giả sử u là m ột hàm khả vi. Khi đó với mọi "hàm thử" ộ € C£°(fỉ), sử

6



dụng công thức tích phân từng phần ta th u được đẳng thức sau

n

n

Lặp lại quá trìn h đó |aí| lần, tương tự ta có
u D aậ dx
Q

íì

với mọi đa chỉ số a. Chúng ta có định nghĩa của đạo hàm yếu như sau:
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Với một hàm u € L]0C{Vt), ta nói rằng
yếu của u ứng với biến

ký hiệu

Xj,

V

=

D jU ,

nếu

V


V

ỉà đạo hàm

€ L]oc{£l) và

với mọi ộ G Ơ^°(r2).
Bằng cách quy nạp, chúng ta cũng có th ể định nghĩa đạo hàm yếu
cấp cao như sau:
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Nếu u,
OL của u, viết là

V

V

€ L]oc{£i) thì

V

được gọi là đạo hàm yếu cấp

= D au, nếu

! vệdx = ( - i )w / tíD>dx
íì

íì

với mọi ộ € Ơ “ (Í2).

Dựa vào tín h chất khả tích của đạo hàm yếu, ta có th ể đưa ra định
nghĩa của không gian Sobolev.
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Không gian Sobolev được định nghĩa bởi

w k’p{n) = { u : D au e Ư{n), với mọi 0 < H < k } ,
7


với chuẩn

K hông gian Sobolev w k,p{ũ) được định nghĩa như trên là không
gian Banach khả ly.
Tương tự như không gian L 2(r}), trong các không gian Sobolev
w k,p(ù), trường hợp p = 2 được dùng nhiều n h ất trong các nghiên cứu.
Vì lý do đó, sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu chủ yếu không gian w k,2{ũ)
trên cơ sở L 2{Ti). Vì không gian đặc biệt này được dùng thường xuyên
hơn các không gian Sobolev khác nên nó có ký hiệu riêng w k,2{ũ) =
H k(ũ). Người ta chọn ký hiệu này vì H k{Ti) là m ột không gian H ilbert
với tích vô hướng được tran g bị như sau

0<|a|
khi đó, chuẩn của H k( rỉ) tương ứng với tích vô hướng được xác định như
sau

1/2

Chúng tôi giới thiệu nửa chuẩn

Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Ta kí hiệu

(rỉ) là bao đóng của c

(rỉ) trong

vv*’p (ft).
Do đó, u € w ị ’p (í]) nếu và chỉ nếu tồn tại các hàm u m € c
cho um —¥ u trong

(rỉ).

8

(rỉ) sao


Ta nói

(fỉ) gồm các hàm u £

(fỉ) sao cho "Dau = 0 trên d ũ "

với |a | ^ k — 1.
C h ú ý: Ta viết H ị (fì) = w { f ( f ì ) .
i7 -1 (í}) không gian đối ngẫu của H q(rỉ).
G iả sử X là m ột không gian Banach.
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Không gian Banach ư (0, T ; X ) , không gian L p (0, T ; X )
bao gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T] —»• X với

với 1 ^ p < oo và

o 11^ 11^ 00(0T.x \ '■= ess sup ||w (t)\\x < 00.
Như vậy, trường hợp riêng của không gian trên gồm tất cả các hàm đo
T

được u : [0,T]

H ữ(Q,) với ||^H i 2(ojr;íí01(n))

Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Không gian

c (0 ,T ; X )

llw(^)llíí01( n ) ^ J

< 00 •

bao gồm tất cả các hàm liên

tục u : [0, T] —> X với
u \\c{0,T-,x) ■= ™ax IIu (í) II* < oo.
Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Không gian Sobolev W1,p( 0 , T ] X ) bao gồm tất cả
các hàm u £ L p

X ) sao cho đạo hàm yếu u' tồn tại và thuộc

L p (0, T; X ) . Hơn nữa,
{

ess sup (IK í)ll* + ||w '(í)||*) (p = o o ) .
CKí^T

Ta viết H 1 (0, T; X ) = ỊT 1’2 (0, T; X ) .
9


1.2.

K hông gian phần tử hữu hạn
Chúng tôi giới thiệu không gian phần tử hữu hạn.

Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Giả sử 0 là một miền bị chặn trong R d (d = 1, 2, 3).
Đ ể đơn giản, giả sử Í] là miền đa diện, nghĩa là
i) ũ =

U K

KETh

(h > 0);

ii) Mỗi K G T/j là một đa diện đơn (tứ diện, tam giác, đoạn ứng
với d=3, 2, 1) đóng với K 7^ 0 và có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng h
(đường kính của K: d ( K ) = m a x \x — y\);
x,yeK

ni) Nếu K ị , K 2 € Tỵ và K 1 7^ K 2 thì K i n K ĩ = 0Mỗi K G Th gọi là m ột phần tử hữu hạn. Tập Th gọi là m ột phân
hoạch đơn (đôi khi cũng được gọi là tam giác phân) của rỉ. Ký hiệu
x hr = {Vh G ơ ° (íỉ) : vh\K € P r \ / K G Tft}, r = 1, 2, . . .
Trong đó Ỹ r là kí hiệu tậ p các hàm đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng r.
Xfr gọi là không gian các phần tử hữu hạn bậc r.
Ta có kết quả quan trọng sau đây:

Đ ịn h lý 1.1. [7, tr.93] Giả sử Th là một phân hoạch đơn của Q., m = 0
hoặc m = 1 và r là số nguyên, r ^ 1. Khi đó tồn tại ánh xạ

IT
sao cho
V —

ở đó

n

< G h T+1- ~ |v|fl.+1(n)

.V
H m (ĩl)

c là hằng số không phụ thuộc vào V.
10

(Vu G / T +1(fi)) ,


1.3.

M ột số bất đẳng thức

• B ất đẳng thức Cauchy
a2 + b2

ab <

2

• B ất đẳng thức Cauchy với e
b2
ab < ea2 + —
4e

(e > 0).

• B ất đẳng thức Young
1
1
Cho 1 < p, q < oo, — I— = 1. K hi đó
p
q
aP

bq

ab < — + —
p
Q

(a, b > 0).

• B ất đẳng thức Young với e
ab < eap + C(e)bq

(a, ò, e > 0),

với C{e) = (ep) vq 1.
B ất đẳng thức Holder
Giả sử 1 < p, q < oo, — I— = 1. Khi đó nếu

p

U

q

G L p(ũ,):

V

G L q(Q)

th ì
< |M |iP(n) • |M |L,(n).

/
n

B ất đẳng thức nội suy đối với chuẩn L p
Q
_Q
G iả s ử l < s < r < í < o o v à — = - -ị--------- . Khi đó nếu
r
s
t

Ls(fỉ) n
th ì U G Lr(fỉ) và
I II

II II£

Il IIị _Q

M \Lr(Q) < IM I l «(íĩ ) ' IM I l *(íĩ )-

11

U

G


• B ất đẳng thức Gronwall dạng tích phân
Cho x ( t ) là hàm khả tích, không âm trên

[o, T] và th ỏ a m ãn với hầu

khắp t b ất đẳng thức tích phân
t
x ( t ) < Cl j

x{s)ds + c 2

0

với Cl,

c2là các hằng số không âm.

Khi đó

x{t) < c 2 (1 + Ơie ơlí)
với hầu khắp t, 0 < t < T.
• B ất đẳng thức Poincaré
Cho

là m ột tậ p bị chặn trên

khi đó tồ n tạ i m ột hằng số Cfì

sao cho
IMU2(fi) ^ CỉiịvIfi-I(n)

12

Vu € H q(rỉ).


Chương 2
X ấp xỉ Galerkin đối với phương
trình Parabolic tuyến tính với điều
kiện biên D irichlet - N eum ann
2.1.

P hát biểu bài toán

Giả sử Í2 là m ột miền bị chặn trong M.ố ( d = l, 2, 3) với biên ỠÍ2.

Để đơn giản chúng tôi giả th iết Í2 là miền đa diện. Đ ặt
Q t = 0 X (0, T ) , Ợ = 0 X (0, + oo) với T > 0.
G iả sử r D, r N là hai miền con của
f

D

sao cho r D u r N = ỠQ và

n f N = 0.
Kí hiệu

(0 ) là tậ p các hàm khả vi vô hạn trên

triệt tiêu

trong m ột lân cận của r ử .
Kí hiệu H ị (fỉ) là bao đóng của

(íỉ) trong không gian H l (£ì).

Để ngắn gọn trong luận văn này chúng tôi đ ặt V = H ị (rỉ).

13


Giả sử
ỠM

Lu = L(x)u =

là m ột to án tử elliptic cấp hai với các hệ số dij xác định trên fi, CLịj — ũji,
Vi, j = 1, 2 ,..., d.
Gọi o(-, •) là dạng song tuyến tín h xác định bởi
It

a (u,v) =

d

ị

aiÁ X)

du dv
dx
d xj dxị

Q
với mọi u, V G V.
Trong luận văn này chúng tôi giả th iết rằng a(-, •) là cưỡng trên
V, nghĩa là tồ n tạ i hằng số a > 0 sao cho
a(u ,u ) > a;||w||^, 'iu € V.
Trong luận văn này chúng tôi xét các phương trìn h Parabolic ở
dạng:
du

~ ^ + Lu = f

( ì G o , í > 0)

dt

(2.1)

ở đây f = f ( x , t ) là m ột hàm cho trước, với điều kiện ban đầu

w(x,0) = Uo(x)

(x € 0)

(2-2)

và các điều kiện biên
u(x, t) = 0
=0

(x E r D, t > 0 ),

(2.3)

(ier»,(> 0)

(2.4)

ở đây u ữ là hàm cho trước, n là trường vector pháp tuyến đơn vị ngoài
của ỡ íỉ. (2.3) được gọi là điều kiện biên Dirichlet, (2.4) được gọi là điều
kiện biên N eum ann.

14


Để th u ận tiện, dưới đây chúng tôi ký hiệu u ( t ) = u ( - , t ) như một
hàm xác định trên (0,T), nhận giá trị trong không gian hàm nào đó của
những hàm xác định trên ÍT
Đ ịn h n g h ĩa 2 .1 . Giả sử / G L 2(Q) = L 2 (M+ , L 2(fỉ)); ư0 € L 2(fỉ). ii/ara
50 u € 1/2 (K+ , V) n c ° (M+ , L 2(Í2)) được gọ« ỉồ nghiệm yếu của bài toán
(2.1) - ( 2 .4 ) nếu u ( 0) = UQ và
Vư € V.

(2.5)

Giả sử {Vh}h >0 lừ m ột họ các không gian con hữu hạn chiều của
V, dim 14 = N h, sao cho
1, 2,

u 14

h>0
N h} là m ột cơ sở của 14 .

trù m ật trong V. G iả sử {ự)j, j =

Chúng tôi xét xấp xỉ G alerkin của bài to án (2.1) - (2.4):
Với mỗi t > 0, tìm u h(t) € 14 sao cho
/ ~ Ể f ^ VhdX + a
n

Vfl) = Ị f ^ Vhdx

n

(v v h e v h) ,

(2-6)

với Ufj(0) = u ũh và u ũh là hình chiếu của Uq trong không gian 14 . Bài
toán này được gọi là bán rời rạc của bài to án (2.1) - (2.4). Ta có thể
biểu th ị hàm u h(t) qua cơ sở
Nh
Uh{x,t) =
3=

1

Kí hiệu Uj (t ) theo đạo hàm của hàm Uj(t) theo thời gian. Phương
trìn h (2.6) trở th à n h

15


với i = 1, 2

, N h, hay

Nh
ị,
iVfe
n
Ỵ ù , (t ) / ífjífịdx + T u Á t M V i i V i ) = / ỈỰ ìV idx,

J=1
n
J=1
n
với i = 1, 2

(2.7)

, iVh.

Đ ặt
f (Pj(pidx = Tìĩịj,
n
với ỉ, j = 1, 2,

= a (<£j, <£j) và / fự)n

Nếu chúng ta định nghĩa vector các ẩn u = (wi(í), u 2( í ) , u Nh(t))T , m a
trậ n khối lượng M = [rriij], m a trậ n độ cứng Ả = [Aịj] và vector vế phải
f =

Í 2 {t), •••) fNh{t))T , hệ (2.7) được viết lại ở dạng m a trậ n như

sau
M u (t) + A u ( t ) = f(í).
Đối với hệ phương trìn h vi phân thường này, có nhiều phương pháp sai
phân hữu hạn khác nhau có th ể sử dụng, ở đây chúng tôi giới hạn chỉ xét
9 - phương pháp. Phương pháp này đầu tiên rời rạc hóa theo đạo hàm
theo thời gian bởi tỉ số giữa các số gia đơn giản và th ay th ế các số hạng

khác thông qua m ột tổ hợp tuyến tín h của giá trị tạ i thời điểm t k và của
giá trị tạ i thời điểm t k+1 phụ thuộc vào th am số thực 9 (0 < 9 < 1),
M uk+1~ ufc + A [9uk+1 + (1 - 9) u fe] = ớf*+1 + (1 - 9) f*.
L.AL

(2.8)

T ham số thực dương A t = t k+1 — t k, k = 0, 1 ,..., biểu th ị các bước rời
rạc (giả sử nó là hằng số), chỉ số k biểu th ị số lần được nhắc đến thời
điểm t k. Chúng ta lấy m ột số trường hợp riêng của (2.8):
Với 9 = 0 ta th u được phương pháp Euler tiến (hoặc Euler hiển)
11^+1_II*
M —— ^— — + A u k = ? .
Aị
16


Với 9 = 1 ta có phương pháp Euler lùi (hoặc Euler ẩn)
,u fc+1 - u*
M+ A u k+1 =
At

f*+1.

Với 0 = - ta có phương pháp Crank-Nicolson

M
2.2.

u k+1 - u k

1
+ - A (u k+1 + u k) = - (ffe+1 + f* ) .
At
2
2

M ột số đánh giá tiên nghiệm

Đ ịn h lý 2 .1 . Giả sử U G L2(K+; V ) n C°(M+; L2(fỉ)) là nghiệm yếu của
bài toán (2.1) - (2.ị ). Khi đó u thỏa m ãn các đánh giá tiên nghiệm sau:

với t > 0.
Chứng minh.
Giả sử u là m ột nghiệm yếu của bài to án (2.1) - (2.4). Khi đó vì
(2.6) cũng đúng với V = u ( t ) (với t G (0 ,T )) nên ta có:

J

Q ^u(t)dx + a (u(£), u(t)) — J f ( t ) u ( t ) d x

n

n
17

(Ví > 0 ).

(2.9)

X ét các số hạng riêng biệt ta có

/

=ỈỀ /

o

Q

= ịịh m U n y

( 2 . 10)

Theo giả th iết ta có:

a (u (t),u(t)) ^ a\\u(t)\\ị.
Nhờ b ất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta tìm
i f { t ) , u { t ) ) ^ \\f{t)\\L2(ũ)\\u{t)\\L2(ũ).

(2.11)

Sử dụng b ất đẳng thức Poincaré và sau đó sử dụng b ất đẳng thức
Young vào phương trìn h (2.9) ta được

¿|lM0llỉ><2ll/WI&(n) + fl|v«(t)||i.( 2 . 12)

Khi đó, bằng việc lấy tích phân theo thời gian chúng ta th u được với

mọi t > 0,

(2.13)
Đây là đánh giá tiên nghiệm th ứ nhất.
Đ ánh giá tiên nghiệm th ứ hai có thể th u được như sau. Chú ý rằng
ị ị h m U n ) = IM 0 IU ’T O |M í ) I U ’m Khi đó từ (2.9), sử dụng (2.10) và (2.11) ta th u được (vẫn sử dụng
b ất đẳng thức Poincaré )
18


\\U{t)\\L2{íl)^\W(t)\\L2 ^ + — ||w(í)||i 2(n)||Vw(í)||i 2(n)

^ \\f{t)\\L2(íì)\\u{t)\\L2^) (t > 0 ).
Nếu ||« ( í) ||i 2(n) 7^ 0 ta có th ể phân chia theo ||u (í)||i 2(Q) và lấy
tích phân theo thời gian
t
||/(s)||.L 2(n)ds

Hw(£)IU2(n) ^ ||wo|U2(n) + /

(t > 0).

(2-14)

0

Đây là m ột đánh giá tiên nghiệm khác.
Tiếp theo ta sử dụng b ất đẳng thức đầu tiên trong (2.12) và lấy
tín h phân theo thời gian

\u (t )\\ỉ2(n) + 2a Ị

||V u (s )||2ds

0

t

- \M\22m
L + 2/ ll/(s )IU 2(n)lh(s)II.L 2(íí)ds
0

— IIwoIIl2(o)

+2

+

J
0

Wf(r)\\L2{Q)dT 1 ds
/

(sử dụng(2.14))
t

(2.15)

19

Ta có
s

ll/(s)IU2(fi) J

\\f(r)\\m n)dr

0

d 1 ^ I I / MI I l^ r a Ì
ds \ J
\o

Do đó ta kết luận đánh giá tiên nghiệm

íll«( 0 lli.(n) + 2a

ị

llVM(s)llỉ»(n)dsj
(2.16)

t

< IKII L 2 (fi) +

Ị

ll/(s)IU2(n)ds

{t >

0).

0

Đ ịn h lý 2 .2 . Nghiệm xấp xỉ Galerkin u h của bài toán (2.6) thỏa mãn
các đánh
ính giá sau đây:
t
i)

h hW W hiii) + a

Ị

llv M s )llỉ2(fi)ds

0

t

<

lk *( 0 llỉ>(í,) + — / ll/MIIỈ><n)*> (< > 0);
0

ii)

(í > ũ).
0
Chứng minh.
Tương tự như chứng m inh của Định lí 2.1 nhưng ta th ay u bằng

20


Uf j

ta được đánh giá tiên nghiệm với nghiệm của bài to án (2.6) như sau

I K W I I Ỉ 2(n) + a J

l|Vwh(s)HỈ2(n)ds

0

(2.17)

t

< ll«oft(í)llỉ»tn) + — / ll/MII|.(n)<fo (t > Û)
0

và

Í l l « fc(í)llĩ.(„) + 2 ck /
'

l|Vufc(s)||Ỉ 2 (n)d s j

0

< ||«0hWIU2(n) +

J

'

ll/(s)IU2(n)^s

{t >

(2.18)

0).

0

2.3.

Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ Galerkin nửa rời
rạc
Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng m inh sự hội tụ của u h đến u.

Đ ịn h lý 2 .3 . Giả sử

U

G L 2(M+ ; F ) n Ơ°(M+ ; Z/2(fỉ)) là nghiệm yếu

của bài toán (2.1) - (2.Ậ). Giả thiết thêm rằng u ( t ) € H r+1(tl) với mỗi
t € K+ với r là số nguyên, r > 1. Khi đó có đánh giá sai số đối với
nghiệm xấp xỉ Galerkin sau đây:

u{t) - u h{t)\\2
l2{íì) + 2a

Ị

||u(s) - Mft(s)||^i(n)ds < C h 2rN ( u ) e t

0

21


với
t

N {u ) =

Ị

t

\u(s)\2
Hr+1{íl)ds +

0

Ị
0

du

i(s)

ds + \u\ỊỊr(Ịl) “I" lw(0)l.ffr(íĩ)'
(«)•

H r {íl)

Chứng minh.
T ừ tín h cưỡng của a(-, •), ta có:
a \\u - u h\\2
Hi{ỉì) < a (u - u h, u - u h)
(Vưft e 14 ).

= a (u - u h, u - vh) + a (u - u h, v h - u h)

Lấy phương trìn h (2.5) trừ phương trìn h (2.6) và đ ặt w h = V — vh ta có
(

J

ở đây (ư, w) =

d{u — u h)
\
----- —----- , w h Ị + a[u - u h, w h) = 0,

vvủdQ, và là tích vô hướng của L 2(íl). Khi đó

n
..
1,2
/ , ..............
a |lw - ^ llỉrq n ) ^ a (w w

X í d (u ~ u h)
- .
dt
,

\

,o i n x
v- — ,

Chúng ta phân tích vế phải có hai số hạng riêng:
Sử dụng sự liên tục của dạng ữ(-, •) và b ất đẳng thức Young, ta
được
a{u - u h, u - vh) < M \\u - u h\\Hi{ũ)\\u - vh\\Hi{íl)
a
—

2

M2
— ^ llírq n ) +

2
— Vh^H1w''1

viết Wh ở dạng Wh = (Vh — u) + (u — Uh) ta được
'd{u - u h)
\

dt

'd{u - u h)
wh =
’ V
V
dt

u -

v h ^ - ~ \ \ u - U h \ \ 2L2( ũ y

T hay thế hai kết quả này vào (2.19), ta được

2^ 11« 1d
<

«/.Ili-(IÍ) + 211“ 2

a

12
lưqíí)

M2
2
.
w - vh\\m(ũ) + ( ----- ^
2a:
dt
22

,u - v h

(2.20)


N hân cả hai vế cho 2 và lấy tích phân từ 0 và t ta thấy
t
||( u - u h){s)\\2
H1{n)ds < II(u - u h)(0)\\ 2L 2(ũ)

||(w - u h){t)\\2
l2{ũ) + a ị
0

tí
t
M1
+

J
H s ) - V ft||H2 1{fi)ds + 2 / ( ^ ( u - u h)(s ),u (s ) - vh J ds.
a
0

( 2 . 21)

Lấy tích phân từng phần và sử dụng b ất đẳng thức Young ta được
Q ị ( u ~ u h) (s ) >u (s ) - vh^j ds = - J

(ạ u - u h) ( s ) , ^ (u (s) - Vh)^ ds

+ ((u - u h) (t) , (u - vh) ( (
t
t

0

)

d{u(s) - 4/

( s )Hl*(íĩ) ds+ Ị I

0

dt

0

,

(u - ufc) (0))
2

ds

L 2(íì)

+\ II(“ - «») (OllLsi) + II(“ - vk) (OllLsi)
+ ||( « - « * ) ( 0 ) || L 2(íì) l l ( « - ^ ) ( 0)|| L 2(íì) ■
Vậy từ (2.21) ta được
t
ị\\{u - u h){t)\\2
L2{ũ) + a Ị

||( u - íx ft)(s)||^1(n)ds

0

—

M 2 /■

J

2
/■
l w(s) —Vh\\H1{íì)ds
+ 2J

0

+ 2||(w

d(u(s) — vh)
L 2(íl)

0

vh){t)\\L2(n} + \\(u

ds

—

«0(0)11*2(0)
t

+ 2||(« - u /ỉ)( 0)||i 2(n)||(u - vA)( 0)||L2(n) + ị j

II (« - u h){s)\\2
L2{íì]ds.

0

( 2 .22 )
G iả sử Vfi là không gian hữu hạn bậc r, Vfi = {vh € x h
r : vh\rD = 0}. Khi

23