ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH.

Vũ Ngọc Phát

2. PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2015


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành
dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát và PGS. TSKH. Vũ Hoàng
Linh. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác
giả khi đưa vào luận án. Các kết quả trong luận án là những kết quả mới và
chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Nguyễn Trường Thanh

i


LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát và PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh, hai người thầy đã
tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận án.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát. Thầy đã hướng
dẫn tôi từ những bước đầu tiên, như cách đặt vấn đề nghiên cứu, làm thế nào
để viết một bài báo khoa học, cách mở rộng vấn đề nghiên cứu, v.v. Nhờ sự chỉ
bảo của Thầy, tôi ngày càng tiến bộ hơn trong nghiên cứu khoa học. Bên cạnh
đó, Thầy luôn tạo điều kiện cho tôi được giao lưu, học hỏi với nhiều nhà toán

học trong nước và quốc tế, khiến cho tôi trưởng thành hơn trong môi trường
nghiên cứu. Nhân cách và lối sống của Thầy cũng là điều mà tôi đang phấn đấu
và hoàn thiện bản thân. Từ tận đáy lòng, tôi xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới
Thầy, mong Thầy luôn mạnh khỏe để có thể cống hiến nhiều hơn cho sự nghiệp
giáo dục nước nhà.
Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu của
PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh. Chính nhờ những bình luận và góp ý của Thầy
mà luận án của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy PGS.TSKH.
Vũ Hoàng Linh, PGS.TS. Đặng Đình Châu đã nhiệt tình cung cấp và hướng dẫn
tôi các kiến thức cần thiết xung quanh luận án. Đồng thời, tôi cũng chân thành
cảm ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp và các anh chị nghiên cứu sinh trong Bộ
môn Giải tích-Đại học Khoa học Tự nhiên đã luôn quan tâm, giúp đỡ, và trao
đổi những ý kiến qúy báu cho tôi trong quá trình học tập.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin
học, Phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Hà Nội. Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn đồng nghiệp,
các nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xêmina Tối ưu và Điều khiển tại
Viện Toán Học đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học
tập và làm luận án.
ii


Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Mỏ-Địa chất đã cho tôi cơ
hội được đi học tập và nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm Bộ môn
Toán-Khoa Đại học Đại cương: TS. Nguyễn Văn Ngọc, Ths. Tô Văn Đinh, Ths
Nguyễn Lan Hương đã tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho tôi trong
thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà

Nội.
Đặc biệt, tôi thực sự cảm ơn sâu sắc tới những người thân của tôi: bố, mẹ,
vợ và các con của tôi. Họ luôn sát cánh bên tôi, chia sẻ và động viên, là động
lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án.

iii


Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

3

MỞ ĐẦU

5

1

CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1

1.2

1.3

1.4

1.5
1.6

2

Bài toán ổn định và ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi sai phân .
Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ . . . . . . . .
1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ . .
Bài toán H∞ trong lí thuyết điều khiển . . . . . . . . .
1.4.1 Không gian H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bài toán điều khiển H∞ . . . . . . . . . . . . . .
Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

16
16
16
18
19
19
21
26
26
29
29
29
30

32
33

ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
37
2.1
2.2
2.3

Điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến . . . . . . . . . . . .
Điều khiển H∞ cho một lớp hệ quy mô lớn . . . . . . . . . . .
Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

37
52
70


3

ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ QUY MÔ LỚN CHUYỂN
MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
71
3.1
3.2
3.3


Tính ổn định của hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch . . . .
Điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch . . .
Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT LUẬN

71
85
102

103

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN
QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
105

TÀI LIỆU THAM KHẢO

106

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

R là tập các số thực
R+ là tập các số thực không âm
Rn là không gian Euclide n chiều
Rn×r là tập các ma trận thực kích thước (n × r)
(x, y) = xT y là tích vô hướng trên Rn , xT y =


n

xi yi
i=1

||x|| là chuẩn Euclide của véc tơ x ∈ R , ||x|| =
n

n
i=1

1/2

x2i

C([a, b], Rn ) là không gian các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong Rn với
chuẩn x C = sup x(t)
a≤t≤b

C 1 ([a, b], Rn ) là không gian các hàm khả vi liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong
Rn với chuẩn x C 1 = sup x(t) + sup x(t)
˙
a≤t≤b

a≤t≤b

I là ma trận đơn vị kích thước n × n
Ii là ma trận đơn vị kích thước ni × ni
∗ các phần tử dưới đường chéo chính của ma trận đối xứng

AT là ma trận chuyển vị của ma trận A
λ(A) là tập các giá trị riêng của ma trận A
λmax (A) := max{Reλ : λ ∈ λ(A)}
3


λmin(A) := min{Reλ : λ ∈ λ(A)}
λA = λmax (AT A)
A ≥ 0 có nghĩa là ma trận A nửa xác định dương, tức là xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn
A > 0 có nghĩa là ma trận A xác định dương, tức là xT Ax > 0, ∀x ∈ Rn \ {0}
F ∗ (s) là ma trận liên hợp của ma trận F (s)
K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+ , a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s >
0
L2loc ([0, ∞), Rn ) là không gian các hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích
trên các tập compact K của [0, ∞), có nghĩa là ||ω(t)||2 dt < ∞
K

L2 ([0, ∞), Rn ) không gian các hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích
trên [0, ∞), có nghĩa là

∞

0

||ω(t)||2 dt < ∞

LMI là viết tắt của cụm từ tiếng Anh (linear matrix inequality) có nghĩa là bất
đẳng thức ma trận tuyến tính

4



MỞ ĐẦU

Lý thuyết không gian H∞ có nguồn gốc từ công trình của G. H. Hardy [21]
năm 1915. Sau đó, năm 1981, G. Zames [73] áp dụng thành công lí thuyết này
vào điều khiển, lần đầu tiên đưa bài toán thiết kế điều khiển cho hệ thống một
đầu vào và một đầu ra về bài toán tối ưu hóa. Bài toán điều khiển H∞ tối ưu
có thể hiểu như sau
Tìm điều khiển để ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu và khi có nhiễu thì
điều khiển này đảm bảo tác dụng của nhiễu là nhỏ nhất.
Tuy nhiên, việc tìm lời giải cho một bài toán tối ưu của một hệ thống điều khiển
trong thực tế đôi khi quá phức tạp, tốn kém, và thậm chí không cần thiết. Chúng
ta chỉ cần thiết kế các điều khiển gần đúng với điều khiển tối ưu mà vẫn đảm
bảo được tính ổn định và hiệu suất của hệ thống ở mức chấp nhận được. Đây là
lí do cho sự ra đời của của các bài toán điều khiển H∞ dưới tối ưu (suboptimal).
Từ lúc ra đời, lí thuyết điều khiển H∞ đã nhận được nhiều sự quan tâm
[29, 52]. Tiện lợi của điều khiển H∞ là có thể sử dụng cho hệ đa đầu vào, đa đầu
ra có nhiễu không mong muốn, mà chỉ bằng cách sử dụng các điều khiển cơ bản.
Trên cơ sở quy về bài toán tối ưu, việc tìm điều khiển H∞ có thể dựa trên nhiều
công cụ toán học và phương pháp số, và do đó việc thiết kế điều khiển trở nên
đơn giản hơn. Điều này làm cho bài toán điều khiển H∞ phát triển mạnh mẽ từ
thập kỉ 80 (thế kỉ 20) cho tới nay, và đã áp dụng thành công trong nhiều lĩnh
vực, các quá trình công nghiệp và kĩ thuật. Trong thập kỉ 80 (thế kỉ 20), nhiều
phương pháp được sử dụng nhằm giải các bài toán điều khiển H∞ , như phương
pháp hàm giải tích Nevanlinna-Pick hoặc phương pháp lí thuyết toán tử [4, 61].
Cũng trong giai đoạn này, năm 1984, Doyle [13] lần đầu tiên nghiên cứu bài toán
điều khiển H∞ cho hệ đa đầu vào và đa đầu ra, và kết quả này được phát triển
tiếp bởi Glover [20] và Francis [16]. Tuy nhiên, điểm hạn chế của các nghiên cứu
này là chúng liên quan tới việc giải các phương trình Riccati có kích thước rất

lớn và công thức cho các điều khiển là quá phức tạp. Năm 1989, Doyle [14] đã
mở rộng các nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ từ việc nghiên cứu trễ hằng số
sang nghiên cứu trễ biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều,
5


TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt
[1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân
và điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội.
[2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán Học, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Mai Viết Thuận (2014), Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi
phân hàm và ứng dụng trong lí thuyết điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học,
Viện Hàn Lâm Khoa Học và Công nghệ Việt Nam, Viện Toán Học.

Tiếng Anh
[4] Adamjan V.M., Arov D.Z., Krein M.G. (1978), "Infinite block hankel matrices and related extension problems", Trans. AMS., 111(2), pp. 133 - 156.
[5] Almi A.M., Derbel N. (1995), "New hierarchical control algorithm for largescale time-delay systems", Control and Computer, 23, pp. 48 - 52.
[6] Babuke L. (2008), "Decentralized control: an overview", Annual Review in
Control, 32(1), pp. 87 - 98.
[7] Balassubramaniam P., Krishnasamy R., Rakkiyappan R. (2011), "Delayinterval-dependent robuts stability results for uncertain stochastic systems
with markovian jumping parameters", Nonlinear Anal. Hybrid Systems,
5(4), pp. 681 - 691.

106


[8] Boyd S., Ghaoui El, Feron E., Balakrishnan V. (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, 15 SIAM, Philadelphia.

[9] Chen N., Ikeda M., Gui W. (2005), "Design of robuts H∞ control for interconnected systems", International Journal of Control, 3(2), pp. 143 - 151.
[10] Chang-Chun Hua, Qing-Guo Wanga, Xin-Ping Guan (2008), "Exponential
stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10), pp. 2600 - 2606.
[11] Chen C.Y., Lee C.H. (2009), "Robuts stability of homogeneous large-scale
bilinear systems with time delays and uncertainties", Journal of Process
Control, 19(7), pp. 1082 - 1090.
[12] Changki Jeong, PooGyeon Park, Sung Hyun Kim (2012), "Improved approach to robust stability and H∞ performance analysis for systems with
an interval time-varying delay", Applied Mathematics and Computation,
218(21), pp. 10533 - 10541.
[13] Doyle J.C. (1984), Lecture Notes in Advances in Multivariable Control,
ONR/Honeywell Workshop, Minneapolis.
[14] Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. (1989), "State-space
solutions to standard H2 and H∞ control problems", IEEE Trans. Auto.
Control, AC- 34(8), pp. 831 - 847.
[15] Du D., Jiang B., Shi P., Karimi H.R. (2013), "Fault detection
for continuous-time switched systems under asynchronuos switching", International Journal of Robuts Nonlinear Control, (in press).
published online in 18 January, 2013.
[16] Francis B.A. (1987), A Course in H∞ Control Theory, Springer, Berlin.
[17] Fridman E., Shaked U. (2003), "Delay-dependent stability and H∞ control:
constant and time-varying delays", International Journal of Control, 76(1),
pp. 48 - 60.
[18] Fu Q. (2009), "Decentralized H∞ control for a class of large-scale interconnected nonlinear systems with uncertainties via output feedback", Mathematica Applicata, 22(4), pp. 771 - 777.
107


[19] Gahinet P., Nemirovskii A., Laub A.J., Chilali M. (1995), LMI Control
Toolbox for Use with Matlab, The Math Works, Inc.
[20] Glover K. (1984), "All optimal hankel-norm approximation of linear multivariable systems and L∞ error bounds", Int. J. Control, 39(6), pp. 1115 1193.
[21] Hardy G.H. (1915), "On the mean value of the modulus of an analytic
function", Proceeding of the London Mathematical Society, JFM 45.1331.03,

14(1), pp. 269 - 277.
[22] Hale Jack K., Sioerd M. Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional
Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Inc.
[23] Hien L.V., Phat V.N. (2009), "Exponential stability and stabilization of
a class of uncertain linear time delay systems", Journal of the Franklin
Institute, 346(6), pp. 611 - 625.
[24] Hien L.V., Phat V.N. (2009), "Exponential stabilization for a class of hybrid
systems with mixed delays in state and control", Nonlinear Anal. Hybrid
Systems, 3(3), pp. 259 - 265.
[25] Hua C.C., Wang Q.G., Gua X.P. (2008), "Exponential stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10),
pp. 2600 - 2606.
[26] Ichikawa A. (2000), "Product of non-negative operators and infinite dimentional H∞ ricatti equations", Systems and Control Letters, 41(3), pp.
183 - 188.
[27] Ikeda M., Sijak D.D. (1980), "Decentralized stabilization of large-scale systems with time delays", Large Scale Systems, 1, pp. 273 - 279.
[28] Jiang X., Han Q.L. (2005), "On H∞ control for linear systems with interval
time-varying delay", Automatica, 41(12), pp. 2099 - 2106.
[29] Keulen B.V. (1993), H∞ Control for Distributed Parameter Systems: A
State-Space Approach, Bikhauser, Bolton.
[30] Kharitonov V. L., Hinrichsen D. (2004), "Exponential estimate for time
delays systems", Systems and Control Letters, 53(5), pp. 395 - 405.
108


[31] Kharitonov V.L. (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functional and
Matrices, Birkhauser.
[32] Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. (1986), Stability of Functional Differential
Equations, Academic Press, Inc.
[33] Krasovskii N.N. (1963), Stability of Motion: Applications of Lyapunov’s Second Method to Differential Systems and Equations with Delay, Stanford
University Press, Stanford, California.
[34] Kwon O.M., Park J.H. (2006), "Guaranteed cost control for uncertain largescale systems with time-delays via delayed feedback", Chao, Solitons and

Fractals, 27(3), pp. 800 - 812.
[35] Kwon O.M., Park J.H. (2006), "Robuts H∞ filtering for uncertain timedelay systems: matrix inequality approach", Journal of Optimization Theory and Applications, 129(2), pp. 309 - 324.
[36] Kwon O.M., Park M.J., Park Ju H., Lee S.M., Cha E.J. (2013), "Analysis
on robust H∞ performance and stability for linear systems with interval
time-varying state delays via some new augmented Lyapunov–Krasovskii
functional", Applied Mathematics and Computation, 224, pp. 108 - 122.
[37] Labibi B., Marquez H.J., Chen T. (2009), "Decentralized robuts output
feedback control for control affine nonlinear interconnected systems", Journal of Process Control, 19(5), pp. 865 - 878.
[38] Lee T.N., Radovic U.L. (1988), "Decentralized stabilization of linear continuous and discrete- time systems with delays in interconnections", IEEE
Transactionson on Automatic Control, 22(2), pp. 173 - 179.
[39] Liberzon D. (2003), Switching in Systems and Control, Bikhauser, Bolton.
[40] Li T., Guo L., Zhang Y. (2008), "Delay-range-dependent robuts stability
and stabilization for uncertain systems with time-varying delay", International Journal of Robuts and Nonlinear Control, 18(13), pp. 1372 - 1387.
[41] Lien C.H., Yu K.W., Chung Y.J., Chang H.C., Chung L.Y., Chen J.D.
(2011), "Switched signal design for global exponential stability of uncertain
switched nonlinear systems with time-varying delays", Nonlinear Anal. Hybrid Syst., 5(1), pp. 10 - 19.
109


[42] Liu J., Gu Z., Tian E. (2012), " A new approach to H∞ filtering for linear
time-delay systems", Journal of Franklin Institute, 349(1), pp. 184 - 200.
[43] Lu Q., Zhang L., Shi P., Karimi H.R. (2013), "Control design for a hypersonic aircaft using a switched linear parameter varying systems approach",
Proc. Inst. Mech. Eng. I, 227, pp. 85 - 95.
[44] Mahmoud M., Hassen M., Darwish M. (1985), Large-Scale Control Systems:
Theories and Techniques, Marcel-Dekker, New York.
[45] Mahmoud M.S, Almutairi N. B. (2009), "Decentralized stabilization of interconnected systems with time-varying delays", European Journal of Control, 15(6), pp. 624 - 633.
[46] Mahmoud M.S. (2009), "Decentralized reliable control of interconnected
systems with time-varying delays", J. Optim. Theory Appl., 143(3), pp.
497 - 518.
[47] Mahmoud M.S., Fouad M.A. (2010), "Interconnected continuous-time

switched systems: robuts stability and stabilization", Nonlinear Anal. Hybrid Systems, 4(3), pp. 531 - 542.
[48] Niculescu S.I. (1998), "H∞ Memoryless control with α− stability contraint
for time-delay systems: an LMI approach", IEEE Transactionson Automatic
Control, 43(5), pp. 739 - 743.
[49] Oucheriah S. (2000), "Decentralized stabilization of large-scale systems with
multiple delays in the interconnections", International Journal of Control,
73(13), pp. 1213 - 1223.
[50] Park J.H. (2005), "On design of dynamic output feedback controller for
GCS of large-scale systems with delays in interconnection: LMI optimization
approach", Applied Mathematics and Computation, 161(2), pp. 423 - 432.
[51] Park P.G., Ko J.W., Jeong C. (2011), "Reciprocally convex approach to
stability of systems with time-varying delays", Automatica, 47(1), pp. 235 238.
[52] Peterser I.R., Ugrinovskii V.A., Savkin A.V. (2000), Robuts Control Design
Using H∞ Methods, Springer, London.

110


[53] Phat V.N. (2004), "Nonlinear H∞ optimal control in Hilbert space via Ricatti operator equations", Nonlinear Functional Analysis and Applications,
9, pp. 79 - 92.
[54] Phat V.N., Ha Q.H. (2009), "H∞ control and exponential stability for a class
of nonlinear non-autonomous systems with time-varying delay ", Journal
of Optimization Theory and Applications, 142(3), pp. 603 - 618.
[55] Phat V.N. (2009), "Memoryless H∞ controller design for switched nonlinear
systems with mixed time-varying delays", International Journal of Control,
82(10), pp. 1889 - 1898.
[56] Phat V.N., Niamsup P. (2010), "A novel exponential stability condition of
hybrid neural networks with time-varying delay", Vietnam J. Math., 38(3),
pp. 341 - 351.
[57] Phat V.N. (2010), "Switched controller design for stabilization of nonlinear

hybrid systems with time-varying delays in state and control", J. Franklin
Inst., 347(1), pp. 195 - 207.
[58] Phat V.N., Khongthamb Y., Ratchagit K. (2012), "LMI approach to exponential stability of linear systems with interval time-varying delays", Linear
Algebra and its Applications, 436(1), pp. 243 - 251.
[59] Ravi R., Nagpal K.M., Khargonekar P.P. (1991), "H∞ control of linear timevarying systems: a state approach", SIAM Journal on Control Optimization,
29(6), pp. 1394 - 1413.
[60] Ratchagit K., Phat V.N. (2011), "Stability and stabilization of switched
linear discrete -time systems with interval time-varying delay", Nonlinear
Anal. Hybrid Syst., 5(4), pp. 605 - 612.
[61] Sarason D. (1967), "Generalized interpolation in H∞ ", Trans. AMS.,
127(2), pp. 179 - 203.
[62] Savkin A.V., Evans R.J. (2001), Hybrid Dynamical Systems: Controller and
Sensor Switching Problems, Springer, New York.
[63] Sun Z., Ge S.S. (2005), Switched Linear Systems: Control and Design,
Springer, London.

111


[64] Sun J., Liu G.P., Chen J., and Rees D. (2010), "Improved delay range
dependent stability citeria for linear systems with time varying delays ",
Automatica, 46(2), pp. 466 - 470.
[65] Thuan M.V., Phat V.N. (2012), "Optimal guaranteed cost control of linear systems with mixed interval time-varying delayed state and control",
Journal of Optimization Theory and Applications, 152(2), pp. 394 - 412.
[66] Thuan M.V., Phat V.N., Fernando T. and Trinh H. (2013), "Exponential stabilization of time-varying delay systems with nonlinear perturbations", IMA Journal of Mathematical Control and Information, doi:
10.1093/imamci/ dnt022, (2013), 24 pages.
[67] Uhlig F. (1979), "A recuring theorem about pairs of quadratic forms and
extentions", Linear Algebra Appl., 25, pp. 219 - 237.
[68] Wang S., Yao H.S. (2011), "Impulsive synchronization of two coupled complex networks with time-delayed dynamical nodes", Chin. Phys. B, 20, pp.
090513-1 – 090523-6.

[69] Wang S., Yao H.S. (2012), "Pinning synchronization of the time-varying
delay coupled complex networks with time-delayed dynamical nodes", Chin.
Phys. B, 21, pp. 050508-1 – 050508-2.
[70] Wang D., Shi P., Wang W., Karimi H.R. (2013), "Non-fragile H∞ control for switched stochastic delay systems with application to water quality
process", International Journal of Robuts Nonlinear Control, (in press).
published online in 14 January, 2013.
[71] Xu S., Lam J., Xie L. (2006), "New results on delay-dependent robuts H∞
control for systems with time-varying delays", Automatica, 42(2), pp. 343 348.
[72] Xie L. and Carlos E. de Souza (1990), "Robust control H∞ for linear timeinvariant systems with norm-bounded uncertainty in the input matrix",
Systems and Control Letters, 14(5), pp. 389 - 396.
[73] Zames G. (1981), "Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, myltiplicative seminorms, and approximate inverses", IEEE
Trans. Auto. Control, 26(2), pp. 380 - 385.

112


[74] Zairong X., Feng G., Jiang Z.P., Cheng D. (2003), "A switching algorithm
for global exponential stabilization of uncertain chained systems", IEEE
Trans. Automat. Control, 48(10), pp. 1793 - 1798.
[75] Zhang X.M., Han Q.L. (2011), "Global asymptotic stability for a class
of generalized neural networks with interval time-varying delays", IEEE
Transactions on Neural Networks, 22(8), pp. 1180 - 1192.
[76] Zhang J., Xia Y., Shi P., Mahmoud M.S. (2011), "New results on stability
and stabilization of systems with interval time-varying delay", IET Control
Theory and Applications, 5(3), pp. 429 - 436.
[77] Zhou K., Doyle J.C., Glover K. (1995), Robuts and Optimal Control, New
Jersey: Prentice Hall.
[78] Zhou K., Khargonekar P.P. (1988), "Robuts stabilization of linear systems
with norm-bounded time varying uncertainty", Systems and Control Letters, 10(1), pp. 17 - 20.
[79] Zong G.D., Wu Y.Q. (2004), "Exponential stability of a class of switched

and hybrid systems", In: Proc. IEEE on Control Aut. Robotics and Vision,
3, pp. 2244 - 2249.

113