Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

Phần I

PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong chương trình Vật Lý trung học phổ thông, Tĩnh học là một phần cơ học chuyên nghiên
cứu điều kiện cân bằng của vật rắn (vật rắn là vật không thay đổi hình dạng của mình dưới tác dụng
của các ngoại lực), cũng là một mảng kiến thức cơ bản và chiếm một vị trí quan trọng trong các đề thi
học sinh giỏi cấp thành phố, kỳ thi Olympic 30-4, quốc gia và quốc tế. Bài tập tĩnh học rất đa dạng về
thể loại, nhiều về số lượng. Những bài toán này là thường khá hay và gây ra khó khăn cho học sinh vì
nó đòi hỏi học sinh khả năng phân tích và kiến thức tổng hợp. Đồng thời thời gian để phục vụ giảng
dạy phần tĩnh học không nhiều cho nên khó có thể giúp học sinh hiểu đầy đủ và trọn vẹn được phần
kiến thức này. Chính vì lý do đó tôi viết chuyên đề “Tĩnh học vật rắn” nhằm mục đích làm tư liệu
giảng dạy cũng như để giúp các em học sinh giỏi có tài liệu để tham khảo.
II. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
Nghiên cứu về lí thuyết và một số dạng bài tập Tĩnh học

1


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

Phần II

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. TÁC DỤNG CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT VẬT RẮN.
1.1. TRỌNG TÂM CỦA MỘT VẬT RẮN
1. Trọng tâm của một vật rắn là điểm đặt của trọng lực của vật, kí hiệu là G.
2. Khối tâm của một cơ hệ là một điểm đặc trưng cho sự phân bố khối lượng trong cơ hệ; khi
cơ hệ chuyển động, khối tâm chuyển động như một chất điểm tại đó tập trung toàn bộ khối lương
của cơ hệ. Nếu hệ nằm trong trọng trường đều thì khối tâm của hệ cũng đồng thời là trọng tâm
của nó.
3. Khối tâm của các vật có hình đơn giản:
 như thanh có tiết diện không đổi, hình trụ, khối cầu, mặt cầu, hình hộp thì khối tâm
nằm ở tâm của chúng.
 như tam giác thì khối tâm nằm ở trọng tâm của nó (giao điểm ba đường trung tuyến)
1.2. TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC ĐỐI VỚI MỘT VẬT KHÔNG CÓ TRỤC QUAY
1. Tác dụng của lực không thay đổi nếu ta trượt vectơ lực trên giá của nó.
2. Lực có giá đi qua trọng tâm sẽ làm cho vật chuyển động tịnh tiến. Lực có giá không đi qua
trọng tâm sẽ làm cho vật vừa tịnh tiến vừa quay.
1.3. TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC ĐỐI VỚI MỘT VẬT RẮN CÓ TRỤC QUAY.
1.
Momen lực: Momen lực đối với một trục quay là đại lượng đo bằng tích của lực và cánh
tay đòn của nó.
M = Fd
(N.m)
Trong đó: d là cánh tay đòn của lực, là khoảng cách từ trục quay đến giá của lực không song
song với trục quay.
2. Lực có tác dụng làm quay vật nếu momen của lực đối với trục quay khác không ( M  0 )
3. Lực không làm quay vật nếu momen của lực đối với trục quay bằng không đó là:
a. Trường hợp lực có giá song song với trục quay ( M = 0)

b. Trường hợp lực có giá đi qua trục quay (M = 0).
1.4. TÁC DỤNG CỦA NGẪU LỰC ĐỐI VỚI MỘT VẬT RẮN KHÔNG CÓ TRỤC QUAY.
1. Ngẫu lực: Hệ hai lực song song, ngược chiều, có độ lớn bằng nhau và cùng tác dụng vào
một vật gọi là ngẫu lực.
2. Ngẫu lực tác dụng vào vật sẽ làm cho vật quay quanh một trục đi qua trọng tâm và vuông
góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực
M = Fd
2


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

Trong đó: F là độ lớn của mỗi lực ; d là khoảng cách giữa hai giá của hai lực, gọi là cách tay
đòn của ngẫu lực.
2. CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN.
2.1. CÁC QUY TẮC HỢP LỰC:
a. Quy tắc tổng hợp hai lực có giá đồng quy:
Trượt hai lực trên giá của chúng đến điểm đồng quy của hai giá rồi áp dụng quy tắc hình bình
hành để tìm hợp lực.
b. Quy tắc tổng hợp hai lực song song cùng chiều:
a. Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực song song, cùng chiều và có độ lớn
bằng tổng các độ lớn của hai lực ấy.
b. Giá của hợp lực chia khoảng cách giữa hai giá của hai lực song song thành những đoạn tỉ lệ
nghịch với độ lớn hai lực ấy.
F  F1  F2
F1 d 2


F2 d1

(chia trong)

2.2. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CHO CÁC TRƢỜNG HỢP RIÊNG:
a. Điều kiện cân bằng của một vật chịu tác dụng của hai lực là hai lực đó phải cùng giá, cùng độ
lớn và ngược chiều.
b. Điều kiện cân bằng của một vật chịu tác dụng của ba lực không song song là:
-

Ba lực đó phải có giá đồng phẳng và đồng quy.

- Hợp lực của hai lực phải cân bằng với lực thứ ba.
c. Điều kiện cân bằng của một vật có trục quay cố định là tổng các momen lực có xu hướng làm
vật quay theo chiều kim đồng hồ bằng tổng các momen lực có xu hướng làm vật quay ngược chiều
kim đồng hồ.
d. Điều kiện cân bằng của một vật có mặt chân đế là giá của trọng lực phải xuyên qua mặt chân
đế hay trọng tâm phải “rơi” vào mặt chân đế.
2.3. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TỔNG QUÁT
Trong trường hợp môt vật rắn không có trục quay cố định chịu nhiều lực tác dụng thì nó sẽ vừa
chuyển động tịnh tuyến vừa quay. Muốn cho vật lức đầu đứng yên vẫn tiếp tục đứng yên thì hệ lực tác
dụng vào vật phải không gây ra cả chuyển động tịnh tiến lẫn chuyển động quay cho vật. Vì thế, điều
kiện cân bằng tổng quát của vật rắn phải là sự kết hợp hai điều kiện cân bằng cho hai trường hợp riêng
ở phần trên. Cụ thể là:
a. Điều kiện cân bằng thứ nhất: Tổng đại số các hình chiếu của các lực lên các trục của hệ
tọa Đề-các phải bằng không:

3



Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

b. Điều kiện cân bằng thứ hai: Tổng đại số các momen lực đối với một trục bất kì phải bằng
không

Quy ước: Chọn một chiều quay làm chiều dương. Khi ấy: M > 0 nếu lực có xu hướng làm cho
vật quay theo chiều dương và M < 0 nếu lực có xu hướng làm cho vật quay theo chiều ngược
lại (chiều âm)
2.4. CÁC DẠNG CÂN BẰNG
2.4.1. Cân bằng bền:
a. Vật ở dạng cân bằng bền có:
 Trọng tâm ở vị trí thấp nhất so với các vị trí lân cận.
 Thế năng trọng trường cực tiểu so với các vị trí lân cận.
b. Khi kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng (VTCB) bền một chút thì trọng lực của vật có xu
hướng kéo nó về VTCB.
2.4.2. Cân bằng không bền:
a. Vật ở dạng cân bằng không bền có:
 Trọng tâm ở vị trí cao nhất so với các vị trí lân cận
 Thế năng trọng trường cực đại so với các vị trí lân cận.
b. Khi kéo vật ra khỏi VTCB không bền thì trọng lực của vật có xu hướng kéo nó ra xa
VTCB.
2.4.3. Cân bằng phiếm định:
Vật ở dạng cân bằng phiếm định có:
 Trọng tâm ở cùng độ cao so với các vị trí lân cận.
 Thế năng trọng trường của vật có cùng giá trị so với ở các vị trí lân cận.

II. PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TỔNG QUÁT:
 Bƣớc 1: Tìm các lực thường tác dụng vào vật rắn:
 Trọng lực tác dụng lên vật;
 Các phản lực liên kết. Đó là các lực đàn hồi và các lực ma sát. Đặc điểm các lực này là
độ lớn của chúng và đôi khi cả hướng tác dụng là không biết trước và phụ thuộc hình
dạng của vật, vào trạng thái bề mặt tiếp xúc và phụ thuộc cả vào các lực khác tác dụng
lên vật. Việc xác định đúng hướng của các phản lực đóng vai trò rất quan trọng khi giải
4


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

bài toán tĩnh học. Vì vậy chúng ta hãy xét xem một số dạng phản lực liên kết có hướng
như thế nào:
1. Vật đặt trên một mặt nhẵn hay giá đỡ không có ma sát : Khi mà vật tiếp xúc với giá
đỡ chỉ ở một điểm thì phản lực có điểm đặt tại điểm tiếp xúc và hướng hoặc là theo pháp
tuyến bề mặt vật (hình a) hoặc là theo pháp tuyến bề mặt của giá đỡ (hình b). Phản lực
này gọi là phản lực pháp tuyến.
2. Lực liên kết thực hiện bởi một sợi dây mảnh, mềm: Phản lực của sợi dây luôn hướng
dọc theo sợi dây, từ điểm sợi dây nối vào vật (hình c).
3. Liên kết nhờ ổ trục dạng hình trụ:Trong trường hợp này trục của ổ trục vuông góc với
mặt phẳng tác dụng của lực (hình d). Phản lực của ổ trục có thể có hướng bất kỳ nằm
trong mặt phẳng vuông góc với trục của nó.
4. Khi có ma sát giữa vật và mặt tiếp xúc thì ngoài phản lực pháp tuyến ra còn có một
phản lực nữa, đó là lực ma sát nghỉ Fmsn (hình e). Lực ma sát nghỉ có chiều ngược chiều
dịch chuyển của vật. Giá trị cực đại của lực ma sát nghỉ bằng lực ma sát

trượt: Fmsn max   N .Như vậy tùy thuộc vào các lực khác tác dụng vào vật mà lực ma sát
nghỉ có thể nhận giá trị từ không đến giá trị cực đại Fmsn max

 Bƣớc 2: Thiết lập phương trình cân bằng lực sao cho dễ nhận biết các phương trình dưới dạng
đơn giản nhất, thông thường ta nên chọn một trong các trục tọa độ vuông góc với một số nhiều
nhất có thể các lực chưa biết. Còn khi áp dụng quy tắc momen lực thì nên lựa chọn trục quay
thích hợp để phương trình trở nên đơn giản (nên lựa chọn trục quay qua giá nhiều lực thành
5


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

phần hoặc qua giá các lực mà ta chưa biết độ lớn, lúc đó momen các lực đó đối với trục quay ta
chọn sẽ bằng không).
Chú ý:
 Nếu tất cả các lực tác dụng lên vật là lực thế thì ta có thể dùng hàm thế nămg U(x) để nghiên cứu cân
bằng của vật
 Ta có mối liên hệ giữa lực thế F(x) và thế năng U(x) như sau:
dU
F (x)  
dx
 Phương pháp giải các bài toán bằng cách tìm cực trị của hàm thế năng:
 Xác định hàm thế năng U(x) của vật (hoặc hệ vật)
 Tìm cực trị của hàm thế năng. Nếu vật ở trạng thái cân bằng bền thì thế năng U cực tiểu. Vật ở
trạng thái cân bằng không bền thì thế năng U cực đại. Còn ở trạng thái cân bằng phiếm định thì
U=const. Như vậy:

dU
- Khi có cân bằng:
 0 từ đó tìm vị trí cân bằng với x=x0.
dx
d 2U
- Nếu
tại x0 lớn hơn không : ta có cân bằng bền.
dx 2
d 2U
- Nếu
tại x0 nhỏ hơn không : ta có cân bằng không bền.
dx 2
III. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Bài toán 1: Cân bằng của vật rắn khi không có chuyển động quay.
Phƣơng pháp giải:
 Xác định đầy đủ các lực tác dụng vào vật (gồm điểm đặt, hướng).
 Sử dụng điều kiện cân bằng lực: F1  F2  ....  Fn  0
 Từ điều kiện cân bằng trên dựa vào “tam giác lực” hoặc chiếu lên các trục tọa độ thích hợp ta có thể xác
định các đại lượng khác như lực tác dụng, góc, khối lượng vật,….
Bài 1: Viên bi khối lượng m = 100g treo vào điểm cố định A nhờ dây AB và nằm trên mặt cầu nhẵn tâm O
bán kính r = 10cm. Khoảng cách từ A đến mặt cầu là AC = d = 15cm; chiều dài dây AB = l = 20cm, đoạn OA
thẳng đứng. Tìm lực căng của dây và lực do quả cầu nén lên mặt cầu.

d

l

m

6



Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu
Giải
 Các lực tác dụng vào viên bi: trọng lực P , lực căng dây T , phản lực Q .



Viên bi nằm yên: P  T  Q  0
(1)
Dựa vào hình “tam giác lực” đồng dạng với tam giác AOB. Ta có: A



P
T
Q
P
T Q
(2)



 
AO AB OB
d r l r

l
20
Từ (2) suy ra :
T
mg 
.0,1.10  0,8 N
d r
15  10
r
10
và
Q
mg 
.0,1.10  0, 4 N
d r
15  10



Theo định luật 3 NewTon suy ra lực do quả cầu nén lên
mặt cầu là Fn = Q = 0,4N.

T

P

T

Q


C
Q
B

r
O

P

Bài 2:Một mặt phẳng nghiêng chiều dài l = 13m, chiều cao h = 5m. Muốn giữ một vật khối lượng m = 5kg
đứng yên trên mặt phẳng nghiêng, ta phải tác dụng lên vật một lực đẩy F . Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng
nghiêng là   0,1 . Tìm F nếu:
a. F song song với mặt phẳng nghiêng.
b. F song song với mặt phẳng ngang.

Giải


Các lực tác dụng lên vật gồm: Trọng lực P , phản lực Q , lực ma sát F ms và lực đẩy F . Vì vật đứng
yên nên:
P  Q  Fms  F  0
(1)
a. F song song với mặt phẳng nghiêng.
Chiếu (1) lên hai trục tọa độ Ox và Oy ta được:
 P sin   Fms  F  0 (1')

(1")
 P cos   Q  0

y

x
Q
F

O

Từ (1”) suy ra: Q  P cos   Fms  Q   mg.cos 
Từ (1’) suy ra: F  P sin   Fms  mg (sin    cos  )

Fms

2

h 5
 5  12
 ;cos   1  sin 2   1    
l 13
 13  13
5
12
Suy ra: F  5.10(  0,1. )  14, 6 N
13
13
Vậy: khi F song song với mặt phẳng nghiêng, để giữ được vật thì F = 14,6N

α

Với sin  

7


P


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu
b. F song song với mặt phẳng ngang.
y
x
Q
O

Fms

F
α
P

Chiếu (1) lên hai trục tọa độ Ox và Oy ta được:
(2 ')
 P sin   Fms  F cos   0

(2")
 P cos   Q  F sin   0
Từ (2”) suy ra Q  P cos   F sin   Fms  Q   (mg.cos   Fsin  )

(3)


Từ (2’) suy ra: Fms  P.sin   F cos   mg sin   F cos 

(4)

Từ (3) và (4) suy ra:  (mg.cos   F sin  )  mgsin   Fcos 
5
12
5.10(  0.1. )
mg (sin    cos  )
3
13  15, 2 N
Suy ra: F 

12
5
cos    sin 
 0,1.
13
13
Vậy: khi F song song với mặt phẳng ngang, để giữ được vật thì F  15, 2 N
Bài 3: Hai hình trụ đông chất O1,O2 có khối lượng m 1= 10kg, m2 = 30kg tiếp xúc ở hai mặt phẳng nghiêng,
trơn, vuông góc, nghiêng   600 . Tìm góc tạo bởi O1O2 và phương ngang, áp lực của các khối trụ lên mặt
phẳng và áp lực tương tác giữa hai khối trụ.

O2
O1

Giải


8


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

N

Q1

O1

y

N1

Q2

60°
O2

O

P1

x


δ

P2
α



N'

H

N2



Các quả cầu tương tác nhau nhau sinh ra các phản lực N và N ' theo định luật ba NewTon (theo
phương nối O1,O2).
Tương tác giữa các quả cầu với hai mặt phẳng sinh ra Q1 , Q2 (phản lực vuông góc )và N1 , N1 đặt vào



hai mặt phẳng tiếp xúc.
Các trọng lực P1 , P2 thẳng đứng đặt vào O1,O2.





(1)
 P  N  Q1  0

Hai quả cầu cân bằng khi:  1
(2)

 P2  N '  Q2  0
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (chú ý   600 nên góc giữa P1 và OH là 300), chiếu (1) lên Oy, và (2)
lên Ox ta có:
0

 P1 cos30  N cos 

0
'

 P2 sin 30  N sin 

(1')
(2 ')



So sánh (1’) và (2’) và chú ý N=N’ ta có:
P sin 300
3
tan   2

   600
0
P1 cos 30
3




Vì   600 nên O1O2 nằm ngang.
P cos 300
 173N
Từ (1’)  N  N '  1
cos 600
Chiếu (1) lên trục Ox:
N1  Q1  P1 cos 600  N cos300  200 N





Chiếu (2) lên trục Oy: N2  Q2  P2 cos300  N 'cos 600  173N

Bài 4: Vật A khối lượng m1 = 5kg có dạng khối lăng trụ có tiết diện thẳng là một tam giác đều, được chèn sát
vào một bức tường đứng thẳng nhờ kê trên vật B khối lượng m2 = 5kg có dạng khối lập phương, đặt trên mặt
sàn nằm ngang (hình vẽ). Coi rằng hệ số ma sát ở tường và ở sàn nhà đều bằng  .Tính  và áp lực tại các chỗ
tiếp xúc. Lấy g = 10m/s2. Bỏ qua ma sát tại chỗ tiếp xúc giữa vật A với vật B.

9


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu


iải:



ác lực tác dụng lên vật A: Trọng lực P1 phản lực vuông góc N1 lực ma sát F1 của tường và
phản lực vuông góc Q1 của vật .



ác lực tác dụng lên vật : Trọng lực P2

phản lực vuông góc N 2 , lực ma sát F2 của sàn và lực

Q2 của vật A.


p dụng điều kiện cân bằng lực cho vật A và :

 P1  N1  F1  Q1  0 (1)

(2)

 P 2  N2  F2  Q2  0
10


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn


Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

hiếu (1) lên các trục:
0

 P  F1  Q1 cos30
Vật A:  1
0

 N1  Q1 sin 30
 Xét vật ở trạng thái giới hạn của nghỉ và trượt nên: F1   N1



1
3
) (3)
Suy ra: P1  Q1 sin 300  Q1 cos 300  Q1 (  
2
2
hiếu (2) lên các trục:
 P  N2  Q2 cos300

Vật :  2
0

Q2 sin 30  F2
Tương tư như vật A ta có: F2   N 2




Suy ra: P2 






Q2
3
1
3
 Q2
 Q2 (

) (4)
2
2
2 2
Theo định luật 3 Newton: Q1 = Q2 =Q



Vì P1 = P1 nên từ (3) và (4):

1
3
1
3




  2  2 3  1  0
2
2
2 2

iải ra



= 0,267
P2

 50 N
Q2  1
3


2 2


Q
Từ đó suy ra:  N1  1  25 N
2

 N 2  93,5 N





Bài toán 2: Cân bằng của vật rắn khi có trục quay cố định.
Phƣơng pháp giải:
 Xác định đầy đủ các lực tác dụng vào vật.
 Lựa chọn trục quay thích hợp để vận dụng quy tắc momen được đơn giản.
 Vận dụng quy tắc momen.
Chú ý: Quy tắc momen lực cũng được áp dụng đối với các trục quay tức thời (được xem là trục quay
cố định tại thời điểm ta xét)
Bài 1:Thanh đồng chất AB có thể quay quanh bản lề A. Hai vật có các khối lượng m1=1kg, m2=2kg được treo
vào B bằng hai sợi dây như hình vẽ. (C là ròng
rọc nhẹ). Biết AB=AC, khối lượng thanh là 2kg. Tính  khi
B
hệ cân bằng.
α
C

m1
A

m2

11


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu
Giải:

 Các lực tác dụng lên thanh gồm : Trọng lực P ; các lực căng dây T1 , T2 (T1  P1; T2  P2 ) ;phản lực Q tại
bản lề A.

B

T2

T1

H

Q
β

m1

P

α
C
A

m2



Áp dụng quy tắc momen lực đối với trục quay A ta được:

AB
M T2  M P  M T1  P2 . AB.cos  P.

cos   P1. AB.cos 
2
2
 mg
 m2 g.cos 
.cos   m1 g cos 
2
2

 2 cos



2

 cos   cos   2 cos   2 cos 



2
  


 1200


 
2
 cos   cos   cos      


3
2
     
  2

2
Vậy: Khi hệ cân bằng thì   1200 (  2 )
Bài 2: Bán cầu đồng chất khối lượng 100g. Trên mép bán cầu đặt một vật nhỏ khối lượng 7,5g. Hỏi mặt phẳng
của bán cầu sẽ nghiêng góc  bao nhiêu khi có cân bằng, biết rằng trọng tâm bán cầu ở cách mặt bán cầu một
3R
đoạn
(R là bán kính mặt cầu).
8

α

Giải
12


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu
 Các lực tác dụng lên bán cầu: Trọng lực P (bán cầu), trọng lực P ' (vật nhỏ), phản lực Q tại điểm tiếp
xúc (tại điểm tiếp xúc A).

R
O

G

Q
P' α
A

P


Áp dụng quy tắc momen lực đối với trục quay qua A:
3R
M P  M P '  P.OG.sin   P ' R.cos   Mg. .sin   mgR cos 
8
3
8m 8.7,5
Suy ra : M sin   m cos   tan  

 0, 2    110
8
3M 3.100
Vậy: khi cân bằng, mặt phẳng của bán cầu sẽ nghiêng góc   110
Bài 3: Một khối trụ có tiết diện hình lục giác đều cạnh a bị đẩy dọc theo mặt phẳng ngang (Hình vẽ). Tìm hệ
số ma sát giữa khối trụ và mặt phẳng ngang để nó trượt trên mặt phẳng ngang mà không quay?

Hình

Giải

 Các lực tác dụng lên khối trụ là: trọng lực P ,Phản lực N ,lực ma sát F ms , lực tác dụng F .


N

Fms
A

B
P

13


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu
- Khi khối trụ bắt đầu bị quay thì phản lực N có giá đi qua điểm tựa , khi đó: M N / B  0; M F / B  0 , ta có:
ms

MF / B  MP/ B

 F.

a 3
a
mg
 mg .  F 
2
2
3


Để vật không bị quay quanh điểm B thì: F 

mg
3

(1)

- Để vật bị trượt thì theo phương ngang:

F   Fmsn max  F  .N  .mg
- Từ (1) và( 2) ta có: .mg 

(2)

mg
1

 0,58
3
3

Bài 4: Trên mặt bàn nằm ngang có một bán trụ cố định bán kính R. Trong mặt phẳng thẳng đứng
vuông góc với trục O của bán trụ ( mặt phẳng hình vẽ ) có một thanh đồng chất A chiều dài bằng R
tựa đầu A lên bán trụ, đầu

ở trên mặt bàn. Trọng lượng của thanh là P. Không có ma sát giữa bán

trụ và thanh. Hệ số ma sát giữa mặt bàn và thanh là k =


3
.
3

Góc  phải thoả mãn điều kiện gì để thanh ở trạng thái cân bằng?
Giải
Thanh chịu trọng lượng P, phản lực N của bán trục ở A vuông góc với mặt trụ (đi qua 0). Phản lực Q
của mặt bàn xiên góc với phương ngang vì có ma sát, trong đó:
Q = Q N + F trong đó F là lực ma sát.
Ba lực Q ; N ; P cân bằng, vậy giao điểm của N ; Q phải ở trên giá của P .
y
N Q Qn

A


R

B

O

P

x

F

Ta có: P + Q + N = 0


(1)

Tam giác OAB là cân nên góc BAN = 2.
Chiếu (1) xuống ox ta có: Ncos = F ;
Chiếu (1) xuống oy
: Nsin + QN = P ;
14

(2)
(3)


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

Lấy mo men đối với B :
Mặt khác :

P

R cos 
 NR sin 2 ;
2

3
QN ;
3


F

(4)
(5)

Ta có 4 phương trình cho 4 ẩn N; QN; F và .
P cos 
P

Từ (3) có: N 
.
2 sin 2 4 sin 
P cot g
Thay vào (2) nhận được: F 
(6)
4
Thay vào (3) thu được:

QN = P - Nsin =

3P
4

(7)

Thay (6) và (7) vào (5) có:
P
3


P . Suy ra:
4 tg
4

tg 

1
3

;

hay   30 o

Mặt khác, dễ thấy rằng, vị trí của thanh, khi đầu A của thang là tiếp điểm với bán trụ, tạo với mặt
ngang với một góc giới hạn  = 450.. Vậy trạng thái cân bằng của thanh ứng với góc  thoả mãn điều
30 0    45 0
kiện:
Bài toán 4: (Ứng dụng hợp lực song song cùng chiều để tìm trọng tâm.)
Bài 1: Thanh đồng chất ABC có tiết diện nhỏ, góc B = 600 treo cân bằng trên dây AD. Tính góc  tạo bởi BC
và phương ngang biết BC = 2AB.
D

A

B
α
C

Giải


15


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

T




Các lực tác dụng lên thanh ABC: trọng lực của P1 của BC, trọng lực P2 của AB, lực căng T của dây
AD.
Thanh treo cân bằng nên: P1  P2  T  0
(1) suy ra P  T . Do đó hợp lực P phải có độ
lớn P  T và phải có giá trùng với giá của T .



Vì thanh đồng chất nên trọng tâm O1 của P1 nằm ở trung điểm của BC, trọng tâm O2 của P2 nằm ở
trung điểm AB. Gọi G là trọng tâm của cả thanh ABC, theo quy tắc hợp lực song song ta có:
P1 O2G

2
(P1 = 2P2 vì BC = 2AB)
P2 O1G



P1
O2G
2


P2  P1 O1G  O2G 3

(2)



Tam giác O1A là tam giác đều nên O1O2 vuông góc với AB



Xét tam giác vuông O1O2B cho : O1O2  O1 B.sin 600  O1 B.

16

3
2

(3)


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn


Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu


Từ (2) ta có:

O2G 2
O2G
2
3
 
  O2G  O1 B
O1O2 3
3
3 3
O1 B.
2

(4)

3
OG
3  2 3 suy ra góc GAO = 490
Xét tam giác vuông GAO2 ta có: tan(GAO2 )  2 
2
O1 B
O2 A
3
2
0
0

0
0
Xét tam giác ABK, ta có góc AKB=180 -(60 +49 )=71 suy ra   900  710  190
O1 B




Vậy : góc  tạo bởi

và phương ngang là   190 .

Bài 2: a người khiêng một khung sắt hình chữ nhật ABCD có khối tâm ở giao điểm của các đường
chéo. Khung được giữ cho luôn nằm ngang, cạnh AD không có người đỡ vì mới sơn
( trừ hai đầu A và D). Một người đỡ khung ở M1 cách A một khoảng AM1=d. Tìm vị trí M2 và M3 của
hai người kia để ba người cùng chịu lực bằng nhau. Biện luận kết quả tìm được?
Giải
Chọn hệ trục tọa độ gắn với khối tâm x y như hình vẽ:
Gọi: AB = CD = a
AD = BC = b
XG 

YG 

F1 x1  F2 x2  F3 x3
0
F1  F2  F3

(1)


F1 y1  F2 y2  F3 y3
0
F1  F2  F3

F1  F2  F3 

P
3

(2)
B

C

G
M

1

A

D

b
 b
 2  x2  2  0
 x2  0

(1), (2) => 
 y3   d

  a  d   a  y3  0
  2
 2

Vậy:
M2 ở trung điểm cạnh BC
M3 ở cách trung điểm canh CD một đoạn d về phía D
Biện luận:
17


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu
+ M1  A  M3  trung điểm cạnh CD

+ M1 → trung điểm AB
 M3 → D
d

a
do M3 không thể vượt qua D
2

Bài toán 3: Cân bằng tổng quát của vật rắn.
Phƣơng pháp giải:
 Xác định đầy đủ các lực tác dụng vào vật.
 Áp dụng điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn :


 Fx  0
1.  F  0  

 Fy  0
2.
Bài 1:Thanh OA nhẹ mắc bản lề với tường ở O và chịu lực thẳng đứng P tại A. Để giữ thanh nằm ngang ta
dùng dây BC. Biết OB = 2AB. Tính sức căng dây và phản lực bản lề khi dây BC nghiêng góc   300 với
thanh.

C

O

α

B
A
P

Giải
Cách 1: Phương pháp giải tích:
 Các lực tác dụng vào thanh OA:
 Lực P tác dụng tại A;
 Lực căng dây T tại B;
 Phản lực R của bản lề tại O.

18



Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

y

x

O

C

T
H

P
T

Rx
O

α

R

B

A


β
Ry

R

D



P

Điều kiện cân bằng:


T  P  R  0


T .OB.sin   P.OA


3

 RX  3.P.
2
T .cos   RX

(1)

1

P

 T .sin   P  RY   RY  3.P.  P 
(2)
2
2


3P
T  3P
T 
2sin 




R  R 2  R 2  P 7
X
Y

R
1

 Vậy:  tan   Y 
RX 3 3

T  3P

Cách 2:Phương pháp hình học
 Hệ ba lực P , T và R đồng quy nên R nằm trên OD, D là giao điểm của CB và P kéo dài.

 Ta có: T  P  R  0
 Vì tam giác lực (hình vẽ) đồng dạng với tam giác ODC nên:
T CD
CD

(3)

 T  P.
P OC
OC
R OD
OD

 R  P.

(4)
P OC
OC
 Dựa trên hình:

19


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu



OC  OB.tan 300  2.BA. 3
3


OB
2.BA 4.BA
 ta có: CB 


0
cos
30
3
3


2

 BD  BA 0  2.BA
cos 30
3

6.BA
 Mặt khác: CD  CB  BD 
và thế vào (3):T=3P.
3


sin  




OD 

AD

OD

AD
AD  9 BA
2

2



BA.tan 
( BA.tan  )  9 BA
2

2



1
2 7

 cos  

3 3

2 7

OA
OA.2 7

và thay vào (4): R  P 7 .
cos 
3 3

Bài 2:
Một thang dựa vào bức tường thẳng đứng, chân của nó nằm trên sàn nhà phẳng nằm ngang. Khối tâm của
thang nằm chính giữa chiều dài của nó. iết hệ số ma sát giữa thang với tường là 1  0,5 với sàn là  2  0, 4 .
Hãy xác định xem góc nghiêng nhỏ nhất của thang so với phương ngang để thang vẫn còn đứng cân bằng.

ài giải:

20


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

fmsA

NB

fmsB

 ác lực tác dụng lên thang:
 Trọng lực P

ác phản lực N A , N B


ác lực ma sát nghỉ f msA , f msB

 P  N A  f msA  f msB  N A  0 (1)
 Điều kiện cân bằng: 
(2)

M P / A  M fmsB / A  M N B / A
Suy ra:

 f msA  P  N B
(1')

(1'')
 f msB  N A
 AB
(2 ')
P
cos   f msB . AB sin   N B AB cos 
 2
 Từ (2’): P  2 N B  2 f msB .tan   2 N B  2 N A tan 
 1N A
f
 P  N B  1N A
2 N  2 N A tan   N B  1N A

 Vì  msA

 B
 N A  2 N B
 N A  2 N B
 f msB   2 N B
Suy ra: N B  (1  2 tan ) N A  N B  (1  2 tan ) f msB  (1  2 tan ) 2 N B

Suy ra: 1  (1  2 tan ) 2  tan  


1
1
0,5
 1

1
2 2 2 2.0, 4 2

   450   min  450

Bài 3 : Hai thanh cứng giống nhau dài

, khối lượng m liên kết với nhau và liên kết với giá đỡ bởi các bản lề.

Tác dụng lực F không đổi theo phương ngang vào đầu B của thanh. Xác định :

1;  2 ;



phản lực do bản lề O tác dụng lên thanh OA tại O và phản lực do thanh OA tác dụng lên thanh
AB tại bản lề A.

21


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu
x

O

1
A

F

2

y

B

Hình
BÀI GIẢI

N0

θ
O
x
L
α1

G1

A
P1

N21
φ

φ

A

x

N12
α2

y

F
P2
y

Gọi N12 và N 21 là lực tương tác của thanh AO lên thanh A và ngược lại.

Theo Định luật III Niu-tơn N12 = N21 = N.
Gọi N o là phản lực do bản lề O tác dụng lên thanh OA tại O.
Gọi P1 ,P 2 (P1  P2  P) là các trọng lực tác dụng lên thanh OA và AB.
* Xét thanh AB:
+ Do thanh AB cân bằng nên: P2  N12  F  0
Chiếu lên các trục ta có:
22

B


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

 N  F2  P 2  F2  P 2
2
 N12 cos   P2  0  12


F
 N12 sin   F  0
 tan  

P
+ Do thanh AB cân bằng nên:

MF / A  MP2 / A  F.Lcosα 2 =P2


2F 2F
L

sinα 2  tan  2 
P2 mg
2

* Xét thanh OA:
+ Do thanh AO cân bằng nên: P1  N21  No  0
Chiếu lên các trục ta có:

 No cos   N 21 cos   P1 (1)
 N02  N221 cos2   P12  2N21P1 cos   N221 sin 2 

(2)
 No sin   N 21 sin 

 N02  F2  P 2  P 2  2 F2  P 2 .P.cos   N 02  F2  2P 2  2 F2  P 2 .P.

 N 02  F2  4P 2

F2  P 2 .

1

P2
1 2
N 21 sin 
F

F
Từ (1) và (2) : tan  


1
N 21 cos   P
F2  P 2 .
 P 2P
2
F
1 2
P
+ Do thanh AO cân bằng nên: MP1/A = MNo /A  P1

L
sinα1 = N0 .Lsin(α1 -θ)
2

L
 P. .sin 1  F2  4P 2 .L.(sin 1 cos   cos 1 sin )
2
P
1
1
 sin 1  F2  4P 2 .(sin 1.
 cos 1.
)
2
2
2

F
4P
1 2
1 2
4P
F
P
 sin 1  2P.sin 1  Fcos 1
2
 Psin 1  4Psin 1  2Fcos 1
 tan 1 

2F
2F

2P2  P1 3mg
23

1
F2
1 2
P


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu
Bài 4: Hai thanh bê tông mỏng AC và CB tạo thành hệ như hình vẽ. Các thanh có thể quay không ma sát

quanh các trục đi qua các đầu A, . Đầu trên của hai thanh tựa vào nhau và tạo thành góc 900. Góc giữa thanh
khối lượng M và phương ngang bằng , thanh còn lại khối lượng m.
1- Xác định hệ số ma sát nhỏ nhất giữa hai thanh để không xảy ra sự trượt.
2- Trong trường hợp M = 3m,   450 . Hãy xác định các phản lực tại A và B.
C

M
A

m
B

α

GIẢI
1 - Xét cân bằng của thanh AC. Tác dụng lên thanh gồm

P1

N

và

Fms do thanh BC tác dụng lên, trọng lực

của thanh và phản lực RA của bản lề A.

- Chọn trục quay qua A: N  AC  Mg 

N


y

AC
cos
2

1
Mgcos
2

1

F'ms

N
C
Fms

C

m

RA

N'

φA

M


RB

φB

α

B

x
A

P2

P1

- Xét cân bằng của thanh BC. Tác dụng lên thanh gồm
trọng lực

P2

N ' và Fms'

do thanh AC tác dụng lên,

của thanh và phản lực RB của bản lề B.

- Chọn trục quay qua B:

Fm' s  BC  mg 


BC
1
sin   Fm' s  mg sin 
2
2
24

 2


Chuyên đề tĩnh học vật rắn

GV: Trần Thanh Tùng và Nguyễn Hoàng Tuấn

Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu
Mặt khác : N = N’ Fms = F’ms

(3)

Để thanh không trượt thì : Fms  kN 

Vậy :

kmin 

k

Fms
m


tg
N
M

m
tg
M

2) Gọi XA, YA, XB, YB là các phản lực tại A và
Ta có: +) XA - Fmscos - Nsin = 0  XA =

theo các phương OX và OY.

1
( M + m )g sin2
4

 XA = mg
+) XB + F'mscos + N’sin = 0  XB = -

1
( M + m ) sin2
4

 XB = - mg
+) YA - Fmssin + Ncos - Mg = 0
 YA =

1

 M + ( M + m ) sin2 g
2

= 2,5mg.

+) YB + F’mssin - Ncos - mg = 0
 YB =

1
 m + ( M + m ) cos2 g
2

+) Tìm được:

NA 

NB 

= 1,5mg.

X A2  YA2  2,7mg

X B2  YB2 1,8mg

+) Góc giữa NA, NB và phương OX xác định bởi:
tan  A 

YA
 2,5   A  68, 20
XA


tan B 

YB
 1,5  B  56,30
XB

Bài 5.
Một thanh A đồng chất khối lượng m = 20kg dựa vào tường trơn nhẵn dưới goc nghiêng  . Hệ số ma sát
giữa thang và sàn là k  0, 6 .
1. Thang đứng yên cân bằng, tìm các lực tác dụng lên thang khi   450 .
2. Tìm các giá trị của  để thang đứng yên không trượt trên sàn.
3. Một người có khối luợng m = 40kg leo lên thang khi   450 . Hỏi người này lên tới vị trí M nào
trên thang thì thang sẽ bị trượt. Biết thang dài l = 2m. Lấy g = 10m/s2.

25