ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THANH THÚY

CÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUẨN ORLICZ TRONG
KHÔNG GIAN ORLICZ

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ NHẬT HUY

Hà Nội - 2014


Lời cám ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Vũ Nhật Huy, người thầy vô cùng mẫu mực
đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoa
Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
và Khoa sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ tôi
hoàn thành khóa Cao học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyến
khích tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời
gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong
nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, năm 2015

Nguyễn Thanh Thúy

2


Mục lục
Mở đầu

4

1 KHÔNG GIAN ORLICZ

5

1.1

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hàm Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Cặp hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


9

1.4

Lớp Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5

Không gian Orlicz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.6

Chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2 CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ

26

2.1

Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


26

2.2

Tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg . . . . . . . .

32

2.3

Công thức tính chuẩn Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4

Định lý về hàm dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo

46

3



Mở đầu
Năm 1931, W. Orlicz và Z.W. Birnbaum đã đề xuất một lớp không gian Banach
mà ngay sau đó được chính Orlicz phát triển. Lớp không gian này ngày sau được gọi
là không gian Orlicz.Lớp không gian Orlicz là một mở rộng của lớp không gian Lp và
được xác định qua một hàm Young φ. Lý thuyết về không gian Orlicz có nhiều ứng
dụng trong giải tích hàm, phương trình vi phân đạo hàm riêng, lý thuyết nhúng...
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai
chương:
Chương 1: Không gian Orlicz. Chương này trình bày về hàm lồi, hàm Young,
hàm Young liên hợp, đây là các khái niệm cơ bản để ta đi xây dựng lớp Orlicz và không
gian Orlicz, cũng trong chương này luận văn còn trình bày về chuẩn Orlicz và chuẩn
Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg là cơ sở xây
dựng chương sau.
Chương 2: Một số tính chất chuẩn Orlicz. Chương này là nội dung cốt lõi của
luận văn, trong chương này luận văn trình bày về tính tương đương của chuẩn Orlicz
và chuẩn Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz, cũng trong chương này
luận văn còn trình bày đến bất đẳng thức Kolmogorov-Stein đối với chuẩn Orlicz và
định lý về hàm dịch chuyển.

4


Chương 1
KHÔNG GIAN ORLICZ
Trong chương này chúng tôi trình bày về các khái niệm và các kết quả cơ bản về không
gian Orlicz, các kết quả này được sử dụng để xây dựng và chứng minh các kết quả ở
chương sau (xem [1, 3, 4]).

1.1


Hàm lồi

Định nghĩa 1.1. Hàm φ : R → R được gọi là hàm lồi nếu
φ (λx + (1 − λ) y) ≤ λφ (x) + (1 − λ) φ (y)

∀x, y ∈ R, λ ∈ [0; 1] .

Định lý 1.1. Giả sử hàm φ : (a; b) → R. Khi đó, hàm φ là hàm lồi nếu và chỉ nếu
với mỗi đoạn con đóng [c; d] ⊂ (a; b), ta có
x

ϕ (t) dt với c ≤ x ≤ d,

φ (x) = φ (c) +
c

ở đây, ϕ : R → R là một hàm đơn điệu không giảm và liên tục trái. Ngoài ra, φ còn
có đạo hàm trái và phải tại mỗi điểm thuộc (a; b) và các đạo hàm này chỉ khác nhau
tại không quá đếm được các điểm.
Chứng minh. Điều kiện cần. Do φ là hàm lồi nên ta có
φ (c1 ) − φ (c)
φ (y) − φ (x)
φ (d) − φ (d1 )
≤
≤
c1 − c
y−x
d − d1


(1.1)

∀c < c1 ≤ x < y ≤ d1 < d.
Vậy ta có
|φ (y) − φ (x)| ≤ K1 |y − x|

với K1 = max
5

φ (c1 ) − φ (c)
φ (d) − φ (d1 )
;
c1 − c
d − d1

.


Từ đây ta có φ thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong [c; d] và do đó φ liên tục tuyệt đối
trong (a; b). Vậy theo định lý Lesbesgue-Vitali cổ điển ta có
x

φ (t) dt với a ≤ x ≤ b.

φ (x) = φ (a) +

(1.2)

a


Ta kiểm tra các tính chất của φ
φ (x + h) − φ (x)
h
h→0+
φ (x + h + h ) − φ (x + h)
≤ lim
h
h→0+
φ (d) − φ (c)
<∞
≤
d−c

φ+ (x) = lim

và
φ− (x) = lim

h→0−

φ (x + h) − φ (x)
> −∞.
h

Do đó đạo hàm trái và đạo hàm phải của φ là tồn tại tại mỗi điểm thuộc [c; d] và với
x < y thì
φ+ (x) ≤

φ (y) − φ (x)
≤ φ− (y) .

y−x

Vì theo công thức (1.1) thì ta có
φ− (x) ≤ φ+ (x)
nên φ± (.) là hàm tăng và tập điểm gián đoạn của các hàm này là không quá đếm được.
Do đó,
φ− (x) = φ+ (x)
xảy ra tại mỗi điểm liên tục của các hàm này là φ ở (1.2).
Ngược lại giả sử ta có
x

ϕ (t) dt với c ≤ x ≤ d.

φ (x) = φ (c) +
c

Ta chứng minh φ là hàm lồi, thật vậy với c ≤ x ≤ d, ta xét dây cung L (x) nối (c, φ (c))
với (d, φ (d)) cho bởi
L (x) = φ (c) +

φ (c) − φ (d)
(x − c) .
c−d

6


Ta phải chứng minh L (x) ≥ φ (x), nghĩa là
φ (x) − φ (c)
φ (d) − φ (c)

≤
x−c
d−c

với c < x < d.

(1.3)

Từ biểu diễn của φ, ta có
c

1
x−c

x

1
ϕ (t) dt ≤ ϕ (x) ≤
x−d

d

ϕ (u) du
x

do ϕ (c) ≤ ϕ (t) ≤ ϕ (x) ≤ ϕ (d) với c < t < x < d. Bây giờ ta thấy vế phải của (1.3)
có thể biểu diễn dưới dạng
c
d
ϕ (t) dt + x ϕ (u) du

x

(d − x) + (x − c)

1
x−c

≥ min

c

ϕ (t) dt,
x

c

1
=
x−c

ϕ (t) dt =
x

1
x−d

d

ϕ (u) du
x


φ (x) − φ (c)
.
x−c

Từ đó ta có hàm φ đã cho là lồi. Định lý được chứng minh.
Tiếp theo ta sẽ trình bày bất đẳng thức Jensen.
Định lý 1.2. Cho ∆ là tập đo được thỏa mãn µ (∆) = 1, µ là độ đo Lesbesgue và cho
φ : R → R lồi, f : ∆ → R là đo được,
φ

∆

f dx và
≤

f dx
∆

∆

φ (f ) dx tồn tại thì

φ (f ) dx.
∆

Chứng minh. Do φ là hàm lồi trên R nên theo định lý 1.1, với mỗi đoạn con đóng
[a; b] ⊂ R ta có biểu diễn sau
x


ϕ (t) dt với a ≤ x ≤ b,

φ (x) = φ (a) +
a

ở đây ϕ : R → R là một hàm đơn điệu không giảm và liên tục trái. Do ϕ tăng nên ta
có

x

ϕ (t) dt ≥ φ (a) + ϕ (a) (x − a) .

φ (x) = φ (a) +

(1.4)

a

Xét x = f (ω), và a =

∆

f dx rồi lấy tích phân ở (1.4) ta được

φ (f ) dx − φ
∆

f dx

≥ ϕ (a)


∆

f dx −
∆

từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
7

f dx
∆

=0


1.2

Hàm Young
+

Định nghĩa 1.2. Một hàm lồi φ : R → R được gọi là hàm Young nếu thỏa mãn các
điều kiện
• φ(−x) = φ(x).
• φ(0) = 0.
• lim φ(x) = +∞.
x→∞

Ví dụ 1.1. Cho 1 ≤ p < ∞ và hàm số φ (x) = |x|p ,

x ∈ R. Khi đó hàm φ là hàm


Young liên tục.
Chứng minh. Hiển nhiên φ(−x) = φ(x) và φ (0) = 0. Do 1 ≤ p nên
lim φ(x) = lim |x|p = +∞.

x→∞

x→∞

Do đó hàm φ là hàm Young. Dễ thấy ∀x0 ∈ R thì
lim φ (x) = φ (x0 ) .

x→x0

Vậy φ là hàm Young liên tục trên R. Chứng minh được hoàn thành.
Ví dụ 1.2. Cho 1 ≤ p < ∞ và hàm số

φ (x) =




 0,

với 0 ≤ |x| ≤ a < ∞

φ (x) = |x − a|p , với a < |x| < b

1



 +∞,

với |x| ≥ b,

trong đó 0 < a < b < +∞. Khi đó φ là hàm Young.
Chứng minh. Hiển nhiên φ1 (x) là hàm lồi liên tục trên đoạn [a; b], do đó hàm φ cũng
là hàm lồi trên R. Rõ ràng φ (x) = 0 với x = 0, φ(−x) = φ(x) và lim φ (x) = +∞ nên
x→∞

φ là hàm Young.
Hơn nữa φ (x) < ∞ và là hàm liên tục trên (0; b), do đó φ là hàm Young liên tục trên
(0; b), nhảy tới +∞ tại b > 0. Chứng minh được hoàn thành.
Tiếp theo chứng ta xét đến một lớp hàm Young đặc biệt.

8


Định nghĩa 1.3. Hàm φ được gọi là một N - hàm nếu φ là hàm Young liên tục thỏa
mãn.
• φ(x) = 0 nếu và chỉ nếu x = 0,
φ(x)
x = 0,
φ(x)
• lim x = +∞,
x→∞
• φ (R) ⊂ R+ .

• lim


x→0

Ví dụ 1.3. Cho 1 ≤ p < ∞ và hàm số

φ (x) =




 0,

với 0 ≤ |x| ≤ a < ∞

φ (x) = |x − a|p , với a < |x| < b

1


 +∞,

với |x| ≥ b,

trong đó 0 < a < b < +∞ Khi đó φ là hàm Young nhưng không phải một N - hàm.
Chứng minh. Trong ví dụ 1.2 ta đã chỉ ra hàm φ đã cho là một hàm Young. Ta có với
∀x ∈ (0; a) thì φ (x) = 0 do đó hàm Young đã cho vi phạm điều kiện thứ nhất nên nó
không phải là một N - hàm. Chứng minh được hoàn thành.

1.3

Cặp hàm liên hợp


Mệnh đề 1.1. Giả sử φ : R → R

+

là hàm Young. Khi đó, φ có thể được biểu diễn

như sau

|x|

φ (x) =

ϕ (t) dt

(1.5)

0

ở đó, ϕ (0) = 0, ϕ : R+ → R

+

là liên tục trái không giảm và nếu ϕ (x) = +∞ với

x ≥ a thì φ (x) = +∞ với x ≥ a > 0.
Xét hàm η là hàm ngược mở rộng của hàm đơn điệu ϕ được xác định như sau
η (x) = inf {t : ϕ (t) > x} ,

x ≥ 0.


(1.6)

Khi đó η (0) = 0, η tăng và được xác định duy nhất. Từ tính liên tục trái của ϕ, tập
{t : ϕ (t) > x} là nửa đoạn mở trái. Vì ϕ là hàm Borel nên η cũng vậy. Bây giờ ta định
nghĩa
|y|

ψ (y) =

η (u) du.
0

9

(1.7)


Khi đó, ψ được gọi là hàm Young liên hợp của φ. Khi đó ψ (0) = 0, ψ là lồi. Ta chứng
minh cặp (φ, ψ) là thỏa mãn bất đẳng thức Young rồi từ đó suy ra ψ là hàm Young
liên hợp của φ.
+

Mệnh đề 1.2. Giả sử φ : R → R là hàm Young, ψ là hàm được xác định ở các công
thức (1.6) và (1.7) bởi φ. Khi đó, (φ, ψ) thỏa mãn bất đẳng thức Young
xy ≤ φ (x) + ψ (y)

(1.8)

với x ≥ 0, y ≥ 0, đẳng thức xảy ra khi y = ϕ (x) hoặc x = η (y) với x ≥ 0, y ≥ 0.

Chứng minh. Nếu với x0 , y0 nào đó mà φ (x0 ) = +∞ hoặc ψ (y0 ) = +∞ thì bất đẳng
thức cần chứng minh luôn đúng.
Do vậy ta chỉ xét trường hợp
φ (x) < ∞ và ψ (y) < ∞,
với mọi 0

x < ∞ và 0

y < ∞ . Khi đó, ta có

y

x

0 ≤ xy =

dudv
0

0

=

dudv +

{u x,v y:0 u ϕ(v),0 ψ(u)x

=

y

dv +
0

x

≤

{u x,v y:u>ϕ(v),0 v ψ(u)}

min{y,ϕ(u)}

du
0

min{x,η(v)}

dv
0

y

ϕ (u) du +
0

dudv

du
0

η (v) dv
0

= φ (x) + ψ (y) .
Ở đó đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu y ≥ ϕ (u) nên η (v) = x hoặc y = ϕ (x) và
x ≥ η (y). Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 1.4. Cho 1 < p < ∞ và hàm φ(x) =

xp
p

là hàm Young, xác định hàm liên hợp

ψ của hàm Young φ.
Chứng minh. Với φ(x) =

xp
p ,1

< p < ∞ thì đạo hàm của φ là
ϕ (x) = xp−1
10


Tài liệu tham khảo
[1] Hà Huy Bảng, (2003), Lý thuyết không gian Orlicz, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[2] Mai Thị Thu (2006), Một số bất đẳng thức đạo hàm trong không gian Orlicz và
Lorentz, Luận án.

[3] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long, (2001), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội.
[4] Christian Léonard, (2007), Orlicz Spaces, Work in progress.
[5] Hà Huy Bảng (1996), A remark on the Kolmogorov - Stein inequality, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, Vol. 203, pp. 861-867.
[6] Trương Văn Thương (2000), Some collections of functions dense in an Orlicz
space., Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 25 (2), pp.195 - 208.

47