BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ DIỄM LỆ

METRIC KOBAYASHI
TRÊN KHÔNG GIAN PHỨC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ TÀI THU

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Lê Tài Thu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Lê Tài Thu, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận
văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người
thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả

trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Vũ Thị Diễm Lệ


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Tài Thu, luận văn Thạc
sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Metric Kobayashi trên
không gian phức” do tôi tự làm. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được
chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Vũ Thị Diễm Lệ


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5


1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Tập bị chặn và tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Một số tính chất của không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2. Metric Kobayashi trên không gian phức . . . . . . .

8
9

11

11
15
22

25
25
26

27
27
27

29

2.1. Đánh giá H¨older đối với khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . .

30

2.2. Không gian mật tiếp J k (X, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

k
2.3. Metric Kobayashi KX
......................................

40

k
2.4. Tích phân của metric Kobayashi KX

.......................

43

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng lần
đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ XX, là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong những năm gần đây, lý
thuyết này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng minh bởi
Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, Demailly,. . . Những công trình
nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ và
đã hình thành nên một chuyên ngành mới của giải tích toán học, đó là
giải tích phức hyperbolic. Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã tìm
thấy những mối liên hệ bất ngờ và sâu sắc với những lĩnh vực khác của
toán học, đặc biệt là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích
phức và bài toán về tính hữu hạn của tập tất cả các ánh xạ phân hình
giữa hai lớp nào đó các không gian phức. Theo quan điểm của A. Weil, S.

Lang và P. Vojta, bài toán sau cùng này có liên quan mật thiết với hình
học đại số và hình học số học. Có thể nói giải tích phức hyperbolic đang
là một lĩnh vực nghiên cứu nằm ở chỗ giao nhau của nhiều bộ môn lớn
của toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích phức, Hình học đại số và
Lý thuyết số.
Như chúng ta đã biết, với mỗi đa tạp phức M với phân thớ tiếp xúc T M ,


2

giả khoảng cách Kobayashi trên M là

δM : M × M → [0, +∞)
và giả metric Kobayashi - Royden trên M là

KM : T M → [0, +∞)
Royden đã chứng minh nếu M là miền trong Cn , δM là dạng tích phân
của KM , điều này có nghĩa là với mỗi cặp điểm p và q trong M , δM (p, q)
là giá trị bị chặn dưới lớn nhất của tích phân
1

FM (γ(t), γ(t))dt
˙
0

ở đó γ : [a, b] → M là đường cong trơn từng khúc nối hai điểm p và q .
Sau đó cách chứng minh của Royden được mở rộng lần lượt cho trường hợp

M là miền trong không gian phức chuẩn tắc, đa tạp phức vô hạn chiều.
Tuy nhiên việc mở rộng kết quả của Royden sang trường hợp không gian

phức đòi hỏi cách tiếp cận hoàn toàn khác.
Với mong muốn tìm hiểu cách xây dựng metric Kobayashi trên không gian
phức, được sự hướng dẫn của TS. Lê Tài Thu, tôi đã lựa chọn đề tài nghiên
cứu:
"Metric Kobayashi trên không gian phức"

Luận văn gồm 2 chương:

• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2. Metric Kobayashi trên không gian phức.


3

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc xây dựng metric Kobayashi trên
không gian phức.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
- Hệ thống một số kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian topo
và hàm chỉnh hình.
- Nghiên cứu việc xây dựng metric Kobayashi trên không gian phức.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là các vấn sau:
1. Đánh giá H¨older đối với khoảng cách Kobayashi.
2. Không gian J k (X, p).
3. Metric Kobayashi.
4. Tích phân của metric Kobayashi.

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là không gian phức.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp và hệ thống lại các
kiến thức có liên quan.


4

6. Đóng góp mới của luận văn
Trình bày một cách tổng quan về việc xây dựng metric Kobayashi trên
không gian phức.


5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không
gian metric, không gian topo, hàm chỉnh hình, giả khoảng cách Kobayashi
và không gian phức hyperbolic nhằm phục vụ cho chương sau của luận
văn.
Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu dựa vào các tài liệu [1], [2] và
[3].

1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ

d:X ×X →R
của tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau đây

1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X;
3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X . (bất đẳng thức tam giác).
Tập hợp X cùng với d là một không gian metric, ánh xạ d là hàm khoảng
cách (hay metric) trong X . Các phần tử của một không gian metric gọi là
các điểm của không gian ấy, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm

x và y .


6

Ví dụ. C [a, b] là một không gian metric với khoảng cách

d (x, y) = max |x(t) − y(t)| .
a≤t≤b

Định nghĩa 1.1.2. Một dãy điểm (xn ) , n = 1, 2, ... trong không gian
metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim d (xn , a) = 0. Khi
n→∞

đó, ta ký hiệu

lim xn = a hoặc xn → a, khi n → ∞.

n→∞

Nếu một dãy {xn } hội tụ tới x thì mọi dãy con {xnk } của nó cũng hội
tụ tới x, đồng thời ta có tính chất sau:
1. Nếu xn → x và xn → x thì x = x , nghĩa là giới hạn của một dãy

điểm nếu có là duy nhất;
2. Nếu xn → x và yn → y thì ρ(xn , yn ) → ρ(x, y) nghĩa là khoảng cách

ρ(x, y) là một hàm số liên tục đối với x và y .
Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm (xn ) , n = 1, 2... được gọi là dãy cơ bản (hay
dãy Cauchy) trong không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, đều
tồn tại một số n0 sao cho với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có

d (xn , xm ) < ε.
Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu với
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một phần tử trong X .
Định nghĩa 1.1.5. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ

A : X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu như với mọi ε > 0, ∃δ > 0
sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn d (x, x0 ) < δ thì

d (A (x) , A (x0 )) < ε.


7

Định lý 1.1.1. Đối với một ánh xạ f từ một không gian metric X vào
một không gian metric Y thì ba mệnh đề sau đây là tương đương
(i) f liên tục;
(ii) Nghịch ảnh của mọi tập đóng (trong Y ) là tập đóng (trong X );
(iii)Nghịch ảnh của mọi tập mở (trong Y ) là tập mở (trong X ).
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Cho F là một tập đóng bất kỳ của Y , f −1 (F )
là nghịch ảnh của nó bởi f . Nếu xn ∈ f −1 (F ), xn → x0 thì f (xn ) ∈ F
và f (xn ) → f (x0 ) do giả thiết f liên tục. Nhưng F là đóng trong Y nên


f (x0 ) ∈ F , do đó x0 ∈ f −1 (F ) chứng tỏ rằng f −1 (F ) là đóng trong X .
(ii) ⇒ (iii). Cho G là một tập mở bất kỳ của Y , f −1 (G) là nghịch
ảnh của nó bởi f . Vì G mở nên Y \ G đóng trong Y . Vậy nếu có (ii) thì

f −1 (Y \ G) đóng trong X . Nhưng f −1 (Y \ G) = X \ f −1 (G), vậy f −1 (G)
mở.

(iii) ⇒ (i). Cho một điểm bất kỳ x0 ∈ X . Do (iii) nên nghịch ảnh của
mỗi ε−lân cận của f (x0 ) là một tập W mở trong X . Dĩ nhiên, x0 ∈ W
nên theo tính chất của tập mở, phải có một δ−lân cận nào đó của x0 nằm
trọn trong W . Ảnh của δ− lân cận này nằm trọn trong ε−lân cận nói trên
của f (x0 ), do đó với mỗi x ∈ X : dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε.
Vì ε tùy ý, điều này có nghĩa f liên tục.
Định nghĩa 1.1.6. Một tập M trong không gian metric X gọi là bị chặn
(giới nội) nếu nó nằm trọn trong một hình cầu nào đó, nghĩa là nếu có
một điểm a ∈ X và một số C > 0 sao cho ρ(x, a) ≤ C với mọi x ∈ M .
Định nghĩa 1.1.7. Một tập M trong không gian metric X được gọi là
compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ M đều có chứa một dãy con {xnk } hội tụ
tới một điểm thuộc M .
Một tập bất kỳ mà có bao đóng compact thì gọi là một tập compact
tương đối.


8

Định lý 1.1.2 (Hausdorff). Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị
chặn. Ngược lại một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian
metric đủ thì compact.
Định nghĩa 1.1.8. Một không gian metric X được gọi là không gian

compact nếu nó là một tập compact trong chính nó, nghĩa là mọi dãy

{xn } trong X đều có chứa một dãy con hội tụ.
Định nghĩa 1.1.9. Cho hai không gian metric X và Y (metric trên X kí
hiệu bằng ρX , metric trên Y bằng ρY ). Một ánh xạ f từ X vào Y gọi là
liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X) :

ρX (x, x0 ) < δ ⇒ ρY (f (x), f (x0 )) < ε.
Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .

1.2. Không gian topo
1.2.1. Một số khái niệm
Định nghĩa 1.2.1. Cho một tập hợp X = ∅. Họ τ các tập hợp con nào
đó của X được gọi là một topo trên X nếu
i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
ii) {Gα }α∈I ⊂ τ ⇒

Gα ∈ τ ;
α

iii) ∀G1 , G2 ∈ τ ⇒ G1 ∩ G2 ∈ τ .
Tập hợp X cùng với topo trên X được gọi là một không gian topo. Ký
hiệu là (X, τ ).
Ví dụ. Cho X là tập hợp tùy ý khác rỗng. Họ τ = (∅, X) là một topo
trên X . (X, τ ) được gọi là không gian topo thô (không gian phản rời rạc).


9

Họ τ = {A|A ⊂ X} là một topo trên X . (X, τ ) gọi là không gian topo

rời rạc.
Cho tập hợp X vô hạn. τ = {A ⊂ X|A = ∅ hoặc X \ A hữu hạn}. τ
là một topo trên X . Tập X với topo này được gọi là không gian topo bù
hữu hạn.
Định nghĩa 1.2.2. Lân cận của một điểm a ∈ C là tập bất kỳ bao hàm
hình tròn D(a, r) tâm a bán kính r > 0.

D(a, r) = {z ∈ C : |z − a| < r}.
Nếu D(a, r) là một lân cận của a và được gọi là r lân cận. Rõ ràng:
a) Nếu U là lân cận của a ∈ C thì mọi tập hợp bao hàm U là lân cận của

a;
b) Giao hữu hạn và hợp của họ bất kỳ các lân cận của a là lân cận của a;
c) Nếu U là lân cận của a thì tồn tại lân cận V của a sao cho V là lân
cận của mọi z ∈ V và V ⊂ U .
Định nghĩa 1.2.3. Tập G ∈ C gọi là mở nếu G là lân cận của mọi điểm
của nó. Hiển nhiên ∅ và C là các tập mở, hợp của một họ bất kỳ và giao
của một họ hữu hạn các tập mở là tập mở.
Tập F ∈ C được gọi là đóng nếu phần bù của nó CF = C \ F là mở.
Từ tính chất của các tập mở ta suy ra hợp của một số hữu hạn và giao
của họ bất kỳ các tập đóng là tập đóng.

1.2.2. Tập bị chặn và tập compact
Định nghĩa 1.2.4. Tập X ⊂ C gọi là bị chặn nếu tồn tại R > 0 sao cho

|z| ≤ R,

∀z ∈ X.



10

Tập X được gọi là compact nếu mọi dãy trong X có chứa một dãy con hội
tụ tới một điểm thuộc X .
Tính chất:

a) Giao của một họ bất kỳ và hợp của một họ hữu hạn các tập compact
là compact;

b) Tập compact là tập đóng và bị chặn;
c) Mội tập con đóng của một tập compact là tập compact.
Định lý 1.2.1 (Heine - Borel). Giả sử X là tập con của C. Các điều kiện
sau là tương đương:

(i) X là compact;
(ii) Mọi phủ mở của X chứa một phủ con hữu hạn;
(iii) X đóng và bị chặn.
Ở đây một phủ mở của X là một họ các tập mở {Gi }i∈I trong C sao cho

X⊂

Gi .
i∈I

Ta nói phủ mở {Gi }i∈I chứa một phủ con hữu hạn nếu tồn tại i1 , . . . , in
sao cho X ⊂ Gi1 ∪ . . . ∪ Gin .
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử tồn tại phủ mở {Gi }i∈I của X sao cho
mọi hệ hữu hạn các tập Gi không đủ phủ X . Vậy với mọi n ≥ 1 tồn tại
hình tròn Dn bán kính 1/n sao cho Dn ∩ X không thể phủ bởi một số hữu
hạn các tập Gi . Lấy tùy ý zn ∈ Dn ∩ X . Vì X compact, tồn tại a ∈ X là

điểm tụ của dãy {zn }. Chọn i0 ∈ I để a ∈ Gi0 . Do Gi0 là mở nên tồn tại

r > 0 để D = D(a, r) ⊂ Gi0 . Lấy N và n0 đủ lớn để 2/N < r, n10 <
|zn0 − a| <

1
N.

r
4

và

Với một điểm z bất kỳ của Dn0 ta có |z − a| < r, do đó

Dn0 ⊂ D ⊂ Gi0 . Điều này mâu thuẫn với giả thiết Dn0 không bị phủ bởi
Gi0 .
(ii) ⇒ (iii). Lấy tùy ý z ∈ C \ X . Đặt Gk = C \ D z, k1 . Khi đó
Gk là mở và

n
k=1 Gk

⊃ X . Theo giả thiết tồn tại Gk1 , . . . , Gkn sao cho


11

X ⊂ Gk1 ∪ . . . ∪ Gkn . Vì vậy X ⊂ GN với N = max kj . Điều này
1≤j≤n


nghĩa là D z,

1
N

∩ X = ∅, tức là z ∈
/ X . Điều này chứng tỏ X đóng.

Ta cần chứng minh X là bị chặn. Phủ X bởi họ {D(z, 1) : z ∈ X}.
Từ giả thiết có z1 , . . . , zp sao cho {D(zi , 1) : 1 ≤ i ≤ p} phủ X . Đặt

R = max{|zi | : 1 ≤ i ≤ p} thì với mọi z ∈ X : |z < R.
(iii) ⇒ (i). Lấy tùy ý {zn } ⊂ X và viết zn = xn + iyn . Vì X bị chặn
nên các dãy số thực {xn } và {yn } cũng bị chặn. Theo bổ đề BolzanoWeierstrass dãy {xn } và {yn } có điểm tụ lần lượt là x và y . Hiển nhiên

z = x + iy là điểm tụ của dãy {zn } do X đóng nên z = x + iy ∈ X .
Định nghĩa 1.2.5. Cho X , Y là hai không gian topo. Một ánh xạ f từ

X vào Y được gọi là liên tục tại x0 , nếu với mọi lân cận U của điểm
y0 = f (x0 ) đều có một lân cận V của điểm x0 sao cho f (V ) ⊂ U , nghĩa
là x ∈ V ⇒ f (x) ∈ U . Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi

x ∈ X.
Định lý 1.2.2. Một ánh xạ f từ không gian topo X vào một không gian
topo Y là liên tục khi và chỉ khi nó có một trong hai điều kiện sau:
(i) Nghịch ảnh (bởi f ) của mọi tập mở (trong Y ) đều là tập mở (trong

X );
(ii) Nghịch ảnh (bởi f ) của mọi tập đóng (trong Y ) đều là tập đóng (trong


X ).

1.3. Hàm chỉnh hình
1.3.1. Hàm một biến
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử Ω ⊂ C là một tập tùy ý cho trước. Một hàm
biến phức trên Ω với giá trị phức là một ánh xạ

f : Ω → C.


12

Hàm như vậy được ký hiệu là

ω = f (z), z ∈ Ω.
Ví dụ. a) Ánh xạ z → f (z) = az + b xác định một hàm (gọi là hàm
nguyên tuyến tính) trên C.

az + b
, c = 0 xác định hàm (gọi là hàm phân
cz + d
d
tuyến tính) trên tập Ω = C \ {− }.
c
1
1
c) Ánh xạ z → f (z) =
z+
xác định một hàm (hàm Jukovski)

2
z
trên Ω = C \ {0}.
b) Ánh xạ z → f (z) =

Định nghĩa 1.3.2. Cho hàm f xác định trên tập tùy ý Ω ⊂ C với giá trị
trong C và z0 là điểm tụ của Ω hữu hạn hay là điểm xa vô tận.
Số phức a ∈ C gọi là giới hạn của hàm f (z) khi z dần đến z0 và viết

lim f (z) = a,

z→z0

nếu với mọi lân cận V của a tồn tại lân cận U của z0 sao cho f (z) ∈ V
với mọi z ∈ U ∩ Ω, z = z0 .
Hàm f được gọi là liên tục tại z0 nếu một trong hai điều kiện sau được
thỏa mãn
(i) z0 là điểm cô lập của Ω. Nói cách khác tồn tại lân cận U của z0 (trong

Ω) sao cho
U ∩ Ω = {z0 }
(ii) Nếu z0 không là điểm cô lập của Ω thì

lim f (z) = f (z0 ).

z→z0


13


Hàm f được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi z ∈ Ω.
Hàm f được gọi là liên tục đều trên Ω nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀z1 , z2 =

∞, z1 , z2 ∈ Ω, |z1 − z2 | < δ
|f (z2 ) − f (z1 )| < ε.
Rõ ràng nếu f liên tục đều trên Ω thì nó là hàm liên tục trên Ω.
Định lý 1.3.1. Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì f liên tục đều
trên K .
Định lý 1.3.2. Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì hàm z → |f (z)|
đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên K , tức là tồn tại a, b ∈ K để

|f (a)| = sup |f (z)| và |f (b)| = inf |f (z)|.
z∈K

Định lý 1.3.3. Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C, thì f (K) ⊂ C là
compact.
Định nghĩa 1.3.3. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ⊂ C. Xét giới hạn

f (z + ∆z) − f (z)
, z, z + ∆z ∈ Ω.
∆z→0
∆z
Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của
df
f tại z , ký hiệu là f (z) hay (z).
dz
Như vậy
f (z + ∆z) − f (z)
f (z) = lim
∆z→0

∆z
Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi
lim

tại z .
Định nghĩa 1.3.4. Hàm f xác định trong miền Ω ⊂ C với giá trị trong
C gọi là hàm chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu tồn tại r > 0 để f là C- khả vi tại
mọi z ∈ D(z0 , r) ⊂ D.
Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω thì ta nói f chỉnh hình trên Ω.


14

Dưới đây là một số tính chất của hàm chỉnh hình.
Định lý 1.3.4. Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh
hình trên Ω. Khi đó
(i) H(Ω) là một không gian vectơ trên C;
(ii) H(Ω) là một vành;
(iii) Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) = 0 ∀z ∈ Ω thì 1/f ∈ H(Ω);
(iv) Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
Định nghĩa 1.3.5 (Về hàm hợp). Nếu f : Ω → Ω∗ và g : Ω∗ → C là các
hàm chỉnh hình, ở đây Ω và Ω∗ là các miền trong mặt phẳng (z) và (w),
thì hàm g ◦ f : Ω → C là hàm chỉnh hình.
Tiếp theo chúng tôi trình bày về điều kiện Cauchy - Riermann.
Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trong miền Ω ⊂ C.
Hàm f được gọi là R2 − khả vi tại z = x+iy nếu các hàm u(x, y) và v(x, y)
khả vi tại (x, y).
Định lý 1.3.5 (Điều kiện Cauchy-Riemann). Để hàm f là C- khả vi (khả
vi phức) tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ là hàm f là R2 - khả vi tại


z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại z .
 ∂u
∂v
(x, y)
 ∂x (x, y) = ∂y
 ∂u (x, y) = − ∂v (x, y)
∂y

∂x

Định lý 1.3.6 (Tích phân Cauchy). Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền

Ω và z0 ∈ Ω. Khi đó với mọi chu tuyến γ ⊂ Ωγ ⊂ Ω ta có công thức tích
phân Cauchy

f (z0 ) =

1
2πi

γ

f (η)
dη
η − z0

(1.1)

Nếu thêm f liên tục trên Ω và ∂Ω là một chu tuyến, thì với mọi z ∈ Ω ta
có


f (z) =

1
2πi

f (η)
dη.
∂Ω η − z

(1.2)


15

Định lý 1.3.7 (Bất đẳng thức Cauchy). Nếu f là hàm chỉnh hình trên
miền Ω, điểm a ∈ Ω, 0 < r < d(a, ∂Ω) và

M (a, r) = sup |f (z)|.
|z−a|=r

Khi đó ta có bất đẳng thức sau đây

f (n) (a) ≤

n!M (a, r)
.
rn

(1.3)


Định lý 1.3.8 (Liouville). Nếu hàm f (z) chỉnh hình và bị chặn trên C,
thì f = const.
Tiếp theo tôi trình bày định lý về giá trị trung bình và nguyên lý môđun
cực đại.
Định lý 1.3.9. Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và hình tròn

D(z0 , r) ⊂ Ω thì
1
f (z0 ) =
2π

2π

f (z0 + reiϕ )dϕ.

(1.4)

0

Định lý 1.3.10. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn trên miền

Ω và liên tục trên Ω. Khi đó hoặc f = const hoặc |f (z)| chỉ đạt cực đại
trên biên ∂Ω của Ω.

1.3.2. Hàm nhiều biến
Cho z = (z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ Cn . Với mỗi z ∈ Cn hai chuẩn trên Cn
thường được sử dụng là chuẩn Euclide
1


z = (z1 z¯1 + . . . + zn z¯n ) 2
và chuẩn max

|z| = max{|z1 |, . . . , |zn |}.


16

Dễ thấy rằng hai chuẩn này là tương đương vì ta có

|z| ≤ z ≤

√

n|z|,

∀z ∈ Cn .

Cho a ∈ Cn và r > 0. Một đa đĩa mở tâm tại a bán kính r là tập hợp

D(a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| < r}.
Đa đĩa đóng tâm a bán kính r là tập hợp

D(a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| ≤ r}.
Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa hàm R2n - khả vi.
Định nghĩa 1.3.6. Giả sử Ω là tập mở trong Cn và cho điểm a ∈ Ω. Hàm

f : Ω → C gọi là R2n - khả vi (hay khả vi) tại điểm a ∈ Ω nếu tồn tại vi
phân


∂f
∂f
dx1 + . . . +
dx2n .
(1.5)
∂x1
∂xn
Nếu hàm f là R2n - khả vi tại mọi điểm a ∈ Ω thì hàm f được gọi là R2n
df =

khả vi trong Ω.
Với các số phức zν và z¯ν ta đặt

xν =

zν + z¯ν
zν + z¯ν
, xn+ν =
.
2
2i

Khi đó, ta có thể viết lại (1.5) dưới dạng

df =

∂f
∂f
∂f
∂f

dz1 + . . . +
dzn +
d¯
z1 + . . . +
d¯
zn ,
∂z1
∂zn
∂ z¯1
z¯n

trong đó, với ν = 1, . . . , n ta đặt

∂f
1
=
∂zν
2

∂f
∂xν − i ∂x∂fn+ν

∂f
1
=
∂ z¯ν
2

∂f
∂f

+i
∂xν
∂xn+ν

Sau đây, ta nhắc lại định nghĩa hàm Cn - khả vi.

,
.


17

Định nghĩa 1.3.7. Giả sử Ω là tập mở trong Cn và cho điểm a ∈ Ω. Hàm

f : Ω → C gọi là Cn - khả vi tại điểm a nếu f là hàm R2n khả vi tại a và
tại điểm này

∂f
= 0,
∂ z¯ν

ν = 1, . . . , n

(1.6)

tức là vi phân có dạng

df =

∂f

∂f
dz1 + . . . +
dzn .
∂z1
∂zn

Nếu hàm f là Cn - khả vi tại mọi điểm a ∈ Ω thì hàm f được gọi là Cn khả vi trong Ω.
Định nghĩa 1.3.8. Hàm Cn - khả vi tại mọi điểm của lân cận nào đó của
điểm z0 ∈ Cn , được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 . Hàm chỉnh hình
tại mỗi điểm của tập mở Ω nào đó được gọi là hàm chỉnh hình trên Ω.
Trước hết ta nhắc lại một số tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình nhiều
biến.
Ký hiệu:
Hàm f liên tục trong miền D ⊂ Cn theo tập hợp các biến và tại mỗi điểm

z 0 ∈ D hàm f chỉnh hình theo từng tọa độ.

(∗)

Chú ý rằng, sau khi chứng minh định lý Hartogs cổ điển thì tính chất liên
tục của hàm f được suy ra từ tính chỉnh hình theo mỗi biến.
Mệnh đề 1.3.1. Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (∗) trong U = {z ∈ Cn :

|zν − aν | ≤ rν }, thì tại mỗi điểm z ∈ U hàm f được biểu diễn dưới dạng
tích phân bội Cauchy

f (z) =

1
(2πi)n


f (ζ)
dζ1 . . . dζn ,
Γ (ζ1 − z1 ) . . . (ζn − zn )

(1.7)

trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích của các vòng tròn biên γν =

{|ζν − aν | = rν }.


18

Chứng minh. Với bất kỳ z ∈ U gọi z và U tương ứng là hình chiếu trong
không gian Cn−1 của z và U , ta có z ∈ U .
Hàm f (z) = f (z , zn ) chỉnh hình theo biến zn trong hình tròn {|zn −

an | ≤ r}. Do đó, áp dụng công thức tích phân đối với hàm một biến ta
thu được

f (z) =

1
2πi

γn

f (z , ζn )
dζn .

(ζn − zn )

Với ζn ∈ γn và z ∈ U tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễn
bởi tích phân Cauchy theo biến zn−1 . Hơn nữa, do f liên tục theo tập
hợp biến, nên tích phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội theo tích

γn−1 × γn . Tiếp tục lặp lại lý luận như trên cho tới biến z1 ta thu được
công thức (1.7).
Mệnh đề 1.3.2. Nếu hàm f liên tục trong đa tròn đóng U ⊂ Cn theo tập
các biến và tại mỗi z0 ∈ U , chỉnh hình theo mỗi tọa độ, thì tại mỗi điểm

z ∈ U hàm f được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa
∞

ck (z − a)k

f (z) =

(1.8)

|k|=0

với các hệ số

ck =

1
(2πi)n

f (ζ)

dζ,
k+1
Γ (ζ − a)

trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích các vòng tròn biên γν =

{|ζν − aν | = rν }, k = (k1 , . . . , kn ), kν ≥ 0, ν = 1, . . . , n và (z − a)k =
(z1 − a1 )k1 . . . (zn − an )kn .
Chứng minh. Từ công thức tích phân Cauchy (1.7), ta có thể viết lại dưới
dạng đơn giản hơn

f (z) =

1
(2πi)n

f (ζ)
dζ,
Γ ζ −z

(1.9)


19

1
1
=
. Bây giờ ta
ζ −z

(ζ1 − z1 ) . . . (ζn − zn )
khai triển nhân trong tích phân (1.9) thành tích cấp số nhân bội
trong đó dζ = dζ1 . . . dζn và

1
1
=
ζ −z
ζ −a a−
1
=
ζ −a

1
z1 −a1
ζ1 −a1

∞

|k|=0

... 1 −

z−a
ζ −a

zn −an
ζn −an

k


,

trong đó k ∈ Nn và |k| = k1 + . . . + kn và

z−a
ζ −a

k

=

k1

z1 − a1
ζ1 − a1

hay

1
=
ζ −z

∞

|k|=0

zn − an
...
ζn − an


kn

,

(1.10)

(z − a)k
.
(ζ − a)k+1

trong đó k + 1 = (k1 + 1, . . . , kn + 1). Mặt khác, với bất kỳ z ∈ U chuỗi
(1.10) hội tụ tuyệt đối và đều trên Γ theo ζ . Nhân chuỗi (1.10) với hàm
f (ζ)
(2πi)n ,

hàm này liên tục trên Γ nên bị chặn trên Γ. Sau đó lấy tích phân

từng phần ta thu được biểu diễn (1.8).
Mệnh đề 1.3.3. Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a, được khai triển thành
chuỗi lũy thừa dạng (1.8), thì các hệ số của chuỗi này được xác định theo
công thức Taylor

ck =

∂ k1 +...+kn
1 ∂ |k| f
1
=
k1 ! . . . kn ! ∂z1k1 . . . ∂znkn

k! ∂z k

,

(1.11)

z=a

trong đó k! = k1 ! . . . kn !
Mệnh đề 1.3.4 (Bất đẳng thức Cauchy). Nếu f là hàm chỉnh hình trong
đa tròn đóng U = {|zν − aν | ≤ rν } và |f | ≤ M trên khung Γ của nó, thì
các hệ số trong khai triển Taylor của f tại điểm a thỏa mãn các bất đẳng
thức

|ck | ≤

M
,
rk


20

trong đó rk = r1k1 . . . rnkn .
Định lý 1.3.11. Hàm f bất kỳ chỉnh hình trong tích các vòng tròn

{z ∈ Cn : rν |zν − aν | < Rν } có thể biểu diễn trong
Laurent

=


dưới dạng chuỗi

∞

ck (z − a)k ,

f (z) =

(1.12)

|k|=−∞

trong đó tổng được lấy theo mọi k = (k1 , . . . , kn ) ∈ Nn , còn hệ số

ck =

1
(2πi)n

f (ζ)dζ
,
k+1
(ζ
−
a)
Γ

trong đó Γ là tích các vòng tròn γν = {ζν = aν +ρν eit }, ν = 1, . . . , n; rν ρν <


Rν , 0 ≤ t ≤ 2π.
Chứng minh. Giả sử z 0 là điểm tùy ý của D, khi đó đa tròn U = {|zν −

aν | ≤ |zν0 − aν |} ⊂ D. Áp dụng Mệnh đề 1.3.3, hàm f biểu diễn được trong
U bởi khai triển Taylor tâm a. Các hệ số của chuỗi này tính được qua các
đạo hàm của f tại điểm a, tức là trùng với các ck . Tức là ta nhận được
khai triển

∞

ck (z − a)k .

f (z) =
|k|=−∞

Định lý 1.3.12 (Tính duy nhất). Nếu f chỉnh hình trên tập mở liên thông

Ω ⊂ Cn và f triệt tiêu cùng với mọi đạo hàm riêng tại điểm z 0 nào đó
của miền Ω, thì f (z) = 0 với mọi điểm z ∈ Ω.
Chứng minh. Giả sử z 0 ∈ Ω là điểm tùy ý. Khi đó, mọi hệ số khai triển
Taylor của f tại z 0 bằng 0. Do đó, f ≡ 0 trong lân cận nào đó của điểm
0

0

z 0 này. Đặt E = {z ∈ Ω : f (z) = 0} và E là phần trong của E . Tập E
0

là tập mở và khác rỗng vì nó chứa z 0 . Ta cũng thấy rằng E là tập đóng
0


trong D và do đó E ≡ 0.


21

Định lý 1.3.13 (Liouvile). Nếu f chỉnh hình trong Cn và |f | là hàm bị
chặn thì f là hàm hằng trên Cn .
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Với n = 1 định lý đã được chứng minh cho hàm một biến. Giả sử định
lý đúng cho hàm (n − 1) biến. ta chọn các điểm tùy ý a, b ∈ Cn , do theo
giả thiết quy nạp nên hàm f (z , an ) là hàm hằng. Do đó, f (a) = f (b , an ).
Mặt khác, hàm f (b , an ) cũng là hằng số, như vậy f (b , an ) = f (b). Do đó,

f (a) = f (b), nghĩa là định lý đúng cho hàm n biến.
Định lý 1.3.14 (Nguyên lý môđun cực đại). Nếu f chỉnh hình trên tập
mở liên thông Ω ⊂ Cn , và |f | đạt cực đại tại điểm a ∈ D nào đó, thì f là
hàm hằng trong Ω.
Chứng minh. Xét đường thẳng giải tích tùy ý

l(ζ) = a + ωζ
đi qua a. Hạn chế của f trên đường thẳng này là hàm

ϕω (ζ) = f ◦ l(ζ),
hàm này chỉnh hình trong hình tròn {|ζ| < ρ} nào đó, còn |ϕω | chỉ đạt
cực đại khi ζ = 0. Theo nguyên lý môdun cực đại đối với hàm một biến
phụ thuộc vào hằng số ω ,

ϕω (ζ) = c(ω).
Mặt khác, ϕω (o) = f (a) không phụ thuộc vào ω , nên c(ω) = const trong


D.
Định nghĩa 1.3.9. (Tách chỉnh hình). Giả sử Ω là một tập ở trong Cn , n ≥

2. Hàm f : Ω → C gọi là tách chỉnh hình nếu f chỉnh hình theo mỗi biến
khi ta cố định các biến còn lại.