Mở rộng định lý điểm bất động caristi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (299.78 KB, 44 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ QUYẾT

MỞ RỘNG
ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CARISTI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ QUYẾT

MỞ RỘNG
ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CARISTI

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Hà Đức Vượng,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn
thể các Thầy, Cô giáo khoa Toán đặc biệt là chuyên ngành Toán Giải tích,
Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Quyết

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, luận văn
chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Mở rộng định lý điểm bất động
Caristi do tôi tự làm.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Quyết

2

Mục lục

Bảng kí hiệu

3

Mở đầu

4

1

Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Định lý điểm bất động Caristi . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3

Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

Mở rộng của định lí điểm bất động Caristi

27

2.1

Định lý điểm bất động Caristi mở rộng . . . . . . . . . . . 27

2.2

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41

3

Bảng kí hiệu

N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

∅

Tập rỗng

T :X→X

Ánh xạ T từ không gian X vào không gian X

(X, d)

Không gian metric

d(x, y)

Khoảng cách giữa hai phần tử x và y

C[a,b]

Tập các hàm số liên tục trên đoạn [a, b]

Γ

Họ các hàm dưới cộng tính, liên tục tại gốc

ψ(x)

Họ các hàm liên tục dưới và bị chặn dưới

✷

Kết thúc chứng minh

4

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Một tập hợp khác rỗng X tùy ý và ánh xạ T : X → X , nếu có phần tử
x0 ∈ X thỏa mãn T x0 = x0 thì x0 được gọi là điểm bất động của ánh xạ
T trên X . Ví dụ như ánh xạ T : R → R xác định bởi T x = ex − 1. Khi đó
x = 0 là một điểm bất động của T trên R. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh

vực này đã hình thành nên Lý thuyết điểm bất động (fixed point theory).
Lý thuyết điểm bất động có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của
khoa học kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng. Các kết quả về điểm
bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX , như Định lý điểm bất
động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922),. . .
Năm 1976, Caristi đã công bố một kết quả quan trọng về điểm bất động
như sau:
Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ, hàm số ϕ : X → (−∞, +∞]
là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Ánh xạ T : X → X thỏa mãn

d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x), ∀x ∈ X.

Khi đó T có điểm bất động trong X .
Sau đó nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và có những kết quả mở rộng

5

định lý này như D. Downing, W. A. Kirk (1977), J. S. Bae, E. W. Cho, S.
H. Yeom (1994), W.A. Kirk (2009), A. Amini - Harandi (2010). . . ...
Năm 2013, nhà toán học người Hàn Quốc Seong-Hoon Cho đã mở rộng
định lý điểm bất động Caristi và ứng dụng định lý đó vào nguyên lý biến
phân Ekeland và định lý phần tử cực đại. Kết quả được công bố trong bài
báo: " Some generalizations of Caristi’s fixed point theorem with applications " đăng trên tạp chí Internatinal Journal of Mathematics [4].
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về định lý điểm bất động Caristi và
kết quả mở rộng của nó, được sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, tôi
chọn đề tài nghiên cứu: "Mở rộng định lý điểm bất động Caristi" làm luận
văn cao học.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về định lý điểm bất động Caristi, các kết quả mở rộng của
định lý điểm bất động Caristi.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lại kết quả về điểm bất động của Caristi và các kết quả mở
rộng của định lý này.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về " Mở rộng của định lý điểm bất động Caristi " dựa trên
bài báo "Some generalization of Caristi’s fixed point theorem with applila-

6

tions" của S. H. Cho (2013) [4].

5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp các kiến thức liên quan tới mục đích nghiên cứu.

6. Đóng góp của luận văn
Qua đề tài này chúng tôi sẽ xây dựng luận văn là bài tổng quan về sự mở
rộng của định lý điểm bất động Caristi.
Luận văn gồm hai chương nội dung:
Chương 1, Kiến thức chuẩn bị . Trong chương này chúng tôi trình bày
một số kiến thức cơ bản về không gian metric, định lý điểm bất động
Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland.
Chương 2, Mở rộng định lý điểm bất động Caristi. Trong chương này
chúng tôi trình bày định lý điểm bất động Caristi mở rộng. Sau đó, chúng
tôi trình bày nguyên lý biến phân kiểu Ekeland và định lý phần tử cực đại
cho ánh xạ đa trị được xem như ứng dụng của định lý điểm bất động Caristi
mở rộng.

7

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không
gian metric, không gian metric đầy đủ cùng với các ví dụ và phản ví dụ
minh họa.

Cuối cùng chúng tôi trình bày định lý điểm bất động Caristi và nguyên
lý biến phân Ekeland trong không gian metric.

1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. [3] Một tập hợp X = ∅, ánh xạ
d:X ×X →R

được gọi là metric, nếu
1. d(x, y) ≥ 0,

d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X .

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X .
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .
Khi đó cặp (X, d) được gọi là không gian metric. Số d(x, y) gọi là khoảng
cách giữa hai phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm của không
gian.

8

Ví dụ 1.1.1. Cho X = [0; 1]. Đặt d (x, y) =

0 nếu x = y
2|x−y| nếu x = y

với x, y ∈ [0, 1].

Ta có (X, d) là một không gian metric.

Chứng minh. Ta kiểm tra d lần lượt thỏa mãn định nghĩa 1.1.1.
Vì 2|x−y| > 0,

∀x, y ∈ [0, 1] nên ta có d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ [0, 1].

d(x, y) = 0 ⇔ x = y là hiển nhiên.

Mặt khác ta có d(x, y) = 2|x−y| = 2|y−x| = d(y, x).
∀x, y ∈ [0, 1].

Vậy d (x, y) = d (y, x) ,
Cuối cùng ta chứng minh

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ [0, 1]

(1.1)

Trường hợp 1: x = y = z thì
d(x, y) = 0
d(x, z) = 0
d(z, y) = 0

nên (1.1) đúng.
Trường hợp 2: x = y = z thì d(x, y) = 0 . Ta có 0 < d(x, z) + d(z, y) nên
(1.1) đúng.
Trường hợp 3: x = z = y thì d(x, z) = 0,
d(x, y) ≤ d(z, y) = d(x, y)

9

nên (1.1) đúng.
Trường hợp 4: y = z = x thì d(z, y) = 0,
d(x, y) ≤ d(x, z) = d(x, y)

nên (1.1) đúng.
Trường hợp 5: x = y = z . Ta chứng minh
2|x−y| ≤ 2|x−z| + 2|z−y| .

Thật vậy, ta có
2|x−y| + 2|z−y| ≥ 2

2|x−z| 2|z−y| = 2.2
=2

|x+z|+|z−y|
2

|x−z|+|z−y|
+1
2

.

∀x, y ∈ [0, 1] thì:
|x − y| < 1 +

|x − z| + |z − y|

2

nên 2|x−y| + 2|z−y| > 2|x−y| .
Vậy d là một metric và cặp (X, d) là một không gian metric.

Định nghĩa 1.1.2. [3] Cho (X, d) là một không gian metric, dãy {xn } gồm
các phần tử trong X .
Dãy {xn } được gọi là hội tụ tới một điểm x0 ∈ X nếu
lim d (xn , x0 ) = 0.

n→∞

Tức là ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 thì d(xn , x0 ) < ε.
Phần tử x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn }.
Kí hiệu lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞ .
n→∞

10

Định nghĩa 1.1.3. [3] Cho không gian metric (X, d).
Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu
lim d (xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Tức là
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0 : d (xn , xm ) < ε.

Nhận xét 1.1.1. Cho (X, d) là một không gian metric. Mọi dãy hội tụ trong

X đều là dãy Cauchy.

Thật vậy, giả sử {xn } ⊂ X mà lim xn = x0 . Ta chứng minh {xn } là
n→∞

dãy Cauchy.
Vì lim xn = x0 nên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
n→∞

ε
d(xn , x0 ) < , ∀n ≥ n0 .
2
ε
d(xm , x0 ) < , ∀m ≥ n0 .
2

Do đó ta có:
d(xn , xm ) ≤ d(xn , x0 ) + d(x0 , xm )
< ε,

∀n, m > n0 .

Hay ta có
lim (xn , xm ) = 0.

n→∞

Vậy {xn } là dãy Cauchy.

11

Định nghĩa 1.1.4. [3] Không gian metric (X, d) gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X .

Ví dụ 1.1.2. Tập hợp tất cả các hàm số thực xác định và liên tục trên [a, b],
kí hiệu C[a,b] , với metric
d(x, y) = max |x (t) − y(t)|
a≤t≤b

là không gian metric đầy đủ.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử {xn (t)} là một dãy Cauchy tùy ý trong
không gian C[a,b] .
Theo định nghĩa dãy Cauchy ta có:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0

thì
d(xn , xm ) = max |xn (t) − xm (t)| < ε.
a≤t≤b

(1.2)

Điều đó chứng tỏ, với mỗi t cố định, dãy {xn (t)} là dãy số thực Cauchy,
nên nó hội tụ tức là phải tồn tại giới hạn lim xn (t).
n→∞

Giả sử
lim xn (t) = x(t), t ∈ [a, b].

n→∞

Ta nhận được hàm số x(t) xác định trên [a, b].
Vì các bất đẳng thức (1.2) không phụ thuộc t nên cho qua giới hạn khi
m → ∞, ta được:
|xn (t) − x (t)| < ε, ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b].

(1.3)

12

Các bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ {xn (t)} hội tụ đều đến hàm số x(t) trên
[a, b] nên x(t) ∈ C[a,b] .

Do đó dãy Cauchy {xn (t)} hội tụ đến x(t) trong không gian C[a,b] .
Vậy không gian C[a,b] là không gian metric đầy đủ.
L là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên đoạn [0, 1].
Ví dụ 1.1.3. Cho C[0,1]
L là không gian metric không đầy đủ với metric được xác định
Khi đó C[0,1]

như sau
1

|x (t) − y (t)|dt,

d(x, y) =

(1.4)

0
L .
trong đó x = x(t), y = y(t); x, y ∈ C[0,1]

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh ánh xạ d được xác định bởi (1.4) là
một metric.
1. Ta có
L
|x(t) − y(t)| ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0,1]
, ∀t ∈ [0, 1].

Suy ra
1
L
|x (t) − y (t)|dt ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0,1]
.
0

Hay
L
d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0,1]
.

Nếu d(x, y) = 0 thì ta có
1

|x (t) − y (t)|dt = 0.
0

14

xác định bởi (1.4).
L như sau
Thật vậy, với n ≥ 3 xét dãy hàm {xn } ⊂ C[0,1]

1


1,
0
≤
t
≤


2

1
1 1
n
xn (t) =
≤t≤ +
−nt + + 1,

2
2
2 n



1
2
1
+ n1
2

1

|xm (t) − xn (t)|dt +

+
1
1
+m
2

1
+ n1
2

1
1
+m
2

1
+ n1
2

|m − n| t −

=

1
dt +
2

1
2

Với t ∈

nt −
1
1
+m
2

1 1
1
, +
ta có
2 2 m
t−

1
≥ 0.
2

Suy ra

1
1
|t − | = t − .
2
2

Với t ∈

|xm (t) − xn (t)|dt

1
1 1 1
+ , +
ta có
2 m 2 n
nt −

n
− 1 ≤ 0.
2

n
− 1 dt.
2

15

Suy ra
|nt −

n
n
− 1| = −nt + + 1.
2
2

Do đó
1
1
+m
2

1
+ n1
2

(m − n) t −

d (xm , xn ) =

1
2

1
2

1
1
−

n m

1
2

n
+ 1 dt
2

1
1
+m
2

1
2

1
= (m − n) t2 − t
2
=

−nt +

dt +
1
m

+

n
n
+1 t
+ − t2 +
2
2

1
2

.

Nếu m ≤ n thì bằng cách làm tương tự ta được:
d (xm , xn ) =

1
2

1
1
−
m n

.

Do đó
d (xm , xn ) =

1 1
1

− , ∀m, n ≥ 3.
2 m n

Suy ra
lim d (xm , xn ) =

m,n→∞

lim

m,n→∞

1
2

1
1
−
m n

= 0.

L .
Vì vậy {xn } là dãy Cauchy trong C[0,1]

Tuy nhiên dãy này không có giới hạn trên [0, 1].
L sao cho:
Thật vậy, giả sử có x0 ∈ C[0,1]

lim xn = x0 .

n→∞

Hay
1



|x (t) − x0 (t)|dt = 0.

lim d (xn , x0 ) = lim 

n→∞



n→∞

0

1
2

+

1
n

1
2

+

1
m

16

Mặt khác ta có
1

|xn (t) − x0 (t)|dt

d (xn , x0 ) =
0

1
+ n1
2

1
2

|1 − x0 (t)|dt +

=
0

−nt +

n
+ 1 − x0 (t) dt
2

1
2

1

|x0 (t)|dt.

+
1
+ n1
2

Ta suy ra

 1, 0 ≤ t ≤ 1
2
x0 (t) =
 0, 1 ≤ t ≤ 1.
2
Ta thấy
lim − xn = 1,
t→( 12 )
lim + xn = 0.
t→( 21 )

(1.5)
(1.6)

1
Từ (1.5) và (1.6) suy ra x0 (t) không liên tục tại t = .
2
L .
Do đó x0 (t) ∈
/ C[0,1]
L là không gian metric không đầy đủ với metric được xác định bởi
Vậy C[0,1]

(1.4).

1.2

Định lý điểm bất động Caristi

Định nghĩa 1.2.1. [1] Cho một tập X bất kỳ. Ta nói một họ G gồm những
tập con của X là một tô pô (hay xác định một cấu trúc tô pô) trên X nếu:

17

1. Hai tập ∅ và X đều thuộc họ G . Tức là φ ∈ G, X ∈ G .
2. G kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập
thuộc họ G thì cũng thuộc họ đó. A, B ∈ G thì A ∩ B ∈ G .
3. G kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là hợp của một số bất kỳ (hữu
hạn hay vô hạn) tập thuộc họ G thì cũng thuộc họ đó. Ai ∈ G, i ∈ I thì
∪ Ai ∈ G .

i∈I

Một tập X cùng với một tô pô G trên X gọi là không gian tô pô (X, G ).

Ví dụ 1.2.1. Họ các khoảng trên R là tô pô trên R.

Chứng minh. Thật vậy, G = {(ai , bi ) : ai < bi ∈ R, i = 1, 2, ...} là họ các
khoảng trên R.
Hiển nhiên ∅ ∈ R và R ∈ G .
Giao hữu hạn các khoảng là một khoảng trên R.
Hợp tùy ý các khoảng là một khoảng trên R.
Do đó G là một tô pô trên R và ta gọi là tô pô tự nhiên trên R.

Định nghĩa 1.2.2. [1] Hàm số y = f (x) được gọi là bị chặn dưới trên X
nếu tồn tại số a ∈ R sao cho f (x) ≥ a, ∀x ∈ X .
Hàm số y = f (x) được gọi là bị chặn trên trên X nếu tồn tại số b ∈ R
sao cho f (x) ≤ b, ∀x ∈ X .
Nếu hàm số f (x) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trên X thì ta nói
f (x) là hàm số bị chặn trên X .

18

Ví dụ 1.2.2. Hàm số y = |x| là hàm số bị chặn dưới, hàm số y = −x2 là
hàm số bị chặn trên và hàm số y = cosx là hàm số bị chặn trên R.

Chứng minh. Thật vậy ta luôn có hàm số y = |x| ≥ 0, ∀x ∈ R . Do đó
y = |x| là hàm số bị chặn dưới bởi 0 ∈ R.

Hàm số y = −x2 ≤ 0, ∀x ∈ R. Do đó y = −x2 là hàm số bị chặn trên
bởi 0 ∈ R.
Hàm số y = cosx ≤ 1, ∀x ∈ R nên hàm y = cosx bị chặn trên bởi
1 ∈ R.

Ta lại có cosx ≥ −1, ∀x ∈ R nên hàm y = cosx bị chặn dưới bởi −1 ∈ R.
Do đó hàm số y = cosx là hàm số bị chặn trên tập R.
Định nghĩa 1.2.3. [1] Lân cận của một điểm x trong một không gian tô
pô X là một tập mở chứa x. Nói cách khác V là lân cận của x nếu có một
tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V .

Định nghĩa 1.2.4. [1] Quan hệ hai ngôi ≤ trên tập hợp X được gọi là một
quan hệ thứ tự nếu nó thỏa mãn các tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc
cầu.
Khi đó ta nói X là tập được sắp thứ tự. Nếu x ≤ y ta nói x đứng trước y .
Nếu x ≤ y và x = y thì ta viết x < y .
Tập con Y ⊂ X được gọi là được sắp thứ tự toàn phần (hay được sắp thứ

19

tự tuyến tính) nếu với mọi x, y ∈ Y ta có x ≤ y hoặc y ≤ x.
Trong trường hợp ngược lại ta nói Y được sắp thứ tự bộ phận.

Định nghĩa 1.2.5. [1] Cho X và Y là hai không gian tôpô. Ánh xạ
T : X → Y được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở
G trong Y mà G ∩ T x0 = ∅ đều tồn tại một lân cận U của x0 trong X sao

cho :
T (U ) ∩ G = ∅.

Nếu ánh xạ T nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ X thì T là nửa liên tục
dưới trên X .

Định nghĩa 1.2.6. [1] Giả sử X là không gian tôpô. Ánh xạ T : X → R
được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0 tồn tại lân
cận U của x0 sao cho với mọi x ∈ U ta có
T (x) > T (x0 ) − ε.

Nhận xét 1.2.1. Tập hợp M = {x ∈ X : T x ≤ α} là tập đóng khi và chỉ
khi ánh xạ T là nửa liên tục dưới.
M được gọi là tập mức dưới của ánh xạ T .

Định nghĩa 1.2.7. [1] Cho X là một không gian tô pô và f là một ánh xạ
trong X , tức là f : X → X .
Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f trên X nếu x = f (x).
Tập tất cả các điểm bất động của f được kí hiệu là F ix(f ).

20

Định lý 1.2.1. [2](Caristi (1976))
Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và hàm số ϕ : X → (−∞; +∞]
là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới.
Ánh xạ T : X → X thỏa mãn
d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x), ∀x ∈ X.

(1.7)

Khi đó T có điểm bất động trong X .

Chứng minh. Trước hết ta đưa vào quan hệ thứ tự trên X như sau:
x≤y

khi và chỉ khi d(x, y) ≤ ϕ(x) − ϕ(y).

Dễ kiểm tra đó là một quan hệ thứ tự và ϕ là một hàm không tăng theo
quan hệ thứ tự này, tức là nếu x ≤ y thì ϕ(y) ≤ ϕ(x).
Ta sẽ chứng minh trong (X, ≤) tồn tại một phần tử cực đại.
Lấy x1 ∈ X tùy ý và đặt
S (x1 ) = {y ∈ X : x1 ≤ y}
= {y ∈ X : d (x1 , y) ≤ ϕ (x1 ) − ϕ (y)}
= {y ∈ X : d (x1 , y) + ϕ (y) ≤ ϕ (x1 )} .

vì d(x1 , ·) liên tục và ϕ nửa liên tục dưới nên S(x1 )là tập đóng.
Đặt a1 = inf {ϕ(y) : y ∈ S(x1 )}. Khi đó tồn tại x2 ∈ S(x1 ) mà
ϕ(x2 ) ≤ a1 + 1.

21

Ta đặt
S (x2 ) = {y ∈ S(x1 ) : x2 ≤ y}
= {y ∈ S(x1 ) : d (x2 , y) ≤ ϕ (x2 ) − ϕ (y)}
= {y ∈ S(x1 ) : d (x2 , y) + ϕ (y) ≤ ϕ (x2 )} .

Từ tính liên tục của d(x2 , .) và ϕ ta suy ra tập S(x2 ) là tập đóng và
S(x2 ) ⊂ S(x1 ).

Đặt a2 = inf {ϕ(y) : y ∈ S(x2 )}. Khi đó tồn tại x3 ∈ S(x2 ) mà
1

ϕ(x3 ) ≤ a2 + .
2

Tiếp tục quá trình trên, ta được dãy {xn } với các tính chất sau:
a) xn+1 ∈ S(xn ).
1
với an = inf {ϕ(y) : y ∈ S(xn )}.
n
c) S(xn ) đóng và S(xn+1 ) ⊂ S(xn ), n = 1, 2, ...

b) ϕ(xn+1 ) ≤ an +

Gọi dn = max {d (x, y) : x, y ∈ S (xn )} là đường kính của tập hợp S(xn ).
Ta sẽ chứng minh rằng lim dn = 0. Theo định nghĩa tập S(xn ) ta có
n→∞

S(xn ) = {y ∈ S(xn−1 ) : xn ≤ y} .

Lấy x, y tùy ý trong S(xn ). Vì xn ≤ x, xn ≤ y nên ta có
d (xn , x) ≤ ϕ (xn ) − ϕ (x) ,
d (xn , y) ≤ ϕ (xn ) − ϕ (y) .

Vậy d (x, y) ≤ d (x, xn ) + d (y, xn ) ≤ 2ϕ(xn ) − [ϕ(x) + ϕ(y)].

22

Mặt khác, theo cách xác định của an và xn , ta có:
ϕ (xn ) ≤ an−1 +

1
,
n−1

ϕ (x) ≥ an ,
ϕ (y) ≥ an , an ≥ an−1 .

Do đó
d (x, y) ≤ 2 an +

1
n−1

− 2an =

2
, ∀x, y ∈ S(xn ).
n−1

Vì
2
=0
n→∞ n − 1
lim

nên
lim dn = 0.

n→∞

Vậy {S (xn )} là dãy thắt dần.
Từ m ≥ n suy ra xm ∈ S(xn ).
Suy ra
d(xm , xn ) ≤ dn (xm , xn ).

Từ đó ta có
lim d (xm , xn ) = 0.

m,n→∞

Do đó {xn } là dãy Cauchy trong X .
Vì X là không gian đầy đủ nên ∃v ∈ X sao cho lim xn = v .
n→∞

Hay với mỗi n = 1, 2, ... và p = 1, 2, ... ta có:
lim xn+p = v.

p→∞

Mở rộng định lý điểm bất động caristi

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về