1


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
TR Ư Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M H À NỘI 2

HÀ TH Ị TH U H IỀN

N G U Y Ê N LÝ cực Đ ẠI Đ ố i VỚI PH Ư Ơ N G T R ÌN H
ELLIPTIC T U Y Ế N TÍN H C A P H AI T ổ N G QUÁT

LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC

H à N ộ i, 2016


BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

H À T H Ị T H U H IỀ N

N G U Y Ê N LÝ cực Đ ẠI Đ ố i VỚI PH Ư Ơ N G T R ÌN H
ELLIPTIC T U Y Ế N TÍN H C A P H AI T ổ N G QUÁT

L U Ậ N V Ă N TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC
C h u yên ngành: T oán giải tích
M ã số : 60 46 01 02

N gư ờ i hư ớng dẫn kh oa h ọc
P G S .T S . H à T iến N g o ạ n

H À N Ộ I, 2016


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn th àn h tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả có
thể hoàn th àn h luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các
thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìn h học tập và hoàn
th àn h luận văn tố t nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người th ân đã
luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá
trìn h học tập và hoàn th àn h luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

H à T h ị T h u H iền


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn,
luận văn T hạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài: " N g u y ê n lý
c ự c đ ạ i đ ố i v ớ i p h ư ơ n g t r ì n h E l l i p t i c t u y ế n t í n h cấp h a i t ổ n g
q u á t " được hoàn th àn h bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản th ân tác
giả.
Trong quá trìn h nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừ a
những kết quả của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

H à T h ị T h u H iền


i

M ục lục

M ở đầu

1

1

3

C ác n g u y ên lý cực đại
1.1

Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng quát

1.2

Nguyên lý cực đại yếu

1.3

Nguyên lý cực đại m ạnh


1.4

T ính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet và bài toán
Neum ann

2

. .

.................................................................

5

..............................................................

9

.........................................................................................

12

1.4.1

T ính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet . . . .

12

1.4.2


T ính duy nhất nghiệm của bài toán Neum ann

13

...

ứ n g d ụ n g củ a n g u y ên lý cực đại
2.1

15

Đánh giá độ lớn của ẩn hàm đối với phương trình không
thuần n h ấ t .........................................................................................

2.2

3

15

Đánh giá độ lớn đối với đạo hàm cấp m ột của nghiệm
phương trình P o i s s o n .....................................................................

17

2.3

B ất đẳng thức Harnack trong trường hợp hai biến độc lập . 22

2.4


Nguyên lý cực đại yếu đối với nghiệm suy rộng của phương
trình dạng bảo toàn

K ế t lu ận

.....................................................................

27
29


Tài liệu th a m khảo

30


1

M ở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nguyên lý cực đại là m ột tính chất đặc biệt của phương trình elliptic
cấp hai. Điều này có nghĩa rằng nguyên lý này sẽ không xảy ra đối với
phương trình elliptic với cấp khác hai hoặc đối với phương trìn h cấp hai
m à không phải là elliptic. Trong các giáo trình hoặc sách chuyên khảo về
phương trình đạo hàm riêng, nguyên lý này thường chỉ được trìn h bày cho
phương trình Laplace, đồng thời các ứng dụng của nó cũng ít được đề cập.
Luận văn trình bày các Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại
yếu đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng quát. Từ
các nguyên lý này dễ dàng suy ra được tính duy nhất nghiệm của bài toán

Dirichlet và bài toán Neum ann.
Luận văn cũng trình bày ứng dụng của Nguyên lý cực đại vào việc nghiên
cứu các tính chất định tính của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương
trìn h elliptic tổng quát không thuần nhất, đánh giá độ lớn của ẩn hàm, độ
lớn đạo hàm cấp m ột của ẩn hàm và chứng minh b ất đẳng thức Harnack
đối với nghiệm của phương trình thuần n h ất trên m ặt phẳng.

2. M ục đích nghiên cứu
Luận văn nhằm mục đích trình bày m ột cách hệ thống các Nguyên lý
cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối với phương trình elliptic tuyến
tín h cấp hai tổng quát thuần nhất và các ứng dụng của chúng vào việc


nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm phương trình thuần nhất
và không thuần nhất.

3. N hiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ chính của nghiên cứu là phát biểu và chứng minh các Nguyên
lý cực đại m ạnh và yếu đối với nghiệm của các phương trìn h elliptic tuyến
tín h cấp hai tổng quát thuần nhất và các ứng dụng của chúng vào việc
nghiên cứu phương trình không thuần nhất.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là đánh giá độ lớn đối với nghiệm
của các phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát thuần nhất và
không thuần nhất.

5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn dùng các công cụ của Giải tích toán học đối với hàm của một
hoặc nhiều biến số và của Giải tích hàm tuyến tính.


6. D ự kiến đóng góp mới
Luận văn là m ột tài liệu tham khảo và bổ sung đối với lý thuyết định
tín h về các Nguyên lý cực đại m ạnh và yếu đối với nghiệm của các phương
trìn h elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát thuần nhất và m ột số áp dụng
của các nguyên lý này.

2


3

Chương 1
Các n guyên lý cực đại
1.1

Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng
tổng quát

Xét các toán tử vi phân elliptic tuyến tính tổng quát dạng
Lu =
trong đó

(a;) D ị j U + ứ1 (X) D ị U + c (a;) u, aĩ-i =

(1.1)

X

= {xi]X2' i x n) nằm trong miền íỉ của Kn, n > 2; u = u ( x ) £


c2( í ì ) . ở

đây có quy ước phép lấy tổng theo chỉ số lặp từ 1 đến n. L sẽ

luôn kí hiệu là toán tử (1.1).
Ta đưa ra các định nghĩa sau:
L là elliptic tại một điểm

X

£ Q nếu m a trậ n các hệ số [a^ (z)] là xác định

dương; từ đó, nếu kí hiệu A ( x ) , A (x) lần lượt là giá trị riêng cực tiểu và
giá trị riêng cực đại của [av (:r)] , thì
0 < A (z) |£|2 < aij (x)
với mọi £ = (£i; ....,^n)

< A (x) I^Ị2

(1.2)

\ {0} .

Nếu A(x) > 0 trong íỉ, thì L là elliptic trong Í2 và là elliptic ngặt nếu
Ằ(x) > A0 > 0 với hằng số Ao nào đó. Nếu A ( x ) / X ( x ) là bị chặn trong íĩ,
ta sẽ gọi L là elliptic đều trong Í2.
Ví dụ: Toán tử DII + X \ D 22 là elliptic ngặt và là elliptic đều trong các



dải có dạng (a , j3 )x R trong đ ó O < a < /ỡ < o o , nhưng không là elliptic
ngặt và không là elliptic đều trong nửa m ặt phẳng

Xị

> 0.

T h ật vậy, ta có ữ11 = 1, a 22 = Xị > 0, a 12 = a 21 = 0. Vậy [a*J (a:)] là xác
định dương. Lại có
A {x)

+ £2) < & + Xi Ổ < A (x) (Ổ + £2) ,

với A (a;) = m in (1, Xị) , A (x ) = m ax (1, X i ) .
Từ giả thiết Xi > 0 và cách xác định A(x) ta có A(x) > 0 trong Q, do
vậy D 11 + X lD 22 là elliptic. Giả sử 0 < a < Xị < Ị3. Khi đó, nếu ta chọn
Ao = m in (1, à) suy ra D 11 + X ị D 22 là elliptic ngặt. Lại có
A (x )
- 7 ị
A (a:j
do đó

D

11 +

X ị D 22

=


m a x ( l ;x i )
m a x (l;/3 )
— :— JZ---- f < — :— JZ
f Va: G S2;
m in ( l;a :ij
m in (l;a )

là elliptic đều.

Vậy toán tử D 11 + X \ D 22 là elliptic và là elliptic ngặt và là elliptic đều
trong các dải có dạng (cc,/3) X R trong đó 0 < a < Ị3 < oo, nhưng toán
tử D \1 + X \ D 22 không là elliptic ngặt và không là elliptic đều trong nửa
m ặt phẳng X\ > 0 (vì không có Ao > 0 để A(a:) > Ao > 0 và A ( x ) / X ( x )
không bị chặn trong Í2).
Nhiều kết quả liên quan đến các toán tử elliptic có dạng (1.1), yêu cầu
thêm các điều kiện đối với các số hạng cấp dưới ƯDịU, cu. Điều kiện
Iữ (a:)|
- ( < const < oo, %= 1,..., n,
A(a;)

X

€ íỉ

(1.3)

sẽ được giả thiết xuyên suốt trong luận văn. Sau đó bằng việc đặt
L' = A-1 .L ta có thể đưa về trường hợp trong đó A(a;) = 1 và 6*(a:) là bị
chặn. Nếu thêm vào đó, L là elliptic đều, ta cũng có thể lấy atJ( x ) là bị
chặn. Chú ý rằng nếu các hệ số ữÍJ(a:), bl(x) là liên tục trong íỉ th ì trên

miền con bị chặn b ất kỳ íỉ' c c fĩ, L là elliptic đều và (1.3) đúng. Hệ số
4


c(x) cũng sẽ được hạn chế nhưng sẽ được đưa ra với các giả thiết thích
hợp.

1.2

N guyên lý cực đại yếu

Nguyên lý cực đại là m ột đặc điểm quan trọng của các phương trình
elliptic cấp hai và là sự khác biệt của chúng với các phương trìn h cấp cao
hơn và các hệ phương trình. Thêm vào đó, để các ứng dụng của nó nhiều
hơn, Nguyên lý cực đại tạo ra đánh giá theo từng điểm. Trong luận văn
này, hầu hết các kết quả sẽ dựa duy nh ất vào tính elliptic của L và không
dựa vào các tính chất đặc biệt của hệ số (như tính trơn). T ính tổng quát
này tạo ra tính hữu dụng của Nguyên lý cực đại trong tiên đoán ước lượng
các nghiệm, đặc biệt trong các bài toán không tuyến tính.
Đ ịn h lý 1.2.1. (Nguyên lý cực đại yếu). Cho L là elliptic trong miền bị
chặn rỉ. Giả sử rằng trong rỉ,
Lu > 0 ,

c (a;) = 0

với u G ơ 2(fỉ) n ơ ° ( íỉ) . Khi đó cực đại của u trong Q đạt được trên ô íỉ,
đo la,
su p u = supu.
ũ


(1.4)

dũ

Trong trường hợp L u < 0 ta cũng thu được kết quả tương tự cho cận dưới
đúng, đó là,
inf u = inf u.
íì

díì

(1.5)

Rõ ràng các kết luận trên vẫn đúng nếu |ỏ*(x)| / \ { x ) chỉ bị chặn địa
phương trong ri, ví dụ nếu a^(x), b \ x ) e c ° (ri). Cũng như nếu u không
5


được giả thiết là liên tục trong í ì, kết luận (1.4),(1.5) có thể thay bởi
sup u = lim sup u (X) I inf u = lim inf u (X) ) .
n

x^ dn

V íí

x ^ d íì

(1.6)


J

Chứng minh. Trước tiên xét trường hợp Lu > 0 trong Q. Khi đó ta sẽ chỉ
ra rằng cực đại của hàm u trong Í2 không thể đạt được tại m ột điểm bên
trong íì. T h ật vậy, giả sử
m a x « (X) = u (a^o), Xo G fỉ;
n
suy ra D u ( x ữ) = 0 và m a trậ n D 2u ( x o) = [Diju(xữ)] là không dương.
Nhưng m a trận [a^ ( x ữ)] là dương do L là elliptic. Do đó
L u (xo) = aij (xo) DịjU (xo) < 0, m âu thuẫn với trường hợp đang xét là
L u ( x ) > 0 trong Q. T ừ đó suy ra: Nếu Lu > 0 trong í ì th ì cực đại của
hàm u trong íỉ đạt được trên ỡ íỉ.
Xét trường hợp L u > 0 trong íĩ. Theo giả thiết (1.3), Ift*I /A < 6o= constant,
ta có -LJ- < bo, suy ra b1 > —boX. Bởi vậy, từ a11 > À, có hằng số 7 đủ lớn
sao cho
Le7"1 = (7 V 1 + 7 Ò1) e7*1 > A (7 2 - 760) > 0.
Từ đó với mọi £ > 0, L (u T £e1Xl) > 0 trong íỉ và theo như chứng minh
ở bên trên ta có
sup (u + ee1Xl) = sup (u + £e1Xl) .
fl

díì

Trong đẳng thức trên, cho £ —> 0, ta thấy rằng sup u = sup u, suy ra
n

khẳng định trong định lý.

Ỡf2


□

C hú ý. Rõ ràng từ chứng minh trên ta suy ra rằng Nguyên lý cực đại yếu
sẽ đúng với giả thiết yếu hơn, m à m a trậ n hệ số [ai j (a^)] là không âm và
với k nào đó tỷ số Ị (a?) Ị / a kk(x) là bị chặn địa phương.
6


Ta sẽ đưa vào th u ật ngữ sau được gợi ý từ Nguyên lý cực đại: Một hàm
thỏa m ãn L u = 0 (> 0; < 0) trong íỉ là một nghiệm (nghiệm dưới, nghiệm
trên) của L u = 0 trong Í2. Khi L là Laplacian, tương ứng ta có hàm điều
hòa, hàm dưới điều hòa, hàm trên điều hòa.
H ệ qu ả 1.2.1. Cho L là elliptic trong miền bị chặn Q.Giả sử rằng c (X) <
0,

X

ẽ rỉ;

u € c ° (rĩ) . Dặt u + = maa: (u; 0 ), u~ = m in (u; 0 ). Khi đó

ta có:
a) Nếu L u > 0 trong rỉ, thì
sup u < supw + ;
Í2
ỡíĩ
b) Nếu L u < 0 trong Í2, thì
inf u > inf u ~ ;
n
dũ

c) Nếu L u = 0 trong íĩ, thì
sup |m| = sup |m| .
ũ

(1.7)

dũ

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh m ệnh đề a).
Xét tập con í ỉ + c f l trong đó u > 0. Nếu L u > 0 trong ri, thì
L ữu = a^DịjU + 6iDịU > —cu > 0 trong í ỉ + , nên cực đại của u trên fỉ+
phải đạt được trên d Q + và từ đó cũng đ ạt được trên dLt. Vì vậy,
supw < supw + < supw +
Í1
Í1
n+
< supư + =
dữ+

<

sup
u+
(an+naíi)u(an+níì)

sup u +
an+nan

< supw + .
an

7


b) Nếu L u < 0 trong ri thì L ( —u) = —L (lí) > 0 trong íỉ, nên ta có
sup (—ù) < sup (—u)~
n
an
do đó
— inf u < — inf ũ
n
an
từ đó suy ra
inf u > inf u .
n
an
c) Nếu L u = 0 trong Í2 th ì áp dụng các kết quả ở bên trên ta có
sup (—ù) < sup (—u ) +,
n
díì
inf u > inf ũ
díì
Trước tiên ta sẽ chứng minh
sup |m | < sup |m | .
dữ
T h ật vậy, ta có
|m| = m ax (w+ , —u ) ,
sup |m | = sup m ax (u+ , —u~)
n
n
= m ax Ị sup u +, su p (—^¿_ ) ) = m ax í sup ^¿+ , —inf u~ )

< m ax ( supw + , —inf u~ ) = m ax ( sup u +, su p (—u ~ ) )
V an
ỡn
J
V an
an
/
= sup m ax (u + , —u ~ ) = sup |w|
ỡn
ỡn
Vậy ta đã chứng minh được: sup ỊwỊ < sup ỊwỊ.
n
ỡn
M ặt khác
sup |ií| > sup |w |;
n
an
từ đó suy ra
sup \u\ = sup \u\
n
an

□
8


Trong hệ quả này, điều kiện c (x ) < 0 trong Í2 không thể được làm yếu
hơn để cho phép c(x) nhận giá trị dương trong íỉ. Điều này là rõ ràng từ
sự tồn tại của giá trị riêng dương K với bài toán : A u + n u = 0, u = 0
trên d í ì có nghiệm u (X) 7^ 0. Một ứng dụng trực tiếp và quan trọng của

Nguyên lý cực đại yếu là vào bài toán về tính duy nhất và tính liên tục
phụ thuộc của nghiệm trên các giá trị biên của chúng.

1.3

N guyên lý cực đại mạnh

Mặc dù Nguyên lý cực đại yếu đủ cho hầu hết các ứng dụng, chúng ta
thường cần có dạng m ạnh hơn để loại trừ trường hợp cực đại không tầm
thường bên trong miền. Ta sẽ thu được kết quả như vậy cho toán tử elliptic
đều địa phương trong định lý dưới đây. Miền Í2 được nói thỏa m ãn điều
kiện mặt cầu trong tại X q G ô íỉ nếu tồn tại m ột hình cầu B c n với
Xq ẽ ÕB, (do vậy, phần bù của íỉ thỏa m ãn điều kiện m ặt cầu ngoài tại
Eo).
Đ ịn h lý 1.3 .1 . Giả sử rằng L là elliptic đều, c (x) = 0 và L u > 0 trong
Í2. Giả sử x ữ & dQ là điểm thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) u là liên tục tại x ữ;
(ii) u ( x o) > u (x),

Vx G íỉ;

(Ui) ỡ íỉ thỏa mãn điều kiện mặt cầu trong tại x ữ.
Khi đó đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài của u tại Xq, nếu nó tồn tại,
thì nó dương
du . .
Q - (x o) > 0.

ỵ
(1.8)


Nếu c{x) < 0 và c { x ) / \ { x ) là bị chặn, thì kết luận trên vẫn đúng với
u (x0) > 0; và nếu u (x0) — 0, kết luận nêu trên vẫn đúng mà không phụ
thuộc vào dấu của c.

9


Chứng minh. Từ Í2 thỏa m ãn điều kiện m ặt cầu trong tại
cầu B = B R (y ) c

Xo,

tồn tại hình

với Xo E d B . Cho 0 < p < R, ta đưa vào hàm V bởi

định nghĩa
v{x) — e

—e

,

trong đó r = |x — y| > P và a là hằng số dương đã xác định. T ính toán
trực tiếp với c < 0 cho trước
L v (x) = e~ar2 [4a 2aij

(Xj

- Vi) (Xj - yủ) - 2a (aij + ứ (Xị - i/j))] + cv


> e~ar [4a2A ( x ) r 2 — 2OL (aũ + l&l r + c)] , b = (b1, . . . , hn) .
Ta giả thiết aũ( x ) / A(x), |ò| (x)/A (x) và c(x)/A (x) là bị chặn. Đại lượng a
phải chọn đủ lớn để L v > 0 khắp miền vành khuyên A = B R (y ) \ B p ( y ) .
Từ u — u (x0) < 0 trên d B p (y) có m ột hằng số dương E > 0 mà
u — u (x0) + £V < 0 trên d B p (y ) . B ất đẳng thức này cũng thỏa m ãn trên
d B p (y ) trong đó V = 0. Vì thế ta có L (u — u (x0) +

ev )

> —cu (x0) > 0

trong A, và u — u (xo) + EV < 0 trên ÕA. Nguyên lý cực đại yếu (Hệ quả
1.2.1) dẫn đến u — u ( x ữ) + EV < 0 xuyên suốt A. Lấy đạo hàm theo hướng
pháp tuyến ngoài tại

Xo,

ta thu được, như yêu cầu,

du . .
dv . .
,.
Ỵ - (a^o) > - e j j - (x0) = -E V (R ) > 0.
Cho c có dấu tù y ý, nếu u (x0) = 0 lập luận bên trên vẫn còn đúng nếu L
được thay thế bởi L — c+.

□

Tổng quát hơn, có thể có hoặc không sự tồn tại của đạo hàm theo hướng

pháp tuyến, ta nhận được
,
„ u (x0) — u (x)
lim inf — J--------:
> 0,
x^díi
\x — x 0|

trong đó góc giữa vector

Xo

— X và vector pháp tuyến tại

— ỗ với ô > 0 nào đó.
10

(1.9)

Xo

là nhỏ hơn


Mặc dù điều kiện m ặt cầu trong có thể giảm nhẹ, song không thể đảm
bảo khẳng định (1.9) trừ khi có giả thiết về tính trơn thích hợp của díì
tại

X q.


V í dụ cho L = A và Í2 c K2 là miền nửa phẳng phải với

u — Re ( z / log z) < 0. Một tính toán sơ cấp chỉ ra rằng ô íỉ c c 1 gần
z — 0 và u x (0, 0) = 0, vì thế (1.9) là sai.
Bây giờ ta có thể dẫn tới Nguyên lý cực đại mạnh sau của E. Hopf.
Đ ịn h lý 1.3.2. (Nguyên lý cực đại m ạnh). Cho L là elliptic đều, c ( x ) = 0
và L u > 0 (< 0) trong miền íì (không nhất thiết là bị chặn). Khi đó nếu
u đạt được cực đại (cực tiểu) ở bên trong Q, thì u là một hằng số. Nếu
c{x) < 0 và c { x ) / \ { x ) là bị chặn, thì u không thể đạt được cực đại không
âm (cực tiểu không dương) ở bên trong n trừ khi nó là hằng số.
Kết luận hiển nhiên vẫn còn đúng nếu L chỉ là elliptic đều địa phương
và 16®(a;) I / \ { x ) , c{x)/ \ { x ) chỉ là bị chặn địa phương.
Chứng minh. Ta giả sử rằng u không là hằng số nhưng lại có cực đại M > 0
trong íì, thì tập í ì - trên u < M thỏa m ãn í ỉ _ c íỉ và dLl~ n ÍỈ 7^ 0. Cho
Xq là m ột điểm trong í ỉ _ m à đóng ổ f ỉ- với hơn ô íỉ, và xét hình cầu lớn
nhất B c

có X q là tâm . Khi đó u ( y ) = M với m ột vài điểm y G d B

trong đó u < M trong B. Bổ đề trên dẫn tới D u ( y ) 7^ 0, m à không thể
đ ạt cực đại trong y.

□

Nếu c < 0 tại m ột điểm nào đó, thì hằng số của định lý hiển nhiên bằng
không. Cũng như, nếu u = 0 tại m ột điểm cực đại (cực tiểu), thì từ chứng
minh của định lý ta suy ra rằng u = 0, không phụ thuộc vào dấu của c.
Có thể chứng minh Nguyên lý cực đại m ạnh trực tiếp qua Định lý 1.2.1
và Định lý 1.3.1.


11


1.4
1 .4 .1

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet
và bài toán Neum ann
T ín h d u y n h ấ t n g h iệ m c ủ a b à i to á n D ir ic h le t

1 .4 .1 .1 B à i to á n D irich let
Giả sử

c Mn, n > 2 với m ặt biên Ôíỉ kín, bị chặn, trơn từng m ảnh và

f ( x ) , X = (xi, X2i ..., x n, ...) là m ột hàm cho trước, liên tục trên ỚÍ2, g(x) e

c2(Ã) , u ( x ) G c2(íỉ) ,L là elliptic trong

íỉ. Tìm u(x) sao cho

L u = f ( x ),

X

E ri,

u ( x ) = g(x),

X


e ô íỉ.

1 .4 .1 .2 Đ ịn h lý v ề tín h d u y n h ất n g h iệm củ a bài to á n D ỉrỉch let
Từ Hệ quả 1.2.1 ta có kết luận tính duy nhất của bài toán Dirichlet cổ
điển
Đ ịn h lý 1.4.1. Cho L là elliptic trong Í2 với c(x) < 0 trong Í2. Giả sử
rằng u và
Í2, u =

V

V

là các hàm trong c 2 (íỉ) n c ° (ỉĩ) , thỏa mãn L u = L v trong

trên dQ. Khi đó u =

trên ỡ íỉ, thì u <

V

Chứng minh. Đ ặt

V

trong fỉ. Nếu L u > L v trong Q và u <

V


trên ôfĩ.

V

trong Q.
w

=

u

— V.

Giả sử L u = L v trong íĩ, u =

Ta thấy L w = L{u — v) = L u — L v = 0,

X

€ ri. Suy ra áp dụng Hệ quả

1.2.1 ta có sup \w\ = sup \ w \ .
n
an
M ặt khác giả thiết u = V, X e ô fĩ nên ta có w — u —V = 0,
vậy sup Ịw| = 0 . T ừ đó suy ra sup Ịw| = 0 , dẫn đến w = 0,
an
n
thế u — V trong íì.
Nếu L u > L v trong ri và u <


V

X

e ỡfĩ; do

X

e íỉ. Bởi

trên ỡ íỉ. Đ ặt w + = m ax (w ; 0 ).

12


Ta thấy L w = L ( u — v) = L u — L v > 0,

x ẽ í ì. Suy ra áp dụng Hệ quả

1.2.1 ta có supm < sup w+. M ặt khác u <
íì

trên ỡ íỉ nên w = u — V <

V

dũ

0,:r €: ớ íỉ; do vậy w + = m a x (w ;0 ) = 0 ,z ẽ ỡ íỉ. Suy ra s u p w + = 0, do

an
đó ta có supm = 0; dẫn đến w < 0 , x & Q. Bởi vậy u < v , x G Í2.
□
n
1 .4 .2

T ín h d u y n h ấ t n g h iệ m c ủ a b à i to á n N e u m a n n

1 .4 .2 .1 . B à i to á n N e u m a n n
Giả sử Q c Mn, n > 2 với m ặt biên ỡ íỉ kín, bị chặn, trơn từng m ảnh thỏa
m ãn điều kiện m ặt cầu trong và f ( x ) :x = (aq, X
cho trước, liên tục trên ớfi, g ( x ) €

2 ,

x n, ...) là m ột hàm

c2(H) , u ẽ c2( r i) , L là elliptic trong

íì. Tìm u(x) sao cho
Lu = f{x),

X

£ íĩ,

ơu{x) = với

V

là vector pháp tuyến ngoài đơn vị tại

X

ẽ ớ íỉ.

1 .4 .2 .2 Đ ịn h lý về tín h d u y n h ất n g h iệm củ a bài to á n N e u m a n n
Ta có định lý tính duy nhất sau đây với bài toán Neum ann cổ điển.
Đ ịn h lý 1.4.2. Cho u €

c2(íì) n cũ(H) ,

là một nghiệm của L u = 0

trong miền bị chặn Í2, trong đó L là elliptic đều, c < 0,

c/A bị chặn và

íì thỏa mẫn điều kiện mặt cầu trong tại mỗi điểm của d ũ . Nếu đạo hàm
theo hướng pháp tuyến ngoài xác định mọi nơi trên d d và d u / d u = 0 trên
ở íĩ, thì u là hằng số trong íỉ. Nếu c < 0 tại một điểm nào đó trong n , thì
u = 0.
Chứng minh. Trước tiên ta chỉ ra rằng, nếu đạo hàm theo hướng pháp
tuyến ngoài xác định mọi nơi trên dQ và d u / d v = 0 trên ô íỉ, thì u là
hằng số trong íỉ. T h ật vậy, nếu ngược lại u ^ const th ì ta có thể giả sử
m ột trong hai hàm u hoặc - u đạt cực đại không âm M tại m ột điểm x ữ
13

trên d íì và nhỏ hơn M trên dí}. Áp dụng Định lý 1.3.1, tại x ữ ta kết luận
rằng d u / d V (xo) 7^ 0, m âu thuẫn với giả thiết.
Nếu c ( x ) < 0 tại m ột điểm nào đó trong íĩ, th ì theo Nguyên lý cực đại
u = 0.

□

Kết quả của Định lý 1.4.2 cũng có thể mở rộng với bài toán đạo hàm
nghiêng. Song khi dCl có điểm góc hoặc cạnh biên, trong đó, đạo hàm của
u không xác định, các kết quả của định lý nói chung là không đúng, mặc
dù nếu u giả sử liên tục trên íỉ.
H ệ qu ả 1.4 .1 . Cho L là elliptic trong íĩ với c < 0. Giả

sử

rằng

các hàm trong c 2 (íỉ) n c ° (Ü) thỏa mãn: L u = L v trong Í2, và

U

và

V

là

= Jo­

tren dCí. Khi đó

U

— V là hằng số trong Q. Nếu c < 0 tại một điểm nào đó

trong íỉ thì

V

trong íỉ.

U

=

Chứng minh. Đ ặt

w

=

U — V.

Nhận thấy

L w = L ( u — v) = L u — L v = 0,
dw
*
du

X

G íỉ,

d ( u — v)
du
dv
^
—
- du
* ỉ rdu = 0’ x e d n du

M ặt khác giả thiết cho c < 0, suy ra theo Định lý 1.4.2 th ì

w

— U

—

V

là m ột hằng số trong rỉ; và nếu c < 0 tại m ột điểm nào đó trong Í2 thì
w

— u — V = 0, do vậy u — V.

□

14

15

Chương 2
ứ n g dụng của n guyên lý cực đại
2.1

Đánh giá độ lớn của ẩn hàm đối với phương
trình không thuần nhất

Nguyên lý cực đại cũng tạo ra m ột ước lượng theo từng điểm đối với các
nghiệm của phương trình không thuần nhất L u = / trong các miền bị
chặn. Các đánh giá dưới đây chỉ dùng đến giả thiết tính elliptic và tính bị
chặn của các hệ số. Điều này dẫn tới sự các áp dụng trong các bài toán
phi tuyến tính.
Đ ịn h lý 2 .1 .1 . Cho L u > / ( = / ) trong miền bị chặn íỉ, trong đó L là
elỉiptic, c ( x ) < 0, và u G

c2(íỉ) n cữ(ĨT) , khi

đó
( 2.1)

trong đó

c là một

hằng số chỉ phụ thuộc vào đường kính íỉ và

Ị,3 = sup ( Ị6(rc)Ị / X ( x ) ) . Đặc biệt, nếu Í2 nằm giữa hai mặt phẳng song
song cách nhau một khoảng d, thì
Chứng minh. Cho

(2.1) thỏa mãn

với

c=

nằm trong miền 0 < Xi < d, và tập
Lo = a ÍJDý- + ỮDị.

e ^ +1)d — 1.


Cho OL > /3 + 1 ta có
L ữeaXl = (a 2a n + CK&1) eaXl > \ { a 2 - OL0) eaXl > A.
Cho
V

= s u p u + + (ead - eaXl) sup
ỠÍ1
n

A

Thì, từ
L v = L 0V + cv < —X ( sup ^
L (v — u) < —A ^sup

và

V

— u > 0 trên

dLt. Từ đó, với c =

^

^ ,
< 0 trong fỉ,

ead — 1 và a > ị3 + 1, ta thu được

kết quả cần có cho trường hợp L u > / ,
sup u < sup
íì
Í1

V

< sup u + +
díì

c sup
íì

LTI .
^

Thế u bởi -u, ta thu được (2.1) cho trường hợp L u = / .

□

Khi điều kiện c ( x ) < 0 không được thỏa m ãn, th ì vẫn có thể đưa ra
đánh giá tiên nghiệm tương tự với (2.1) nếu giả thiết miền íì nằm giữa hai
m ặt phẳng song song khá gần nhau.
H ệ qu ả 2 .1 .1 . Cho L u — f nằm trong miền bị chặn íỉ, trong đó L là
elliptic và u G c 2 (íỉ) C\Cữ (ỉĩ) . Cho c là hằng số của Định lí 2.1.1 và giả
sử rằng
„
Ci = 1 —

c+
c sup -—
>
n

A

(2.2)

0.

Khi đó

,

1 í

i/ i )

sup \u\ < —
sup \u\ + c sup ^
.
n
Cị \ an
n A /

16

(2.3)


C h ú ý. T ừ

c=

e ^ +1)d — 1 là m ột giá trị có thể của hằng số trong (2.1),

trong đó d là m ột miền rộng của miền bất kỳ chứa Í2, điều kiện (2.2) sẽ
được thỏa m ãn trong miền đủ hẹp trong đó các đại lượng |6(a:)| / X ị x ) và
c ( x ) / \ ( x ) bị chặn trên. Nếu c+ = 0 (với c(x) < 0), thì Cị = 1 và (2.3) rút
gọn về (2.1).
Chứng minh. (Hệ quả 2.1.1). Viết lại L u = (L ữ + c) u = / trong dạng
(L 0 + c~) u = f ' = / + (c~ - c) u = f - c+u.
Từ (2.1) ta thu được

sup |w| < sup |w| +

íĩ

ỡíí

c sup

< sup \u\ + c
an

íĩ

A

p y- + sup |lí| sup yn
n

B ất đẳng thức này và (2.2) dẫn đến (2.3).

□

Một kết quả trực tiếp của Hệ quả 2.1.1 là tính duy nhất của các nghiệm
của bài toán Dirichlet trong miền đủ nhỏ (nếu các cận trên của các đại
lượng Ị&(z)Ị / Ằ ( x ) và c (x ) / X ( x ) đã được cố định).

2.2

Đánh giá độ lớn đối với đạo hàm cấp m ột của
nghiệm phương trình Poisson

Nguyên lý cực đại cũng có thể được dùng ước lượng đối với các đạo hàm

của các nghiệm nếu ta thêm điều kiện áp đ ặt lên phương trình. Để minh
họa phương pháp ta ước lượng đối với phương trìn h Poisson.
Cho A u = / trong hình lập phương
Q = { x = (x 1,..., x n) e Kn \ \xi\ < d , i = ĩ , ..., n } ,

17


với u ẽ

c2(Q) n c° ( 0 )

và / bị chặn trong Q. Ta sẽ dẫn ra các ước lượng

Ti
ăd
\DiU(ũ)\ < ^ s u p | u | + ^ s u p | / | ,
«

dộ

*

i = 1 ,...,71.

(2.4)

Q

Trong nửa lập phương

Q' = { { x u - , x n) 1\xi\ < d , i = 1,

n — 1,0 < x n < á } ,

xét hàm

x n) = ì [u { x \ x n) - u { x \ - x n)] ,

trong đó ta viết x' = (^ 1,

£n_i ) và a: = (a:', x n) . Thấy rằng

ip (x ' , 0) = 0, sup \ip\ < M = sup ỊwỊ,
ỠQ'
ỠQ
và |A(^Ị < N = sup Ị/Ị trong Q ;. Cũng xét hàm
Q

Ip ( x ' , x n) = ^ - ( x ' , x n) \x'\2 + x n (nd - (n - l ) x n) + i V y (d - x n) .
Hiển nhiên

a:n) > 0 trên x n = 0 và ĩp > M trên m ột phần còn lại của

ÔQ/; cũng như ỊA^I = —N . Từ đó A ịìị) ± ự}) < 0 trong Q ’ và ĩp ± íp > 0
trên dQ', từ đó áp dụng Nguyên lý cực đại ta có \(f (x ' , x n)\ < ĩị) (x ' , x n)
trong Q ’. Cho x' — 0 trong biểu diễn của ip và ĩp, thì chia cho x n và cho
x n dần tới 0, ta thu được
ID nu (0)1 = lim

x n ->0

V (0j x n)

< ĩd M + ị N ,

Xr

đấy là ước lượng khẳng định (2.4) cho ỉ = n. Kết quả tương tự đối với
đạo hàm của các biến còn lại. Nếu / = 0, (2.4) tạo ra chứng minh độc lập
(ước lượng) của biên gradient cho hàm điều hòa.
Từ (2.4) ta kết luận rằng trong miền

bất kỳ m ột nghiệm bị chặn u

của A u = f thỏa m ãn m ột ước lượng
su p d r ID u (z)| <
íì

c Ị sup |ií| +
V f2

18

s u p d2x I/ (x)\ ] ,
Í2

/

(2.5)