Các phương pháp tìm cực trị của hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (78.94 KB, 2 trang )
Các phương pháp tìm cực trị của
hàm số
Bài toán tìm cực trị của hàm số là bài toán thường gặp trong chương trình
giải tích 12, các em học sinh cần nắm vững các phương pháp tìm cực trị của
hàm số để áp dụng vào quá trình khảo sát sự biến thiên và giải các bài toán
liên quan.
Bài toán cơ bản mà học sinh thường gặp là tìm cực trị của hàm số y = f(x). Có hai phương
pháp để làm bài toán này:
Phương pháp 1: Tìm cực trị bằng cách sử dụng bảng biến
thiên
Các bước lập bảng biến thiên ta đã được biết trong phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số, chỉ
khác ở phần kết luận. Ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x)
Bước 2: Tìm y', giải phương trình y' = 0.
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận:
•
Nếu y' đổi dấu từ - sang + khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
•
Nếu y' đổi dấu từ + sang - khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y=13x3−12x2−2x+2
Giải
Tập xác định: D = R
y′=x2−x−2
y′=0⇔x2−x−2=0⇔[x=−1x=2
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCD=y(−1)=196
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT=y(2)=−43
Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y=x+32x−1
Giải
Tập xác định: D=R∖{12}
y′=−7(2x−1)2<0∀x∈D
Vậy hàm số không có cực trị.
Phương pháp 2: Tìm cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm cấp
2
Phương pháp này thường được sử dụng đối với các hàm số mà việc lập bảng biến thiên tương đối khó
khăn. Ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính y'. Giải phương trình y' = 0 và kí hiệu xi (i=1,2,...) là các nghiệm của nó.
f"(x) và f"(xi) rồi kết luận:
•
Nếu f"(xi)<0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
•
Nếu f"(xi)>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số: y=cosx+12cos2x−1
Bước 3: Tính
Giải
Tập xác định: D = R
y′=−sinx−sin2x
y′=0⇔sinx(1+2cosx)=0⇔[sinx=0cosx=−12⇔[x=kπx=±2π3+k2π
y"=−cosx−2cos2x
Ta có: y"(kπ)=−cos(kπ)−2cos(k2π)=±1−2<0
⇒ Hàm số đạt cực đại tại x=kπ(k∈Z)
y"(±2π3+k2π)=−cos(±2π3)−2cos(±4π3)=12+1=32>0
⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x=±2π3+k2π(k∈Z)
Trên đây là hai phương pháp tìm cực trị của hàm số mà học sinh bắt buộc phải nắm vững.
Vấn đề cực trị của hàm số còn có nhiều bài toán liên quan khác như tìm tham số m để
hàm số có cực trị hoặc không có cực trị, tìm m để hàm số có cực trị thõa điều kiện...Các
bài toán này sẽ được đề cập trong bài viết sau.
