BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LUẬN

XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VỚI CÁC HÀM SPLINES

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LUẬN

XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VỚI CÁC HÀM SPLINES

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn
Tuấn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để
tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đã cổ
vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Luận


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn
Tuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Xấp xỉ và ổn
định của một số lớp phương trình với các hàm splines” được hoàn
thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Luận



2

Mục lục
Mở đầu

5

1 Kiến thức chuẩn bị

8

1.1

1.2

1.3

Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Khái niệm không gian tuyến tính . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con . . . . . . 10


Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1

Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . 12

1.2.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . 14

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Sự ổn định của hệ phương trình sai phân . . . . . . . . . . 16
1.4.1

Khái niệm mở đầu về phương pháp sai phân

1.4.2

Sự ổn định của bài toán sai phân . . . . . . . . . . . 22

1.4.3

Phân tích ổn định Von-Neumann . . . . . . . . . . . 25

2 Hàm spline và phương pháp kết hợp

. . . . 16

29


2.1 Spline và B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1

Không gian các hàm spline và B-spline . . . . . . . . 29

2.1.2

Hàm spline bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Phương pháp kết hợp (Collocation Method) . . . . . . . . . 35
2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


3

2.2.2

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Xấp xỉ và ổn định của một số lớp phương trình . . . . . . . 40
2.3.1

Phương pháp kết hợp với cơ sở B-spline bậc 5 giải
phương trình truyền nhiệt một chiều . . . . . . . . . 40

2.3.2


Phương pháp kết hợp với cơ sở B-spline bậc 3 giải
phương trình Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Ứng dụng

58

3.1 Ứng dụng với phương trình truyền nhiệt một chiều . . . . . 58
3.2 Ứng dụng với phương trình Burgers . . . . . . . . . . . . . 69
Kết luận
Tài liệu tham khảo

77
78


4

BẢNG KÍ HIỆU
N

Tập số tự nhiên

N∗
R
C

Tập số tự nhiên khác không
Tập số thực
Tập số phức


C[a,b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]
S3(π) Tập tất cả các hàm spline đa thức bậc 3
·
Chuẩn


5

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong thực tế, để giải nhiều bài toán cần phải tính được giá trị của
hàm số tại một điểm nhưng để tính đúng giá trị của hàm số tại một điểm
của một số hàm gặp rất nhiều khó khăn. Bởi vậy, người ta sử dụng nhiều
phương pháp gần đúng để giải quyết các vấn đề trên.
Hàm spline là các đa thức trên từng đoạn có nhiều ưu điểm trong tính
toán. Do vậy, được sử dụng trong tính toán gần đúng. Tính xấp xỉ giá trị
của hàm số tại một điểm bằng phương pháp hàm spline rất thuận lợi.
Đặc biệt, nghiên cứu để giải một số lớp phương trình bằng các hàm
splines đang được các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Cụ thể,
các phương trình đạo hàm riêng như phương trình truyền nhiệt, phương
trình Burgers mô tả dòng nhiệt, dòng chảy của chất lỏng và khí được
nghiên cứu giải gần đúng bằng phương pháp kết hợp (Colocation method)
với cơ sở là các hàm spline ([5], [6], [8]).
Vậy để giải phương trình đạo hàm riêng thì tính ổn định của hệ sai phân
là rất quan trọng nên tôi đã nghiên cứu luận văn: "Xấp xỉ và ổn định
của một số lớp phương trình với các hàm splines".


6


2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu sự ổn định của một số phương trình sai phân tương ứng
với các phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng như phương trình
truyền nhiệt, Burgers.
- Giải xấp xỉ các phương trình trên.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm về hàm spline, các tính chất của hàm spline
để giải gần đúng phương trình truyền nhiệt và phương trình Burgers.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các hàm splines, lý thuyết xấp xỉ, tính ổn định
của hệ sai phân, phương trình truyền nhiệt, phương trình Burgers.
- Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu lớp phương trình trên trong không
gian một chiều.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý kiến
chuyên gia.

6. Đóng góp mới của luận văn
- Trình bày kiến thức cơ bản để giải xấp xỉ các phương trình đạo hàm
riêng bằng phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng cơ sở là các hàm splines.


7

- Nghiên cứu giải phương trình truyền nhiệt một chiều bằng hệ cơ sở
spline bậc 5.

- Làm rõ giải xấp xỉ phương trình Burgers.


8

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không gian
tuyến tính, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian các
hàm spline, sai số, sự ổn định của hệ phương trình sai phân để phục vụ
chứng minh ở chương sau.

1.1

Không gian tuyến tính

1.1.1

Khái niệm không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng mà các phần tử được kí
hiệu: x, y, z, . . . và K là một trường mà các phần tử được kí hiệu: α, β, γ, . . .
Giả sử trên X được trang bị hai phép toán, gồm:
1. Phép toán cộng, kí hiệu + :

X × X −→ X

(x, y) −→ x + y
2. Phép toán nhân, kí hiệu là · :


K × X −→ X


9

(α, x) −→ α · x
thỏa mãn 8 tiên đề sau:

• x + y = y + x, ∀x, y ∈ X ;
• (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X ;
• tồn tại duy nhất θ ∈ X sao cho θ + x = x + θ, ∀x ∈ X (phần tử θ
gọi là phần tử không);

• Với mỗi phần tử x ∈ X tồn tại duy nhất phần tử −x ∈ X sao cho
x + (−x) = θ (phần tử −x gọi là phần tử đối của x);

• 1 · x = x, ∀x ∈ X và 1 là phần tử đơn vị của trường K ;
• α · (β · x) = (α · β) · x, ∀x ∈ X và α, β ∈ K ;
• (α + β) · x = α · x + β · y, ∀x ∈ X và α, β ∈ K ;
• α · (x + y) = α · x + α · y, ∀x, y ∈ X và α ∈ K .
Khi đó X cùng với hai phép toán trên gọi là không gian tuyến tính
trên trường K .
Khi K = R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực.
Khi K = C thì X được gọi là không gian tuyến tính phức.
Người ta còn gọi không gian tuyến tính là không gian vectơ.
Ví dụ 1.1.1.
Trong mặt phẳng thực R2 , Tập X = R2 là tập
R2 = (x1, x2 ) : x1 và x2 là các số thực ,
với mỗi số thực α và các vectơ x = (x1, x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X, phép cộng
và nhân vô hướng được định nghĩa:



10

x + y = (x1 + y1 , x2 + y2),
αx = (αx1, αx2),
là không gian tuyến tính.
Ví dụ 1.1.2.
Không gian C[a,b]
C[a,b] = x = x(t) : x(t) là hàm số liên tục trên [a, b] ,
với mỗi số thực α và f (t), g(t) ∈ C[a,b] , phép cộng và nhân vô hướng được
định nghĩa:

(f + g)(t) = f (t) + g(t), a ≤ t ≤ b
(αf )(t) = αf (t),

là không gian tuyến tính.

1.1.2

Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con

Định nghĩa 1.1.2. Trong không gian tuyến tính X .
Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1 , x2 , . . . , xn ∈ X là một tổng có

dạng:

α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn .
Các vectơ x1 , x2, . . . , xn được gọi là độc lập tuyến tính nếu:


α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0 ⇒ α1 = α2 = ... = αk = θ.
Vectơ x1 , x2, ..., xk gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu chúng không độc lập
tuyến tính. Nghĩa là, tồn tại những số α1 , α2 , . . . , αk trong đó có ít nhất
một số khác θ sao cho α1 x1 + α2 x2 + . . . + αk xk = 0.


11

Chẳng hạn, hai vectơ x và −x là phụ thuộc tuyến tính vì:

1 · x + 1 · (−x) = 0.
Nếu trong các vectơ x1 , x2 , . . . , xn có một vectơ bằng 0 thì chúng là phụ
thuộc tuyến tính.
Một không gian tuyến tính X được gọi là không gian k chiều nếu trong

X có k vectơ độc lập tuyến tính và không có k + 1 vectơ độc lập tuyến
tính.
Trong trường hợp này một tập k vectơ độc lập tuyến tính của X gọi là
một cơ sở của nó.
Các không gian k chiều, với k là một số nguyên bất kì ≥ 0 gọi là không

gian hữu hạn chiều.

Một không gian không hữu hạn chiều, tức là sao cho với mọi k đều tìm
được k vectơ độc lập tuyến tính của nó, gọi là không gian vô số chiều.
Ví dụ 1.1.3.
Rk = (a1 , a2 , . . . , ak ) ai ∈ R là không gian k chiều, với cơ sở là:

x1 = (1, 0, . . . , 0), x2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , xk = (0, 0, . . . , 1).
Không gian C[a,b] là vô số chiều vì với mọi k ta luôn có k phần tử của

nó độc lập tuyến tính, đó là:

x1(t) ≡ t, x2(t) ≡ t2 , . . . , xk (t) ≡ tk .
Nếu X là không gian k chiều và x1 , x2 , . . . , xk là một cơ sở của nó thì
mọi x ∈ X đều được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

x = α1 x1 + α2 x2 + . . . + αk xk ;
các số α1 , α2 , . . . , αk gọi là các tọa độ của vectơ x đối với cơ sở {x1 , x2 , . . . , xk }.

Nếu ta làm phép ánh xạ 1 − 1 : x ↔ (α1 , α2 , . . . , αk ) thì đó là một phép


12

đẳng cấu giữa X và Rk . Như vậy không gian tuyến tính k chiều bao giờ
cũng đẳng cấu với không gian Rk .
Định nghĩa 1.1.3. Một tập con không rỗng M của một không gian tuyến
tính X gọi là một không gian con, nếu nó kín với phép cộng phần tử và
phép nhân phần tử với một số, nghĩa là:
1) ∀x, y ∈ M ⇒ x + y ∈ M,
2) ∀x ∈ M, α ∈ R ⇒ αx ∈ M.

1.2

Không gian định chuẩn

1.2.1

Khái niệm không gian định chuẩn


Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc

P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . và
đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1. (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ);
2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ;
3. (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định
chuẩn là X. Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Ví dụ 1.2.1.
Không gian R2 là không gian định chuẩn với chuẩn thường chọn là
chuẩn:

x

2

=

x21 + x22.


13

Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:

x

1


= |x1 | + |x2| ,

hay

x

∞

= max |x1| , |x2| ,

trong đó x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .
Ví dụ 1.2.2.
Không gian C[a,b] =

f : [a, b] → R | f liên tục trên [a, b]

là không

gian định chuẩn, với chuẩn:

f (t) = max |f (t)| .
a≤t≤b

Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn .

1

và


. 2. Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0
và m > 0 sao cho:

m x

1

≤ x

2

≤ M x 1 , ∀x ∈ X.

Trong ví dụ 1.2.1 thì cả 3 chuẩn đôi một tương đương. Chẳng hạn:

x

2

≤ (2 x

2 21
∞)

=

√
2 x

∞,


mặt khác:

x
do đó chọn M =

1

∞

= max |x1| , |x2| ≤ (x21 + x22 ) 2 = x 2,

√
2, m = 1, ta có:
x

∞

≤ x

2

≤

√

2 x

∞.



14

1.2.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian định chuẩn và {xn}∞
n=1 ⊂ X, x0 ∈ X. Với

n → ∞, khi đó ta có các kết quả sau đây:

1) xn −→ x0 (dãy xn hội tụ tới x0 ) có nghĩa là xn − x0 −→ 0.
2) Nếu xn −→ x0 thì xn −→ x0 , tức là chuẩn xn là một hàm liên
tục của x.

3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu xn hội tụ thì (∃M ∈ R), M >

0, (∀n), xn ≤ M.

4) Nếu xn −→ x0 , yn −→ y0 thì xn + yn −→ x0 + y0 .
5) Nếu xn −→ x0 , αn −→ α0 thì xnαn −→ x0 α0 , ∀{αn }∞
n=1 ⊂ R, α0 ∈ R.
6) Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy xn ∈ X
sao cho:

lim

m,n→∞


xn − xm = 0.

Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là:

xn − xm → 0 kéo theo sự tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0, thì không

gian đó gọi là không gian Banach.

1.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1. (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên
trường P (P là trường số thực R hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vô
hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường

P , kí hiệu (., .), thỏa mãn tiên đề:
1. (∀x, y ∈ X) (x, y) = (y, x);


15

2. (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;
3. (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α (x, y) ;
4. (∀x ∈ X) (x, x) > 0, nếu x = θ, (x, x) = 0, nếu x = θ (θ là ký hiệu
phần tử không).

Các phần tử x, y, z, . . . gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y)
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề trên gọi là tiên đề
tích vô hướng.

Định lý 1.3.1. Đối với mỗi x ∈ X . Ta đặt

x =

(1.1)

(x, x).

Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz

|(x, y)| ≤ x

(1.2)

y .

Công thức (1.1) xác định một chuẩn trên không gian X.
Định nghĩa 1.3.2. Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một
tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.3.3. Ta gọi một tập H = ∅ gồm những phần tử x, y, z, . . .
nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1. H là không gian tuyến tính trên trường P ;
2. H được trang bị một tích vô hướng (., .);
3. H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x), x ∈ H.

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian H .
Ví dụ 1.3.1.



16

Không gian Rk cùng với tích vô hướng:
k

(x, y) =

xnyn ,
n=1

với ∀x = (xn ) ∈ Rk , ∀y = (yn) ∈ Rk , là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.2.
Không gian l2 , lập thành bởi tập tất cả các dãy số phức x = (x1 , x2, . . . , xn)
∞

sao cho

n=1

x2n < ∞, với các phép toán tuyến tính: x + y = (x1 + y1 , x2 +

y2 , . . .); αx = (αx1, αx2, . . .), ∀x = (xn) ∈ l2, ∀y = (yn ) ∈ l2 và tích vô
hướng:

(x, y) =

∞


xnyn ,

n=1

là một không gian Hilbert.

1.4
1.4.1

Sự ổn định của hệ phương trình sai phân
Khái niệm mở đầu về phương pháp sai phân

Thông qua một ví dụ cụ thể chúng ta minh họa cho khái niệm hệ phương
trình sai phân.
a. Khái niệm về bài toán biên
Bài toán biên có phương trình vi phân cấp lớn hơn hoặc bằng hai và có
điều kiện bổ sung được cho tại nhiều hơn một điểm.
Chẳng hạn bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
có dạng:

 p(x)y ′(x) ′ − q(x)y(x) = −f (x), a < x < b,
y(a) = α, y(b) = β,

(1.3)


17

bài toán trên được gọi là bài toán biên loại một.
Nếu điều kiện biên y(a) = α, y(b) = β được thay thế bởi điều kiện biên:


−p(a)y ′ (a) + σ1 y(a) = α,

p(b)y ′(b) + σ2y(b) = β,

σ1 ≥ 0, σ2 ≥ 0, σ1 + σ2 > 0;
thì ta có bài toán biên loại 3.
Còn nếu σ1 = σ2 = 0 thì ta có bài toán biên loại hai.
Trong thực tế ta còn gặp những bài toán mà tại x = a và x = b có điều
kiện biên khác nhau (chẳng hạn tại x = a ta có điều kiện biên loại 1 còn
tại x = b ta có điều kiện biên loại hai hoặc loại ba) khi đó ta có bài toán
biên hỗn hợp.
Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phương pháp sai phân thông
qua bài toán biên loại một.
b. Bài toán vi phân
Cho hai số a và b với a < b. Tìm hàm y = y(x) xác định tại a < x < b
thỏa mãn:


L(y) = −(py ′ )′ + qy = f (x),
y(a) = α; y(b) = β,

(1.4)

trong đó p = p(x), q = q(x), f (x) là những hàm số cho trước đủ trơn thỏa
mãn:

0 < c0 ≤ p(x) ≤ c1 ; c0, c1 = const, q(x) ≥ 0
còn α, β là những số cho trước.
Giả sử bài toán (1.4) có nghiệm duy nhất y đủ trơn trên [a, b].

c. Lưới sai phân
Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau mỗi đoạn con dài

h = (b − a)/N bởi các điểm chia xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , N . Mỗi điểm xi


18

gọi là một nút lưới, h gọi là các bước lưới.

• Tập Ωh = {xi, 1 ≤ i ≤ N − 1} gọi là tập các nút trong.
• Tập Γh = {x0, xN } gọi là tập các nút biên.
• Tập Ωh = Ωh ∪ Γh gọi là một lưới trên [a, b].
d. Hàm lưới
Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới Ωh. Giá trị của hàm
lưới v tại nút xi viết là vi.
Một hàm số y(x) xác định tại mọi x ∈ [a, b] sẽ tạo ra hàm lưới y có giá trị

tại nút xi là yi = y(xi).

e. Đạo hàm của hàm lưới
Xét hàm lưới v . Đạo hàm của hàm lưới tiến cấp một của v , kí hiệu là

vx , có giá trị tại nút xi là:
vxi =

vi+1 − vi
.
h


Đạo hàm lưới lùi cấp một của v , kí hiệu là vx , có giá trị tại nút xi là:

vxi =

vi − vi−1
.
h

Sau đây ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới "xấp xỉ" được đạo hàm
thường (xem các công thức (1.7), (1.8), (1.9)).
Do đó có đạo hàm lưới cấp hai vxx :

vxxi =

vxi+1 − vxi
1 vi+1 − vi vi − vi−1
vi+1 − 2vi + vi−1
=
−
;
=
h
h
h
h
h2

nếu a là một hàm lưới thì:

(avx )xi =


ai+1vi+1 − (ai+1 + ai )vi + ai vi−1
ai+1vxi+1 − ai vxi
.
=
h
h2

f. Quy ước viết vô cùng bé


19

Khái niệm "xấp xỉ" liên quan đến khái niệm vô cùng bé. Để viết các vô
cùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng quy ước sau đây:
Giả sử đại lượng ρ(h) là một vô cùng bé khi h → 0. Nếu tồn tại số α > 0

và hằng số M > 0 không phụ thuộc h sao cho:

|ρ(h)| ≤ Mhα ;
thì ta viết:

ρ(h) = 0(hα ).
Viết như trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì ρ(h) là một đại lượng nhỏ và khi

h → 0 thì ρ(h) tiến đến số 0 không chậm hơn Mhα .
g. Công thức Taylor

Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây vì nó là công thức quan trọng được
sử dụng để xấp xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.

Giả sử F (x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m + 1 trong
một khoảng (α, β) chứa x và x + ∆x, ∆x có thể dương hay âm. Khi đó,
theo công thức Taylor ta có:

(∆x)2 ′′
(∆x)m (m)
F (x + ∆x) = F (x) + ∆xF (x) +
F (x) + . . . +
F (x)+
2!
m!
(∆x)m+1 (m+1)
F
(c),
+
(m + 1)!
(1.5)
′

trong đó c là một điểm trong khoảng từ x đến x + ∆x.
Có thể viết: c = x + θ∆x với 0 < θ < 1.
Ta giả thiết thêm:

F (m+1) (x) ≤ M = const, x ∈ [α, β],
(∆x)m+1 (m+1)
khi đó
F
(c) là một vô cùng bé khi ∆x → 0. Tức là tồn tại
(m + 1)!
hằng số K > 0 không phụ thuộc vào ∆x sao cho:



20

(∆x)m+1 (m+1)
F
(c) ≤ K(∆x)(m+1).
(m + 1)!
Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau:

F (x + ∆x) = F (x) + ∆xF ′ (x) +

(∆x)2 ′′
(∆x)m (m)
F (x) + . . . +
F (x)+
2!
m!
+0((∆x)m+1 ).
(1.6)

h. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới
Giả sử hàm y(x) đủ trơn. Theo công thức Taylor (1.6) ta có:

y(xi+1) = y(xi + h) = y(xi) + hy ′ (xi) + 0(h2).
Ta suy ra

y(xi+1) − y(xi)
= y ′ (xi) + 0(h);
h

y(xi−1) = y(xi − h) = y(xi) − hy ′ (xi) + 0(h2);
y(xi) − y(xi−1)
yxi =
= y ′ (xi) + 0(h).
h
yxi =

(1.7)

(1.8)

Ngoài ra với quy ước:

h
xi+ 21 = xi + , yi+ 21 = y(xi+ 21 ),
2
ta còn có

h
h
1 h
y(xi+1) = y(xi+ 21 + ) = y(xi+ 21 ) + y ′ (xi+ 21 ) + ( )2y ′′ (xi+ 21 ) + 0(h3);
2
2
2! 2
h
h
1 h
y(xi) = y(xi+ 21 − ) = y(xi+ 21 ) − y ′ (xi+ 21 ) + ( )2y ′′ (xi+ 21 ) + 0(h3).
2

2
2! 2
Ta suy ra
y(xi+1) − y(xi ) = hy ′ (xi+ 21 ) + 0(h3).


21

Do đó

yxi = yxi+1 =

y(xi+1) − y(xi)
= y ′ (xi+ 21 ) + 0(h2).
h

(1.9)

Đồng thời

y(xi+1) + y(xi)
= y(xi+ 21 ) + 0(h2).
2
k. Phương pháp sai phân

(1.10)

Sai số và tốc độ hội tụ
Định nghĩa 1.4.1. Số a được gọi là số gần đúng của số a∗ nếu a không
sai khác a∗ nhiều.

Định nghĩa 1.4.2. Đại lượng ∆ = a − a∗ là sai số thực sự của a.
Nếu ∆ > 0 thì a là giá trị gần đúng thiếu, ∆ < 0 thì a là giá trị gần
đúng thừa của a∗ .
Số a∗ nói chung không biết nên cũng không biết ∆, tồn tại ∆ ≤ 0 thỏa

mãn điều kiện: |a∗ − a| ≤ ∆a.

Định nghĩa 1.4.3. Số ∆ thỏa mãn điều kiện |a∗ − a| ≤ ∆a được gọi là
sai số tuyệt đối của a, còn δ =

∆a
|a|

là sai số tương đối của a.

Ví dụ 1.4.1.
Giả sử a∗ = π; a = 3, 14.
Do 3, 14 < π < 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta có thể lấy ∆a = 0, 01.
Do 3, 14 < π < 3, 142 = 3, 14 + 0, 002 nên ta có thể lấy ∆a = 0, 002.
Ví dụ 1.4.2.
Đo độ dài đoạn AB và CD ta thu được a = 10cm, b = 1cm và ∆a =

∆b = 0, 01.
Khi đó ta có δa =

0.01
10

= 0, 1%; δb =


0,01
%.
1

Vậy phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD.


22

• Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
Ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng y(xi) tại các nút

xi ∈ Ωh . Gọi các giá trị gần đúng đó là vi. Muốn có vi ta thay bài toán vi
phân (1.4) bởi bài toán sai phân:

L v ≡ −(av ) + q v = f ;
i i
i
h
x xi
v = α, v = β.
0

(1.11)

N

Trong đó: ai = p(xi − h/2), qi = q(xi), fi = f (xi).

Hệ phương trình (1.11) gọi là hệ phương trình sai phân ứng với hệ phương

trình vi phân (1.4).
Đối với mỗi phương pháp gần đúng để giải bài toán vi phân (1.4) ta đã
kí hiệu vi là giá trị gần đúng thu được cho y(x).
Nếu |vi − y(xi)| = 0(hk ), k > 0,
thì ta nói phương pháp có độ chính xác cấp k hay là một phương pháp
cấp k .

1.4.2

Sự ổn định của bài toán sai phân

Trích dẫn([3])
a. Mở đầu
Xét một quá trình vô hạn (tức là gồm vô số bước) để tính ra một đại
lượng nào đó. Ta nói quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là
các sai số quy tròn tích lũy lại không tăng vô hạn. Nếu sai số đó tăng vô
hạn thì ta nói quá trình là không ổn định.
Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì khó có hi vọng tính được
đại lượng cần tính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép. Cho nên, trong tính
toán kị nhất là các quá trình tính không ổn định.