PP tọa độ trong không gian

FB: />
I. KIẾN THỨC TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VÉCTƠ
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian
z

x'Ox : trục hoành

y'Oy : trục tung
x'

z'Oz : trục cao

O : gốc toạ độ
k
y
y'
i, j, k : véc tơ đơn vị

O
j
(hay i; j; k : véc tơ đơn vị )
i
Quy ước : Không gian mà trong đó có chọnx hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz
được gọi là không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz) z '
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
1. Định nghĩa 1: Cho M  kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy
nhất theo i, j, k bởi hệ thức có dạng : OM  xi  y j + yk vôùi x,y,z  .
Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.

z
Ký hiệu:
M(x;y;z)
M
y
O

( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

x

M ( x; y; z)



ñ/n



OM  xi  y j  zk

Ý nghĩa hình học:
z

M2

R
z

M3

O

M
y

p

x  OP

; y= OQ ; z = OR

Q

x
x

y

M1

2. Định nghĩa 2: Cho a  kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất
theo i, j, k bởi hệ thức có dạng : a  a1 i  a2 j + a3 k vôùi a1,a2 ,a3  .
Bộ số (a1;a2;a3) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a .
a  (a1; a2 ; a3 )
Ký hiệu:
a=(a1;a2 ;a3 )

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ñ/n




a  a1 i  a2 j  a3 k

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP ta trong khụng gian

FB: />
II. Cỏc cụng thc v nh lý v to im v to vộc t :
nh lý 1: Nu A( x A ; y A ; zA ) vaứ B(x B; yB ; zB ) thỡ
AB ( xB x A ; yB y A ; zB zA )

nh lý 2:

Nu a (a1; a2 ; a3 ) vaứ b (b1; b2 ; b3 ) thỡ
a1 b1

a b a2 b2
a b
3
3

*

* a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
* a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
(k )

* k.a (ka1; ka2 ; ka3 )
III. S cựng phng ca hai vộc t:
Nhc li

Hai vộc t cựng phng l hai vộc t nm trờn cựng mt ng thng
hoc nm trờn hai ng thng song song .

nh lý v s cựng phng ca hai vộc t:
nh lý 3 :
Cho hai vộc t a vaứ b vụựi b 0
a cuứng phửụng b

!k

sao cho a k.b

Nu a 0 thỡ s k trong trng hp ny c xỏc nh nh sau:
k > 0 khi a cựng hng b
k < 0 khi a ngc hng b
k

nh lý 4 :

a
b

A, B, C thaỳng haứng AB cuứng phửụng AC

nh lý 5: Cho hai vộc t a (a1; a2 ; a3 ) vaứ b (b1; b2 ; b3 ) ta cú :
a cuứng phửụng b


a1 kb1

a2 kb2 a 1 : a2 : a3 b1 : b2 : b3
a kb
3
3

IV. Tớch vụ hng ca hai vộc t:
Nhc li:
a.b a . b .cos(a, b)
2

a a
ab

2

a.b 0

NGUYN VN LC 0933.168.309

SP Toỏn K35 - H Cn Th


PP tọa độ trong không gian

FB: />
Định lý 6: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a2 ) vaø b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :




a.b  a1b1  a2 b2  a3b3

Định lý 7: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) ta có :
a  a12  a22  a32

 Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ; zA ) vaø B(x B; yB ; zB ) thì
AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2  (zB  zA )2

 Định lý 9: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) vaø b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :
ab

 a1b1  a2 b2  a3b3  0

 Định lý 10: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) vaø b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :
cos(a, b) 

a.b
a.b



a1b1  a2 b2  a3b3
a12  a22  a32 . b12  b22  b32

V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k  1 ) nếu như :
MA  k.MB







A

M

B

Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ; zA ) , B(x B; yB ; zB ) và MA  k.MB ( k  1 ) thì
x A  k .x B

 xM  1  k

y A  k .y B

 yM 
1 k

zA  k .zB

 zM  1  k


Đặc biệt :

M là trung điểm của AB


NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

x A  xB

 xM 
2

y y

  yM  A B
2

zA  zB

 zM  2


SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP ta trong khụng gian

FB: />
nh lý 12: Cho tam giỏc ABC bit A( x A ; y A ; zA ) , B(x B; yB ; zB ), C(xC ; yC ; zC )

G l trng tõm tam giỏc ABC

x A x B xC

xG

3

y y y

yG A B C
3

zA zB zC

zG
3


VI. Tớch cú hng ca hai vộc t:
1. nh ngha: Tớch cú hng ca hai vộc t a (a1; a2 ; a3 ) vaứ b (b1; b2 ; b3 ) l mt vộc
t c
ký hiu : a; b cú ta l :
1 2 3
a
a; b 2

b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1 a2
;


b1 b1 b2

Cỏch nh:

a (a1; a2 ; a3 )
b (b1; b2 ; b3 )

2. Tớnh cht:


a; b a vaứ a; b b





1
SABC . AB; AC
2



S

ABCD

A
B

AB; AD


C

D

D'

C

B




VABCD. A'B'C'D' AB; AD .AA'
VABCD

1
. AB; AC . AD
6

C'

A'

A

B'
D
C


A

D

B
C

A
B



a cuứng phửụng b



a, b, c ủong phaỳng a, b .c 0



A, B, C, D ng phng AB, AC, AD ng phng AB,AC .AD 0

a; b 0

NGUYN VN LC 0933.168.309

SP Toỏn K35 - H Cn Th



PP tọa độ trong khơng gian

FB: />
II. MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

I. Các định nghĩa:
1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:
đn  a  0

a là VTCP của đường thẳng (  )  
a có giá song song hoặc trùng với ( )

a


a

( )

Chú ý:

Một đường thẳng có vơ số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.

Một đường thẳng (  ) hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nó
và một VTCP của nó.
2. Cặp VTCP của mặt phẳng:

a



b

a



b

Cho mặt phẳng  xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi a là
VTCP của đường thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b. Khi đó :
Cặp (a,b) được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng 
Chú ý :

Một mặt phẳng  hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và
một cặp VTCP của nó.

3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :
n


đn  n  0

n là VTPT của mặt phẳng   
n có giá vuông góc với mp

Chú ý :


Một mặt phẳng có vơ số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.


NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và
một cặp VTPT của nó.
4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:
 a  (a1; a2 ; a3 )

Định lý: Giả sử mặt phẳng  có cặp VTCP là : 

 b  (b1; b2 ; b3 )

thì mp  có một VTPT

là :
a
n   a; b    2
 b2

a3 a3
;
b3 b3


a1 a1 a2 
;

b1 b1 b2 


 
n  [a , b ]

a


b



Ví dụ: Tìm một VTPT của mặt phẳng  biết  đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3),
C(2;0;-1)
II. Phương trình của mặt phẳng :
Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và
có một VTPT n  ( A; B; C) là:


n  ( A; B; C )
M  x; y;z  
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )

A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0





n  ( A; B; C )

z

M0

Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng :
Ax  By  Cz  D  0

y

với A2  B2  C 2  0

là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .
Chú ý :





x

Nếu ( ) : Ax  By  Cz  D  0 thì ( ) có một VTPT là n  ( A; B; C)
M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  ( ) : Ax  By  Cz  D  0  Ax 0  By0  Cz0  D  0
z

Các trường hợp đặc biệt:
1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:

 (Oxy):z = 0
 (Oyz):x = 0
 (Oxz):y = 0
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(Oyz )

y
O
(Oxz )

x
(Oxy )

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
 Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại
x y z
  1
a b c

là:

 A(a; 0; 0)


 B(0; b; 0)
C (0; 0; c)


(a,b,c  0)

C

c
O
a

b
B

A

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A 1;2;3 , B  2; 3;1 . Viết phương trình mặt phẳng  P 
đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.
Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  P  : x  2 y  3z  4  0 và

 R  : 3x  2y  z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng  R 
góc với cả  P  và  Q  .

đi qua A 1;1;1 đồng thời vuông

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.

III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:
(a1 , a2 ,..., an )
được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t  0 sao cho
(b1 , b2 ,..., bn )

Hai bộ n số : 

Ký hiệu:

a1 : a2 : ... : an  b1 : b2 : ... : bn

hoặc

a
a1 a2

 ...  n
b1 b2
bn

a1  tb1
a  tb
2
 2
.
.

an  tbn


2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác định bởi phương trình :
( ) : A1x  B1y  C1z  D1  0

coù VTPT n1  ( A1; B1; C1 )

(  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 coù VTPT n2  ( A2 ; B2 ; C2 )

n1

n2


n1
a
n


n1

2


n2
b

a
a

b

b

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

( ) caét ( )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 (hay:


A1 B1 C1 D1



A 2 B2 C2 D2

( )  ( ) 

A1 B1 C1 D1



A 2 B2 C2 D2

( ) // ( )

Đặc biệt:


FB: />
A1 B1
B
C
C
A

hoaëc 1  1 hoaëc 1  1 )
A 2 B2
B2 C2
C2 A2

    A1 A2  B1B2  C1C2  0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />
II. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian
I. Phương trình của đường thẳng:
1.Phương trình tham số của đường thẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng ( ) đi qua điểm
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận a  (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP là :
z



a

 x  x0  ta1

() :  y  y0  ta2
 z  z  ta
0
3


( )

M0

M ( x, y , z ) y

(t  )

O

x

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng ( ) đi qua
điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận a  (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP là :
( ) :

x  x0 y  y0 z  z0



a1
a2
a3

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 2; 2;1 , B 0; 2;5 . Viết
phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B .
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có
A 1;1;0 , B 0; 2;1
C

và trọng tâm G 0; 2; 1 . Viết phương trình đường thẳng

đi qua điểm

và vuông góc với mặt phẳng ABC

Ví dụ 3:
Cho điểm M(-2;1;1) và đường thẳng

 x  1  2t

(d) : y  1  t .
z  3  t


Lập phương trình mặt phẳng (P)

qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d).
x

1

Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng (d) : 

z z
 .
1 1

Lập phương trình mặt

phẳng (P) chứa điểm M và đường thẳng (d)
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />
II. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
M

a

( )


n



n

a


a ( )

M

a

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho: đường thẳng () :
a  (a1; a2 ; a3 )

( )


n

M

a


a

x  x0 y  y0 z  z0
có VTCP



a1
a2
a3

và qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 có VTPT

n  ( A; B; C )

Khi đó :

() caét ( )

 Aa1  Ba2  Ca3  0
Aa1  Ba2  Ca3  0
 
 Ax0  By0  Cz0  D  0
Aa1  Ba2  Ca3  0
 
 Ax0  By0  Cz0  D  0

() // ( )
(  )  ( )

()  ( ) 

Đặc biệt:


a


a1 : a2 : a3  A : B : C


n

a

 pt()
tìm
 pt( )

Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (  ) và (  ) ta giải hệ phương trình : 
x,y,z. Suy ra: M(x,y,z)

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x  2y  3z  14  0 .
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
Ví dụ 3: Cho đường thhẳng (d) :
(P) : x  3y  4m 2z  m  0 .

x 1 y  2 z  2


1
5
4

và mặt phẳng


Tìm m để đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P).

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
M

M0

'
0

1


a


u

M0

b


u'

2
M 0'

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


M0

1
2


u

'
1 M 0 M 0


u


u'

2
M

'
0

1


u'

2


SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong khơng gian

FB: />
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

x  x0 y  y0 z  z0


có VTCP u  (a; b; c) và qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
a
b
c
x  x0 y  y0 z  z0
( 2 ) :

 ' có VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) và qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' )
'
'
a
b
c
(1 ) :

 (1 ) và ( 2 ) đồng phẳng  u, u'  .M0 M0'  0



 (1 ) cắt ( 2 )

 u, u'  .M M '  0

 0 0
  
a : b : c  a' : b' : c'

 (1 ) // ( 2 )

 a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )

 (1 )  ( 2 )

 a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : (z0'  z0 )

 (1 ) và ( 2 ) chéo nhau

 u, u'  .M0 M0'  0



 pt(1 )
tìm
 pt(2 )

Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (1 ) và ( 2 ) ta giải hệ phương trình : 
x,y,z. Suy ra: M(x,y,z)

III. Góc trong khơng gian:

1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác định bởi phương trình :
( ) : A1 x  B1y  C1z  D1  0
(  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có cơng thức: 

n1  ( A1 ; B1 ; C1 )

cos  


n2  ( A2 ; B2 ; C 2 )

A1 A2  B1 B2  C1C2
A12  B12  C12 . A22  B22  C22
a

0 0    90 0
b

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P) : x  y  2  0 &(Q) : x  z  3  0 . Xác định góc giữa hai
mặt phẳng (P) và (Q).
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng () :

x  x0 y  y0 z  z0


a

b
c

và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức:
sin  

( )

a  (a; b; c)

n  ( A; B; C )

Aa  Bb  Cc
A2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c 2

a

0 0    90 0
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />

a1  (a; b; c)


3.Góc giữa hai đường thẳng :
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

1

x  x0 y  y0 z  z0
(1 ) :


a
b
c
x  x0 y  y0 z  z0
( 2 ) :

 '
a'
b'
c

2


a 2  ( a ' ; b' ; c ' )

0 0    90 0

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (1 ) & ( 2 ) ta có công thức:
cos  


aa'  bb'  cc'
a 2  b2  c 2 . a'2  b'2  c'2

IV. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) được tính bởi công thức:
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
d ( M0 ;  ) 
a

Ax0  By0  Cz0  D

H

A2  B 2  C 2

Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ;
D(-5,-4,8). Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (  ) đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có
VTCP u  (a; b; c) . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến ( ) được tính bởi công thức:
M1


u

( )

M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 ) H


x
3

Ví dụ: Cho đường thẳng : (d ) : 

y 1 z  3

4
1

 M 0 M1; u 


d ( M1 ,  ) 
u

và điểm A(1;2;1)

Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :
(1 ) coù VTCP u  (a; b; c) vaø qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
( 2 ) coù VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' )

Khi đó khoảng cách giữa (1 ) vaø ( 2 ) được tính bởi công thức

u

1

M0

M 0'


u'

d (1 ,  2 ) 

u, u ' .M0 M0'



2

u; u '



Ví dụ: Cho hai đường thẳng :

 x  9  6t
x  5 y  5 z 1

(d1 ) :


vaø (d 2 ) :  y  2t
3
2
2
z  2  t


Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong khơng gian

FB: />
III. MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN
Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

I. Phương trình mặt cầu:
1. Phương trình chính tắc:
Định lý: Trong Kg(Oxyz). Phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính
R là :

z
(S )
(S) : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 (1)
I

R

Phương trình (1) được gọi là phương trình
chính tắc của mặt cầu

M ( x; y; z )

y

O

Đặc biệt:

x

Khi I  O thì (C) : x2  y2  z2  R2

2. Phương trình tổng qt:
Định lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình :
x 2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0

với a2  b2  c2  d  0 là phương trình của mặt cầu (S) có
tâm I(a;b;c), bán kính R  a2  b2  c2  d .
Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tâm và bán

kính của mặt cầu
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) có phương trình :
( ) : Ax  By  Cz  D  0
(S ) : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2

Gọi d(I;  ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng 
Ta có :
1. ( ) cắt mặt cầu (S)

 d(I; ) < R

2. ( ) tiếp xúc mặt cầu (S)

 d(I; ) =R

3. ( ) không cắt mặt cầu (S)

 d(I; ) > R

(S )
(S )
I

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309
R

I
R


(S )

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
(C )


PP tọa độ trong không gian

FB: />
Chú ý:
Khi  cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) nầy có:
 Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng 
 Bán kính r  R2  d 2 (I , )
Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : x2  y 2  z 2  4x  2y  2z  3  0 . Viết phương trình tiếp diện của
mặt cầu tại
điểm M(0;1;-2).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />
IV. BÀI TẬP VÍ DỤ
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x  y  z  8  0 và đường thẳng
(d):


x  2 y 1 z 1


.
2
3
5

Tìm phương trình    , hình chiếu vuông góc của (d) trên (P).

Bài giải



Gọi A  (d)  P  , tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
2x  y  z  8  0
 x  6
x

2
y

1
z

1


 y  5  A  6;5; 9 



z  9
3
5
 2


Lấy B  2; 1;1   d  , gọi (d') là đường thẳng qua B và vuông góc với (P)
Phương trình tham số của (d') là:
 x  2  2t
 y  1  t
 z  1  t



Gọi H  (d ') (P) , tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:
 2
t  3

10
 x  2  2t
 x 
 y  1  t
3  H  10 ;  1 ; 5 

z  1  t


1

 3 3 3
2x  y  z  8  0
y  

3

5
z 

3



   chính là đường thẳng đi qua hai điểm A, H. Ta có

8
 8 16 32 
AH    ;  ;    1; 2; 4 
3
 3 3 3 
x 6 y5 z 9



Vậy phương trình    :
1
2
4

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho M  1; 2; 3 ;a   6; 2; 3 ,  d  :


x 1 y 1 z  3


.
3
2
5

Tìm phương trình đường thẳng    qua M, vuông góc a và cắt (d).
Bài giải
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian



FB: />
Lấy điểm N  (d) , tọa độ N có dạng N 1  3t; 1  2t;5  3t  , ta có:
MN   2  3t; 3  2t;6  5t 



là:

MN  a  MN.a  0  6  2  3t   2  3  2t   3  6  5t   0  t  0


Đường thẳng cần tìm đi qua M có VTCP là MN   2; 3;6 có phương trình
x 1 y  2 z  3


2
3
6

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi
x 1 y  2 z


3
1
1
x  y  z  2  0, x  1  0 .

qua A  0;1;1 , vuông góc (d1 ) :
có phương trình:
Bài giải

và cắt  d 2  là giao tuyến của hai mặt phẳng



 x  1
Viết phương trình tham số của đường thẳng  d 2  :  y  1  t




Xét điểm B  1; 1  t, t   (d 2 ) . Tìm t để AB.a d  0



 z  t

1

AB.a d1  0  t  3  B  1;2;3
x y 1 z 1


Phương trình (d):
1
2
3

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):

x  3 y  2 z 1


2
1
1

và mặt

phẳng (P): x  y  z  2  0 . Gọi M là giao điểm của (d) và (P). Viết phương trình đường
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />
thẳng    nằm trong (P) saocho    vuông góc với (d) và khoảng cách từ M đến   
bằng 42 .
Bài giải



Do M  (d) (P) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:
 x  3 y  2 z  1
 x  1



 2
 y  3  M 1; 3;0 
1
1
 x  y  z  2  0
z  0

(d) có VTCP a   2;1  1 và (P) có VTPT n P  1;1;1 .
Mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P) có VTPT n Q  a; n P    2; 3;1




Phương trình mp(Q): 2x  3y  z  11  0

Gọi (d') là hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P) thì

(d)   P 

Q

VTCP của (d') là a d '   n P ; n Q    4;1; 5  , phương trình tham số của (d') là:
 x  1  4t
 y  3  t
 z  5t



Ta tìm N   d ' sao cho MN  42 , đặt N 1  4t; 3  t; 5  , ta có:

+ Với t  1 ta có
có VTCP là

+

MN  42  42t 2  42  t  1
N1  5; 2; 5  .  1  qua N1 nằm trong (P)

và vuông góc với (d')

a 1   n P ; n d '    6;9; 3  3  2; 3;1 . Phương trình đường
x 5 y 2 z 5



 1  :
2
3
1
x 3 y 4 z5


Với t  1 ta có:   2  :
2
3
1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

thẳng cần tìm là:

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0;1 , B 1; 2;1 ;C  4;1; 2  và mặt
phẳng (P): x  y  z  0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA 2  MB2  MC2 đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G  2;1;0  , ta có

MA 2  MB2  MC 2  3MG 2  GA 2  GB2  GC2 (1)

Từ hệ thức (1) ta suy ra :
MA 2  MB2  MC 2 đạt GTNN  MG đạt GTNN  M là hình chiếu vuông
góc của G trên (P)

Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương
trình tham số là:


 x  2  t
y  1  t
z  t





Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy M 1; 0; 1 .

x  2  t
 t  1
y  1  t

  x  1  M 1, 0, 1
z  t
y0
x  y  z  0

z  1



Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

 d1  :

x 1 y  2 z
x  2 y 1 z 1

 ; d2  :


1
2
1
2
1
1

và mặt phẳng  P  : x  y  2z  5  0 . Lập

phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P) và cắt  d1  ,  d 2  lần lượt tại A,
B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Bài giải

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ



PP tọa độ trong không gian



FB: />
Đặt A  1  a; 2  2a;a  , B  2  2b;1  b;1  b  , ta có
AB   a  2b  3; 2a  b  3; a  b  1



Do AB song song với (P) nên:

AB  n P  1;1; 2   b  a  4

Suy ra: AB   a  5; a  1; 3


Do đó: AB   a  5   a  1   3  2a 2  8a  35  2  a  2   27  3 3
2

2

2

2




Suy ra: min AB  3 3  ab  22


Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

x 1 y  2 z  2


1
1
1

Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho A  0;0; 4  , B  2;0;0  và mặt phẳng (P) có phương
trình 2x  y  3  0 . Lập phương trình mặt cầu  S  đi qua ba điểm O, A, B và tiếp xúc
mặt phẳng (P).
Bài giải



Phương trình mặt cầu (S) có dạng:
x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0



Do

d  0
d  0
O, A, B   S   16  8c  0  c  2
4  4a  0

a  1

Suy ra: (S) có tâm I 1; b;2 , R  1  b2  4  b2  5

Do (S) tiếp xúc với (P) nên:
d  I;(P)   R 



b  0
5
 b 2  4  4b 2  10b  0  
4 1
 b   2

2b3

Vậy có hai mặt cầu là:

S1  : x 2  y2  z 2  2x  4z  0
S2  : x 2  y2  z 2  2x  5y  4z  0

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A  0;1; 2  , B 1;1;1 , C  2; 2;3 và mặt
phẳng (P): x  y  z  3  0 . Tìm điểm M trên (P) sao cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ
nhất.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ



PP tọa độ trong không gian

FB: />
Bài giải



Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: G 1;0; 2 



Xét điểm M  (P) . Ta có:
MA  MB  MC  3 MG  3MG

Suy ra: MA  MB  MC đạt GTNN  MG đạt GTNN  M là hình chiếu của G
trên (P)

Tìm M
+ Gọi (d) là đường thẳng qua G vuông góc với mặt phẳng (P)
x  1  t
Phương trình đường thẳng (d):  y   t

z  2  t

+ Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:
x  1  t
 t  2
 y  1

  x  1  M  1; 2;0 

z  2  t
y2
x  y  z  3  0
z  0



Vậy M  1; 2; 0 

Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt
phẳng 5x  4y  3z  20  0;3x  4y  z  8  0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm
I  2;3; 1 và cắt (d) tại hai điểm A, B sao cho AB  16 .
Bài giải



 4 3 3 5 5 4 
;
;
  8; 4; 8  4  2;1; 2 
 4 1 1 3 3 4 

Đường thẳng (d) có VTCP là: u  

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian


FB: />
Kẻ IH  AB thì HA  HB  8 và IH  d  I, (d)  , R  IH2  AH2
Xét điểm M 11;0; 25  , ta có:




IM   9; 3; 24 
  u; IM    30;30; 15 

n

2;1;

2


 d
2
2
 u; IM 
 30   302   15


 d  I;(d)  

 15
3
u





Do đó: R  IH 2  AH 2  225  64  17
2
2
2
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:  x  2    y  3   z  1  289

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d :

x  2 y  3 z 1


.
1
2
2

Xét hình bình hành ABCD có A(1 ; 0 ; 0), C (2 ; 2 ; 2), D  d . Tìm tọa độ B biết diện tích
hình bình hành ABCD bằng 3 2.
Bài giải

x  2 y  3 z 1


 D(t  2 ;  2t  3 ;  2t  1)
1
2

2
3 2
.
S ABCD  3 2  S ACD 
2
có AC  (1 ; 2 ; 2); AD  (t  3 ;  2t  3 ;  2t  1) .



Do D  d :



Vì



(1)

Ta
Suy ra [ AC , AD ]  (4 ; 4t  7 ;  4t  9)

Khi đó:
S ACD 



1
AC , AD
2




1
1
16  (4t  7) 2  (4t  9) 2 
32t 2  128t  146 .
2
2
2
32t  128t  128  0  t  2 . Suy ra D (0 ;  1 ;  3) .



(2)

Từ (1) và (2) ta có

Do ABCD là hình bình hành nên AB  DC . Suy ra B(3 ; 3 ; 5)

Vậy B  3;3;5  .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Tìm tọa độ điểm
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A  4;1;3 và đường thẳng
x 1 y 1 z  3


. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và vuông góc với đường
2
1
3
thẳng d . Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho AB  27 .
d:

Đường thẳng d có VTCP là ud   2;1;3
Vì  P   d nên  P  nhận ud   2;1;3 làm VTPT
Vậy PT mặt phẳng  P  là : 2  x  4   1 y  1  3  z  3  0
 2 x  y  3 z  18  0

Vì B  d nên B  1  2t;1  t; 3  3t 
AB  27  AB 2  27   3  2t   t 2   6  3t   27  7t 2  24t  9  0
2

t  3
 3
t 
 7

2

Vậy B  7; 4;6  hoặc B   ; ;  

7
 7 7
13 10

12

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;0;0) và đường thẳng d có
phương trình

x  2 y 1 z 1


. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông
1
2
1

góc với đường thẳng d. Từ đó suy ra tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên
đường thẳng d.
+) d có 1 VTCP là u  1; 2;1 .
+) (P) qua A(-1;0;0) và có VTPT n  u  1; 2;1 có pt : x + 2y + z +1 = 0.
+) H là giao điểm của (d) và (P) nên tọa độ H là nghiệm của hệ pt
x  1
 x  2 y 1 z 1




2
1   y  1. Vậy H(1;-1;0).

 1
 x  2 y  z  1  0
z  0


Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;-1;4), B(0;1;0) và đường
x

thẳng

:

2t

y

1

t ,

z

4

t

t

. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A


và vuông góc với đường thẳng và tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
giác ABM vuông tại M.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

sao cho tam

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />
(2; 1;1)
a) * Mp(P) có vtpt n a
*Ptmp(P) là: 2x – y + z - 9 = 0.
*Xét ptgđ của đt và mp(P) 4t – 1(1-t) + (4 + t) - 9 = 0
* Gọi N là gđ cần tìm
Thay t = 1 vào đt ta được N(2 ; 0 ; 5)

t = 1.

b) Ta có M
nên tọa độ M(2t ; 1- t ; 4 + t)
Vì tam giác ABM vuông tại M nên ta có
t=0
AM

BM

AM .BM


0

t=

1
3

* Vậy ta có hai điểm M cần tìm là M(0;1;4), M(

2 2 13
; ;
)
3 3 3

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1;0;3), C(0;2;1).
Lập phương trình mặt cầu đường kính AB và tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ
A của tam giác ABC.
Tìm được tọa độ tâm I của mặt cầu I(0;-1;2), bán kính mặt cầu: R  3
Phương trình mặt cầu (S): x 2  ( y  1)2  ( z  2)2  3
Giả sử H(x;y;z), AH  (x 1; y 2; z1), BC  (1; 2; 2), BH  ( x  1; y; z  3)
AH  BC  AH .BC  0  x  2 y  2 z  5
7 4 23
2 x  y  2
BH cùng phương BC  
,
Tìm được H(  ; ; )
9 9 9
y  z  3


Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2;5;1 và mặt phẳng
( P) : 6 x  3 y  2 z  24  0 . Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
(P). Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H,
sao cho điểm A nằm trong mặt cầu.
 x  2  6t

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Suy ra: d :  y  5  3t
 z  1  2t


Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên H  d  ( P) .
Vì H  d nên H  2  6t;5  3t;1  2t  .
Mặt khác, H  ( P ) nên ta có: 6  2  6t   3  5  3t   2 1  2t   24  0  t  1
Do đó, H  4; 2;3 .
Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784 , suy ra 4 R 2  784  R  14 .
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH  ( P )  I  d .
Do đó tọa độ điểm I có dạng I  2  6t;5  3t;1  2t  , với t  1 .
Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PP tọa độ trong không gian

FB: />
 6  2  6t   3  5  3t   2 1  2t   24
 t  1
 14


d ( I , ( P ))  14
2
2
2

6  3  (2)

  t  3  t  1

 AI  14

 2  t  2
2
2
2

  6t    3t    2t   14

Do đó, I  8;8;  1 .
Vậy, mặt cầu ( S ) :  x  8   y  8   z  1  196
2

2

2

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ
điểm O’ đối xứng với O qua (ABC).
*Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0

*Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với
(ABC) nên OH // n(2;1;1) ; H   ABC 
1
2 1 1
suy ra H ( ; ; )
3
3 3 3
4 2 2
*O’ đối xứng với O qua (ABC)  H là trung điểm của OO’  O ' ( ; ; )
3 3 3

Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t=

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x
đường thẳng d :

x

2

y

1

y

z

3


0 và

z
. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d; tìm tọa độ điểm
1

1
2

A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 2 3 .
x  2  t

Ta có phương trin
̀ h tham số của d là  y  1  2t
 z  t

I  d  ( P )  Ta có phương trình: (2  t )  ( 1  2t )  ( t )  3  0
 t  1  I (1;1;1)

Ta có A  d  A(2  t; 1  2t; t )
Khi đó, ta có d ( A;( P)) 

(2  t )  (1  2t )  (t )  3
1 1 1
2

2

2




2t  2

3
2t  2
t  4
Vâ ̣y d ( A;( P))  2 3 
 2 3  t  1  3  
3
t  2
Khi đó t  4  A(2;7; 4); t  2  A(4; 5; 2)

Câu 8. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(3;  4; 0) , B (0; 2; 4) , C (4; 2; 1) . Tính diện
tích tam giác ABC và tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD  BC .
Tính diện tích tam giác ABC

AB; AC    18; 7;  24
S

1
18 2  7 2  24 2 
2

494
2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ