Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

A. PHẦN MỞ ĐẦU.

I. Lý do thực hiện đề tài.
1. Cơ sở lý luận.
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình
toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số,
Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn
mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế, bất
đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều.
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không
hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết
vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến
đổi, suy luận, dự đoán,
2. Cơ sở thực tiễn.
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho
rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là học
sinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.Vì vậy một bài
toán đơn giản cũng trở nên “ vô cùng khó” đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất
đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu
đề tài: “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”.
II. Phương pháp nghiên cứu.
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn .
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN

Trường THPT Trần Quang Khải

2

Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp thống kê.
III. Đối tượng nghiên cứu.
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của
vectơ.
IV. Tài liệu tham khảo.
1. Sách giáo khoa toán THPT.
2. Sách bài tập toán THPT.
3. Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo sư Phan Huy Khải.
4. Báo toán học và tuổi trẻ.
V. Ứng dụng.
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và
học về bất đẳng thức.

B. PHẦN NỘI DUNG.
I. Nhắc lại các tính chất của vectơ.
1. Tính chất 1:

2

(a ) 2 = a ≥ 0 .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0

2. Tính chất 2:

a + b ≥ a+b .


Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN

Trường THPT Trần Quang Khải

3


Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng chiều.

a.b ≤ a . b .

3. Tính chất 3:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng phương.
II. Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
1. Sử dụng tính chất 1.
Ví dụ 1.
3
2

Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C ≥ − .
* Hướng giải quyết của bài toán: Để sử dụng được các tính chất của véctơ vào
bài toán này thì công thức nào có chứa vectơ và có chứa cả côsin. Vậy đó sẻ là
tích vô hướng của hai vectơ, đó là:
uuu
r uuu
r uuu

r uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuur
OA.OB = OA OB cos OA, OB , OB.OC = OB OC cos OB, OC

(

)

(

)

uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
OA.OC = OA OC cos OA, OC và khi đó nếu ta gọi R là bán kính của đường

(

)

uuu
r


uuur

uuur

tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì R = OA = OB = OC . Từ đó, ta nghĩ tới việc
dùng tính chất 1 để chứng minh. Cụ thể như sau:
* Giải:
Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
uuu
r uuur uuur
uuu
r 2 uuur2 uuur 2
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuu
r
(OA + OB + OC ) 2 = OA + OB + OC + 2(OA.OB + OB.OC + OC .OA) ≥ 0
3R 2
3
⇔ 3R + 2 R (cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ) ≥ 0 ⇔ cos2 A + cos2 B + cos2C ≥ − 2 = −
2R
2
2

2

Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN

Trường THPT Trần Quang Khải


4


Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
6cosA.cosB.cosC ≤ cos2A + cos2B + cos2C (1).
* Hướng giải quyết bài toán. Ta thấy trong biểu thức cần chứng minh xuất hện
tổng các bình phương. Vì thế có thể sử dụng được tính chất 1. Nhưng ở bài toán
trên chúng ta cần lưu ý, phải xét các trường hợp của tam giác ABC. Vì ở bài
toán trên không nói đó là tam giác như thế nào. Cụ thể, ta làm bài toán này như
sau:
* Giải:
Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng
vì khi đó vế trái âm, còn vế phải dương.
Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt
các vectơ OM , ON , OP sao cho:
 OM = cos A


 ON = cos B

 OP = cos C


và

(OM , ON ) = π − Cˆ


(ON , OP) = π − Aˆ

ˆ
(OP, OM ) = π − B

Áp dụng tính chất (1), ta có:
(OM + ON + OP) 2 ≥ 0
2

2

2

⇔ OM + ON + OP + 2O M .ON + 2O N .OP + 2OP.O M ≥ 0
⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C − 2(cos A. cos B. cos C + cos A. cos B. cos C + cos A. cos B. cos C ) ≥ 0
⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ 6 cos A cos B cos C . Điều phải chứng minh.
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN

Trường THPT Trần Quang Khải

5


Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

2. Sử dụng tính chất 2.
* a + b ≥ a + b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng chiều
Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bất
đẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc hai

có thể đưa về tổng của các bình phương.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a 2 + a + 1 + a 2 − a + 1 ≥ 2 (1) với mọi a thuộc R.

* Hướng giải quyết bài toán:
Bài toán này nếu đơn thuần chỉ sử dụng việc chứng minh BĐT thông
thường thì sẻ rất khó đối với hs, vì bài toán có hai căn bậc hai nên việc biến đổi
sẻ rất khó. Nhưng nếu chú ý các đối tượng trong bài toán và biết khai thác tính
chất 2 nêu trên thì bài toán trở nên dể dàng hơn. Cụ thể, gv chỉ cho hs hướng suy
nghĩ sau:
Hai biểu thức trong căn bậc hai có thể biến đổi thành tổng các bình
2

2

2
2
1  3

1
  3
2
a + a + 1 =  a + ÷ + 
÷ và a − a + 1 =  − a ÷ + 
÷ . Từ đó, ta có
2  2 ÷

2
  2 ÷



2

phương.
r



1

3 r

1

3

thể đặt: u =  a + ; ÷÷; v =  − a; ÷÷, đến đây sử dụng tính chất 2 ta được diều
2 2 
2 

2
phải chứng minh. Cụ thể như sau:
1
3
1
3
* Giải: BĐT (1) ⇔ (a + ) 2 + ( ) 2 + ( − a) 2 + ( ) 2 ≥ 2
2

2


2

2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt:

Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN

Trường THPT Trần Quang Khải

6


Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

1 3  1
3
u = (a + ; ) ; v = ( − a; )
2 2
2
2

Áp

dụng

tính

2


chất

2,

ta

có:

2

2
2
r r
r r
1  3

1
  3
u + v =  a + ÷ + 
+
−
a
+
≥
u
+v = 2
÷

÷


÷
 2 ÷
2  2 ÷
2







⇔ a 2 + a + 1 + a 2 − a + 1 ≥ 2 . Điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng :
x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z ) với x,y,z > 0.

* Hướng giải quyết bài toán: Bài toán này về cơ bản không khác gì nhiều so
với bài toán trước. Nên ta làm như sau:
Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt:



y 3
z 3
x 3
u = (x + ;
y ); v = ( y + ;
z ); w = ( z + ;
x);

2 2
2 2
2 2






 



Từ tính chất u + v + w ≥ u + v + w ta có:
r r uu
r
y
3 2
z
3 2
x
3 2
u + v + w = ( x + )2 + (
y) + ( y + )2 + (
z) + ( z + )2 + (
x) ≥
2
2
2
2

2
2
r r uu
r
9
3
u+v+w =
( x + y + z ) 2 + ( x + y + z ) 2 = 3( x + y + z ) ⇒ điều phải chứng minh
4
4

Theo cách này ta có thể chứng minh rất nhanh được các bài toán sau đây:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có:

2sin 2 x + 4 + 2sin 2 x − 2 2 sin x + 5 ≥ 17
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN

Trường THPT Trần Quang Khải

7


Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
b 2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2
≥3
+

+
ab
bc
ca

3. Sử dụng tính chất 3.
Ví dụ 1. CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức:
ab + cd ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )


(3)



Giải: Đặt u = (a, c) ; v = (b, d ) .
Áp dụng tính chất 3, ta có:
rr
r r
u.v = ab + cd ≤ u v = a 2 + c 2 . b 2 + d 2 = (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) ⇒ điều phải chứng minh
 x 2 + xy + y 2 = 3
Ví dụ 2. Giả sử  2
có nghiệm. CMR: xy + yz + zx ≤ 8
 y + yz + z 2 = 16

Giải:

x 3
3
z
x) , v = (

z; y + )
2 2
2
2



Đặt u = ( y + ;

Áp dụng tính chất (3), ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc mp(ABC). Chứng minh:
1
2

ma.MA + mb.MB + mc.MC ≥ (a2 + b2 + c2).
Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có

GA.MA ≥ GA.MA = GA.MG + GA 2

Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN

Trường THPT Trần Quang Khải

8


Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”


Tương tự

GB.MB ≥ GB.MG + GB 2
GC.MC ≥ GC MG + GC 2

⇒ GA.MA + GB.MB + GC.MC ≥ MG (GA + GB + GC ) + GA 2 + GB 2 + GC 2 = GA 2 + GB 2 + GC 2
⇔ ma.MA + mb.MB + mc.MC ≥

1 2
(a + b2 + c2)(Đpcm)
2

4. Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị.
Ví dụ 1: Xét ví dụ 1 ở phần 1, ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách
khác như sau.:
Trên mặt phẳng ta dựng các vectơ OM , ON , OP thoả mãn:
 OM = 1


 ON = 1

 OP = 1


và

(OM , ON ) = 2Cˆ

(ON , OP) = 2 Aˆ


ˆ
(OP, OM ) = 2 B

Áp dụng tính chất (1), ta có:
(OM + ON + OP) 2 ≥ 0
⇔ 1 + 1 + 1 + 2 cos(2Cˆ ) + 2 cos(2 Aˆ ) + 2 cos(2 Bˆ ) ≥ 0
3
⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ − (đpcm).
2

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z. Chứng minh rằng:
1
yz cos 2 A + xz cos 2 B + xy cos 2C ≥ − ( x 2 + y 2 + z 2 )
2

Giải: Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính bằng 1.
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN

Trường THPT Trần Quang Khải

9


Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

Ta có:
( xOA + y OB + zOC ) 2 = ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 2( xy cos 2C + xz cos 2 B + yz cos 2 A) ≥ 0

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

3 cos A + 2 cos B + 2 3 cos C ≤ 4
  

Giải: Gọi e1 ; e2 ; e3 theo thứ tự là vectơ đơn vị của các cạnh BC, CA, AB.
Ta có:

 
(2e1 + 3e2 +e 3 ) 2 = 4 + 3 + 1 − 2( 3 cos A + 2 cos B + 2 3 cos C ) ≥ 0

=> 3 cos A + 2 cos B + 2 3 cos C ≤ 4 (Đpcm).
Theo cách này ta có thể chứng minh các bài toán sau:
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
cos A + cos B + cos C ≤

3
2

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC và số thực x. Chứng minh rằng:
cos A + x(cos B + cos C ) ≤

x2
+1.
2

Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN

Trường THPT Trần Quang Khải 10


Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”


C. PHẦN KẾT LUẬN.
I. Kết quả ứng dụng.
Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đã được
tôi vận dụng để giaỉ bài tập về bất đẳng thức khi tôi còn ôn thi đại học và
phương pháp này đã được truyền cho các em học sinh . Kết quả là các em đã có
thiện cảm hơn đối với chuyên đề này, không còn lúng túng như trước nữa, một
số em còn tỏ ra rất hào hứng khi làm các bài toán về bất đẳng thức.
II. Lời kết.
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi. Hy vọng đề
tài này sẽ góp phần để việc dạy và học về bất đẳng thức đạt hiệu quả hơn.
Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chưa được nhiều. Rất mong sự đóng
góp ý kiến của người đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
Người viết:

Bùi Đình Tùng

Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN

Trường THPT Trần Quang Khải 11