Đ

FB: />
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tìm tâ ̣p xác đinh
̣ của mỗi hàm số sau đây:
a/ f  x  

sin x  1
;
sin x  1

b/ f  x  

2 tan x  2
;
cos x  1

c/ f  x  

cot x
;
sin x  1


d/ y  tan  x   .


3

Tìm tâ ̣p xác đinh
̣ của mỗi hàm số sau đây :
a/ y  1  cos x ;
c/ y 

b/ y  3  sin x ;

cos x
;
sin  x   

d/ y 

1  cos x
1  sin x

.

Tìm GTLN và GTNN của hàm số
a/ y  3cos x  2 ;

b/ y  5sin 3x  1 ;


c/ y  4 cos  2 x    9 ;

d/ f  x   sin x  cos x ;


e/ f  x   cos x  3 sin x ;

f/ y  5  sin x  cos x ;.



5

Xét tính chẵn – lẻ của hàm số
a/ f  x  

sin x
;
cos x  2

c/ y  3cos 2 x  5sin x

b/ f  x   sin x  cos x ;
d/ y  x cos x .

Cho hàm số y  3cos 2 x .
a/ Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b/ Chứng minh rằng hàm số đã cho có chu kỳ T   .
c/ vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a/ f ( x)  sin11 x  cos11 x ;

b/ f ( x)  sin 4 x  cos 4 x ;


c/ f ( x)  sin 6 x  cos6 x ;

d/ f ( x)  sin 2 n x  cos 2 n x , với n  * .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Đ

FB: />
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Giải phương trình :


a/ sin x  sin ;

b/ 2sin x  2  0 ;

d/ sin  x  20o   sin 60o ;

e/ cos x  cos ;

g/ cos  2 x  15o   

h/ t an3x  

6


2
3

c/ sin  x  2   ;



f/ 2 cos 2 x  1  0 ;

4

2
;
2

j/ tan  2 x  10o   tan 60o ;

1
;
3

i/ tan  4 x  2   3 ;
l/ cot  x  2   1 .

k/ cot 4 x  3 ;

Giải phương trình :





a/ sin  2 x    sin   x  ;
5
5


c/ tan





b/ cos  2 x  1  cos  2 x  1 ;



2x 1
1
 tan  0 ;
6
3

d/ sin 3 x  cos 2 x .

Giải các phương trình lượng giác sau đây :
1
2

a/ sin x  ;


b/ 2 cos x  1  0 ;

c/ tan 3x  1 ;

d/ 4 cos x  1  0 .

Giải phương trình
a/ sin 4 x  cos 5 x  0 ;

b/ sin 3 x  cos 6 x  0 ;

2
0;
5

d/ cot   20o   3 .
4


c/ tan 5 x  cot

x

Giải phương trình
a/ cos  3x  600  

b/ cot  2 x  400  

2

;
2

3
;
3

d/ sin  x  240   cos  x  1440   cos 200 .

c/ cos(2 x  45o )  cos x  0 ;
Giải phương trình




a/ 2sin  x    cos  x   
;
4
4
2


3 2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309



b/ 8cos3  x    cos3x .
3





SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Đ

FB: />
a/ Chứng minh rằng 4sin 3 x cos 3 x  4 cos3 x sin 3x  3sin 4x .
b/ Giải phương trình sin 3 x cos 3x  cos3 x sin 3 x  sin 3 4x .
Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :


2



a/ sin  2 x   
với   x  ;
3
2
12  2


b/ cos  2 x  1 

 
c/ tan  3x  2  3 với x    ;  ;


d/ tan 2 x  3 với x    ;   .

2

 2 2

1
2

với x    ;   ;

Giải phương trình
a/ 2sin x cos 2 x cos 3 x  sin 2 x ;

b/ sin 5 x  2sin x  cos 2 x  cos 4 x   1 ;

c/ sin 3 x  sin x  sin 2 x  0 ;

d/ 3sin 4 x  2 cos 4 x  3sin 2 x  16 cos 2 x  9  0 .

Giải phương trình :
a/ tan 3 x tan x  1  0 ;

b/ sin 3 x cot x  0 ;

c/ tan 3x  tan x ;

d/


2cos x  2
 0.
tan x  1

Giải phương trình :
a/ 2sin x cos 2 x  1  2 cos 2 x  sin x  0 ;

b/ sin 3 x  cos3 x  cos 2 x ;

c/ 1  tan x 1  sin 2 x   1  tan x ;

d/ tan x  cot 2 x  2 ;

e/ sin x  cos x 

cos 2 x
;
1  sin 2 x

1
2

g/ cos x  cos 3x  cos 5 x  ;

f/

1  cos 2 x
sin 2 x

;

cos x
1  cos 2 x

h/ tan 2 x sin x  3  sin x  3 tan x   3 3  0 .

Tìm x  [0;14] nghiệm đúng phương trình cos 3x  4 cos 2 x  3cos x  4  0 .
a/ Hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình sin x  m ,
x  [0;3 ] .

b/ Hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2m cos x sin 2 x 0
có đúng 7 nghiệm trong đoạn 0;3 .
Giải các phương trình sau :
1
4

a/ cos 2 2 x  ;

b/ 4 cos 2 2 x  3  0 ;



c/ cos2  2 x    sin 2 x ;
4




NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

d/ cos 2 3x  sin 2 2 x  1 .


SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Đ

FB: />
Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :
b/ cot  x  5  3 với   x   .

a/ 2 sin 2 x  1  0 với 0  x   ;
Giải các phương trình sau :
a/ sin x  cos x  1 ;

b/ sin 4 x  cos 4 x  1 ;

c/ sin 4 x  cos 4 x  1 ;

d/ sin3 x cos x  cos3 x sin x  2 / 8 .

Giải các phương trình sau :
a/ cos 2 x  3 sin x cos x  0 ;
c/ 8sin x.cos x.cos 2 x  cos8 

b/ 3 cos x  sin 2 x  0 ;






 x;
 16


d/ sin 4  x    sin 4 x  sin 4 x .
2




Giải phương trình :
a/ cos 7 x.cos x  cos 5 x.cos 3 x ;

b/ cos 4 x  sin 3x.cos x  sin x.cos 3 x ;

c/ 1  cos x  cos 2 x  cos 3x  0 ;

d/ sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 4 x  2 .

Giải các phương trình sau :
a/ sin 2 x sin 5 x  sin 3 x sin 4 x ;

b/ sin x  sin 2 x  sin 3x  sin 4 x  0 ;

c/ sin 2 x  sin 2 3x  2sin 2 2 x ;

d/ sin x  sin 3x  sin 5 x  cos x  cos 3 x  cos 5 x .

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :
a/ y  tan x ;

d/ y 

sin  2  x 
;
cos 2 x  cos x

c/ y 

b/ y  cot 2 x ;
e/ y 

tan x
;
1  tan x

f/ y 

2 cos x  1
;
2 cos x  1

1
.
3 cot 2 x  1

Giải phương trình :
a/
.

2 cos 2 x

 0;
1  sin 2 x

c/ sin 3 x cot x  0 ;

b/

tan x  3
 0;
2cos x  1

d/ tan 3x  tan x .

Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;  ) của phương trình 4 cos 3 x cos 2 x  2 cos 3 x  1  0 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Đ

FB: />
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Giải phương trình :
a/ 2 cos 2 x  3cos x  1  0 ;

b/ cos 2 x  sin x  1  0 ;


c/ 2sin 2 x  5sin x  3  0 ;

d/ cot 2 3x  cot 3x  2  0 ;

Giải phương trình :
a/ 2cos2 x  2 cos x  2  0 ;

b/ cos 2 x  cos x  1  0 ;

c/ cos 2 x  5sin x  3  0 ;

d/ 5 tan x  2 cot x  3  0 .

Giải các phương trình lượng giác sau :
a/ sin 2

x
2

2 cos

x
2

2

0;

c/ cos 4 x sin 2 x 1 0 ;


x
2

b/ cos x  5sin  3  0 ;
d/ cos 6 x  3cos 3x  1  0 .

Giải các phương trình :
a/ tan 2 x   3  1 tan x  3  0 ;

b/ 3 tan 2 x  1  3  tan x  1  0 ;

c/ 2 cos 2 x  2  3  1 cos x  2  3  0 ;

d/

1
  2  3  tan x  1  2 3  0 .
cos 2 x

Giải các phương trình sau :
a/ cos 5 x cos x  cos 4 x.cos 2 x  3cos 2 x  1 ;
c/

4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x
 0;
cos x

b/ 2 cos 6 x  sin 4 x  cos 2 x  0 ;
5

 7 1
 x    cos x .
 2
 2 2

d/ 2cos 2 x  cos2  10cos 
x
2

Giải các phương trình :
a/ 3 tan 2 x 

5
1  0 ;
cos x

c/ 5sin 2 x  sin x  cos x  6  0 ;

b/ cos 2 x 

1
1
 cos x 
2
cos x
cos x

;

d/ tan 2 x  cot 2 x  2  tan x  cot x   6 .


Giải phương trình 2  tan x  sin x   3  cot x  cos x   5  0 .
Giải phương trình :
a/ sin 3 x  3sin 2 x  2sin x  0 ;

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

x
2

3
4

b/ sin 2 x  2 cos 2   0 ;

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Đ

FB: />
c/ 1  sin x sin 3 x  0 ;

d/ 2sin 2 x  cos 2 x  4sin x  2  0 ;

e/ 8  sin 4 x  cos 4 x   4sin x cos x  7 ;

f/ sin 6 x  cos 6 x   sin 2 x ;






3
4

g/ cos2  x    4cos   x   ;
3
6
2








h/ 2cos 2 x  sin 2  10cos   x    cos x .
2
2
 2 2

5

x



3


1

Giải phương trình sau :
b/ sin 4 x  cos 2 x  1 ;

a/ sin 2 x  cos 2 x  5sin x  cos x  3 ;
c/

3
 2 3 tan x  6  0 ;
cos 2 x

d/ sin 2 x  2 tan x  3 .

cos3x  sin 3x 
Tìm nghiệm x   0; 2  của phương trình 5  sin x 
  cos 2 x  3 .
1  2sin 2 x 



Giải các phương trình sau:
a/ cot x  tan x  4sin 2 x 
c/


b/ tan 3  x    tan x  1 ;

2

;
sin 2 x



cos 2 x  3cot 2 x  sin 4 x
2;
cot 2 x  cos 2 x

4

d/ cos 3x  3cos 2 x  2(1  cos x) .

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x
Giải phương trình :
a/ 3 sin x  cos x  1 ;

b/ 3 cos 3 x  sin 3 x  2 ;

c/ 3cos x  4sin x  5 ;

d/ sin x  7 cos x  7 ;

e/ 2sin 2 x  2cos 2 x  2 ;

f/ sin 2 x  3  3 cos 2 x .

Giải phương trình :
a/ 2sin 2 x  3 sin 2 x  3 ;


b/ 2 cos 2 x  3 sin 2 x  2 ;

c/ 2sin 2 x cos 2 x  3 cos 4 x  2  0 ;

d/ 4sin 2 x  3 3 sin 2 x  2 cos 2 x  4 .

Giải các phương trình sau :


a/ sin 3x  3 cos 3x  2 cos 4 x ;

b/ cos x  3 sin x  2 cos   x  ;

c/ 3 sin 2 x  cos 2 x  2 cos x  2 sin x ;

d/ sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x  .

3



Giải các phương trình sau :






a/ 3sin  x    4sin  x    5sin  5 x    0 ;
3

6
6








NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309





SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Đ

FB: />




b/ 2sin  x    4sin  x   
.
4
4

2


3 5

Giải các phương trình sau :
a/ 3sin x  3 cos 3x  1  4sin 3 x ;

b/ 3 cos 5 x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0 ;

2

x
x
c/  sin  cos   3 cos x  2 ;


2

2

d/ 8cos 2 x 

3
1
.

sin x cos x

2 6


Tìm x   ,  thỏa phương trình cos 7 x  3 sin 7 x  2
 5 7 
Cho phương trình 2sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  m
a/ Tìm m để phương trình có nghiệm.
b/ Giải phương trình với m  1 .
Cho phương trình sin 2 x  2m cos x  sin x  m . Tìm m để phương trình có đúng
3
hai nghiệm thuộc đoạn 0;  .


4 

Giải các phương trình
a/ 8sin x 

3
1
;

cos x sin x

b/ 2 sin x 

3 tan x
1.
2 sin x  1

các phương trình sau :
a/ sin x  3 cos x  2 ;



b/ 2sin17 x  3 cos 5 x  sin 5 x  0 ;


d/ 2 cos  x    6 sin  x    2 .



c/ cos  x    sin  x    1 ;
6
6










4



4

Giải các phương trình sau :



a/ 1  cos x  3 sin x ;

b/ cos x  3 sin x  2cos   x  ;
3

c/ sin 4 x  cos 2 x  3 sin 2 x  cos 4 x  ;

2
d/  sin x  cos x   3 sin 2 x  2 .





Giải các phương trình sau :

1
a/ cos4 x  sin 4  x    ;


4

b/ sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x ;

4


c/ 3 cos 2 x  sin 2 x  2sin  2 x    2 2 ;



e/ 3cos x  4sin x 

6

d/ tan x  3cot x  4(sin x  3 cos x) ;

2
 3;
3cos x  4sin x  6

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Đ

FB: />


f/ 8sin x sin 2 x  6sin  x   cos   2 x   5  7 cos x .
4

4


Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có nghiệm :

b/ m sin  x    sin x  2  cos x .


a/ m sin x   m  1 cos x  2 ;



Tìm x sao cho biểu thức y 

sin x  1
cos x  2

4

nhận giá trị nguyên.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a/ a sin x  b cos x

(a, b là các hằng số và a 2  b 2  0 );

b/ sin 2 x  sin x cos x  3cos 2 x .
Giải các phương trình sau :
a/ 3sin 2 x  8sin x cos x  4 cos 2 x  0 ;

b/ 4sin 2 x  3 3 sin 2 x  2 cos 2 x  4 ;

c/ sin 3 x  2sin x.cos 2 x  3cos3 x  0 ;

d/ 6sin x  7 cos3 x  5sin 2 x cos x .

Giải các phương trình sau :

b/ 5 1  cos x   cos 4 x  sin 4  2 ;

a/ 1  3 tan x  2sin 2 x ;



d/ 1  sin x sin 2 x  cos x sin 2 x  2cos 2   x  ;
4

3
2

c/ sin x cos 4 x  sin 2 2 x  2sin x   0 ;
e/



sin 5 x cos 5 x

0;
sin x
cos x

g/ sin 8 x  cos8 x 

f/ tan x  cot 4 x 



2

;
sin 2 x

x
x 
h/ cos2  tan 2 x.sin 2    ;

17
cos 2 2 x ;
16

2

2

4

i/ (1  sin x  2 cos x) cos 2 x  sin 2 x  1 ;

j/ cos x  cos 2 3x  sin 2 2 x  0 trên 0;  ;

k/ cos 2 3x cos 2 x  cos 2 x  0 ;

l/ sin 5 x  5sin x ;

m/ 1  sin 2 x  cos x  1  cos 2 x  sin x  1  sin 2 x .
1
2

Tìm các nghiệm thuộc khoảng  0;2  của phương trình

sin x 

cos 3 x  sin 3 x
 cos 2 x  3 .
1  2sin 2 x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Đ

FB: />
III. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x
Giải phương trình :
1
2

a/ 3sin 2 x  sin x cos x  2 cos 2 x  3 ;

b/ sin 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  ;

c/ 2sin 2 x  3 3 sin x cos x  cos 2 x  4 ;

d/ cos 2 2 x  sin 4 x  3sin 2 2 x  0 .

Giải phương trình :
a/ 2sin 2 x  3 sin x cos x  cos 2 x  2 ;


b/ sin 2 x   3  1 sin x cos x  3 cos 2 x  0 ;

c/ 3 sin 2 x  sin x cos x  0 ;

d/ cos 2 x  3sin 2 x  3 .

Giải phương trình :
a/ sin 2 x  3 sin x cos x  2cos 2 x 
x
2

3 2
;
2

x
2

c/ 4sin 2  3 3 sin x  2 cos 2  4 ;

b/





3  1 sin 2 x  3 sin 2 x 






3  1 cos 2 x  0 ;

d/ 3cos 2 4 x  5sin 2 4 x  2  3 sin 8 x .

Giải các phương trình sau :
a/ 4sin x  6 cos x 

1
;
cos x

c/ sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x ;


b/ sin x sin  x    2 cos 2 x  0 ;


4

d/ sin x sin 2 x  sin 3x  6 cos3 x .

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ