Chương 4. Động lực học chất lỏng lý tưởng
Chương này tìm hiểu các quy luật chuyển động của chất lỏng trong mối liên hệ với lực là
nguyên nhân gây ra chuyển động. Để đơn giản hố q trình khảo sát, đối tượng khảo sát
trong chương này là chất lỏng lý tưởng, là chất lỏng có các tính chất giống chất lỏng thực,
tuy nhiên có độ nhớt bằng khơng.
Các kết quả khảo sát ở chương này là cơ sở để tiếp cận chương 5 - động lực học chất
lỏng thực.
I. Phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng
1. Dạng Euler
Chương 2 đã đề cập tới phương trình Euler thể hiện điều kiện cân bằng của một phân
tố chất lỏng:

ur 1
F − grad ( p ) = 0
ρ
Dạng khai triển:

1 ∂p
 X − ρ ∂x = 0


1 ∂p
=0
Y −
ρ ∂y


1 ∂p
=0
Z −
ρ ∂z



r

Khi chất lỏng chuyển động với vận tốc u , theo nguyên lý D’Alamber, tổng các lực tác
dụng lên phần tử chất lỏng sẽ cân bằng với lực qn tính. Do đó nếu thêm vào phương trình
trên thành phần lực quán tính đơn vị, tức là gia tốc của phần tử chất lỏng, ta nhận được
phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng dạng Euler như sau:

r
ur 1
r
du
F − grad ( p ) =
ρ
dt

(4.0a)

Dạng khai triển của (4.0a):
1

 Fx − ρ


1
 Fy −
ρ



1
 Fz −
ρ


∂u
∂u
∂u
∂p ∂u x
=
+ ux x + u y x + uz x
∂x ∂t
∂x
∂y
∂z
∂u
∂u
∂u
∂p ∂u y
=
+ ux y + u y y + uz y
∂y
∂t
∂x
∂y
∂z
∂p ∂u z
∂u
∂u
∂u

=
+ ux z + u y z + uz z
∂z
∂t
∂x
∂y
∂z

2. Dạng Lamb- Gromeco
Sử dụng (4.0b) cho các trục tọa độ.
Theo phương Ox ta có:

(4.0b)


X−

1 ∂p ∂u x
∂u
∂u
∂u
=
+ ux x + u y x + uz x
ρ ∂x ∂t
∂x
∂y
∂z

Nếu thêm vào vế phải của phương trình trên các đại lượng ±u y


∂u y
∂x

và ±u z

∂u z
thì ta
∂x

có:

X−

∂u
 ∂u ∂u 
1 ∂p ∂u x
∂u
∂u
 ∂u ∂u 
=
+ u x x + u y y + u z z + u y  x − y ÷+ u z  x − z ÷
ρ ∂x ∂t 1 4∂x4 44 2∂4
x 444
∂3x
∂y
∂x  1 44
∂z2 4 ∂43
x 
4
1

4
2
4
43
1
2

3

∂u
∂u x
∂u
∂  u2 
+ u y y + uz z =  ÷
∂x
∂x
∂x ∂x  2 
 ∂u x ∂u y 
−

÷= ϖ z
y
∂x 
Vì: 1 ∂44
2 4 43
ux

2

 ∂u x ∂u z 

−

÷= ϖ y
1 ∂4z 2 4∂x3
3

Do đó
Tương tự như trên cho các trục Ox và Oy, ta có hệ phương trình sau:

1 ∂p ∂  u 2  ∂u x
Fx −
−  ÷=
+ ( u zϖ y − u yϖ z )
ρ ∂x ∂x  2  ∂t
1 ∂p ∂  u 2  ∂u x
Fx −
−  ÷=
+ ( u zϖ y − u yϖ z )
ρ ∂x ∂x  2  ∂t
1 ∂p ∂  u 2  ∂u y
Fy −
−  ÷=
+ ( u xϖ z − u zϖ x )
ρ ∂y ∂y  2  ∂t
1 ∂p ∂  u 2  ∂u z
Fz −
−  ÷=
+ ( u yϖ x − u xϖ y )
ρ ∂z ∂z  2  ∂t
(4.1)


Nhận xét:

ur

1. Đối với hàm F , có thể đưa vào hàm lực thế U sao cho:

X =−

∂U
∂U
∂U
;Y = −
;Z = −
∂x
∂y
∂z

2. Đối với hàm áp suất p, đưa vào hàm π sao cho:


dπ =

1
1
dp ⇔ π = ∫ dp
ρ
ρ

Khi đó hệ phương trình được viết lại như sau:

 ∂
u 2  ∂u x
−
U
+
π
+
+ ( uz Ω y − u yΩ z )


÷=
∂
x
2
∂
t



 ∂ 
u 2  ∂u y
−
U
+
π
+
+ ( u xΩ z − u z Ω x )


÷=

∂
y
2
∂
t



 ∂
2

−  U + π + u ÷ = ∂u z + ( u y Ω x − u xΩ y )
2  ∂t
 ∂z 

Hay:

trong đó,

(4.2)

r

u 2  ∂u ur r
⇔ − grad  U + π + ÷ =
+ Ωxu
2  ∂t


r

∂u ur r
− grad ( E ) =
+ Ω×u
∂t
E =U +π +

(4.3)

u2
2

Phương trình (4.3) được gọi là phương trình chuyển động của chất lỏng lý tưởng (nén
được hoặc không nén được) viết dưới dạng Lamb –Gromeco.
II. Tích phân phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng
1. Chất lỏng chuyển động dừng

r
∂u
Khi dòng chất lỏng chuyển động dừng
= 0 , phương trình chuyển động (4.2) được
∂t

viết lại như sau:

 ∂E
− ∂x = ( u z Ω y − u y Ω z )

 ∂E
= ( uxΩ z − u zΩ x )
−

∂
y

 ∂E
= ( u yΩ x − uxΩ y )
−
 ∂z
Nhân vào hai vế của hệ phương trình này lần lượt các giá trị dx, dy, dz sau đó cộng vế
theo vế ta được:

dx
dE = u x
Ωx

dy
uy
Ωy

dz
uz
Ωz

(4.4)


Các trường hợp riêng cuả (4.4):
• Khi Ω x = Ω y = Ω z = 0 : chuyển động này là khơng quay, hay cịn được gọi là
chuyển động thế;
dx


dy

dz

• Khi u = u = u : ứng với trường hợp thực hiện tích phân dọc theo một đường
x
y
z
dịng, hay rộng hơn, dọc một đường dịng ngun tố;
dx

dy

dz

• Khi Ω = Ω = Ω : tương ứng với trường hợp lấy tích phân theo một đường
x
y
z
xốy, hay mở rộng cho một dây xốy;
• Khi

u
ux
u
= y = z : ứng với trường hợp vector vận tốc trùng phương với vector
Ωx Ω y Ωz

xoáy - trường hợp chuyển động xoắn ốc.
Trong các trường hợp trên ta đều có:

dE =0
Tích phân phương trình này ta được:

u2
U +π +
= const
2

(4.5)

Các hàm U và π trong (4.5) phụ thuộc vào loại chất lỏng và trạng thái chuyển động
cuả chúng. Xét một số trường hợp riêng của (4.5) như sau:
a. Dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng khơng nén được, đồng chất chuyển động
dừng, có lực khối tác dụng chỉ là lực trọng trường
• Trong trường hợp lực khối chỉ là trọng lực:


X =0
Y =0
 ⇒ U = gz
∂U 
Z = −g = −
∂z 


Thế vào phương trình (4.5) ta được:

1
u2
gz + ∫ dp +

= const
ρ
2

(4.6)

• Trong (4.6), nếu chất lỏng là chất lỏng lý tưởng không nén được và đồng chất (

ρ = const ) thì (4.6) trở thành:
p u2
z+ +
= const
γ 2g

(4.7)

là phương trình Bernoulli, hay cịn được gọi là phương trình năng lượng.
Ý nghĩa năng lượng của phương trình Bernoulli:
Tổng ba thành phần của phương trình Bernoulli biểu diễn cơ năng của một đơn vị khối
lượng chất lỏng, được gọi là cơ năng đơn vị, trong đó các thành phần có ý nghĩa như sau:


Hình 4.1

z biểu diễn năng lượng do vị trí gây nên tính từ mặt chuẩn bất kỳ, được gọi là vị năng đơn
vị;

p
là năng lượng do áp suất gây nên, gọi là áp năng đơn vị;
γ

p
z + = ht là thế năng đơn vị, còn được gọi là cột áp tĩnh;
γ
2
u
= hd là động năng đơn vị, còn được gọi là độ cao cột vận tốc. Đó chính là chiều
2g
cao cột chất lỏng đạt được khi ta phun chất lỏng lên từ 1 vòi theo phương thẳng đứng với
vận tốc u trong điều kiện chất lỏng không bị cản trở của mơi trường ngịai. Thành phần này
được gọi là cột áp động hđ.
Như vậy:
- Về mặt năng lượng phương trình Bernoulli thể hiện: Dọc theo dòng nguyên tố của
chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng tổng cơ năng đơn vị là hằng số. Do đó có thể nói
phương trình Bernoulli biểu diễn định luật bảo tồn cơ năng cuả dịng chảy.
- Ý nghĩa thủy lực của phương trình Bernoulli: Trong dòng nguyên tố chất lỏng lý
tưởng chuyển động dừng với lực khối tác dụng chỉ là lực trọng trường, cột áp tồn phần
(cịn được gọi là cột áp thủy động htđ, là tổng của cột áp tĩnh và cột áp động: htđ = ht + hđ )
luôn là hằng số,
htđ = ht + hđ = const
b. Dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng không nén được, đồng chất, chuyển động dừng
chuyển động với gia tốc không đổi
Ta xét hai trường hợp sau:
• Kênh chứa chất lỏng chuyển động thẳng, gia tốc khơng đổi

Xét kênh dẫn chất lỏng như hình 4.2.
Lực khối lượng là trọng lực và lực quán tính. Xét khối chất lỏng chuyển động nhanh
r
dần đều theo phương OX với gia tốc a . Ta có:
X = -a
Y=0

Z = -g


Thay các giá trị trên vào phương trình vi phân chuyển động của dịng chất lỏng lý tưởng
(4.5), ta có:
dU = adx + gdz
Tích phân phương trình trên ta được U =
ax +gz + C1
Kết hợp với phương trình

u2
U + π + = const ta được:
2
1
u2
gz + ax + ∫ dp + = const
ρ
2

Hình 4.2

p w2 a
⇔z+ +
+ x = const
γ 2g g
Nếu áp dụng cho 2 mặt cắt (1-1) và (2-2) ta có:

p1 w12
p2 w22 a
z1 + +

= z2 +
+
+ la
γ 2g
γ 2g g
trong đó, la là khoảng cách giữa hai mặt cắt 1-1, 2-2 đo theo phương của gia tốc a.
• Kênh chứa chất lỏng quay đều quanh trục thẳng đứng
Các thành phần lực tác dụng lên khối chất lỏng gồm lực quán tính và trọng lực do đó:

X = ω2 x; Y = ω2 y; Z = −g
Suy ra:

dU = −ω2 xdx − ω 2 ydy + gz
Do đó ta có:

Hình 4.3

 x 2 + y2 
 2
 + gz + C 2 = −ω2  r  + gz + C 2
U = −ω 2 
 2
2 

 
2
u
= const ta được
Thay U vào phương trình U + π +
2

p w 2 ω2 r 2
z+ +
−
= const
γ 2g
2g
Áp dụng cho hai mặt cắt (1-1) và (2-2) ta được:
2
2
2
p1 w12
p2 w2 2 ω ( r1 − r2 )
z1 + +
= z2 +
+
+
γ 2g
γ
2g
2g


2. Dịng chất lỏng chuyển động khơng dừng
Từ phương trình:

r
uuuuu
r
u 2  ∂u ur r
− grad  U + π + ÷ =

+ Ωxu ,
2
∂
t



 ∂
u 2  ∂u x
+ ( uz Ω y − u yΩ z )
−  U + π + ÷ =
2  ∂t
 ∂x 
 ∂ 
u 2  ∂u y
⇔ −  U + π + ÷ =
+ ( u xΩ z − u z Ω x )
2  ∂t
 ∂y 
 ∂
2

−  U + π + u ÷ = ∂u z + ( u y Ω x − u x Ω y )
2  ∂t
 ∂z 

Nếu lấy tích phân dọc theo dịng ngun tố, hệ phương trình trên trở thành:
∂u x
 ∂
−

E
=
 ∂x
∂t

∂u
 ∂
⇔ − E = y
∂t
 ∂y
 ∂
∂u z
− Z =
∂t
 ∂z

(4.8)

Nhân các phương trình hệ (4.8) lần lượt với dx, dy, dz và cọng vế theo vế ta được:

−dE =

∂u
∂u x
∂u
dx + y dy + z dz
∂t
∂t
∂t


(4.9)

uu
r
Gọi dl (dx, dy, dz ) là vi phân cung của đường dịng, phương trình (4.9) có thể viết lại
như sau:

r
∂u r
−dE =
dl
∂t

r
r uu
r
∂u r ∂u
dl =
dl . Do đó (4.9) trở thành:
Vì dọc đường dịng u // dl nên
∂t
∂t

∂u
dl
∂t
∂u
⇒ − E = ∫ dl
∂t
−dE =


∂u
= const dọc theo l. Đưa phần đạo hàm riêng ra khỏi dấu tích
∂t
phân, với lưu ý bài toán đang được khảo sát trong giới hạn chất lỏng lý tưởng, không nén
được, đồng chất, trong trường trọng lực do đó E được xác định dựa vào (4.6) hoăc (4.7).
Cuối cùng ta có:
Xét dịng chất lỏng có


p u 2 1 ∂u
z+ +
+ l
= const
γ 2 g g ∂t

(4.10)

Đây là phương trình Bernoulli mở rộng cho dịng nguyên tố chất lỏng lý tưởng, không nén
được, đồng chất chuyển động không dừng trong trường trọng lực.
3. Chuyển động thế khơng dừng – tích phân Cauchy – Lagrange
Trong trường hợp dịng chất lỏng chuyển động thế khơng dừng, hàm thế vận tốc
chuyển động sẽ là hàm số phụ thuộc vào cả khơng gian và thời gian:
ϕ = ϕ(x,y,z,t)
r

Vì u = grad (ϕ ) nên ta có:
r
∂u ∂
 ∂ϕ 

= ( grad (ϕ ) ) = grad 
÷
∂t ∂t
 ∂t 
ur

Vì chuyển động là có thế nên Ω = 0 . Khi đó phương trình (4.3) trở thành:

u2 
 ∂ϕ 
− grad  U + Π + ÷ = grad 
÷
2
 ∂t 

∂ 
u2 
∂  ∂ϕ 
U
+
Π
+
 
÷dx = 
÷dx
∂
x
2
∂
x

∂
t



 
 ∂ 
u2 
∂  ∂ϕ 
⇔   U + Π + ÷dy = 
÷dy
2
∂y  ∂t 
 ∂y 
∂ 
2

  U + Π + u ÷dz = ∂  ∂ϕ ÷dz
2
∂z  ∂t 
 ∂z 


u2 
 ∂ϕ 
⇔ d U + Π + ÷= d 
÷
2
 ∂t 


Tích phân phương trình trên ta được:


u 2  ∂ϕ
= C (t )
 U + Π + ÷+
2  ∂t


(4.11)

Phương trình (4.11) là lời giải Cauchy – Lagrange của hệ phương trình vi phân Euler
đối với chuyển động thế không dừng của chất lỏng lý tưởng, được gọi là tích phân Cauchy
– Lagrange. Ở đây, hàm C(t ) được xác định từ các điều kiện biên.
Trường hợp chuyển động thế của chất lỏng không nén được, đồng chất, lực tác dụng chỉ
là lực trọng trường: U = gz, π =

p
, do đó:
ρ

∂ϕ
p u2
+ gz + + = C (t )
∂t
ρ 2

(4.12)

Phương trình (4.12) thỏa mãn cho tồn miền chất lỏng chuyển động dừng.

4. Mở rộng phương trình Bernoulli cho tồn dịng


Việc mở rộng tích phân cho tồn dịng chảy - là tập hợp của các dòng nguyên tố - gặp
một số khó khăn do phân bố vận tốc khơng đều trên mỗi mặt cắt ướt, có thành phần vận tốc
hướng ngang và ảnh hưởng của lực quán tính ly tâm. Vì vậy, chỉ mở rộng tích phân
Bernoulli cho tịan dịng chảy tại các mặt cắt có dịng chảy đổi dần, tức là tại đó áp suất thủy
động tuân theo quy luật thủy tĩnh: Z +

p
= const .
γ

Xét đọan dòng chảy được giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 sao cho tại hai mặt cắt
này dòng chảy đổi dần.
Gọi dQ là lưu lượng qua một ống dòng nguyên tố thuộc dòng chảy, nằm giữa hai mặt
cắt 1-1 và 2-2 có diện tích ướt tương ứng là S1 , S2 .
Gọi Q là lưu lượng tồn dịng chảy, nằm giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2.
Viết phương trình Bernoulli cho dòng nguyên tố giữa 1-1 và 2-2:
p1 u12
p
u2
+
= z2 + 2 + 2
γ 2g
γ 2g
2


p1 u1 

p2 u22 
⇔  z1 + +
+
÷γ dQ =  z2 +
÷γ dQ
γ 2g 
γ 2g 


z1 +

Hay:


p1 
u12
p2 
u22
∫  z1 + γ ÷γ dQ + S∫ 2 g γ dQ = S∫  z2 + γ ÷γ dQ + S∫ 2 gγ dQ
S1 
1
2
2

(4.13)

p
= const nên
γ


Vì Z +


∫  z

1

S1

+


p1 
p 
γ dQ =  z1 + 1 ÷γ Q
÷
γ 
γ 




p2 
p2 
z
+
γ
dQ
=
z

+
2
2

÷

÷γ Q
∫S  γ 
γ


2

(4.14)

(4.15)

u2
u2
u2
u3
γ
dQ
=
ρ
dQ
=
dm
=
ρ

dS chính là tổng động
Các đại lượng dạng ∫
∫
∫
∫
2
g
2
2
2
S
S
S
S
năng của tồn bộ dịng chảy trên mặt cắt S tính theo vận tốc thực tế. Ký hiệu:
u2
u3
K t = ρ ∫ dQ = ρ ∫ dS
2
2
S
S
Gọi V là vận tốc trung bình của dịng chảy tại mặt cắt S. Động năng của dòng chảy tại
mặt cắt S tính theo vận tốc trung bình sẽ là:
K tb =

V2
V3
1
1

3
2
dm
=
ρ
∫S 2
∫S 2 dS = 2 ρV S = 2 ρV Q

Gọi α là tỉ số giữa động năng thực và động năng trung bình của dịng chảy tại S, ta có:


∫ u dS
3

α=

Kt S
= 2
K tb
V Q

α được gọi là hệ số hiệu chỉnh động năng.

Như vậy:

u2
αV 2
∫S 2 g γ dQ = Kt = α Ktb = 2 g γ Q

(4.16)


Thay (4.16)(4.15)(4.14) vào (4.13) và biến đổi ta được:

p1 α1v12
p2 α 2v22
z1 + +
= z2 +
+
γ
2g
γ
2g
(4.17)
Đây chính là phương trình Bernoulli cho tịan dịng chảy của chất lỏng thực không nén
được, chuyển động dừng trong trường trọng lực.
Khi sử dụng (4.17) cần lưu ý:
- Tại hai mặt cắt 1-1 và 2-2 dòng chảy đổi dần, còn đọan dòng chảy giữa hai mặt cắt
này, dịng chảy khơng nhất thiết đổi dần.
- Có thể tùy ý chọn các điểm trên 1-1, 2-2 để viết (4.17), tuy nhiên nên chọn các điểm
có phương trình đơn giản nhất.
- Áp suất p1 và p2 phải cùng lọai (cùng là áp suất dư, áp suất tuyệt đối,…). Lấy độ cao
ở điểm nào thì phải tính áp suất tại điểm đó.
- Hệ số α > 1 . Xét chính xác thì α1 ≠ α 2 , tuy nhiên trong tính tóan nếu 1-1 và 2-2 đủ
gần thì có thể lấy α1 = α 2 = 1 .
5. Một số ứng dụng phương trình Bernoulli
a. Dụng cụ đo tốc độ và lưu lượng
- Ống pitot đo tốc độ điểm:
Ống pitot là dụng cụ đo lưu tốc điểm, gồm hai ống khá bé (ống 1) và một ống uốn
cong 900 (ống 2). Hai ống để thẳng đứng, miệng hai ống sát nhau (hình 4.4)


Hình 4.4
Muốn xác định vận tốc của lưu chất tại điểm M, chúng ta viết phương trình Bernoulli cho
đoạn dịng chảy từ mặt cắt 1-1 trước miệng ống 2 đến mặt cắt 2-2 tại mặt thoáng của ống 2.
Chọn mặt so sánh nằm ngang đi qua tâm lỗ:


p u2
p
z+ +
= ∆h, z +
γ 2g
γ
Ta có, z1= 0, z2 = H, u2 = 0;

p1
. Nếu tính với áp suất dư, ta có p2 = 0
γ

Do đó

p1 u 12
z2 = H = +
γ 2g
Hay:

u = 2 g ∆h
- Ống venturi đo lưu lượng:

Q1=Q


Q2=Q

Hình 4.5

Ống venturi là dụng cụ đo lưu lượng gồm ống nhỏ có đường kính d nối hai đầu với hai
ống lớn hơn có đường kính D, cả hai ống được gắn ống đo áp (như hình vẽ). Để xác định
lưu lượng của chất lỏng chuyển động trong ống chúng ta sử dụng phương trình Bernouli và
phương trình liên tục.
Viết phương trình Bernoulli cho đoạn dịng chảy từ mặt cắt (1-1) trước đoạn thu hẹp
đến mặt cắt (2-2) ở ngay tại đoạn ống thu hẹp. Chọn mặt so sánh đi qua trục ống. Vì ống
nằm ngang nên z1 = z2 = 0.

z1 +

p1 v12
p
v2
+
= z2 + 2 + 2
γ 2g
γ 2g

Chọn α1 = α2 = 1
Ta có:

v1 =

Q
Q
; v2 =

ω1
ω2

p1
p
= h1; 2 = h2
γ
γ
Do đó phương trình Bernouli có thể viết lại như sau:


V12
V22
h1 +
= h2 +
2g
2g
Suy ra :

Q 2  ω22 
1 − ÷ = h1 − h2
2 g ω22  ω12 
Do đó lưu lượng của dịng lưu chất được xác định như sau:
2 g ( h1 − h2 ) πd 2
2 gh
=
4
4   d 4 
 d 
1 −  ÷ ÷

 1 −  ÷ ÷
÷
÷
D




 D 
Chúng ta cũng có thể xác định chiều cao đo áp của ống nhỏ như sau:

Q=

πd 2
4

16Q 2   d 
1 −  
h 2 = h1 −
2gπ 2 d 2   D 

4






Như vậy, nếu khi d giảm hoặc Q tăng thì độ cao đo áp h 2 có thể có giá trị âm - đường
đo áp đi dưới trục ống (hình 4.6). Khi đó chiều cao chân không được xác định như sau:


16Q 2   d 
1 −  
h ck =
2gπ 2 d 2   D 

4


 − h1



Hình 4.6
Nguyên tắc hình thành độ cao chân không được sử dụng trong máy bơm ly tâm để hút
nước từ thấp lên cao.
III. Phương trình động lượng
1. Đạo hàm tồn phần của tích phân khối
Xét khối chất lỏng V được bao quanh bởi diện tích S. Trong hệ tọa độ xác lập, khối V
chiếm một vùng không gian D. Gọi G(x,y,z,t) là một hàm xác định trong D.
Ta có:


d
∂G ( x, y, z , t )
rr
G
(
x
,

y
,
z
,
t
)
dV
=
dV
+
G
(
x
,
y
,
z
,
t
).(
un
).dS (4.13)
∫∫∫
∫∫S
dt ∫∫∫
∂t
V
V
r r
trong đó, u , n là vận tốc và vector pháp tuyến dương của phân tố dS.

2. Định lý biến thiên động lượng
Phát biểu Định lý biến thiên động lượng:
Biến thiên của vector chính động lượng của một hệ chất điểm theo thời gian bằng tổng
các ngọai lực tác dụng lên hệ.
Áp dụng định lý này cho một khối chất lỏng chuyển động, bằng cách xem mỗi phân tố
có kích thước đủ nhỏ như một chất điểm.
r
Gọi K vector động lượng của khối lưu chất V, ta có:

r
r
K = ∫∫∫ ρ udV
V

r
r
r
r
dK d
⇒
= ∫∫∫ ρ udV = ∑ Rm + ∑ Rs
dt dt V
r

Áp dụng (4.13) với G = ρ u , phương trình trên trở thành:

r
r
r
∂( ρu )

r rr
dV
+
(
ρ
u
).(
un
).
dS
=
R
+
R
∑
∑
m
s
∫∫∫
∫∫S
∂t
V

(4.14)

Phương trình (4.14) biểu diễn định lý biến thiên động lượng dạng tổng quát cho khối
r

lưu chất chuyển động , trong đó


r

∑ R ,∑ R
m

s

là lực khối và lực mặt tác dụng lên khối lưu

chất V có diện tích bao quang là S.
Trong trường hợp chất lỏng chuyển động dừng, (4.14) trở thành:

r
r
r rr
(
ρ
u
).(
un
).
dS
=
R
+
R
∑ m ∑ s
∫∫
S


(4.15)

3. Áp dụng định lý biến thiên động lượng cho dòng nguyên tố - Định lý Euler

Hình 4.4
Xét đọan ống dịng ngun tố của chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng được giới hạn
bởi S1, S2, Sb trên hình 4.4, ta có:


r rr
r rr
r rr
r rr
(
ρ
u
).(
un
).
dS
=
(
ρ
u
).(
un
).
dS
+
(

ρ
u
).(
un
).
dS
+
(
ρ
u
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫ ).(un ).dS
S

S1

S2

Sb

r rr
r r r
r rr
= ( ρ1u1 ).(u1n1 ).S1 + ( ρ 2u2 ).(u2 n2 ).S2 + ∫∫ ( ρ ub ).(ub nb ).dSb
Sb

Kết hợp với (4.15), suy ra:


r
r
r rr
r rr
r rr
( ρ1u1 ).(u1n1 ).S1 + ( ρ2u2 ).(u2 n2 ).S2 + ∫∫ ( ρ ub ).(ub nb ).dSb = ∑ Rm + ∑ Rs
S

b
r
r r
r r
r
Vì u1 = − k1n1 ; u2 = k2 n2 ; ub ⊥ nb , (ki là các hệ số) nên phương trình trên trở thành:
r rr
r
r
(
ρ
u
).(
un
).
dS
=
(
ρ
u
).(
−

u
).
S
+
(
ρ
u
1
1
1
1
2
2 ).(u2 ).S 2
∫∫

S

r
r
r
r
⇔ −u1.( ρ1u1S1 ) + u2 .( ρ 2u2 S 2 ) = ∑ Rm + ∑ Rs

Hay:

r
r
r r
Qm (u1 − u2 ) + ∑ Rm + ∑ Rs = 0


(4.16)

Trong đó:
Qm là lưu lượng khối lượng của dịng chảy qua dòng nghuyên tố;
r
r
u1 và u2 lần lượt là vận tốc vào lưu chất ở đầu vào và vận tốc lưu chất ở đầu ra của
dòng nguyên
r tố; r

∑R + ∑R
m

s

là tổng các ngoại lực khối và các ngoại lực mặt tác dụng lên thể tích

kiểm sốt.
Phương trình (4.16), cịn được gọi là phương trình Euler, là phương trình biến thiên
động lượng viết cho dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng.
4. Áp dụng định lý biến thiên động lượng cho tồn dịng chảy
a. Phương trình biến thiên động lượng
Trong trường hợp xét biến thiên động lượng cho tồn dịng chảy, vẫn sử dụng được
phương trình (4.16), tuy nhiên phải thay vận tốc phân tố thành vận tốc trung bình tại mặt cắt
ướt đầu vào và đầu ra, đồng thời phải sử dụng hệ số hiệu chỉnh động lượng βi để hiệu chỉnh
sự sai lệch của động lượng khi sử dụng vận tốc trung bình.
Phương trình biến thiên động lượng viết cho tồn dịng chảy được viết như sau:

r
r

r
r
Qm ( β1V1 − β 2V2 ) + ∑ Rm + ∑ Rs = 0

(4.17)

Trong đó:
Qrm là lưu
r lượng khối lượng của tồn dịng chảy;
V1 và V2 lần lượt là vận tốc trung bình trên các mặt cắt ướt đầu vào và đầu ra của tồn
dịng chảy;


r
r
R
+
R
∑ m ∑ s là tổng các ngoại lực khối và các ngoại lực mặt tác dụng lên thể tích
kiểm soát.

βi , i = 1,2 là các hệ số hiệu chỉnh động lượng tại mặt cắt ướt đầu vào và đầu ra

Các phương trình (4.16) và (4.17) được ứng dụng rộng rãi trong việc tinh toán lực đẩy
cuả động cơ phản lực, của tên lửa hoặc để tính lực tác dụng của lưu chất lên tua-bin, lên
cánh quạt, lên bơm; phương trình Euler cịn được ứng dụng nhiều trong nghiên cứu hiện
tượng va đập thủy lực trong đường ống dẫn có áp.
b . Hệ số hiệu chỉnh động lượng
Khi ứng dụng định lý biến thiên động lượng trong cơ học chất lỏng cho tồn dịng
chảy người ta tính tốn với vận tốc trung bình của dịng lưu chất, như vậy khi quy đổi từ vận

tốc dòng nguyên tố sang vận tốc trung bình chúng ta cần phải nhân thêm hệ số hiệu chỉnh,
được gọi là hệ số hiệu chỉnh động lượng β , hệ số này được xác định như sau:

r
V
i

u
dω
i

ω

Hình 4.5 Tính hệ số hiệu chỉnh động lượng β
V là vận tốc trng bình tại mặt cắt ướt i-i; u là vận tốc của phân tố dω
ω là diện tích tiết diện ướt i-i.
Xét mặt cắt ướt i-i trên tồn dịng chảy. Gọi V là vận tốc trung bình và ω là diện tích
tiết diện ướt của mặt cắt này. Gọi u là vận tốc của phân tố dω trên ω (hình 4.5).
- Động lượng của tồn dịng chảy tính theo vận tốc dịng ngun tố như sau:
K t = ∫ (ρud ω).u = ∫ ρu 2d ω
ω

ω

- Động lượng của tồn dịng chảy tính theo vận tốc trung bình:
K tb = ρV 2ω
Do đó:

∫ ρu d ω
2


β=

Kt ω
=
K tb
ρV 2ω

Đối với lưu chất không nén được và đồng chất, ρ = const , ta có:

∫ u dω
2

β=

ω

V 2ω


4
β > 1 . Trong ống tròn, chất lỏng chảy tầng, β = . Trong ống tròn chất lỏng chảy rối,
3
β = 1,02 ÷ 1,05 .

Ví dụ.
Tính lực tác dụng của một tia chất lỏng lên một cánh dẫn cố định. Bỏ qua trọng lực của
chất lỏng. Biết góc vào của dịng là θ1 , góc ra của dịng là θ 2 ; dịng tới có vận tốc V0 và lưu
lượng thể tích Q (hình 4.6).
Giải:

Ứng dụng định lý biến thiên động lượng cho thể tích kiểm tra được giới hạn bởi 1, 2 và
các mặt bên.
Ngọai lực tác dụng lên thể tích kiểm tra này gồm:
r
- Phản lực F ( Fx , Fy ) ;
- Áp suất khí quyển tác dụng vào bề mặt bao quanh thể tích: thành phần này tự triệt
tiêu;
- Lực trọng trường: bỏ qua.
- Lực ma sát: bỏ qua.
Gần đúng, xem dòng chảy là một đoạn ống dịng ngun tố có tiết diện ngang khơng
đổi, suy ra:
V2 = V1 = V0

trong đó, vận tốc trên các mặt 1 và 2 được tính theo vận tốc trung bình.

Hình 4.6
Gần đúng, xem β1 = β2 = 1 . Phương trình động lượng viết cho đoạn ống dịng bao quanh
thể tích kiểm tra:
r r
r
ρ Q(V1 − V2 ) + F = 0

Chiếu (1) lên các trục tọa độ:

(1)


Fx + ρ QV0 (cosθ1 − cosθ 2 ) = 0
Fy + ρ QV0 (sin θ1 − sin θ 2 ) = 0
Suy ra:


Fx = ρ QV0 (cosθ 2 − cosθ1 )
Fy = ρ QV0 (sin θ 2 − sin θ1 )

(2)

Nếu θ 2 > θ1 , từ (2) suy ra Fx < 0; Fy > 0 . Do đó thành phần Fx phải đổi chiều so với chiều
biểu diễn trên hình vẽ.
r
r
r
Từ F suy ra lực của lưu chất tác dụng vào cánh dẫn: Fcd = − F .