BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN TIẾN PHÁT

KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN TIẾN PHÁT

KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội - 2016

Lời cám ơn
Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm,
thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn với gia đình và người mẹ kính yêu đã động viên tôi trong suốt
quá trình học tập. Tôi cũng xin cám ơn các anh chị học viên lớp K18 Toán
Giải tích và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những
thiếu xót. Vì vậy tôi mong những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các
bạn để luận văn hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Tiến Phát


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Tiến Phát


Mục lục

Lời cám ơn


i

Lời cam đoan

ii

Phần mở đầu

vii

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

1.3

1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2


Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Tập mở và tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4

Không gian đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.5

Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.6

Ánh xạ liên tục trong không gian metric . . . . . . . 12

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1

Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn . . . . . 14


1.2.2

Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 16

1.2.3

Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
iii


2 Khoảng cách Hausdorff

21

2.1

Các định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3

Tính chất tương quan giữa khoảng cách các điểm thuộc hai
tập hợp và khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đó . . . . . 27


2.4

Một số ví dụ về tính khoảng cách Hausdorff giữa hai tập
hợp trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5

Khoảng cách Hausdorff một phía . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Một số ứng dụng
3.1
3.2

38

Xét đặc trưng của không gian định chuẩn hữu hạn chiều

. 38

Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46


iv


v


Các kí hiệu

N

tập số tự nhiên

R

tập số thực

C

tập số phức

ρ(x, y)

khoảng cách giữa hai phần tử x và y

{xn }∞
n=1

dãy số thực hoặc phức

∞


xi

chuỗi số thực hoặc phức

i=0

l2

không gian các dãy số thực hoặc phức sao cho
chuỗi bình phương các modul hội tụ.

C[a,b]

tập tất cả các hàm số giá trị thực
liên tục trên đoạn [a, b]

B (a, r)

hình cầu mở tâm a bán kính r

B (a, b)

hình cầu đóng tâm a bán kính r

x

chuẩn của vecto x

F :X⇒Y


ánh xạ đa trị F từ X vào Y

h (A → B)

khoảng cách Hausdorff một phía từ tập A đến tập B

h (A, B)

khoảng cách Hausdorff giữa tập A và tập B

Er (A)

r_bao của tập A
vi


Phần mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Khái niệm khoảng cách giữa các tập hợp được khởi xướng và nghiên
cứu bởi Hausdorff. Hiện nay, khoảng cách Hausdorff được sử dụng rộng
rãi trong lý thuyết và ứng dụng của nhiều lĩnh vực toán học bao gồm Giải
tích không trơn, Lý thuyết tối ưu, Phép tính biến phân. Thêm nữa, những
bài toán xấp xỉ cũng sử dụng đến khái niệm này một cách thích hợp. Một
số khái niệm khác trong lý thuyết tối ưu như tính đều mêtric, phủ và các
tính chất liên quan đến phủ, tính Lipschitz và giả Lipschitz của ánh xạ đa
trị. Khái niệm khoảng cách Hausdorff còn có mối liên hệ gần gũi với các
lý thuyết về điểm bất động.
Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của
khoảng cách Hausdorff đã được phát triển mạnh mẽ. Tuy nhiên, khoảng

cách Hausdorff trên những lớp các tập hợp có đặc trưng riêng sẽ có những
tính chất riêng biệt, đây có thể coi là một chủ đề vô tận để nghiên cứu và
ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học. Vì vậy, sau khi học được các kiến
thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức
đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu
“Khoảng cách Hausdorff và ứng dụng”.


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số tính chất của khoảng cách Hausdorff trên một lớp
các tập hợp có tính chất đặc biệt và trong không gian định chuẩn.
Áp dụng kết quả tổng quát này để nêu lên một đặc điểm của không
gian định chuẩn hữu hạn chiều và so sánh một số ánh xạ đa trị Lipschitz.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu khoảng cách Hausdorff, mối tương quan giữa các điểm thuộc
hai tập hợp với khoảng cách Hausdorff giữa hai tập ấy. Áp dụng vào nghiên
cứu đặc trưng mới cho không gian định chuẩn hữu hạn chiều, so sánh một
số khái niệm thông dụng về ánh xạ đa trị Lipschitz và nghiên cứu ổn định
trong lý thuyết tối ưu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Khoảng cách Hausdorff.
Phạm vi nghiên cứu: Tính chất của khoảng cách Hausdorff trong không
gian metric và áp dụng vào không gian định chuẩn và giải tích đa trị.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận
và nghiên cứu vấn đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài
báo mới trong và ngoài nước có liên quan đến vấn đề mà luận văn đề cập.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày những kết quả về tính tương quan giữa khoảng cách các điểm

thuộc hai tập hợp và khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đó. Trong một số

viii


điều kiện giúp chúng ta có thêm những hiểu biết mới về khoảng cách. Áp
dụng kết quả tổng quát này để xét đặc trưng của không gian định chuẩn
hữu hạn chiều, so sánh một số khái niệm ánh xạ đa trị Lipschitz. Một số
kết quả mới đã được thiết lập.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Tiến Phát

ix


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này dành để trình bày một số khái niệm của giải tích hàm, giải
tích đa trị. Nội dung được tuyển chọn trong các tài liệu [1], [2], [3].

1.1
1.1.1

Không gian metric
Các khái niệm

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi là không gian metric một tập X = ∅ cùng với
một ánh xạ ρ từ tích Decartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn
các tiên đề sau đây:
1) (∀x, y ∈ X) ρ (x, y) ≥ 0, ρ (x, y) = 0 ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất);
2) (∀x, y ∈ X) ρ (x, y) = ρ (x, y), (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y, z ∈ X) ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (z, y), (tiên đề tam giác).
Ánh xạ ρ được gọi là metric trên X , số ρ (x, y) gọi là khoảng cách giữa
hai phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2),
1


3) gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được ký hiệu là M = (X, ρ)
Định nghĩa 1.1.2 Hai metric ρ1 và ρ2 xác định trên cùng một tập X = ∅
được gọi là tương đương nếu tồn tại α, β > 0 sao cho αρ1 ≤ ρ2 ≤ βρ1 .
Ví dụ 1.1.3 Ta kí hiệu l2 là tập tất cả các dãy số thực hoặc phức x =

{xn }∞
n=1
x=

∞

|xn |2 hội tụ. Với hai dãy số bất kỳ

sao cho chuỗi số dương

{xn }∞
n=1 ,


n=1

y=

{yn }∞
n=1

thuộc l2 , ta đặt:
∞

|xn − yn |2

ρ (x, y) =

(1.1)

n=1

Hệ thức (1.1) xác định một ánh xạ từ tích Descartes l2 × l2 vào tập số thực
R. Thật vậy, với mọi n = 1, 2, . . . ta có:

|xn − yn |2 = x2n − 2xn yn + yn2
≤ |xn |2 + 2 |xn | |yn | + |yn |2
≤ 2 |xn |2 + |yn |2
Do đó với mọi số p nguyên dương đều có:
p

p
2


|xn − yn | ≤ 2
n=1

p
2

|xn | + 2
n=1

∞
2

|yn | ≤ 2
n=1

∞
2

|yn |2

|xn | + 2
n=1

n=1

Suy ra:
∞

∞
2


|xn − yn | ≤ 2
n=1

∞
2

|yn |2

|xn | + 2
n=1

n=1

nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.1) hội tụ.
Dễ thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các tiên đề 1), 2) về metric. Với ba dãy
2


∞
∞
bất kì x = (xn )∞
n=1 , y = (yn )n=1 , z = (zn )n=1 thuộc l2 và với số nguyên

dương tùy ý ta có:
1
2

p


|xn − yn |2

1
2

p

(|xn − zn | + |zn − yn |)2

≤
n=1

n=1

1
2

p

|xn − zn |2

≤

|zn − yn |2

+

n=1

n=1

1
2

∞

|xn − zn |2

≤

1
2

p

1
2

∞

|zn − xn |2

+

n=1

n=1

cho p → ∞ ta được:
1
2


∞

|xn − yn |2

ρ (x, y) =

1
2

∞

|xn − yn |2

≤

n=1

n=1

1
2

∞

|zn − yn |2

+
n=1


= ρ (x, z) + ρ (z, y)
Do đó hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề 3) về metric.
Vì vậy, hệ thức (1.1) xác định một metric trên l2 . Không gian metric tương
ứng vẫn kí hiệu là l2 .
Ví dụ 1.1.4 Ta kí hiệu C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác
định và liên tục trên đoạn [a, b] , (−∞ < a < b < +∞). Với hai hàm số
bất kì x (t) , y (t) ∈ C[a,b] ta đặt:

ρ (x, y) = max |x (t) − y (t)|
a≤t≤b

(1.2)

Vì các hàm số x (t) , y (t) liên tục tục trên [a, b] nên hàm số |x (t) − y (t)|
cũng liên tục tục trên [a, b]. Suy ra hệ thức (1.2) xác định một ánh xạ từ

3


tích Descartes C[a,b] × C[a,b] vào tập số thực R. Dễ thấy ánh xạ (1.2) thỏa
mãn các tiên đề về metric. Không gian metric tương ứng vẫn kí hiệu là

C[a,b] .
Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric M = (X, ρ). Một tập con bất
kỳ X0 = ∅ của tập X cùng với metric trên tập X lập thành một không
gian metric. Không gian metric M0 = (X0 , ρ) gọi là không gian metric con
của không gian metric đã cho.
Chú ý 1.1.6 Sau này nếu không giải thích gì thêm ta sẽ viết không gian
metric X thay cho (X, ρ).
Trên cùng một tập hợp có thể trang bị nhiều metric khác nhau.

2. Các tính chất đơn giản
Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh được các tính chất sau đây:
n−1

∗

1) (∀xj ∈ X, j = 1, 2, . . . , n, n ∈ N ) ρ (x1 , xn ) ≤

ρ (xj , xj+1 ).
j=1

2) (∀x, y, u, v ∈ X) |ρ (x, y) − ρ (u, v)| ≤ ρ (x, u)+ρ (y, v), (bất đẳng thức
tứ giác).
3) (∀x, y, u ∈ X) |ρ (x, y) − ρ (y, u)| ≤ ρ (x, u), (bất đẳng thức tam giác)

1.1.2

Sự hội tụ trong không gian metric

Trong không gian metric, nhờ có khoảng cách, nên có thể định nghĩa
khái niệm giới hạn.
Ta nói một dãy điểm x1 , x2 , x3 , . . . của một không gian metric X hội tụ
tới điểm x của không gian đó nếu lim ρ (xn , x) = 0. Ta viết
n→∞

4


xn → x hoặc lim xn = x,
và điểm x được gọi là giới hạn của dãy {xn }.

Dĩ nhiên, một dãy {xn } hội tụ đến x thì mọi dãy con {xnk } cũng hội tụ
đến x, đồng thời ta cũng thấy rõ hai tính chất quan trọng sau đây:
I. Nếu xn → x và xn → x thì x = x , nghĩa là giới hạn của một dãy điểm,
nếu có, là duy nhất.
Thật vậy, tiên đề tam giác cho phép viết

0 ≤ ρ (x, x ) ≤ ρ (x, xn ) + ρ (xn , x )
mà ρ (xn , x) → 0, ρ (xn , x ) → 0 cho nên ρ (x, x ) = 0 từ đó theo tiên đề
1: x = x .
II.Nếu xn → x và yn → y thì ρ (xn , yn ) → ρ (x, y) nghĩa là khoảng cách

ρ (x, y) là một hàm liên tục đối với x và y .
Thật vậy, với bất kì điểm x, y, z, u, tiên đề tam giác cho ta

ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (z, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (z, u) + ρ (u, y) ,
từ đó,

ρ (x, y) − ρ (z, u) ≤ ρ (x, z) + ρ (y, u) .
Hoán vị x với z , và y với u ta được :

ρ (z, u) − ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (y, u) .

5


Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức tứ giác:

|ρ (x, y) − ρ (z, u)| ≤ ρ (x, z) + ρ (y, u) ,
cho z = xn và u = yn ta suy ra


|ρ (x, y) − ρ (xn , yn )| ≤ ρ (x, xn ) + ρ (y, yn ) ,
chứng tỏ rằng nếu xn → x, yn → y thì ρ (xn , yn ) → ρ (x, y).
Ví dụ 1.1.7 Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C[a,b] tương
đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a, b].
Thật vậy giả sử dãy hàm (xn (t)) ∈ C[a,b] hội tụ tới hàm x (t) trong không
gian C[a,b] . Theo định nghĩa, ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n ≥ n0

ρ (xn , x) = max |xn (t) − x (t)| < ε.
a≤t≤b

Suy ra

|xn (t) − x (t)| < ε (∀n ≥ n0 ) (∀t ∈ [a, b])
Chứng tỏ dãy hàm số liên tục (xn (t)) hội tụ đều tới hàm số x (t) trên
đoạn [a, b].
Ngược lại, giả sử dãy hàm số (xn (t)) ⊂ C[a,b] hội tụ đều tới hàm số x (t)
trên đoạn [a, b]. Khi đó x (t) liên tục trên đoạn [a, b], nghĩa là x (t) ∈ C[a,b] .
Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm, thì:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b] , |xn (t) − x (t)| < ε

6


Suy ra max |xn (t) − x (t)| < ε (∀n ≥ n0 ) hay ρ (xn , x) < ε (∀n ≥ n0 ).
a≤t≤b

Do đó dãy hàm (xn (t)) hội tụ đến hàm số x (t) theo metric của không
gian C[a, b]


1.1.3

Tập mở và tập đóng

1. Hình cầu
Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian metric (X, ρ), a ∈ X , số r > 0. Ta
gọi:

B (a, r) = {x ∈ X : ρ (x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính r;
¯ (a, r) = {x ∈ X : ρ (x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r.
B
2. Lân cận
Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian metric (X, ρ). Ta gọi là lân cận của
điểm x ∈ X trong không gian (X, ρ) mọi hình cầu mở tâm x bán kính

r > 0 nào đấy.
Nhờ định nghĩa lân cận ta có thể phân loại các điểm trong không gian
metric như sau:
Cho không gian metric (X, ρ), tập A ⊂ X , điểm b ∈ X .
Điểm b gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm

b bao hàm trong tập A.
Điểm b gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm

b không chứa điểm nào của tập A.
Điểm b gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm b đều
7


chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A. Tập tất

cả những điểm biên của tập A kí hiệu là ∂A.
Điểm b gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập A nếu mọi lân cận
của điểm b đều chứa ít nhất một điểm của tập A khác b. Tập tất cả các
điểm giới hạn của tập A gọi là tập dẫn suất và kí hiệu là A .
Điểm b gọi là điểm cô lập của tập A, nếu b ∈ A và b không là điểm giới
hạn của tập A.

3. Tập mở và tập đóng
Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian metric (X, ρ) và tập A ⊂ X . Tập

A gọi là mở trong không gian (X, ρ), nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm
trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại một lân cận
của x bao hàm trong A.
Tập A gọi là tập đóng trong không gian (X, ρ), nếu mọi điểm không
thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈
/ A, thì
tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A.
Định lý 1.1.11 Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập
mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.
Định lý 1.1.12 Cho không gian metric (X, ρ), tập A ⊂ X và A = ∅. Tập

A đóng trong không gian (X, ρ) khi và chỉ khi mọi dãy điểm {xn } ⊂ A hội
tụ tới điểm x thì x ∈ A.

8


Hệ quả 1.1.13 Trong không gian metric bất kì, phần bù của tập mở là
tập đóng, phần bù của tập đóng là tập mở. Các tập X , ∅ vừa đóng vừa mở.
Định nghĩa 1.1.14 Cho không gian metric (X, ρ) và tập A ⊂ X . Hợp

của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A, kí hiệu là

intA. Giao của tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của A và ký
hiệu là A¯.

1.1.4

Không gian đủ

Trong không gian metric X bất kì, ta gọi dãy {xn } là dãy cơ bản nếu

lim ρ (xn , xm ) = 0 tức là: ∀ε > 0, ∃N, ∀n ≥ N, ∀m ≥ N kéo theo

n,m→∞

ρ(xn , xm ) < ε.
Định nghĩa 1.1.15 Một không gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản
đều hội tụ gọi là một không gian đủ.
Chú ý 1.1.16 Trên tập hợp X có thể trang bị nhiều metric. Tính đầy đủ
của một không gian metric phụ thuộc chủ yếu vào metric trên nó chứ không
phải tập nền X .
Để làm thí dụ ta sẽ xét tập C[a,b] với các metric

d (x, y) = max |x (t) − y (t)|
ρ (x, y) =

a≤t≤b
´b

|x (t) − y (t)|


a

Khi đó C[a,b] , d là không gian đủ. Thật vậy, giả sử xn (t) là một dãy cơ
bản trong C[a,b] , tức là max |xn (t) − xm (t)| → 0 (n, m → ∞). Với mỗi
a≤t≤b

9


t cố định, dãy số xn (t) là cơ bản trong R, cho nên phải có một giới hạn
x (t) nào đó. Mặt khác, với x (t) cho trước, có thể tìm được Nε sao cho với
mọi n, m ≥ Nε và với mọi t, ta có |xn (t) − x (t)| ≤ ε. Cho m → ∞ ta sẽ
được, với mọi n ≥ Nε tức là dãy xn (t) hội tụ đều tới x (t). Vậy x (t) liên
tục và x (t) ∈ C[a,b] đồng thời xn (t) hội tụ tới x (t) trong C[a,b] .
Không gian C[a,b] , ρ là không đủ. Chẳng hạn cho C[a,b] , ρ và xét dãy

xn (t) như sau:

xn (t) =





1






nếu







 n + 1 − 2nt

nếu

0

0≤t≤

1
2

1
1
+
≤t≤1
2 2n
1
1
1
≤t≤ +
2

2 2n

nếu

Ta có với mọi m > n:
1
1
2 + 2n

ˆ1

ˆ

|xn (t) − xm (t)| dt =

ρ (xn , xm ) =

|xn (t) − xm (t)| dt

0

1
2

1
→ 0, do đó {xn (t)} là một
2n
dãy cơ bản. Dễ thấy rằng dãy này không hội tụ. Thật vậy, giả sử xn (t) hội
´1
tụ tới một x (t) nào đó trong C[a,b] , tức là |xn (t) − x (t)| dt → 0. Tích


Vì |xn (t) − xm (t)| ≤ 1 nên ρ (xn , xm ) ≤

0

phân này có thể viết
1

ˆ2

ˆ1

|xn (t) − x (t)| dt

|xn (t) − x (t)| dt +
0

1
2

10


cho nên ta phải có
1

ˆ2

ˆ1


|xn (t) − x (t)| dt → 0,
0

|xn (t) − x (t)| dt → 0
1
2

nhưng rõ ràng
1

ˆ2

ˆ1

|xn (t) − 1| dt → 0,
0

|xn (t) − 0| dt → 0
1
2

Vậy x (t) và 1 cùng là giới hạn của xn (t) trong C[1, 1 ] . x (t) và 0 cùng là
2
giới hạn của xn (t) trong C 12 , 1 . Do tính duy nhất của giới hạn suy ra
1
1
, x (t) = 0
≤ t ≤ 1 . Nhưng như thế thì x (t)
x (t) = 1 0 ≤ t ≤
2

2
không liên tục, và không thuộc C[0,1] . Do đó, dãy xn (t) không thể có giới
hạn nào cả trong không gian C[0,1] .
Định lý 1.1.17 (Nguyên lý Cantor) Trong một không gian metric đủ,
mỗi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất.

1.1.5

Không gian compact

1. Tập compact
Định nghĩa 1.1.18 Ta nói một tập M trong một không gian metric X
bị chặn nếu nó nằm trong một hình cầu nào đó, nghĩa là nếu có một điểm

a ∈ X và một số C > 0 sao cho ρ (x, a) ≤ C với mọi x ∈ M .
Định nghĩa 1.1.19 (Tập compact) Một tập M trong không gian metric X được gọi là compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ M đều chứa một dãy con
11


{xnk } hội tụ tới một điểm thuộc M .
2. Đặc trưng tập compact
Một tập M trong một không gian metric X gọi là hoàn toàn bị chặn
nếu với mọi ε > 0 cho trước, tập M có thể phủ được bằng một số hữu
hạn hình cầu bán kính ε; tức là, cho trước ε > 0 tùy ý, bao giờ cũng
tìm được một số hữu hạn hình cầu S1 , S2 , . . . , Sk , với bán kính ε, để cho
∞

M⊂

Si .

i=1

Định lý 1.1.20 Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị chặn. Ngược
lại một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian metric đủ thì
compact.
3. Không gian compact
Một không gian metric X được gọi là không gian compact nếu nó là
một tập compact trong chính nó, nghĩa là mọi dãy {xn } trong X đều có
chứa một dãy con hội tụ.
Định lý 1.1.21 Mọi không gian metric compact là không gian đủ.

1.1.6

Ánh xạ liên tục trong không gian metric

1. Định nghĩa và tính chất chung
Định nghĩa 1.1.22 Cho hai không gian metric X và Y . Một ánh xạ f đi
từ X vào Y gọi là liên tục tại điểm xo ∈ X nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ X ,

ρX (x, xo ) < δ ⇒ ρY (f (x) , f (xo )) < ε
12


điều này tương đương với f (xn ) → f (x0 ) cho mọi dãy xn → x0 .
Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .
Định lý 1.1.23 Đối với một ánh xạ f từ một không gian metric X vào
một không gian metric Y thì ba mệnh đề sau là tương đương:
1. f liên tục.
2. Nghịch ảnh của mọi tập đóng trong Y đều là tập đóng trong X .
3. Nghịch ảnh của một tập mở trong Y đều là tập mở trong X .

2. Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động
Cho một không gian metric X bất kì. Một ánh xạ P : X → X gọi là
ánh xạ co, nếu có một số θ < 1 sao cho, nếu P x là phần tử ứng với x trong
ánh xạ P , thì với mọi x1 , x2 ∈ X ta có

ρ (P x1 , P x2 ) ≤ θρ (x1 , x2 )
Trong một phép ánh xạ từ X vào chính nó có thể có những điểm mà ảnh
của nó trùng với chính nó, tức là những điểm x sao cho P x = x gọi là
điểm bất động trong ánh xạ.
Định lý 1.1.24 (Banach) Mọi ánh xạ co P từ một không gian metric đủ
vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất.

13


1.2
1.2.1

Không gian định chuẩn
Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là không gian vector trên trường vô hướng
K (các số thực R hoặc các số phức C). Hàm . xác định trên X gọi là
một chuẩn trên X nếu . thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ∀x ∈ X , x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ;
2. ∀x ∈ X , ∀α ∈ K, αx = |α| x ;
3. ∀x, y ∈ X , x + y ≤ x + y .
cặp (X, . ) được gọi là một không gian định chuẩn, và cũng kí hiệu là
không gian định chuẩn X .
Định lý 1.2.2 Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vector bất kì


x, y ∈ X ta đặt
ρ (x, y) = x − y

(1.3)

khi đó ρ là một metric trên X .
Nhờ định lý trên, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không
gian metric với metric (1.3). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong
không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn. Dưới đây ta chỉ
nêu một vài trường hợp.

14