TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (321.68 KB, 18 trang )
Chuyên đề:
KHO ST S BIN THIấN V V TH HÀM SỐ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0 ∈ (a; b) nếu tồn tại giới hạn
f ( x) − f ( x0 )
(Hữu hạn): xlim
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0.
→x
x − x0
f ( x ) − f ( x0 )
Ký hiệu: y ' = xlim
→x
x − x0
2. Các quy tắc tính đạo hàm.
2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x))
• ( C )/ = 0 ( C là hằng số )
• (un)/ = nun – 1u/
/
• ( x )/ = 1
u/
1
=
ã
vi u 0
ữ
ã (xn)/ = nxn - 1 vi (n 2 ;
u2
u
nN)
0
0
/
1
1
ã ữ = 2 với x ≠ 0
x
x
/
1
• x =
với (x > 0)
2 x
•
( u)
( )
/
=
u/
2 u
=
1
2 x
với (x > 0)
2.2. Các qui tắc tính đạo hàm :
/
• ( u ± v ) = u / ± v/
• ( u.v ) = u / v + v / u và ( ku ) = ku /
/
•
/
,
u u '.v − v'.u
=
v2
v
2.3. Đạo hàm của hàm số hợp (g(x) = f[u(x)]
• g ( x) = f ( u) u ( x) .
3. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số
* Định lý: Cho hàm số : y = f (x) có đạo hàm trên K
/
/
/
a) Nếu f ' ( x) > 0 với mọi
x ∈ K thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
b) Nếu f ' ( x ) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f (x ) nghịch biến trên K.
(Chú ý: f ' ( x) dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó; f ' ( x) âm
trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.)
* Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm tập xác định.
- Tính đạo hàm y ' = f ' ( x ) tìm các điểm x1 ; x2 ;......; xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định.
- Sắp xếp các điểm x1 ; x2 ;......; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
4. Phương pháp tìm cực trị của hàm số.
* Định lý. Giả sử hàm số : y = f (x) liên tục trên khoảng K = ( x0 − h; x0 + h) và có đạo
hàm trên K hoặc K \ { x 0 } , với
h > 0.
a) Nếu f ' ( x) > 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f ' ( x) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h) thì x0
là một điểm cực đại của hàm số f (x ) .
b) Nếu f ' ( x) < 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f ' ( x) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h) thì x0
là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) .
(Chú ý: Nếu gọi K = ( x0 − h; x0 + h) là một lân cận của điểm x0 thì ta phát biểu định lý
trên bằng lời như sau:
a. Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm x0 thì x0 là một điểm
cực đại của hàm số f (x) .
b. Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm x0 thì x0 là một điểm
cực tiểu của hàm số f (x) .)
* Bảng biến thiên minh họa định lý
a)
x
f’(x)
x0-h
x0
+
fCĐ
f(x)
x0+h
-
b)
x
f’(x)
f(x)
x0-h
-
x0
x0+h
+
fCT
* Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số
- Tìm tập xác định.
- Tính đạo hàm y ' = f ' ( x ) tìm các điểm x1 ; x2 ;......; xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
khơng xác định.
- Sắp xếp các điểm x1 ; x2 ;......; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số.
5. Phương pháp tìm đường tiệm cận.
5.1 Đường tiệm cận ngang.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
( là khoảng dạng: (a;+∞), ( −∞; b), ( −∞;+∞) )
Đường thẳng: y = y 0 được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f ( x) = y0 ;
lim f ( x) = y0
x → +∞
x →−∞
5.2 Đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
( là khoảng dạng: (a;+∞), ( −∞; b), ( −∞;+∞) )
Đường thẳng: x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = +∞
lim
; x→x
x →x
+
0
+
0
lim f ( x) = −∞; lim f ( x) = +∞;
x→x0−
x→x0−
6. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai.
6.1 Dấu của nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a ≠ 0)
- Tìm nghiệm của phương trình ax + b = 0 ⇔ x = −
- Bảng xét dấu:
x
−∞
f(x)
Trái dấu a
−
b
a
b
a
+∞
0 Cùng dấu a
6.2 Dấu của tam thức bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c
(a ≠ 0)
-
Giải phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (*)
+
Nếu phương trình (*) vơ nghiệm (∆ < 0) thì f(x) ln cùng dấu a
+
và f (−
Nếu phương trình (*) có nghiệm kép (∆ = 0) x1 = x 2 = −
b
thì f(x) ln cùng dấu a
2a
b
) = 0.
2a
+
Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (∆ > 0) giả sử hai nghiệm đó là
x1 ; x 2 và x1
f(x)
Cùng dấu a
x1
0
x2
Trái dấu a
0
+∞
Cùng dấu a
7. Sơ đồ khảo sát hàm số.
* Tìm tập xác định của hàm số.
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
+) Tính đạo hàm y ' = f ' ( x) tìm các điểm x1 ; x2 ;......; xn mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc khơng xác định. Xét dấu đạo hàm y ' = f ' ( x)
+) Từ bảng xét dấu suy ra chiều biến thiên của hàm số
- Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu của y ' )
- Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định của hàm
số; tìm đường tiệm cận nếu có)
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
* Đồ thị:
- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh
- Tính thêm một số điểm đặc biệt
- Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị. Tính tuần hồn của hàm số.
II. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC.
1. Khảo sát hàm đa thức bậc ba: ( Dạng y = ax3 +bx2 + cx +d (a ≠ 0) )
1.1. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax3 +bx2 + cx +d (a ≠ 0)
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính y '
Giải phương trình: y ' = 0 xét dấu y ' đưa ra chiều biến thiên của hàm số.
-
Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y ' )
-
y
Tính các giới hạn: xlim
→ −∞
và
lim y
x → +∞
Chú ý
lim y = lim ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) = −∞
* Nếu a > 0 ⇒
x → −∞
x → −∞
lim y = lim ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) = +∞
x → +∞
- L
ậ
p
x → +∞
lim y = lim (ax 3 + bx 2 + cx + d ) = +∞
* Nếu a < 0 ⇒
x → −∞
x → −∞
lim y = lim ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) = −∞
x → +∞
x → +∞
bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hồnh: Cho y = 0 Giải phương trình
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Tìm x ( Nếu giải phương trình khó q ta khơng cần thực hiện
bước này).
- Tìm tâm đối xứng của đồ thị: tính y’’ giải phương trình y’’ = 0 tìm nghiệm x I và tính
y I = f ( x I ) điểm I ( x I ; y I ) là tâm đối xứng của đồ thị.
- Lấy thêm một vài điểm (nếu cần)
- Vẽ đồ thị.
Các ví dụ đồ thị hàm số bậc 3.
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 – 4
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y ' = 3 x 2 + 6 x
x = 0
Giải phương trình: y ' = 0 ⇔ 3 x 2 + 6 x = 0 ⇔
x = −2
- Giới hạn:
lim y = lim ( x 3 + 3x 2 − 4) = −∞
x → −∞
x → −∞
- Bảng biến thiên:
x -∞
y’
+
y
-2
0
0
y = lim ( x 3 + 3 x 2 − 4) = +∞
và xlim
→ +∞
x → +∞
-
0
0
+∞
+
-∞
-4
- Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng: (−∞;−2) ∪ (0;+∞)
và nghịch biến trên khoảng (- 2; 0).
- Cc tr: Hàm số đạt cực đại tại x = -2 yCĐ = y(-2) = 0
Hàm số đạt cực tiĨu t¹i x = 0 ⇒ yCT = y(0) = -4
* Đồ thị:
+∞
y
- Giao điểm với Oy:
Cho x = 0 ⇒ y = -4
- Giao với Ox:
Cho y = 0 giải phương trình:
1
x = 1
-3
x3 + 3x2 – 4 = 0 ⇒
x = −2
- Tâm đối xứng của đồ thị:
-2
-1
1
2
O
-1
y' ' = 6 x + 6 ⇒ y' ' = 0 ⇒ 6 x + 6 = 0
x = -1 ⇒ y = -2
-2
Bảng giá trị:
x
-3
1
y
-4
0
-3
-4
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 3x + 2
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y ' = 3 x 2 + 6 x + 3
Giải phương trình: y ' = 0 ⇔ 3 x 2 + 6 x + 3 = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép:
x1 = x 2 = −1
y’ > 0 với mọi giá trị của x và y’(-1) = 0. ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên D
- Hàm số khơng có cực trị.
- Giới hạn:
lim y = lim ( x 3 + 3x 2 + 3 x + 2) = −∞ và lim y = lim ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2) = +∞
x →−∞
x →+∞
x→ +∞
x →−∞
- Bảng biến thiên:
x -∞
y’
+
y
-1
0
1
+∞
+
+∞
-∞
* Đồ thị:
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 2
- Tâm đối xứng của đồ thị: y ' ' = 6 x + 6 ⇒ y ' ' = 0 ⇒ 6 x + 6 = 0
x = -1 ⇒ y =1
y
- Bảng giá trị
x
y
-2
0
-3
-7
2
-Vẽ đồ thị
1
x
-3
-2
-1
1
O
2
-1
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x3 + 3x2 - 4x +2
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y ' = -3x 2 + 6x - 4
Giải phương trình : y’= 0 ⇔ -3x2 +6x – 4 = 0 ⇒ Phương trình vơ nghiệm.
⇒ y’< 0 ∀x ∈ D ⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên D
- Hàm số khơng có cực trị
- Giới hạn
lim y = lim (− x 3 + 3x 2 − 4 x + 2) = +∞ và lim y = lim (− x 3 + 3x 2 − 4 x + 2) = −∞
x → −∞
x → −∞
x → +∞
x → +∞
- Bảng biến thiên:
x -∞
y’
+∞
+∞
-
y
-∞
* Đồ thị:
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 2
- Tâm đối xứng của đồ thị: y ' ' = −6 x + 6 ⇒ y ' ' = 0 ⇒ − 6 x + 6 = 0
x = 1 ⇒ y =0
- Bảng giá trị:
x
2
y -2
- Vẽ đồ thị:
y
4
3
2
1
1
2
x
O
-1
-2
-3
-4
1.3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y = ax3 +bx2 + cx +d (a ≠ 0) .
Nếu a>0
Nếu a<0
y
y
Phương trình
y’ = 0
có hai nghiệm
phân biệt
x
x
O
O
y
Phương trình
y’ = 0
có nghiệm
kép
y
x
O
x
O
y
Phương trình
y’ = 0
vơ nghiệm
y
x
O
x
O
2. Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương(dạng: Hµm sè y = ax4 +bx2+ c (a≠0))
2.1. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax4 +bx2+ c (a≠0))
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính y '
Giải phương trình: y ' = 0 xét dấu y ' đưa ra chiều biến thiên của hàm số.
-
Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y ' )
-
y
Tính các giới hạn: xlim
→ −∞
và
lim y
x → +∞
Chú ý
* Nếu a > 0 ⇒
* Nếu a < 0 ⇒
lim y = lim (ax 4 + bx 2 + c) = +∞
x → ±∞
x → ±∞
lim y = lim (ax 4 + bx 2 + c ) = −∞
x →±∞
x →±∞
- Lập bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hồnh: Cho y = 0 Giải phương trình
ax 4 + bx 2 + c = 0 Tìm x ( Nếu giải phương trình khó q ta khơng cần thực hiện bước
này).
2.2. Chú ý : Khi xét dấu của đạo hàm y’
* Nếu phương trình y’ = 0 có một nghiệm là x 0 ta có bảng xét dấu của y’ như sau:
x -∞
+∞
x0
y’
Trái dấu a 0
Cùng dấu a
*Nếu phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2 ; x 3
(giả sử: x 1 < x 2 < x 3 ) ta có bảng xét dấu của y’ như sau:
x -∞
+∞
x1
x2
x3
y’ Trái dấu a 0 Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
2.3. Các ví dụ:
Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x4 - 2x2 + 2
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y ' = 4x 3 − 4x giải phương trình:
x = ±1
y ' = 0 ⇔ 4x 3 − 4x = 0 ⇔ 4x(x2 - 1) = 0 ⇔
x = 0
Bảng dấu của y’:
x -∞
-1
0
1
+∞
y’
0
+
0
0
+
Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng: (-1; 0) ∪ (1;+∞)
và nghịch biến trên khoảng: (-∞; - 1) ∪ (0;1)
- Hàm số đạt cực đại tại: x = 0 ⇒ y CĐ = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại: x = ±1 ⇒ y CT = 1
- Giới hạn:
-
lim y = lim ( x 4 − 2 x 2 + 2) = +∞
x →−∞
x→ −∞
và
lim y = lim ( x 4 − 2 x 2 + 2) = +∞
x →+∞
x→ +∞
- Bảng biến thiên:
x
y’
y
-∞
+∞
-1
0
+
0
0
2
-
1
0
+∞
+
+∞
1
1
* Đồ thị:
Giao với trục tung:
Cho x = 0 ⇒ y = 2
Giao với trục hoành:
Cho y = 0 giải phương trình
y
4
3
x4 − 2x2 + 2 = 0
Đặt : t = x 2 (t ≥ 0)
Ta có phương trình:
t 2 − 2t + 2 = 0
2
⇒ phương
1
trình vơ nghiệm. (khơng có
giao điểm với trục hồnh)
Cho x = ± 2 ⇒ y = 10
x
-2
-1
O
1
-1
Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= * Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
3
x4
-x 2 +
2
2
- Chiều biến thiên: y ' = -2 x 3 − 2x = -2x(x 2 + 1)
y ' = 0 ⇔ -2x(x 2 + 1) = 0 ⇔ x = 0 ta có bảng dấu của y’:
x -∞
0
+∞
y’
+
0
∞
Hàm số đồng biến trên (- ;0) và nghịch biến trên (0; + ∞ )
3
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇒ y CĐ = ; hàm số khơng có cực tiểu
2
4
x
3
- Giới hạn: lim y = lim (−
− x 2 + ) = −∞
x → ±∞
2
2
x → ±∞
- Bảng biến thiên:
x -∞
0
+∞
y’
+
0
3
2
y
-∞
* Đồ thị:
-∞
2
- Giao với trục tung: cho x = 0 ⇒ y=
3
2
- Giao với trục hoành: cho y = 0 giải phương trình: -
3
x4
-x 2 + = 0
2
2
⇔ x 4 + 2 x − 3 = 0 đặt t = x 2 (t ≥ 0)Ta có phương trình:
t = 1
⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ±1
t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔
t = −3(loai )
y
- Bảng giá trị:
x
-2
2
y
21
−
2
3
21
−
2
- Vẽ đồ thị
2
3/2
1
x
-3
-2
-1
O
1
2
3
-1
-2
2.4. Các dạng của đồ thị hàm số bậc bốn: y = ax4 +bx2+ c (a≠0)
a>0
a<0
y
Phương trình
y’ = 0
có ba nghiệm
phân biệt
y
x
O
x
O
y
Phương trình
y’ = 0
có một
nghiệm
y
x
x
O
O
3. Khảo sát hàm phân thức dạng: y =
ax + b
( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
cx + d
3.1. Sơ đồ khảo sát hàm số dạng: y =
ax + b
cx + d
a b
c ≠ 0, E =
=
ad
−
bc
≠
0
c d
d
c
* Tập xác định: D = R \ −
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y ' =
+) Nếu E > 0 ⇒
E
(cx + d ) 2
y ' > 0 ∀x ∈ D
y ' < 0 ∀x ∈ D
+) Nếu E < 0 ⇒
- Hàm số khơng có cực trị.
⇒ Hàm số ln đồng biến trên D
⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên D
+
−
d
d
- Giới hạn và tiệm cận: ( tính các giới hạn khi x → ±∞ và x → − ; x → − )
c
c
lim y = lim
x→±∞
ax + b a
=
cx + d c
lim y
Tính giới hạn
Tiệm cận đứng:
x →−
d
c
−
⇒ Tiệm cận ngang:
và
x=−
- Bảng biến thiên:
a) Nếu E >0
lim y
x →−
d+
c
y=
a
c
( dựa vào bảng biến thiên).
d
c
b) Nếu E < 0
x
-∞
y’
y
−
+
d
c
+∞
x
+
+∞
−
y’
a
c
a
c
-∞
y
-
+∞
+∞
a
c
-∞
d
c
a
c
-∞
* Đồ thị:
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: cho y =0 Giải phương trình:
b
ax + b
=0 ⇒ x = −
cx + d
a
- Vẽ một nhánh của đồ thị nhánh còn lại lấy đối xứng qua tâm I( −
đường tiệm cận
3.2. Các ví dụ.
Ví dụ 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y =
* Tập xác định: D = R \ { − 1}
d a
; ) là giao của hai
c c
− 2x − 4
x +1
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y ' =
2
> 0 ∀x ∈ D ⇒ Hàm số đông biến trên D
( x +1) 2
- Cực trị : Không có
- Giới hạn và tiệm cân :
lim y = −2 và lim y = −2 ⇒ đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của đồ thị.
x → +∞
x → −∞
lim y = +∞ và limy = −∞ ⇒ đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị
x → −1−
x →-1+
- Bảng biến thiên :
x
y’
-∞
−1
+
+∞
+
+∞
-2
y
-2
-∞
* Đồ thị:
- Vẽ tiệm cận đứng: x = -1 và tiệm cận ngang: y=-2
- Giao với trục tung:
Cho x=0 ⇒ y=-4
- Giao với trục hồnh:
Cho y = 0 giải phương
trình:
− 2x − 4
=0 ⇒ x=-2
x +1
- bảng giá trị:
x 1
2
y -3
-8/3
Vẽ nhánh bên phải đường
tiệm cận đứng. nhánh còn
lại lấy đối xứng qua tâm I(1;-2)
y
2
1
x
.
-4
-3
-2
-2
I
-8/3
-3
22
3
4
.
-4
-5
* Tập xác định: D = R \ { 2}
- Chiều biến thiên: y ' =
O
11
-1
Ví dụ 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y =
* Sự biến thiên:
-1
3− x
x−2
−1
< 0 ⇒ Hàm số nghịch biến trên D
( x − 2) 2
- Cực trị : Không có
- Giới hạn và tiệm cân :
lim y = −1 và lim y = −1 ⇒ đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị.
x → +∞
x →−∞
lim y = −∞ vaø limy = +∞ ⇒ đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị
x →2 −
x →2 +
- Bảng biến thiên :
x -∞
y’
-1
y
+∞
2
-
+∞
-∞
-
-1
* Đồ thị:
- Vẽ tiệm cận đứng x = 2; tiệm cận ngang: y = -1
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = -
3
2
x=2
y
- Giao điểm của đồ
thị với trục hoành:
cho y = 0
giải phương trình:
3− x
= 0 ⇒x = 3
x−2
3
2
1
x
- Bảng giá trị:
-2
-1
x
y
-1
-4/3
11
O
-1
1
-2
-2
2
-4/3
2
3
4
y=-1
I
-3/2
-3
-4
3.3. Các dạng của hàm số phân thức dạng: y =
ax + b
cx + d
a b
c ≠ 0, E =
=
ad
−
bc
≠
0
c
d
E = ad − bc > 0
E = ad − bc < 0
y
I
y
I
x
O
O
III. CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
a)
y = 2 x 3 + 3x 2 − 1
b) y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 5
c) y = x 3 − 3 x 2 − 6 x + 8
2 3
1
2
d) y = x − x +
3
3
f) y = x 3 + 3x 2 + 3 x + 1
g) y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 3
h) y = x 3 − 3 x
i) y = − x 3 + 3 x
−1 3
x − x 2 + 3x − 4
j) y =
3
x
1 3
e) y = − x + 4 x
3
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương
x4
5
− 3x 2 +
2
2
2
y = ( x + 1) ( x − 1) 2
y = x 4 − 5x 2 + 4
y = x 4 + 2x 2 + 3
y = x4
a) y =
b)
c)
d)
e)
f) y = x 4 − 6 x 2 + 5
1 4
9
2
g) y = x − 2 x −
4
4
2
4
h) y = 3 + 2 x − x
i) y = − x 4 + 2 x 2 + 1
j) y = x 4 − 4 x 2 + 3
3.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức
2x + 1
x+2
x+2
y=
x −1
x+2
y=
x−3
2x − 1
y=
x+2
1
y=
x
a) y =
b)
c)
d)
e)
2x − 1
x −1
3x − 1
g) y =
x−3
x+2
h) y =
x−2
3x + 2
i) y =
x+2
−1
j) y =
2x − 2
f) y =
