PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: PGS.TS TRẦN ĐÌNH NGHIÊN

MỤC LỤC

I. GIỚI THIỆU PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI (THỦY LỰC ĐỘNG HỌC)
Trong thủy động lực học, nguyên lý Bernoulli phát biểu rằng đối với một dòng chất
lưu không dẫn nhiệt không có tính nhớt, sự tăng vận tốc của chất lưu xảy ra tương ứng đồng
thời với sự giảm áp suất hoặc sự giảm thế năng của chất lưu. Nguyên lý này đặt theo tên của
Daniel Bernoulli, ông đã công bố nó trong quyển sách của mình Hydrodynamica vào năm
1738.
Nguyên lý Bernoulli áp dụng được cho nhiều loại chất lưu, chúng thể hiện qua kết quả khi
viết dưới dạng phương trình Bernoulli. Thực tế, có các dạng phương trình Bernoulli khác
nhau cho những loại chất lưu khác nhau. Dạng đơn giản của nguyên lý Bernoulli thỏa mãn
cho trường hợp dòng chảy không nén được (ví dụ cho dòng chất lỏng) và cho cả dòng chảy
nén được (ví dụ đối với khí) chuyển động nhỏ hơn tốc độ âm thanh (số Mach) (thường là nhỏ
hơn 0,3). Các dạng phức tạp hơn ở một số trường hợp có thể áp dụng cho trường hợp dòng
chảy nén được chuyển động với vận tốc lớn hơn các số Mach.
Nguyên lý Bernoulli là hệ quả của định luật bảo toàn năng lượng. Nó phát biểu rằng,
trong một dòng chảy ổn định, tổng mọi dạng năng lượng trong chất lưu dọc theo đường
dòng là như nhau tại mọi điểm trên đường dòng đó. Điều này đòi hỏi rằng tổng động
năng, thế năng và nội năng phải là hằng số. Do đó một sự tăng vận tốc của chất lưu – hàm ý
sự tăng ở cả áp suất động lực và động năng – diễn ra đồng thời với sự giảm (theo tổng
của) áp suất tĩnh, thế năng và nội năng. Nếu chất lưu chảy ra khỏi một nguồn, tổng mọi dạng
năng lượng sẽ là như nhau trên mọi đường dòng bởi vì trong nguồn năng lượng trên một đơn
vị thể tích (tổng áp suất và thế năng hấp dẫn ρ g h) là như nhau ở khắp nơi.
HVTH:

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: PGS.TS TRẦN ĐÌNH NGHIÊN

Nguyên lý Bernoulli cũng suy được trực tiếp từ định luật thứ hai của Newton. Nếu một thể
tích nhỏ của chất lưu chảy theo phương ngang từ vùng có áp suất cao đến vùng có áp suất
thấp, thì áp suất mặt sau của nó sẽ lớn hơn áp suất ở mặt trước của nó. Điều này dẫn tới có
tổng hợp lực trên đơn vị thể tích, làm gia tốc nó dọc theo đường dòng.
Các hạt chất lỏng chỉ chịu áp suất và trọng lượng của chúng. Nếu một chất lỏng hạt
chảy theo phương ngang và dọc theo tiết diện của đường dòng, nơi vận tốc tăng lên chỉ có
thể vì chất lỏng qua tiết diện đó di chuyển từ vùng có áp suất cao hơn sang vùng có áp suất
thấp hơn; và nếu vận tốc của nó giảm, chỉ có thể bởi nó di chuyển từ vùng có áp suất thấp
hơn sang vùng có áp suất lớn hơn. Hệ quả là, đối với chất lỏng chảy theo phương ngang, vận
tốc lớn nhất xuất hiện khi có áp suất nhỏ nhất, và vận tốc nhỏ nhất xuất hiện khi có áp suất
cao nhất.
II. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CHO DÒNG CHẤT LỎNG
I.1. Phương trình Bernoulli dạng cơ bản và ý nghĩa
Xét một phần tử vi cấp của dòng chảy có tiết diện ngang A và chiều dài dL. Phần tử này có
khối lượng là ρ A dL và chịu tác dụng của những lực sau:

• Lực do áp suất p tác động lên mặt trước : p A ,
• Lực do áp suất p + dp tác động lên mặt sau : (p + dp)A ,
• trọng lượng của phần tử vi cấp này : ρ g A dL ,

Các thông số của dòng chảy vi cấp
Áp dụng định luật 2 Newton cho phần tử này theo phương chuyển động (phương của vận tốc
v), ta có :

HVTH:


Trang 2


PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: PGS.TS TRẦN ĐÌNH NGHIÊN

Ý nghĩa của phương trình Bernoulli:
− Nhận xét rằng mỗi thừa số trong phương trình Bernoulli đều có ý nghĩa và thứ nguyên của
năng lượng cho một đơn vị khối lượng (J/kg):
+ p/ρ : thế năng thủy tĩnh, có được do lưu chất có áp suất p,
+ gz thế năng vị trí, có được do lưu chất có độ cao z (so với mặt chuẩn),
+ v2/2 : động năng của lưu chất.
Vì thế ta có thể xem tổng của ba số hạng này là năng lượng toàn phần của dòng chảy. Vậy ý nghĩa
của định luật Bernoulli là sự bảo toàn năng lượng dòng chảy.
− Ghi chú : do giá trị của z còn phụ thuộc vào vị trí của mặt chuẩn nên giá trị của tổng năng
lượng cũng mang tính tương đối.

I.2. Phương trình Bernoulli viết cho tia dòng của chất lỏng thực chảy ổn định
Phương trình Bernoulli cho chuyển động của chất lỏng lý tưởng là định luật bảo toàn năng
lượng của dòng chảy: cột áp tại mặt cắt đầu bất kỳ luôn bằng cột áp tại mặt tiếp theo:

HVTH:

Trang 3


PHNG TRèNH BERNOULLI V NG DNG


GVHD: PGS.TS TRN èNH NGHIấN

i vi cht lng thc, mt phn nng lng b tiờu hao thng lc ma sỏt (khụng cú lc
ma sỏt ny i vi cht lng lý tng) nờn:
hay
Trong ú l tn tht nng lng ca mt n v trng lng cht lng thng lc
ma sỏt trong, khi dch chuyn t mt ct 1 n mt ct 2 hay mt ct A n mt ct B (hỡnh 1)
Lu lng Q, tc khụng i
Cú ma sỏt
ẹửụứng naờng lửụùng

u2/2g

ẹửụứng ủo aựp

u2/2g

u2/2g

p/pg

ZA=H

H-hf

z

Maởt so saựnh

Hỡnh 1: S biu din hỡnh hc phng trỡnh Bernoulli

Nh vy, phng trỡnh Becnoulli vit cho tia dũng chuyn ng n nh ca cht lng
thc:
Trong ú:
p1 v p2: ỏp sut ti mt ct 1 v 2
=.g:
mt ti mi im trong cht lng
g l gia tc trng trng
u1 v u2: vn tc ca dũng cht lng ti im trờn ng dũng mt ct 1 v 2
Z1 v Z2: cao ca im so vi mt mt phng tham chiu, vi giỏ tr dng ca zhng lờn trờn ngc chiu vi hng ca vect gia tc trng trng 2 mt ct 1 v 2.
Nh rng: khi cht lng chuyn ng trong ng cong, nng lng do lc ly tõm to ra
khụng c tớnh vo phng trỡnh Bernoulli. Nng lng b mt i trong dũng hm khớ
khụng c tớnh vo phng trỡnh Bernoulli.

HVTH:

Trang 4


PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: PGS.TS TRẦN ĐÌNH NGHIÊN

II.1. Phương trình Bernoulli viết cho toàn dòng chất lỏng thực chảy ổn định
II.1.1. Giả thiết của dòng chảy đổi dần
 Các đường dòng gần là các đường thẳng song song, trong đó thành phần nằm ngang của vận
tốc rất nhỏ có thể bỏ qua, ta chỉ xét thành phần vận tốc dọc trục;
 Bán kính cong của đường dòng khá lớn và như vậy có thể bỏ qua lực quán tính lý tâm;
 Mặt cắt ướt được coi như mặt phẳng, các đường dòng vuông góc với mặt cắt ướt đó;
 Áp suất phân bố theo quy luật thủy tĩnh, tức là trên mặt cắt ướt của dòng chảy đổi dần có
phương trình:


II.1.2. Hệ số hiệu chỉnh của vận tốc không đều
(1) Tích phân lưu lượng
Lưu lượng của chất lỏng viết dưới dạng tích phân:
Q = ∫ udA

Thay vận tốc điểm u bằng vận tốc trung bình V và độ lệch V0
Q = ∫ (V + V0 )dA = VA + ∫ V0dA

∫ V dA = 0
0

Vì rằng Q = VA nên:
Do đó, khi tính lưu lượng có thể thay vận tốc điểm bằng lưu tốc trung bình mặt cắt, V.
(2) Tích phân động lượng
ρ
Tích phân động lượng của chuyển động chất lỏng với khối lượng trong đơn vị thời
gian có được viết:
K t = ∫ ρ udAu = ρ ∫ u 2 dA

Thay vận tốc điểm bằng vận tốc trung bình ta có:
K t = ρ ∫ (V + V0 ) 2 dA = ρ (V 2 A + 2V ∫ V0 dA + ∫ V02 dA) = ρ (V 2 A + ∫ V02 dA)

(1)
Trong đó:

∫ V dA = 0
0

Phương trình (1) có thể được sắp xếp như sau:


V02 dA 
∫
K t = ρV A  1 + 2 ÷ = ρV 2 A(1 + η ) = α 0 ρV 2 A = α 0 K tb

V A ÷


2

V
η=∫

2
0

Trong đó ký hiệu:
K tb = ρV 2 A

HVTH:

dA

V 2A

;

α 0 = 1 +η

- là động lượng tính theo vận tốc trung bình V.

Trang 5


PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG

Rõ ràng

η

GVHD: PGS.TS TRẦN ĐÌNH NGHIÊN

>0, tức là động lượng xác định theo vận tốc trung bình luôn nhỏ hơn động

lượng thực, hệ số điều chỉnh vận tốc

α0

là một hệ số không thứ nguyên, bằng tỷ số giữa động

lượng thực của chất lỏng đang xét với động lượng tính theo lưu tốc trung bình mặt cắt:
α0 =

∫V

2

dA

A


V 2A

= α0

∫V
= 1+

2
0

dA

V 2A

=

Kt
K tb

II.1.3. Phương trình Bernoulli cho toàn dòng chảy
(1) Năm giả thiết hay điều kiện viết phương trình
(i) dòng chảy ổn định, (ii) lực khối chỉ là trọng lực, (iii) chất lỏng không nén được,
(iiii) lưu lượng không đổi, (iv) tại mặt cắt mà ta chọn viết tích phân dòng chảy phải là đổi
dần, còn giữa hai mặt cắt đó dòng chảy không nhất thiết phải là đổi dần.
(2) Phương trình Bernoulli biểu diễn định luật năng lượng cho toàn dòng chảy có dạng:
z1 +

p1 α1v12
p α v2
+

= z2 + 2 + 2 2 + h f
γ
2g
γ
2g

(3) Chú ý:

p α v2 
z
+
+

÷
γ
2g 


• Trị số
không đổi cho mọi điểm trên cùng một mặt cắt ướt, vậy có thể
viết phương trình Bernoulli cho bất kỳ điểm nào trên mặt cắt ướt, song nên chọn điểm
viết sao cho viết phương trình được đơn giản.
• Áp suất p1 và p2 tại điểm ta đã chọn ở hai mặt cắt là cùng loại.
α1 ≠ α 2
α1 ≈ α 2
• Thực ra
, song thực tế tính toán thường lấy

HVTH:


Trang 6


PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: PGS.TS TRẦN ĐÌNH NGHIÊN

Hình 2 Thí dụ về phạm vi không áp dụng được phương trình Bernoulli
III. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI
III.1. Đo áp suất tĩnh và áp suất toàn phần

Đặt ống hình trụ hở hai đầu (ống A) sao cho miệng ống song song với dòng chảy. Khi
đó áp suất tĩnh trong lòng chất lỏng p = ρgh 1, đặt ống hình trụ hở hai đầu, một đầu được uốn
vuông góc (ống B) đặt miệng ống B vuông góc với dòng chảy khi đó áp suất toàn phần trong
ống ptp = ρgh2.

HVTH:

Trang 7


PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: PGS.TS TRẦN ĐÌNH NGHIÊN

III.2. Đo vận tốc chất lỏng. Ống venturi

Sử dụng ống Venturi (có cấu tạo như hình vẽ) để xác định vận tốc của chất lỏng Khi
đó vận tốc của chất lỏng tại tiết diện S được xác định bằng biểu thức sau:
Trong đó:

: là hiệu áp suất tĩnh
: khối lượng riêng của chất lỏng trong ống dẫn
S1, S2: diện tích mặt cắt ngang tại vị trí 1 và 2.
III.3. Đo vận tốc máy bay nhờ ống Pi tô
Ống pitot dùng để đo vận tốc chuyển động của máy bay. Vận tốc được xác định bằng
biểu thức
Trong đó:
: khối lượng riêng của chất lỏng
: độ chênh lệch mục nước trong 2 nhánh
: khối lượng riêng của không khí.

HVTH:

Trang 8


PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: PGS.TS TRẦN ĐÌNH NGHIÊN

Cấu tạo ống pitot dùng để xác định vận tốc của máy bay

Các ống pitot trên máy bay dùng để xác định vận tốc của máy bay

HVTH:

Trang 9


PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG


GVHD: PGS.TS TRẦN ĐÌNH NGHIÊN

III.4. Các ứng dụng khác
III.4.1. Lực nâng cánh máy bay

Hình minh họa hình dạng khí động học của cánh máy bay. Do có hình dạng khí động
học như vậy nên chuyển động của các dòng không khí phía trên cánh máy bay bao giờ cũng
lớn hơn chuyển động của dòng không khí ở dưới cánh dẫn tới áp suất động của phần trên
cánh lớn hơn áp suất động ở phần dưới cánh. Theo Định luật Bernoulli tổng áp suất tĩnh và
áp suất động là không đổi => áp suất động tăng thì áp suất tĩnh giảm => phần áp suất tĩnh ở
phía dưới cánh máy bay sẽ lớn hơn phần áp suất tĩnh phía trên cánh máy bay, sự trênh lệch
về áp suất tĩnh này tạo ra một lực nâng cánh máy bay lên. Kết hợp với lực đẩy của động cơ
nhờ đó mà máy bay có khối lượng lên tới cả chục tấn có thể bay lên được.
III.4.2. Bộ chế hòa khí

HVTH:

Trang 10


PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: PGS.TS TRẦN ĐÌNH NGHIÊN

III.4.3. Bình xịt hoa hay bình phun sơn

III.4.4. Thí nghiệm vật lý

Thí nghiệm vật lý vui vận dụng Định luật Bernoulli. Sử dụng một máy thổi không khí

chuyển động thành dòng bao quanh quả bóng. Do áp suất động bao quanh quả bóng tăng lên
làm áp suất tĩnh giảm xuống. Sự trênh lệch áp suất tĩnh của dòng không khí bao quanh của
bóng và áp suất tĩnh phía bên ngoài tạo ra lực đẩy giúp quả bóng chuyển động lơ lửng ở
không trung mà không rơi xuống.

HVTH:

Trang 11