BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN MINH

ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN VÀ HỘI TỤ
ĐỐI VỚI HỌ ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
VÀO KHÔNG GIAN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN MINH

ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN VÀ HỘI TỤ
ĐỐI VỚI HỌ ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
VÀO KHÔNG GIAN PHỨC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ TÀI THU

HÀ NỘI, 2016


i

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Tài Thu. Thầy đã trực tiếp
giảng dạy, tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2; các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên
để tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Nguyễn Văn Minh


ii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn của
TS. Lê Tài Thu.
Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà toán học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc. Luận văn này không
trùng lặp với bất kỳ luận văn, luận án khác. Các kết quả trích dẫn trong luận
văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.


Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Nguyễn Văn Minh


iii

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


6

1.2.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Tập bị chặn và tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Không gian hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1. Không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2. Không gian hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.3. k-metric Kobayashi trong không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.4. Không gian phức nhúng hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17


Chương 2. Định lý thác triển và hội tụ đối với họ ánh xạ chuẩn tắc vào
không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2. Định lý thác triển và hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34


1

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng lần
đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ 20 là một trong những hướng nghiên
cứu quan trọng của giải tích phức. Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Một số kết quả sâu

sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng minh bởi Kobayashi, Kwack,
Noguchi, Zaidenberg, Demailly,. . . Những công trình nghiên cứu đó đã thúc
đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ và đã hình thành nên một
chuyên ngành mới của giải tích toán học, đó là giải tích phức hyperbolic.
Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã tìm thấy những mối liên hệ
bất ngờ và sâu sắc với những lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là bài toán
thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức và bài toán về tính hữu hạn
của tập tất cả các ánh xạ phân hình giữa hai lớp nào đó các không gian phức.
Theo quan điểm của A. Weil, S. Lang và P. Vojta, bài toán sau cùng này có
liên quan mật thiết với hình học đại số và hình học số học. Có thể nói giải
tích phức hyperbolic đang là một lĩnh vực nghiên cứu nằm ở chỗ giao nhau
của nhiều bộ môn lớn của toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích phức,
Hình học đại số và Lý thuyết số.
Một trong những ứng dụng quan trọng của giải tích phức hyperbolic là bài
toán thác triển ánh xạ chỉnh hình. Việc mở rộng định lý Picard lớn, định lý
thác triển và hội tụ Noguchi đã được nhiều nhà toán học quan tâm.
Với mong muốn tìm hiểu việc mở rộng định lý Picard lớn, định lý thác
triển và hội tụ Noguchi, được sự hướng dẫn của TS. Lê Tài Thu em đã lựa
chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý thác triển và hội tụ đối với họ ánh xạ
chuẩn tắc vào không gian phức”.


2

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc mở rộng định lý Picard lớn và
tổng quát định lý thác triển và hội tụ Noguchi.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống các kiến thức cơ bản về không gian mêtric, không gian tô pô và
không gian hyperbolic.

Nghiên cứu việc mở rộng định lý Picard lớn và tổng quát định lý thác triển
và hội tụ Noguchi.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là các vấn sau:
Mở rộng định lý Picard lớn cho họ đa tạp phức có divisors với giao chuẩn
tắc.
Tổng quát định lý thác triển và hội tụ Noguchi.
Phạm vi nghiên cứu của luận văn là không gian phức nhiều chiều.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp và hệ thống lại các
kiến thức có liên quan.
6. Giả thuyết khoa học
Trình bày một cách tổng quan về việc mở rộng định lý Picard lớn và tổng
quát định lý thác triển và hội tụ Noguchi.


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không
gian mêtric, không gian tô pô và không gian hyperbolic nhằm phục vụ cho
chương sau của luận văn.
Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu được đưa vào từ các tài liệu (xem
[1,2])

1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1. Một metric trong X là một ánh xạ
d:X ×X →R
của tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X;
3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác).
Tập hợp X cùng với d là một không gian metric, ánh xạ d là hàm khoảng
cách (hay metric) trong X. Các phần tử của một không gian metric gọi là các
điểm của không gian ấy, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.


4

Ví dụ 1.1.1. C [a, b] là một không gian metric với khoảng cách
d (x, y) = max |x(t) − y(t)| .
a≤t≤b

Định nghĩa 1.2. Một dãy điểm (xn ) , n = 1, 2... trong không gian metric X
gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim d (xn , a) = 0. Khi đó, ta ký hiệu
n→∞

limxn = a hoặc xn → a, khi n → ∞.
n→∞

Nếu một dãy {xn } hội tụ tới x thì mọi dãy con {xnk } của nó cũng hội tụ
tới x, đồng thời ta có tính chất sau:
1) Nếu xn → x và xn → x thì x = x , nghĩa là giới hạn của một dãy điểm
nếu có là duy nhất.
2) Nếu xn → x và yn → y thì d(xn , yn ) → d(x, y) nghĩa là khoảng cách
d(x, y) là một hàm số liên tục đối với x và y.
Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (xn ) , n = 1, 2... được gọi là dãy cơ bản (hay dãy
Cauchy) trong không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, đều tồn tại
một số n0 sao cho với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có

d (xn , xm ) < ε.
Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu với mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.5. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ A :
X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu như với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0
sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn d (x, x0 ) < δ thì
d (A (x) , A (x0 )) < ε.
Định lý 1.1. Đối với một ánh xạ f từ một không gian metric X vào một không
gian metric Y thì ba mệnh đề sau đây là tương đương:


5

(i) f liên tục;
(ii) Nghịch ảnh của mọi tập đóng (trong Y ) đều là tập đóng (trong X);
(iii)Nghịch ảnh của mọi tập mở (trong Y ) đều là tập mở (trong X).
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii). Cho F là một tập đóng bất kỳ của Y , f −1 (F ) là nghịch ảnh của
nó bởi f . Nếu xn ∈ f −1 (F ), xn → x0 thì f (xn ) ∈ F và f (xn ) → f (x0 ) do giả
thiết f liên tục. Nhưng F là đóng trong Y nên f (x0 ) ∈ F , do đó x0 ∈ f −1 (F )
chứng tỏ rằng f −1 (F ) là đóng trong X.
(ii) ⇒ (iii). Cho G là một tập mở bất kỳ của Y , f −1 (G) là nghịch ảnh của
nó bởi f . Vì G mở nên Y \ G đóng trong Y . Vậy nếu có (ii) thì f −1 (Y \ G)
đóng trong X. Nhưng f −1 (Y \ G) = X \ f −1 (G), vậy f −1 (G) mở.
(iii) ⇒ (i). Cho một điểm bất kỳ x0 ∈ X. Do (iii) nên nghịch ảnh của mỗi
ε−lân cận của f (x0 ) là một tập W mở trong X. Dĩ nhiên, x0 ∈ W nên theo
tính chất của tập mở, phải có một δ−lân cận nào đó của x0 nằm trọn trong
W . Ảnh của δ− lân cận này nằm trọn trong ε−lân cận nói trên của f (x0 ), do
đó với mỗi x ∈ X : dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε. Vì ε tùy ý, điều

này có nghĩa f liên tục.
Một tập M trong không gian metric X gọi là bị chặn (giới nội) nếu nó
nằm trọn trong một hình cầu nào đó, nghĩa là nếu có một điểm a ∈ X và một
số C > 0 sao cho ρ(x, a) ≤ C với mọi x ∈ M .
Định nghĩa 1.6. Một tập M trong không gian metric X được gọi là compact
nếu mọi dãy {xn } ⊂ M đều có chứa một dãy con {xnk } hội tụ tới một điểm
thuộc M .
Một tập bất kỳ mà có bao đóng compact thì gọi là một tập compact tương
đối.
Định lý 1.2 (Hausdorff). Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị chặn.
Ngược lại một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian metric đủ
thì compact.


6

Định nghĩa 1.7. Một không gian metric X được gọi là không gian compact
nếu nó là một tập compact trong chính nó, nghĩa là mọi dãy {xn } trong X
đều có chứa một dãy con hội tụ
Định nghĩa 1.8. Cho hai không gian metric X và Y (metric trên X kí hiệu
bằng dX , metric trên Y bằng dY ). Một ánh xạ f từ X vào Y gọi là liên tục tại
điểm x0 ∈ X nếu (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X) :
dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε.
Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.

1.2. Không gian topo
1.2.1. Một số khái niệm
Cho một tập hợp X = ∅. Họ τ các tập hợp con nào đó của X được gọi là
một topo trên X nếu
i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;

Gα ∈ τ ;

ii) {Gα }α∈I ⊂ τ ⇒
α

iii ∀G1 , G2 ∈ τ ⇒ G1 ∩ G2 ∈ τ .
Tập hợp X cùng với topo trên X được gọi là một không gian topo. Ký hiệu
là (X, τ ).
Ví dụ 1.2.1. Cho X là tập hợp tùy ý khác rỗng. Họ τ = (∅, X) là một topo
trên X. (X, τ ) được gọi là không gian topo thô (không gian phản rời rạc).
Họ τ = {A|A ⊂ X} là một topo trên X. (X, τ ) gọi là không gian topo
rời rạc.
Cho tập hợp X vô hạn. τ = {A ⊂ X|A = ∅ hoặc X \ A hữu hạn}. τ
là một topo trên X. Tập X với topo này được gọi là không gian topo bù hữu
hạn.


7

Các điểm trong không gian topo
Cho không gian topo (X, τ ), x ∈ X và A ⊂ X
+ x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại G ∈ τ : x ∈ G ⊂ A (nghĩa
là A là lân cận của x).
+ x là điểm ngoài của A nếu tồn tại G ∈ τ : x ∈ G ⊂ X \ A.
+ x là điểm biên của A nếu với mọi V ∈ Vx ⇒ V ∩A = ∅ và V ∩(X\A) =
∅.
+ x là điểm giới hạn của A nếu với mọi V ∈ Vx ⇒ V ∩ (A \ {x}) = ∅.
Định nghĩa 1.9. Cho hai không gian topo (X, τX ) và (Y, τY ) và ánh xạ f :
X→Y
f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mỗi lân cận W của f (x0 )

(trong Y ) luôn tồn tại một lân cận V của x0 (trong X) sao cho f (V ) ⊂ W .
f là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc X.
Định lý 1.3. Cho X, Y là hai không gian topo và ánh xạ f : X → Y . Khi đó
ánh xạ f liên tục tại điểm x0 thuộc X khi và chỉ khi với mỗi lân cận W của
f (x0 ) (trong Y ) thì f −1 (W ) là lân cận của x0 (trong X).
∗ Lân cận của một điểm a ∈ C là tập bất kỳ bao hàm hình tròn D(a, r)
tâm a bán kính r > 0.
D(a, r) = {z ∈ C : |z − a| < r}
Đặc biệt D(a, r) là một lân cận của a và được gọi là r lân cận. Rõ ràng:
a) Nếu U là lân cận của a ∈ C thì mọi tập hợp bao hàm U là lân cận của
a.
b) Giao hữu hạn và hợp của họ bất kỳ các lân cận của a là lân cận của a.
c) Nếu U là lân cận của a thì tồn tại lân cận V của a sao cho V là lân cận
của mọi z ∈ V và V ⊂ U .


8

Định nghĩa 1.10. Tập G ∈ C gọi là mở nếu G là lân cận của mọi điểm của
nó. Hiển nhiên ∅ và C là các tập mở, hợp của một họ bất kỳ và giao của một
họ hữu hạn các tập mở là tập mở.
Tập F ∈ C được gọi là đóng nếu phần bù của nó CF = C \ F là mở. Từ
tính chất của các tập mở ta suy ra hợp của một số hữu hạn và giao của họ bất
kỳ các tập đóng là tập đóng.
1.2.2. Tập bị chặn và tập compact
Định nghĩa 1.11. Tập X ⊂ C gọi là bị chặn nếu tồn tại R > 0 sao cho
|z| ≤ R với mọi z ∈ X.
Tập X được gọi là compact nếu mọi dãy trong X chứa một dãy con hội tụ
tới một điểm thuộc X.
Tính chất:

a) Giao của một họ bất kỳ và hợp của một họ hữu hạn các tập compact là
compact.
b) Tập compact là tập đóng và bị chặn.
c) Mội tập con đóng của một tập compact là tập compact.
Định lý 1.4 (Heine - Borel). Giả sử X là tập con của C. Các điều kiện sau
là tương đương:
(i) X là compact;
(ii) Mọi phủ mở của X chứa một phủ con hữu hạn;
(iii) X đóng và bị chặn.
Ở đây một phủ mở của X là một họ các tập mở {Gi }i∈I trong C sao cho
X⊂

Gi .
i∈I

Ta nói phủ mở {Gi }i∈I chứa một phủ con hữu hạn nếu tồn tại i1 , . . . , in
sao cho X ⊂ Gi1 ∪ . . . ∪ Gin .
Chứng minh.


9

(i) ⇒ (ii). Giả sử tồn tại phủ mở {Gi }i∈I của X sao cho mọi hệ hữu hạn
các tập Gi không đủ phủ X. Vậy với mọi n ≥ 1 tồn tại hình tròn Dn bán kính
1/n sao cho Dn ∩ X không thể phủ bởi một số hữu hạn các tập Gi . Lấy tùy
ý zn ∈ Dn ∩ X. Vì X compact, tồn tại a ∈ X là điểm tụ của dãy {zn }. Chọn
i0 ∈ I để a ∈ Gi0 . Do Gi0 là mở nên tồn tại r > 0 để D = D(a, r) ⊂ Gi0 .
Lấy N và n0 đủ lớn để 2/N < r, n10 <

r

4

và |zn0 − a| <

1
N.

Với một điểm z

bất kỳ của Dn0 ta có |z − a| < r, do đó Dn0 ⊂ D ⊂ Gi0 . Điều này mâu thuẫn
với giả thiết Dn0 không bị phủ bởi Gi0 .
(ii) ⇒ (iii). Lấy tùy ý z ∈ C \ X. Đặt Gk = C \ D z, k1 . Khi đó
Gk là mở và

n
k=1 Gk

⊃ X. Theo giả thiết tồn tại Gk1 , . . . , Gkn sao cho

X ⊂ Gk1 ∪ . . . ∪ Gkn . Vì vậy X ⊂ GN với N = max kj . Điều này nghĩa là
1≤j≤n

D z,

1
N

∩ X = ∅, tức là z ∈
/ X. Điều này chứng tỏ X đóng. Ta cần chứng


minh X là bị chặn. Phủ X bởi họ {D(z, 1) : z ∈ X}. Từ giả thiết có z1 , . . . , zp
sao cho {D(zi , 1) : 1 ≤ i ≤ p} phủ X. Đặt R = max{|zi | : 1 ≤ i ≤ p} thì
với mọi z ∈ X : |z < R.
(iii) ⇒ (i). Lấy tùy ý {zn } ⊂ X và viết zn = xn + iyn . Vì X bị chặn nên
các dãy số thực {xn } và {yn } cũng bị chặn. Theo bổ đề Bolzano-Weierstrass
dãy {xn } và {yn } có điểm tụ lần lượt là x và y. Hiển nhiên z = x + iy là điểm
tụ của dãy {zn } do X đóng nên z = x + iy ∈ X.
Định nghĩa 1.12. Cho X và Y là hai không gian topo. Một ánh xạ f từ X
vào Y được gọi là liên tục tại x0 , nếu với mọi lân cận U của điểm y0 = f (x0 )
đều có một lân cận V của điểm x0 sao cho f (V ) ⊂ U , nghĩa là x ∈ V ⇒
f (x) ∈ U . Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X.
Định lý 1.5. Một ánh xạ f từ không gian tôpô X vào một không gian tôpô Y
là liên tục khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
(i) Nghịch ảnh (bởi f ) của mọi tập mở (trong Y ) đều là tập mở (trong X).
(ii) Nghịch ảnh (bởi f ) của mọi tập đóng (trong Y ) đều là tập đóng (trong
X).


10

Định nghĩa 1.13. Cho hai không gian topo X và Y . Ánh xạ f : X → Y được
gọi là ánh xạ đóng (tương ứng mở) nếu mọi tập A đóng (tương ứng mở) trong
X đều có f (A) là tập đóng (tương ứng mở) trong Y .

1.3. Không gian hyperbolic
1.3.1. Không gian phức
Định nghĩa 1.14. Giả sử M, N là các đa tạp phức. Ánh xạ liên tục f : M →
N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương (U, ϕ) của
M và mọi bản đồ địa phương (V, ψ) của N sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xạ
ψ ◦ f ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) là ánh xạ chỉnh hình.

Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và f −1 là các
ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N .
Định nghĩa 1.15. Giả sử Z là đa tạp phức. Một không gian phức đóng X là
một tập con đóng của Z mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn
các phương trình giải tích. Tức là, với x0 ∈ X tồn tại lân cận mở V của x0
trong Z và hữu hạn các hàm chỉnh hình ϕ1 , . . . , ϕm trên V sao cho
X ∩ V = {x ∈ V : ϕi (x) = 0, i = 1, . . . , m}.
Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức Z. Hàm f :
X → C được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận
U (x) ⊂ Z và một hàm chỉnh hình f˜ trên U sao cho f˜|U ∩X = f |U ∩X .
Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y . f được
gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của
Y , hàm hợp g ◦ f là hàm chỉnh hình trên f −1 (V ).
Kí hiệu H(X, Y ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được trang bị
topo compact mở.


11

Định lý 1.6. Giả sử fn : X → Y là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các
không gian phức X và Y . Nếu {fn } hội tụ đều tới f trong H(X, Y ) thì f là
ánh xạ chỉnh hình.
Divisor với giao chuẩn tắc
Giả sử Y là một không gian phức. Một divisor Catier A trên Y là một
không gian con đóng mà về mặt địa phương tại mỗi điểm có thể được xác
định bởi một phương trình giải tích. Tức là, với mỗi điểm x ∈ A tồn tại một
lân cận V của x trong Y sao cho A ∩ V được xác định bởi phương trình ϕ = 0
với ϕ là một hàm chỉnh hình nào đó trên V .
Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và A là một divisor. Ta nói A có
giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z1 , . . . , zm trong

M sao cho về mặt địa phương
M \ A = D∗r × Ds với r + s = m.
Từ đó về mặt địa phương A được xác định bởi phương trình z1 . . . zr = 0.
Định nghĩa 1.16. Giả sử X là tập con compact của một không gian metric và
Y là một không gian metric đầy. C(X, Y ) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào
Y với chuẩn sup. Họ Φ ⊂ C(X, Y ) được gọi là đồng liên tục tại một điểm
x0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X, d(x, x0 ) < δ
thì
d (f (x), f (x0 )) < ε,

với mọi f ∈ Φ.

Họ Φ được gọi là đồng liên tục trên X nếu Φ là đồng liên tục tại mọi điểm
x ∈ X.
1.3.2. Không gian hyperbolic
Định nghĩa 1.17. D = {z ∈ C : |z| < 1} là đĩa đơn vị trên mặt phẳng phức.
Trên D ta xét khoảng cách Bergman Poincaré cho bởi
ρD (0, z) = log

1 + |z|
,
1 − |z|

với mọi z ∈ D.


12

Lấy a, b ∈ D, phép biến đổi w =
b thành 0 và biến a thành


a−b
,
1−a¯b

ρD (a, b) = log

z−b
1−¯bz

là một tự đẳng cấu của D mà biến

vì vậy

a−b
1 + | 1−a
¯b |
a−b
1 − | 1−a
¯b |

,

với mọi a, b ∈ D.

Định nghĩa 1.18. Giả khoảng cách d trên tập X là một hàm
d:X ×X →X
(x, y) → d(x, y)
thỏa mãn 3 điều kiện sau:
(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X.

(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X.
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Nếu d chỉ thỏa mãn (ii) và (iii) và d(x, y) > 0 với mọi x, y ∈ X, x = y
thì d được gọi là khoảng cách trên X.
Giả sử X là không gian phức x, y là hai điểm tùy ý của X. Xét dãy các
điểm p0 = x, p1 , . . . , pk = y của X, dãy các điểm a1 , a2 , . . . , ak của D và dãy
các ánh xạ chỉnh hình f1 , f2 , . . . , fk trong H(D, X) thỏa mãn
pi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi ,

∀i = 1, . . . , k.

Tập hợp α = {p0 , . . . , pk ∈ X, a1 , . . . , ak ∈ D, f1 , f2 , . . . , fk ∈ H(D, X)}
thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và
y trong X.
Ta định nghĩa
k

ρD (0, ai ), α ∈ Ωx,y

dX (x, y) = inf
α

.

i=1

trong đó Ωx,y là tập các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Dễ thấy dX thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là



13

• dX (x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X.
• dX (x, y) = dX (y, x) với mọi x, y ∈ X
• dX (x, y) ≤ dX (x, z) + dX (z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Nói cách khác dX : X × X → X là giả khoảng cách trên không gian
k

X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi. Tổng

ρD (0, ai ) được gọi là tổng
i=1

Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình.
Tính chất
i) Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f là
giảm khoảng cách tức là
dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)) với mọi x, y ∈ X.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f là song chỉnh hình. Hơn nữa dX là
giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn ánh xạ chỉnh hình f : D → X là
giảm khoảng cách.
ii) Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi
dX : X × X → X là hàm liên lục.
iii) Nếu D là đĩa đơn vị trong X thì giả khoảng cách Kobayashi trùng với giả
khoảng cách Bergman Poicaré
Định nghĩa 1.19. Không gian phức X gọi là không gian hyperbolic (theo
nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X
tức là
dX (p, q) = 0 ⇔ p = q,


∀p, q ∈ X.

Một số tính chất của không gian phức hyperbolic
Tính chất 1.3.1. Nếu X, Y là các không gian phức thì X × Y là không gian
hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.
Chứng minh.


14

Vì phép chiếu π : X × Y → X là ánh xạ chỉnh hình nên π là giảm khoảng
cách đối với giả khoảng cách Kobayashi trên X × Y và trên X. Tức là ta có:
dX×Y ((x, y), (x , y )) ≥ dX (x, x ).
Lý luận tương tự với phép chiếu π : X × Y → Y ta có
dX×Y ((x, y), (x , y )) ≥ dY (y, y ).
Do đó dX×Y ((x, y), (x , y )) ≥ max{dX (x, x ), dY (y, y )}. Như vậy ta có
điều phải chứng minh.
Tính chất 1.3.2. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y .
Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không
gian con của một không gian hyperbolic là không gian hyperbolic.
Chứng minh.
Vì phép nhúng chính tắc i : X → Y là ánh xạ chỉnh hình nên theo tính
chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi ta có ngay điều phải
chứng minh.
Ví dụ 1.3.1.

+ Đĩa ∆r và đa đĩa ∆m
r là hyperbolic.

+ Một miền bị chặn trong ∆m là hyperbolic, vì nó là tập hợp con mở của

các đa đĩa.
+ ∆m không là hyperbolic vì d∆m ≡ 0.
Định nghĩa 1.20. Giả sử X là không gian phức với hàm khoảng cách d. Một
cặp (X, d) được gọi là tight nếu họ H(M, X) là đồng liên tục đối với d và
mọi đa tạp phức M .
Định lý 1.7. Giả sử X là không gian phức và H là hàm độ dài trên X. Khi
đó X là hyperbolic nếu và chỉ nếu với mỗi p ∈ X tồn tại lân cận U của p và
hằng số C > 0 sao cho FX (ξx ) ≥ CH(ξx ) với mọi ξx ∈ Tx X với x ∈ U .


15

Chứng minh.
(⇒) Giả sử D là một đa đĩa quanh điểm p. Vì X là hyperbolic (X, d) là
tight và do đó họ H(∆, X) là họ đồng liên tục. Từ đó có đĩa ∆δ quanh 0 và
một lân cận U của p sao cho nếu Φ(0) = x ∈ U , thì Φ(∆δR ) ⊂ D. Vì vậy với
x ∈ U ta có δFD (ξx ) ≤ FX (ξx ).
Ta có thể giả sử U là tập compact của D. Khi đó với x ∈ U, ξx ∈ Tx X, ta
có FX (ξx ) ≥ δFD (ξx ) ≥ CH(ξx ) với hằng số đương C nào đó.
(⇐) Gọi dCH là khoảng cách trên X sinh bởi CH. Theo giả thiết ta có
f ∗ (CH) ≤ ds2∆ với mọi f ∗ ∈ H(∆, X), trong đó ds2∆ là metric BergmanPoincaré trên ∆.
Từ đó ta có
dCH (x, y) ≤ dX (x, y) với x, y ∈ X.
Điều này kéo theo X là hyperbolic.
1.3.3. k-metric Kobayashi trong không gian phức
Giả sử X là không gian phức, điểm x ∈ X và vectơ k−mật tiếp ξ ∈
Jk (X)x . Ta định nghĩa
k
KX
(x, ξ) = inf


1
r

tồn tại ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → X
thỏa mãn f (0) = x và jk (f )x = rξ.

.

k
Hàm KX
: Jk (X) → [0, ∞) xác định như trên được gọi là k−metric Kobayashi

trong không gian phức X. Đối với k−metric Kobayashi ta có các kết quả sau
k
(M1) KX
(0x ) = 0,

∀x ∈ X.

k
k
(M2) KX
(x, λξ) = |λ|KX
(x, ξ),

∀λ ∈ C, ∀ξ ∈ Jk (X)x .

(M3) Nếu F : Jk (X) → [0, ∞) là hàm tùy ý thỏa mãn
k

F (f (0), f0∗ (η)) ≤ K∆
(0, η), ∀f ∈ H(∆, X), ∀η ∈ Jk (∆)0

thì
k
F (x, ξ) ≤ KX
(x, ξ),

∀x ∈ X, ∀ξ ∈ Jk (X)x .


16

(M4) Cho trước hai không gian phức X và Y , ánh xạ chỉnh hình f ∈
H(X, Y ), khi đó
k
KYk (f (x), fx∗ (ξ)) ≤ KX
(x, ξ),

∀x ∈ X, ∀ξ ∈ Jk (X)x .

(M5) Với mỗi k ∈ C+ , k−metric Kobayashi
k
KX
: Jk (X) → [0, ∞)

là hàm Borel.
Giả sử γ : [a, b] → X với [a, b] ⊂ R, là đường cong giải tích thực. Với mỗi
t ∈ [a, b] tồn tại một và chỉ một mầm hàm chỉnh hình ϕt ∈ H(R, X) sao cho
ϕt (0) = γ(t) và γ(t + s) = ϕt (s) với ε > 0 đủ nhỏ, và mỗi s ∈ (−ε, ε). Từ

đó với mỗi k ∈ R+
jk γ(t) = jk (ϕt )γ(t) ∈ Jk (X)γ(t)
ta định nghĩa
b

LkX (γ)

k
KX
(γ(t), jk γ(t))dt.

=
a

Tất cả các định nghĩa trên đều được mở rộng tới các đường cong liên tục,
giải tích thực từng khúc.
Nếu γ : [a, b] → X là đường cong giải tích thực từng khúc trong không
gian phức X thì {LkX (γ)}∞
k=1 là dãy tăng và bị chặn các số thực không âm.
Hơn nữa ta có:
1
k
KX
(γ(t), jk γ(t))dt; γ ∈ Ωp,q

δX (p, q) = inf sup
γ

k


0

với mỗi p, q ∈ X, trong đó Ωp,q ký hiệu tập tất cả các đường cong liên tục
giải tích thực từng khúc nối p với q.
Giả sử X là không gian phức và {Jk (X)}k≥1 là họ các phân thớ các jet
trên X. Khi đó có các ánh xạ Jk+1 (X) → Jk (X) mà các thớ là các không
gian afin tuyến tính. Ta đặt J(X) = limprojJk (X) và
J(X) =

ξ = (ξk ∈ Jk (X)x )k≥1 ∈ J(X) : ∃ϕ ∈ Hol(∆, X)
sao cho ϕ(0) = x, jk (ϕ)x = ξk với mọi k ≥ 1

.


17

Giả metric vi phân KX : J(X) → [0, ∞) xác định bởi
k
KX (ξ) = supKX
,

∀ξ = (ξk ) ∈ J(X).

k

1.3.4. Không gian phức nhúng hyperbolic
Định lý 1.8 (Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục). Giả sử X là tập con
compact của không gian metric và Y là không gian metric đầy. Giả sử F là
tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X, Y ). Khi đó F là compact tương đối

trong C(X, Y ) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn
i) F là họ đồng liên tục trên X,
ii) Với mỗi x ∈ X, tập hợp Fx = {f (x)| f ∈ F } là compact tương đối
trong Y .
Định nghĩa 1.21. Giả sử X là không gian phức con của không gian phức Y .
X được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y ∈ X, x = y luôn
tồn tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho
dX (X ∩ U, X ∩ V ) > 0.
Định lý 1.9. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi
đó các điều kiện sau là tương đương:
i) X là nhúng hyperbolic trong Y ;
ii) X là hyperbolic và nếu {xn }, {yn } là các dãy trong X thỏa mãn xn →
x ∈ ∂X, yn → y ∈ ∂X, dX (xn , yn ) → 0 thì x = y;
iii) Giả sử {xn }, {yn } là các dãy trong X thỏa mãn xn → x ∈ X, yn →
y ∈ X. Khi đó, nếu dX (xn , yn ) → 0 khi n → ∞ thì x = y;
iv) Cho hàm độ dài H trên Y , tồn tại hàm liên tục, dương ϕ trên Y sao
cho với mọi f ∈ Hol(∆, X) ta có
f ∗ (ϕH) ≤ H∆ ;
v) Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f ∈ Hol(∆, X) ta có
f ∗ H ≤ H∆ .


18

Nhận xét.
i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic
trong chính nó.
ii) Nếu các không gian con phức X1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và X2
là nhúng hyperbolic trong Y2 thì X1 × X2 là nhúng hyperbolic trong Y1 × Y2 .
iii) Nếu có hàm khoảng cách δ trên X thỏa mãn

dX (p, q) ≥ δ(p, q),
thì X là nhúng hyperbolic trong Y .

∀p, q ∈ X


19

Chương 2
Định lý thác triển và hội tụ đối với họ ánh
xạ chuẩn tắc vào không gian phức
Nội dung của chương này gồm 2 phần, phần 2.1 chúng tôi dành để nhắc
lại một số khái niệm cơ bản, phần 2.2 là nội dung chính của luận văn chúng tôi
dành cho việc tổng quát định lý thác triển Picard, định lý Montel-Carathéodory
và định lý thác triển-hội tụ Noguchi.
H(X, Y ) (C(X, Y )) tương ứng là họ các ánh xạ chỉnh hình (liên tục) từ
một không gian phức (topo) X vào một không gian phức (topo) Y và cho
Y + = Y ∪ ∞ là compact Alexandroff của Y nếu Y không compact, Y + = Y
nếu Y compact.
Nếu F ⊂ C(Y, Z) và G ⊂ C(X, Y ), ta kí hiệu {f ◦ g : g ∈ G, f ∈ F}
bằng F ◦ G.
Định nghĩa 2.1. Họ F của ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X vào
không gian phức Y là chuẩn tắc đều nếu F ◦ H(M, X) là compact tương đối
trong C(M, Y + ) với mỗi đa tạp phức M và f ∈ H(X, Y ) là ánh xạ chuẩn tắc
nếu {f } là chuẩn tắc đều.
Topo sử dụng trên tất cả không gian hàm là topo compact mở. Abate đã chỉ
ra rằng không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi H(D, X) là compact
tương đối trong C(D, X + ).



20

Nếu X0 , Y0 lần lượt là các không gian con của không gian tôpô X, Y và
F ∈ C(X0 , Y0 ), kí hiệu C[X, Y, F] là tập hợp g ∈ C(X, Y ) được thác triển
tới phần tử của F. Trong luận văn X0 là trù mật trong X, Y là Hausdorff và
do đó sự thác triển của f ∈ C(X0 , Y0 ) là duy nhất và được kí hiệu là f˜.
Nếu X0 , Y0 là các không gian phức con lần lượt của không gian phức X, Y
ta sẽ viết:
H[X, Y + , F] = C[X, Y + , F]
nếu Y + là không gian phức với Y là không gian phức con.
Ngoài ra,
H[X, Y + , F] = C[x, y + , F] ∩ H(X, Y ).
Cho D∗ = D − {0}, là đĩa thủng.
Kí hiệu A là bao đóng của tập con A của không gian tôpô.
Trong chương này chúng tôi sẽ đưa ra 6 nội dung chính sau:
Giả sử M là một đa tạp phức, A là divisor của M với giao chuẩn tắc, F ⊂
H(M − A, Y ) là chuẩn tắc đều và cho F là bao đóng trong C(M − A, Y + ).
Khi đó
(1) Mỗi f ∈ F thác triển tới f ∈ C(M, Y + ).
(2) C[M, Y + , F] là compact trong C(M − A, Y + ).
(3) Nếu {fn } là một dãy trong F và fn → f , khi đó f˜n → f˜.
(4) Nếu M = Dm và M − A = (D∗ )m , H[M, Y + , F] là chuẩn tắc đều.
(5) Với không gian phức X, Y, họ F ⊂ H(X, Y ) là chuẩn tắc đều khi và chỉ
khi F ◦ H(D∗ , X) là chuẩn tắc đều.
(6) Không gian phức con X của không gian phức Y là nhúng hypebol
trong Y khi và chỉ khi tồn tại một hàm khoảng cách d trên Y sao cho
mỗi f ∈ H(D∗ , X) là giảm khoảng cách đối với kD∗ và d (nghĩa là
d(f (x), f (y)) ≤ kD∗ (x, y) với mỗi f và mọi (x, y) ∈ D∗ ).