Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

m

TITU ANDREESCU
DORIN ANDRICA

c.

BÀI TẬP SỐ PHỨC

co

Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN)

kh

on

gb

oc
uo

(98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
LỜI GIỚI THIỆU

m

Như tên sách, ‘’Complex Numbers from A to Z’’, nội dung nguyên bản phủ hầu khắp các
vấn đề liên quan số phức: từ xây dựng trường số phức, số phức dạng lượng giác, đến
hình học phức...

co

Người dịch chỉ chọn lọc một số vấn đề lý thuyết, bài tập cơ bản, nâng cao của số phức
để giới thiệu bằng tiếng Việt, ngõ hầu phục vụ đối tượng bạn đọc là học sinh trung học
phổ thông, sinh viên, người không chuyên làm toán với số phức.

c.

Trong khả năng có thể, người dịch cố gắng dùng những thuật ngữ phổ biến nhất hiện
nay. Tuy nhiên không thể không dùng những thuật ngữ nếu thiếu nó thì khó lòng diễn
đạt các vấn đề về số phức.

kh

on

gb

oc
uo

Mọi việc dù muốn hay không, cũng có thể gây ra thiếu, sót (hạn chế sai, lầm). Mong các
em học sinh, sinh viên và quý vị nói cười thoải mái.

Người dịch.

Lê Lễ

Page 2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

m

Mục lục1
Mục lục............................................................................................................................................. 3
1. Dạng đại số của số phức .................................................................................................................. 5
1.1 Định nghĩa số phức................................................................................................................. 5

1.2 Tính chất phép cộng ................................................................................................................ 5
1.3 Tính chất phép nhân ............................................................................................................... 5
1.4 Dạng đại số của số phức .......................................................................................................... 6
1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i .......................................................................................................... 8
1.6 Số phức liên hợp .................................................................................................................... 8
1.7 Môđun của số phức............................................................................................................... 10
1.8 Giải phương trình bậc hai ...................................................................................................... 14
1.9 Bài tập............................................................................................................................... 17
1.10 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 22
2. Biểu diễn hình học của số phức ....................................................................................................... 24
2.1 Biểu diễn hình học của số phức................................................................................................ 24
2.2 Biểu diễn hình học của Môđun ................................................................................................ 25
2.3 Biểu diễn hình học các phép toán ............................................................................................. 25
2.4 Bài tập............................................................................................................................... 28
2.5 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 29
3. Dạng lượng giác của số phức .......................................................................................................... 29
3.1 Tọa độ cực của số phức ......................................................................................................... 29
3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức ............................................................................................. 31
3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức ............................................................................... 36
3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức ..................................................................................... 38
3.5 Bài tập ............................................................................................................................... 39
3.6 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 42
4. Căn bậc n của đơn vị .................................................................................................................... 43
4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức ............................................................................................ 43
4.2 Căn bậc n của đơn vị ............................................................................................................ 45
4.3 Phương trình nhị thức ........................................................................................................... 49
4.4 Bài tập............................................................................................................................... 50
4.5 Đáp số và hướng dẫn .................................................................................................................. 51

1


Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng

Lê Lễ

Page 3


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

m

Bài tập số phức

Lê Lễ

Page 4



Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

1. Dạng đại số của số phức

x1

x2

y1

y2

.

co

Hai phần tử ( x1 , y1 ) và ( x2 , y2 ) bằng nhau ⇔

m

1.1 Định nghĩa số phức
Xét R2 R R {( x, y) | x, y R} .

gb

oc

uo

c.

∀ ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ ℝ2:
Tổng z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℝ2.
Tích z1.z2 ( x1 , y1 ).( x2 , y2 ) ( x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1 ) ∈ ℝ2.
Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng.
Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân.
Ví dụ 1.
a) z1 ( 5,6), z2 (1, 2)
z1 z2 ( 5,6) (1, 2) ( 4, 4) .
z1 z2 ( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16) .
1
1 1
b) z1 ( ,1), z2 ( , )
2
3 2
1 1
1
5 3
z1 z2 (
,1 ) ( , )
2 3
2
6 2
1 1 1 1
1 7
z1z2 (
,

) ( ,
)
6 2 4 3
3 12
Định nghĩa. Tập ℝ2, cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức ℂ . Phần tử (x,y)∈ℂ
gọi là một số phức.

kh

on

1.2 Tính chất phép cộng
(1) Giao hoán: z1 z2 z2 z1, z1, z 2 C .
(2) Kết hợp: ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ), z1 , z2 , z3 C .
(3) Tồn tại phần tử không: 0 (0,0) C , z 0 0 z z , z C .
z C : z ( z) ( z) z 0 .
(4) Mọi số có số đối: z C ,
Số z1 z2 z1 ( z2 ) : hiệu của hai số z1 , z2 . Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ,
z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℂ.
1.3 Tính chất phép nhân
(1) Giao hoán: z1.z2 z2 .z1 , z1 , z2 C .

Lê Lễ

Page 5


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

(2) Kết hợp: ( z1.z2 ).z3 z1.( z2 .z3 ), z1 , z2 , z3 C .
(3) Tồn tại phần tử đơn vị: 1 (0,1) C , z.1 1.z z, z C .

gb

oc
uo

c.

co

m

(4) Mọi số khác 0 có số nghịch đảo: z C* , z 1 C : z.z 1 z 1.z 1 .
Giả sử z ( x, y) C* , để tìm z 1 ( x ', y ') ,
xx yy 1
. Giải hệ, cho ta
( x, y).( x ', y ') (1, 0)
yx xy 0
x
y
. Vậy
x'
,
y
x2 y 2
x2 y 2
1
x

y
z1
( 2
, 2
)
2
z
x y
x y2
Thương hai số z1 ( x1 , y1 ), z ( x , y ) ∈ ℂ*là
z1
x
y
x x y y x y y1x
z1.z 1 ( x1, y1 ).( 2
, 2
) ( 1 2 12 , 12
) C.
2
2
z
x y
x y
x y
x y2
Phép toán tìm thương hai số phức gọi là phép chia.
Ví dụ 2.
a) Nếu z (1,2) thì
1
2

1 2
z1 ( 2
,
)
(
, ).
1 22 12 22
5 5
b) Nếu z1 (1,2), z2 (3,4) thì
z1
3 8 4 6
11 2
(
,
) ( , ).
z2
9 16 9 16
25 25
*
Lũy thừa số mũ nguyên của số phức: z∈ ℂ ,
z 0 1; z1 z; z 2 z.z; z n 
z.z. z , n nguyên dương.
n

1

z ( z ) n , n nguyên âm.
0 n 0 , mọi n nguyên dương.
(5) Tính phân phối của phép nhân với phép cộng:
z1.( z2 z3 ) z1.z2 z1.z3 , z1 , z2 , z3 C

Những tính chất trên của phép nhân và cộng, chứng tỏ ℂ cùng hai phép toán cộng và nhân là
một trường.

kh

on

n

1.4 Dạng đại số của số phức
Dạng đại số của số phức được nghiên cứu sau đây:

Lê Lễ

Page 6


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
Xét song ánh2
f :R

R {0}, f ( x) ( x,0) .

Hơn nữa
y,0) ; ( x,0).( y ,0) ( xy ,0) .

m


( x,0) ( y,0) ( x

Ta đồng nhất
(x,0)=x.
Đặt i=(0,1)

( x, y ) ( x,0) (0, y ) ( x,0) ( y,0).(0,1)
x yi ( x,0) (0,1)( y,0) x iy .
Định lý . Số phức bất kỳ z=(x,y) được biểu diễn duy nhất dạng z=x+yi, x,y∈ ℝ ,
trong đó i2=-1.
Hệ thức i2=-1, được suy từ định nghĩa phép nhân :
i 2 i.i (0,1).(0,1) ( 1,0) 1 .
Biểu thức x+yi gọi là dạng đại số của số phức z=(x,y). Do đó:
C {x yi | x R, y R, i 2
1} .
x=Re(z): phần thực của z. y=Im(z): phần ảo của z. Đơn vị ảo là i.
(1) Tổng hai số phức
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C .
Tổng hai số phức là một số phức , mà phần thực ( phần ảo) của nó bằng tổng hai phần thực
(phần ảo) của hai số đã cho.
(2) Tích hai số phức
z1.z2 ( x1 y1i ).( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 x2 y1 )i C .
(3) Hiệu hai số phức
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C .
Hiệu hai số phức là một số phức , mà phần thục ( phần ảo) của nó bằng hiệu hai phần
thực(phần ảo) của hai số phức đã cho.
Khi thực hành cộng, trừ , nhân số phức thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu ý
i2
1 là đủ.
Ví dụ 3.

5 6i, z2 1 2i
a) z1
z1 z2 ( 5 6i ) (1 2i)
4 4i .
z1 z2 ( 5 6i )(1 2i )
5 12 (10 6)i 7 16i .
1
1 1
b) z1
i , z2
i
2
3 2

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

z

2


f là một đẳng cấu

Lê Lễ

Page 7


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

z1z2

1
i) (
2
1
1
(
i)(
2
3
(

1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i
i 0 1; i1 i; i 2
4

3


5

1 1
i)
3 2
1
1
i)
2
6

1; i3
4

i 2 .i
6

5

1 1
1
5 3
(1 )i
i
2 3
2
6 2
1
1 1

1 7
(
)i
i.
2
4 3
3 12

i,
7

6

.

m

z2

co

z1

gb

oc
uo

c.


i i .i 1; i i .i i; i i .i
1; i i .i
i
Bằng quy nạp được :
i 4n 1; i 4n 1 i; i 4n 2
1; i 4n 3
i, ∀ n∈ ℕ*
Do đó
i n { 1,1, i, i}, ∀ n∈ ℕ .
Nếu n nguyên âm , có
1
i n (i 1 ) n ( ) n ( i) n .
i
Ví dụ 4.
a) i105 i 23 i 20 i 34 i 4.26 1 i 4.5 3 i 4.5 i 4.8 2 i i 1 1 2 .
b) Giải phương trình : z3 18 26i, z x yi, x, y Z .
Ta có
( x yi)3 ( x yi)2 ( x yi) ( x2 y 2 2xyi)( x yi)
( x3 3xy 2 ) (3x2 y y3 )i 18 26i.
Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau, được:
x3 3xy 2 18

y 3 26
Đặt y=tx, 18(3x2 y y3 ) 26( x3 3xy 2 ) ( cho ta x≠ 0 và y≠ 0)
⇒ 18(3t t 3 ) 26(1 3t 2 ) ⇒ (3t 1)(3t 2 12t 13) 0.
Nghiệm hữu tỷ của phương trình là t=1/3. Do đó
x=3, y=1⇒ z=3+i.

on


3x 2 y

kh

1.6 Số phức liên hợp
Cho z=x+yi. Số phức z x yi gọi là số phức liên hợp của z.
Định lý.
(1) z z
z R,
(2) z z ,
(3) z.z là số thực không âm,

Lê Lễ

Page 8


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

z2

(5) z1.z2

(2)
(3)

z1
, z2 C* ,

z2
z z
z z
Re( z )
, Im(z)=
2
2i
Chứng minh.
z z
x yi x yi.
Do đó 2yi=0⇒ y=0⇒ z=x∈ ℝ .
z x yi, z x yi z.
z.z ( x yi)( x yi) x2 y 2

(4) z1

z2

( x1
(5) z1.z2

( x1

x2 ) ( y1

y1i) ( x2
( x1x2

0


y2 )i ( x1

y2i)

z1

y1 y2 ) i( x1 y2

( x1 iy1 )( x2 iy2 )

1
1
1 ( z. ) 1
z
z
1
tức là ( z ) ( z ) 1.

x2 ) ( y1

y2 )i

z2 .

x2 y1 ) ( x1x2

y1 y2 ) i ( x1 y2

x2 y1 )


z1 z2 .

1
z .( ) 1,
z

gb

(6) z.

co

(1)

z1
z2

c.

(8)

(z ) 1 , z C* ,

oc
uo

(7)

z2 ,


z1.z2 ,

1

(6) z

z1

m

(4) z1

1
1
1 z1
) z1.( ) z1.
.
z2
z2
z2 z2
(8) z z ( x yi ) ( x yi) 2 x.
z z ( x yi ) ( x yi ) 2 yi.
z z
z z
Do đó: Re( z )
, Im(z)=
2
2i
Lưu ý.
a) Việc tính số nghịch đảo của số phức khác 0, được tiến hành:

1 z
x yi
x
y
i
2
2
2
2
2
z z.z x y
x y
x y2
b) Tính thương hai số phức:
z1 z1.z2 ( x1 y1i )( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 )
x1 y2 x2 y1
i
2
2
2
2
z2 z2 .z2
x2 y2
x2 y2
x22 y22

z1
z2

( z1.


kh

on

(7)

Lê Lễ

Page 9


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
Khi thực hành tìm số nghịch đảo, tìm thương thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu
1 là đủ.
ý i2

1

1

10 8i
2
i
41

10 8i 5
164

82
5 5i
20
.
3 4i 4 3i
(5 5i)(3 4i)
z
9 16i 2

c) Cho z1 , z2

C . Chứng tỏ E

E

1(10 8i)
(10 8i)(10 8i)

z1 z2

z1z2

20(4 3i)
5 35i
16 9i 2
25
75 25i
3 i.
25
z1.z2 z1.z2 là một số thực

z1z2

z1.z2

E

gb

1.7 Môđun của số phức
Số | z | x 2 y 2 gọi là Môđun của số phức z=x+yi.
Ví dụ 6. Cho
z1 4 3i, z2
3i, z3
| z1 |

42

32

10 8i
102 82

co

(10 8i)

oc
uo

b) Tính z


1

c.

z

m

Ví dụ 5.
a) Tìm số nghịch đảo của z 10 8i .

5, | z2 |

02

( 3)2

E

80 60i
.
25

R.

2,

3, | z3 |


22

2.

kh

on

Định lý.
(1) | z | Re( z ) | z |, | z | Im( z ) | z | .
z 0.
(2) | z | 0,| z | 0
(3) | z | | z | | z | .
(4) z.z z 2 .
(5) | z1 z2 | | z1 || z2 | .
(6) | z1 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | .
(7) | z 1 |
z
(8) | 1 |
z2
(9) | z1 |

| z | 1 , z C*
| z1 |
, z2 C * .
| z2 |
| z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | .

Lê Lễ


Page 10


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chứng minh
Dễ kiểm tra (1)-(4) đúng
(5) | z1.z2 |2 ( z1.z2 )( z1z2 ) ( z1.z1 )( z2 z2 ) | z1 |2| z2 |2
| z1 z2 | | z1 || z2 | .

z2 |2 ( z1

Bởi vì z1 z2

z1 z2

z1 z2

z2 )( z1

z2 ) ( z1

z2 )( z1

z2 ) | z1 |2 z1 z2

z1 z2 | z2 |2

z1z2 , kéo theo


z1z2

co

(6) | z1

m

Bài tập số phức

2 e( z1 z2 ) 2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 | .

Do đó

oc
uo

c.

| z1 z2 |2 (| z1 | | z2 |)2 . Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | .
Bất đẳng thức bên trái có được do:
| z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z2 |
| z1 | | z2 | | z1 z2 |
1
1
1
1
1 | z |.
1
.

(7) z.
z
z
z |z|
Nên
| z 1 | | z | 1 , z C* .
z1
1
| z1 |
.
| z1 | | z1z2 1 | | z1 || z2 1 | | z1 || z2 | 1
z2
z2
| z2 |
(9) | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | .
Mặt khác
| z1 z2 | | z1 ( z2 ) | | z1 | | z2 | | z1 | | z2 | .

gb

(8)

on

Bất đẳng thức | z1 z2 | | z1 | | z2 | là đẳng thức
Re( z1 z2 ) | z1 || z2 | ,
tức là z1 tz2 , t là số thực không âm.
Bài tập 1. Chứng minh
| z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ) .
Lời giải. Sử dụng tính chất (4),

| z1 z2 |2 | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )

z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2
2(| z1 |2 | z2 |2 ) .
z z
Bài tập 2. Chứng minh nếu | z1 | | z2 | 1, z1 z2 1 thì 1 2 là số thực.
1 z1 z2
Lời giải. Sử dụng tính chất (4),

kh

| z1 |2 z1 z2

Lê Lễ

Page 11


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
1
.
z1

z1 z1 | z1 |2 1, z1

1
z1


1
z2
1 1
1
z1 z2

z1 z2
1 z1 z2

A

z1 z2
1 z1 z2

Vậy A là số thực.
Bài tập 3. Cho a là số thực dương và đặt

m

1
, đặt số trên là A,
z2

A.

co

Tương tự, z2

oc

uo

z C * ,| z

c.

1
| a .
z
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z∈ M0.
Lời giải.
1 2
1
1
z2 z 2
1
2
2
a |z
| (z
)( z
) |z|
2
z
z
z
|z|
| z |2
| z |4 ( z z ) 2 2 | z |2 1
.

| z |2
Do đó
| z |4 | z |2 (a2 2) 1 ( z z )2 0.
M0

a2

gb

2

|z|

[

a4

2

2
a

4a 2 a 2
;

2

a4

4a 2


2

]

kh

on

a2 4 a
a2 4
|z| [
;
].
2
2
a
a2 4
a
a2 4
max | z |
,min | z |
.
2
2
z M,z
z.
Bài tập 4. Chứng minh mọi số phức z,
1
, hoặc | z 2 1 | 1.

| z 1|
2
Lời giải. Phản chứng
1
và | z 2 1 | 1.
| z 1|
2
2
2
2
Đặt z=a+bi⇒ z a b 2abi.

Lê Lễ

Page 12


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
1
,
2
b2 ) 4a 1 0.

4a 2b 2 1,(1 a) 2

b2

oc

uo

c.

co

(a2 b2 )2 2(a2 b2 ) 0,2(a2
Cộng các bất đẳng thức được
(a2 b2 )2 (2a 1)2 0. Mâu thuẫn
Bài tập 5. Chứng minh
7
7
|1 z | |1 z z 2 | 3 , ∀ z, |z|=1.
2
6
Lời giải. Đặt
t |1 z | [0;2] .
t2 2
t 2 (1 z )(1 z ) 2 2 Re( z ) Re( z )
.
2
Khi đó | 1 z z 2 | | 7 2t 2 |. Xét hàm số

m

(1 a 2 b 2 ) 2

f :[0;2]

Được


7
)
2

7
2

t

| 7 2t 2 |

| 7 2t 2 |.
f(

7
7
) 3 .
6
6

on

gb

f(

R, f (t ) t

Bài tập 6. Xét


kh

H {z C , z x 1 xi, x R} .
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số phức z H ,| z | | w |, w H .
Lời giải. Đặt
y 1 yi, y R.
Là đủ nếu chứng minh được ,tồn tại số thực duy nhất x sao cho

Lê Lễ

Page 13


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

f :R

R, f ( y ) ( y 1) 2

y 2 , ∀ y∈ R.

( y 1)2
y2

2 y2

2 y 1 2( y


Do đó điểm cự tiểu là
1
1 1
z
i.
2
2 2
Bài tập 7. Cho x,y,z là các số phức phân biệt sao cho
y tx (1 t ) z , t (0;1).
Chứng minh rằng
| z| | y| | z| | x| | y| | x|
.
|z y|
| z x|
| y x|
Lời giải. Từ hệ thức y tx (1 t ) z ,
z y t ( z x).
Bất đẳng thức
| z| | y| | z| | x|
.
|z y|
| z x|
trở thành
| z | | y | t (| z | | x |),
hay
| y | (1 t ) | z | t | x | .
Vận dụng bất đẳng thức tam giác cho
y (1 t ) z tx , ta có kết quả.
Bất đẳng thức thứ hai , được chứng minh tương tự, bởi

y tx (1 t ) z
tương đương với
y x (1 t )( z x).

1 2
)
2

on

gb

oc
uo

c.

co

x

1
,
2

m

( x 1)2 x2
Nói cách khác , x là điểm cực tiểu hàm số


kh

1.8 Giải phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai với hệ số thực
ax2 bx c 0, a 0
b 2 4ac âm.
vẫn có nghiệm phức trong cả trường hợp biệt thức
Phân tích vế trái
b 2
a[( x
)
] 0
2a
4a 2

Lê Lễ

Page 14


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
b 2 2
) i (
)2
2a
2a

0.


b i
b i
, x2
.
2a
2a
Rõ ràng hai nghiệm là hai số phức liên hợp và phân tích nhân tử được
ax2 bx c a( x x1 )( x x2 )
trong cả trường hợp Δ<0.
Bây giờ xét phương trình bậc hai với hệ số phức
az 2 bz c 0, a 0
Sử dụng phân tích như trên , được
b 2
a[( z
)
] 0
2a
4a 2
b 2
⇒ (z
hay
)
2a
4a 2
(2az b)2
,
Đặt y=2az+b, phương trình trở thành
y2
u vi, u,v∈ℝ

Phương trình có nghiệm
r u
r u
y1,2
(
( sgnv)
i).
2
2

gb

oc
uo

c.

co

Do đó x1

m

hay ( x

kh

on

ở đây r=|Δ| và sgnv là dấu của v.Vậy nghiệm phương trình ban đầu là

1
z1,2
( b y1,2 ) .
2a
Quan hệ nghiệm và hệ số
b
c
z1 z2
, z1z2
,
2a
a
Và luôn có phân tích nhân tử
az 2 bz c a( z z1 )( z z2 ) .
Bài tập 8. Giải phương trình hệ số phức
z 2 8(1 i) z 63 16i 0.
Lời giải.
(4 4i)2 (63 16i) 63 16i

Lê Lễ

Page 15


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
r |

632 162


|

65 .

Phương trình

y2
i

oc
uo

c.

co

(

m

65 63
)
(1 8i) . Kéo theo
2
z1,2 4 4i (1 8i).
Do đó z1 5 12i, z2 3 4i
Ta có thể dùng cách khác để giải phương trình bậc hai trên.
(4 4i)2 (63 16i) 63 16i
Tìm hai căn bậc hai của 63 16i , tức là tìm z x yi, z 2

63 16i
x
1
x2 y 2
63
2
2
x y 2 xyi
63 16i
.
y 8
xy
8
Δ’ có hai căn bậc hai là 1-8i, -1+8i.
Phương trình có hai nghiệm
z1 4(1 i ) (1 8i) 5 12i,

Có nghiệm y1,2

65 63
2

63 16i

z2 4(1 i ) (1 8i ) 3 4i
Bài tập 9. Cho p, q là hai số phức , q≠ 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm phương trình bậc
p
hai x2 px q 0 có Môđun bằng nhau, thì là một số thực
q
Lời giải. gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình và r | x1 | | x2 | . Khi đó


on

gb

p 2 ( x1 x2 ) 2
q2
x1 x2
Là số thực. Hơn nữa

x1
x2

Re( x1 x2 )

x2
x1

2

x1 x2
r2

| x1 x2 |

x2 x1
r2

r 2 , do đó


2 2

p2
q2

2
Re( x1 x2 )
r2

0.

p
là một số thực.
q
Bài tập 10. Cho a,b,c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a|=|b|=|c|.
a) Chứng minh rằng nếu một nghiệm phương trình az 2 bz c 0 có Môđun bằng 1 thì
b2=ac.
b) Nếu mỗi phương trình
az 2 bz c 0, bz 2 cz a 0 có một nghiệm có Môđun bằng 1 thì
|a-b|=|b-c|=|c-a|.

kh

Vậy

Lê Lễ

Page 16



Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
Lời giải.
a) gọi z1 , z2 là các nghiệm phương trình với |z1|=1. Từ z2

( z1
b) Theo câu a) b2

z2 )2

ac, c2

z2 ) 1 , tức là ( z1

z2 )(

1
z1

1
) 1.
z2

b 2 c
⇒ b 2 ac .
)
a
a
ab . Nhân các hệ thức được b2c 2 a 2bc

a 2 b 2 c 2 ab bc ca.

z1z2 , hay (

Hệ thức tương đương với

oc
uo

(a b)2 (b c)2 (c a)2

Tức là

m

z2 )( z1

z2 |2 1. Hệ thức tương

a2

c.

( z1

b
,| a | | b |, ta có | z1
a

z2


kéo theo

co

c 1
|.
1. Bởi vì z1
a | z1 |
đương với
| z2 | |

c 1
.
a z1

bc. Do đó

0,

(a b)2 (b c)2 2(a b)(b c) (c a)2 2(a b)(b c).
Kéo theo (a c)2 (a b)(b c) . Lấy giá trị tuyệt đối, được 2
,
2
2
| b c |,
| c a |, | a b | . Tương tự được
ở đây
. Cộng
,

các hệ thức, được
2

)2 (

)2 (

gb

Tức là (

2

)2

0 . Do đó α=β=γ.

2 3i, z3 1 i . Tính

on

1.9 Bài tập
1. Cho các số phức z1 1 2i, z2
a) z1 z2 z3 ,
b) z1 z2 z2 z3 z3 z1 ,
c) z1 z2 z3 ,

2

z22 z32 ,

z2 z3
,
z3 z1
z12 z22
f) 2
.
z2 z32
2. Giải phương trình
a) z 5 7i 2 i;

kh

d) z12
z
e) 1
z2

Lê Lễ

Page 17


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

z k , tùy theo số nguyên dương n .

4. Cho z=i. Tính
k 0


(3 2i ) xy

4 y2

z0 .

1 2
x
2

(3xy 2 y 2 )i.

gb

c) (4 3i ) x 2

oc
uo

b) (1 i) z 2
1 7i.
6. Cho z=a+bi. Tính z 2 , z 3 , z 4 .
7. Cho z0 a bi. Tìm z∈ C sao cho z 2
8. Cho z=1-i. Tính z n , n nguyên dương.
9. Tìm các số thực x, y sao xho
a) (1 2i) x (1 2 y)i 1 i;
x 3 y 3
b)
i;

3 i 3 i

c.

5. Giải phương trình
1 3i;
a) z (1 2i)

co

n

m

5 i;
b) 2 3i z
c) z (2 3i) 4 5i ;
z
d)
3 2i .
1 3i
3. Trong C, giải phương trình sau
a) z 2 z 1 0;
b) z 3 1 0.

10. Tính
a) (2
b) (2
1
c) (

1

kh

on

i )( 3 2i )(5 4i );
4i)(5 2i ) (3 4i)( 6 i);
i 16 1 i 8
)
(
);
i
1 i
1 i 3 6 1 i 7 6
d) (
) (
);
2
2
3 7i 5 8i
e)
.
2 3i 2 3i
11. Tính
a) i 2000 i1999 i 201 i82 i 47 ;
b) En 1 i i 2 i3
i n ; n≥ 1;

c) i1.i 2 .i3. i 2000 ;

Lê Lễ

Page 18


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

14. Chứng minh rằng
a) E1 (2 i 5)7

b) |1 z1 z2 |2

n

m

1
z

R

(2 i 5)7
20 5i
7 6i

R;
n


R.

oc
uo

19 7i
b) E2
9 i
15. Chứng minh
a) | z1 z2 |2 | z2

( i)94 ;

co

13. Tìm các số phức z≠ 0 sao cho z

100

c.

d) i 5 ( i) 7 ( i)13 i
12. Giải phương trình
a) z 2 i;
b) z 2
i;
1
2
c) z 2
i

;
2
2

| z1

z3 |2 | z3

z1 |2 | z1 |2 | z2 |2 | z3 |2 | z1

z2

z3 |2 ;

z2 |2 (1 | z1 |2 )(1 | z2 |2 );

z2

z3 |2

kh

on

gb

c) |1 z1 z2 |2 | z1 z2 |2 (1 | z1 |2 )(1 | z2 |2 );
d) | z1 z2 z3 |2 | z1 z2 z3 |2 | z1 z2 z3 |2 | z1
4(| z1 |2 | z2 |2 | z3 |2 )2 .
1

1
| 2. Chứng minh | z
| 2.
16. Cho z C * , | z 3
3
z
z
17. Tìm tất cả các số phức z sao cho
| z | 1,| z 2 z 2 | 1 .
18. Tìm tất cả các số phức z sao cho
4z 2 8 | z |2 8.
19. Tìm tất cả các số phức z sao cho z 3 z .
20. Xét z∈ ℂ , Re(z)>1. Chứng minh
1 1 1
|
| .
z 2 2
1
3
21. Cho các số thực a,b và
i
. Tính
2
2
(a b
c 2 )(a b 2 c ) .
22. Giải phương trình
a) | z | 2 z 3 4i;

Lê Lễ


Page 19


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

m

b) | z | z 3 4i;
c) z3 2 11i, z x yi, x, y Z
d) iz 2 (1 2i) z 1 0;
e) z 4 6(1 i) z 2 5 6i 0;
f) (1 i)z 2 2 11i 0.
23. Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình
z3 (3 i) z 2 3z (m i) 0

Có ít nhất một nghiệm thực.
24. Tìm tất cả các số phức z sao cho
z ' ( z 2)( z i )
là số thực.
1
25. Tìm tất cả số phức z sao cho | z | | | .
z
26. Cho z1 , z2 C , sao cho | z1 z2 | 3,| z1 | | z2 | 1 . Tính | z1 z2 | .
27. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
1 i 3 n
1 i 3 n
(
) (
) 2.
2
2
28. Cho số nguyên n>2. Tìm số nghiệm phương trình
z n 1 iz .
29. Cho z1 , z2 , z3 là ba số phức | z1 | | z2 | | z3 | R 0 .
Chứng minh
| z1 z2 || z2 z3 | | z3 z1 || z1 z2 | | z2 z3 || z3 z1 | 9R2 .
v(u z )
30. Cho u,v,w là ba số phức | u | 1,| v | 1, w
. Chứng minh | w | 1 | z | 1 .
u .z 1
31. Cho z1 , z2 , z3 là ba số phức sao cho
z1 z2 z3 0,| z1 | | z2 | | z3 | 1.
Chứng minh
z12 z22 z32 0 .
32. Cho các số phức z1 , z2 , , zn sao cho

| z1 | | z2 |
| zn | r 0
Chứng tỏ
( z1 z2 )( z2 z3 ) ( zn 1 zn )( zn z1 )
E
là số thực.
z1 z2 zn
33. Cho các số phức phân biệt z1 , z2 , z3 sao cho

Lê Lễ

Page 20


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
| z1 | | z2 | | z3 | 0
z1 z2 là các số thực, chứng tỏ z1 z2 z3 1 .

Nếu z1 z2 z3 , z2 z3 z1 , z3
34. Cho x1 , x2 là các nghiệm phương trình x 2

x 1 0 . Tính

kh

on

gb


oc
uo

c.

co

m

a) x12000 x22000 ;
b) x11999 x12999 ;
c) x1n x2n ; n N .
35. Phân tích thành tích các đa thức bậc nhất các đa thức
a) x4 16;
b) x 3 27 ;
c) x3 8 ;
d) x 4 x 2 1.
36. Tìm tất cả các phương trình bậc hai hệ số thực có một trong các nghiệm sau
a) (2 i )(3 i) ;
5 i
b)
;
2 i
c) i 51 2i80 3i 45 4i 38 .
37. (Bất đẳng thức Hlawka) chứng minh
| z1 z2 | | z2 z3 | | z3 z1 | | z1 | | z2 | | z3 | | z1 z2 z3 |, z1 , z2 , z3 C

Lê Lễ


Page 21


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
Đáp số và hướng dẫn

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

m

1.10

Lê Lễ

Page 22



Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

m

8. Với mọi số nguyên k không âm, ta có

Lê Lễ

Page 23


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
37.

z2 | .| z2 z3 | 2 | z2 ( z1 z2 z3 ) z1 z3 | 2 | z2 | .| z1 z2 z3 | 2 | z1 || z3 |
2 | z2 z3 | .| z3 z1 | 2 | z3 | .| z1 z2 z3 | 2 | z2 || z1 |
2 | z3 z1 | .| z1 z2 | 2 | z1 | .| z1 z2 z3 | 2 | z2 || z3 |

Cộng các bất đẳng thức với
| z1

z2 |2

| z2

z3 |2

| z3

z1 |2 | z1 |2

| z2 |2

| z3 |2

| z1

z2

m

2 | z1

z3 |2


co

có điều phải chứng minh.

2. Biểu diễn hình học của số phức

on

gb

oc
uo

c.

2.1 Biểu diễn hình học của số phức
Định nghĩa. Điểm M(x,y) trên mặt phẳng Oxy gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức
z=x+yi. Số phức z=x+yi gọi là tọa độ phức của điểm M(x,y). ta dùng ký hiệu M(z) để chỉ tọa độ
phức của M là z.
Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như trên gọi là mặt phẳng phức.

kh

Các điểm M,M’ (tương ứng với z , z ) đối xứng nhau qua Ox.
Các điểm M,M’’ (tương ứng với z, z ) đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
 
Mặt khác, ta có thể đồng nhất số phức z=x+yi với v OM , M(x,y) .

Lê Lễ


Page 24


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

co

m

Bài tập số phức

oc
uo

c.

2.2 Biểu diễn hình học của Môđun
z x yi. OM
x 2 y 2 | z | . Khoảng cách từ M(z) đến O là Môđun của số phức z.
Lưu ý.
a) Với số thực dương r, tập các số phức với Môđun r biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường
tròn ℭ (O;r).
b) Các số phức z, |z|<r là các điểm nằm trong đường tròn ℭ (O;r). Các số phức z, |z|>r là các
điểm nằm ngoài đường tròn ℭ (O;r).
1
3
Ví dụ 7. Các số phức zk
i, k 1,2,3,4 được biểu diễn trong mặt phẳng phức
2 2

bởi bốn điểm trên đường tròn đơn vị tâm O. Bởi vì
| z1 | | z2 | | z3 | | z4 | 1 .

kh

on

gb

2.3 Biểu diễn hình học các phép toán
(1) Phép toán cộng và nhân. Xét số phức z1 x1 y1i, z2 x2 y2i và các vectơ tương


 


ứng v1 x1i y1 j , v2 x2i y2 j .
Tổng hai số phức
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i .
Tổng hai vectơ
 


v1 v2 ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j .
 
Tổng z1 z2 tương ứng với vectơ tổng v1 v2 .

Lê Lễ

Page 25