Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

TƯƠNG GIAO HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + m − 1 . Tìm m để đồ thị đã cho cắt trục Ox
a) tại hai điểm phân biệt
b) tại bốn điểm phân biệt.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 4 + 2m .
Chứng minh rằng đồ thị luôn cắt Ox tại ít nhất hai điểm với mọi m < 0.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 + 2m 2 x 2 + 1 (C) và đường thẳng d : y = x + 1.
Chứng minh răng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 + (2m − 3) x 2 − m . Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho AB = 2.
Đ/s : m = 2.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 + 2 ( m − 1) x 2 + m + 3 , với m là tham số.
Tìm m để đường đồ thị cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1; x2; x3; x4 thỏa mãn
a) x14 + x24 + x34 + x44 = 16
b) x1 + x2 + x3 + x4 = 4 2
Đ/s : ……………………………
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 + mx 2 + 2, (C). Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại 4
điểm phân biệt có hoành độ là x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn

1 1 1 1 7
+ + +
= .
x14 x24 x34 x44 3

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm: x 4 + mx 2 + 2 = m ⇔ x 4 + mx 2 + 2 − m = 0 (*)

Để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là x1 ; x2 ; x3 ; x4 khi PT (*) có 4
nghiệm phân biệt. Hay t 2 + mt + 2 − m = 0 (*') có 2 nghiệm dương phân biệt.

∆t = m 2 − 4 ( 2 − m ) > 0
 m 2 + 4m − 8 > 0

⇔ t1 + t2 = −m > 0
⇔
⇔ m < −2 − 12
m
<
0

t t = 2 − m > 0
12
Khi đó ta có: x1 = − x2 = t1 ; x3 = − x4 = t2

 ( t1 + t2 )2 − 2t1t2 
 m2 − 2 ( 2 − m )  7
1 1
1 1 1 1
Hay 4 + 4 + 4 + 4 = 2  2 + 2  = 2 
 = 2
 = ⇒ VN
2
x1 x2 x3 x4
t12t22



 ( 2 − m )
 3
 t1 t2 
Vậy không có m thỏa mãn.

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 3mx 2 + 2m2 . Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = 1 − m tại 4
điểm phân biệt có hoành độ là x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) x12 + x22 + x32 + x42 = 18
b) x1 + x2 + 2 ( x3 + x4 ) < 2 + 5
Đ/s: m = 1
Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 4 + 2(m + 2) x 2 − 2m − 3 .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Đ/s: m = 3; m = −

13
9

Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 + 2(m + 1) x 2 − 3m .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + m2 − 4 .

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn –4.

Đ/s: 2 < m < 10
Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m .
Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số 4 điểm phân biệt
a) có hoành độ nhỏ hơn 2.
b) có hoành độ lớn hơn –3.
c) có hoành độ thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 < 12

Ví dụ 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + 2m + 1 .
Tìm m để đồ thị cắt Ox tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D có hoành độ tăng dần sao cho tam giác ACK có
diện tích bằng 4, với K(3; –2).

Ví dụ 13: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − (3m − 1) x 2 + 2m2 + 2m − 12 ( C )
a) Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó có 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 và một điểm có
hoành độ lớn hơn 2.

b) Tìm m để đồ thị và trục Ox chỉ có hai điểm chung B, C sao cho tam giác ABC đều, biết A(0 ; 2)
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm của ( C ) và Ox là: x 4 − (3m − 1) x 2 + 2m 2 + 2m − 12 = 0

 x2 = m + 3
⇔ x 4 − ( 3m − 1) x 2 + 2 ( m + 3 )( m − 2 ) = 0 ⇔ x 2 − 2m − 4 x 2 − m − 3 = 0 ⇔  2
(1)
 x = 2m − 4

(

)(


)

Để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ m > 2, m ≠ 7
 2m − 4 > 2
m > 0
TH1: 2m − 4 > m + 3 ⇔ m > 7 khi đó ĐK bài toán ⇔ 
⇔
(loại )
m < −2
 m + 3 < 1
5

 2m − 4 < 1 m <
TH2: 2m − 4 < m + 3 ⇔ m < 7 khi đó ĐK bài toán ⇔ 
⇔
2
m
+
3
>
2
m > 1

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


b) Để (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt.
m + 3 < 0
TH1: 
( loai )
2m − 4 > 0
m + 3 > 0
TH2: 
⇔ −3 < m < 2
2m − 4 < 0

(

) (

Ta có: B − m + 3;0 , C

)

m + 3; 0 ⇒ BC = 2 m + 3, AB = AC = m + 7

Do tam giác ABC đều nên ta có: AB = BC ⇔ 4 ( m + 3) = m + 7 ⇔ m =

−5
( tm )
3

5
5
Đ/s : a ) 1 < m < ; b) m = −
2

3

Ví dụ 14: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − ( m + 3) x 2 + 2m ( C ) . Tìm m đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm
phân biệt A, B, C, D theo thứ tự hoành độ tăng dần sao cho AB + CD = BC .
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: x 4 − ( m + 3) x 2 + 2m = 0 (1)

Đặt t = x 2 ≥ 0 ta có: (1) ⇒ t 2 − ( m + 3) t + 2m = 0 ( 2 )

Để ( C ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ ( 2 ) có 2 nghiệm dương phân biệt
 ∆ t = ( m + 3 ) 2 − 8m > 0

 m 2 − 2m + 9 > 0
⇔ m + 3 > 0
⇔
m > 0
 2m > 0

Gọi t1 > t2 > 0 là nghiệm của PT (2) khi đó PT (1) có 4 nghiệm theo thứ tự tăng dần là
− t1 ; − t2 ; t2 ; t1
Theo giả thiết ta có: 2

(

)

t1 − t2 = 2 t2 ⇔ t1 = 2 t2 ⇔ t1 = 4t2 (*)


4 ( m + 3)

t1 + t2 = m + 3 t1 =
2


5
Kết hợp (*) với định lý Vi-et ta có: t1t2 = 2m
⇔
⇒ t1t2 = 2m ⇔ 4 ( m + 3) = 50m
t = 4t
t = ( m + 3)
2
1
 2
5
m = 2
2
2
⇔ 2 m + 6m + 9 = 25m ⇔ 2m − 13m + 18 = 0 ⇔ 
( tm )
m = 9
2

9
Vậy m = 2, m = là giá trị cần tìm.
2
Ví dụ 15: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − ( m − 1) x 2 + 2 ( C ) . Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng

(

)


d : y = 2 tại 3 điểm phân biệt A ( 0; 2 ) , B, C sao cho tứ giác OBCD là tứ giác nội tiếp biết D ( 0;3) .

Lời giải:

(

)

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và d là: x 4 − ( m − 1) x 2 + 2 = 2 ⇔ x 2 x 2 − m + 1 = 0
 x = 0 ⇒ A ( 0; 2 )
⇔ 2
 x = m − 1

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

(

Facebook: LyHung95

) (

Để ( C ) cắt d tại 3 điểm phân biệt m > 1 . Khi đó gọi B − m − 1; 2 , C
⇒ OC =

(


)

m − 1; 2 , DC =

(

)

m − 1; 2

)

m − 1; −1

Dễ thấy B,C đối xứng nhau qua OD nên tứ giác OBCD nội tiếp ⇔ OBD = OCD = 900 ⇒ OC.DC = 0
⇔ m − 1 − 2 = 0 ⇔ m = 3 . Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 4 − 3m , có đồ thị là ( C ) . Tìm m để ( C ) giao Ox tại hai
điểm phân biệt.
Đ/s: m >

4
.
3

Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 3 x 2 + 5 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = −m + 1 . Tìm m để

( C ) giao


d tại ba điểm phân biệt.

Đ/s: m = −4 .
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số : y = x 4 − 2mx 2 + m + 1 ( C ) . Tìm m để ( C ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
có hoành độ x1 ; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 20 .

Đ/s: m = 2 .
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số : y = x 4 − ( 2m + 1) x 2 + 2 ( C ) . Tìm m để ( C ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân
biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn:

1 1 1 1 5
+ + +
= .
x14 x24 x34 x44 2

Đ/s: m = 1 .
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số : y = x 4 − 2mx 2 + m + 4 ( C ) . Tìm m để ( C ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
có hoành độ x1 ; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x1 + x2 + x3 + x4 = 8 .

Đ/s: m = 5 .
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x 4 − 5 x 2 + 2m + 2 ( C ) . Tìm m để ( C ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
có hoành độ x1 ; x2 ; x3 ; x4 theo thứ tự tăng dần sao cho x1 = 2 x2 .

Đ/s: m = 1 .
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − (m + 4) x 2 + m 2 + 3 , có đồ thị là ( C ) . Tìm m để ( C ) giao Ox tại
bốn điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 50 .

Đ/s: m = 3 .
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − ( m + 1) x 2 + m + 2 , có đồ thị là ( C ) . Tìm m để ( C ) cắt Ox tại 4
điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 26

Đ/s: m = 4 .
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − ( 2m + 1) x 2 + m 2 + m , có đồ thị là ( C ) . Tìm m để ( C ) cắt Ox tại
4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Đ/s: m =

1
.
8

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − ( 2m + 1) x 2 + m + 2 ( C ) . Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 4 điểm
A,B,C,D có hoành độ tăng dần sao cho AC 2 + BD 2 = 18 .
Đ/s: m = 2 .

Câu 11*: [ĐVH]. Cho hàm số y = −2 x 4 + 2 ( m 2 − 1) x 2 − 7 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng
d : y = −2mx − 7 . Tìm m để ( C ) giao d tại bốn điểm phân biệt.

Đ/s: m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .
Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 4m − 4 , với m là tham số.
Tìm m để đường đồ thị cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 < x2 < x3 < x4 và thỏa
mãn x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 ≥ 7 2

Đ/s: m ≥ 5 .

Câu 13: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + 2m − 1 , với m là tham số.
Tìm m để đường đồ thị cắt d : y = −1 tại hai điêm phân biệt A, B sao cho S IAB = 4 2 − 2 , với I (2;3).

Đ/s: Không tồn tại m.
Câu 14: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 3 .
Tìm m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị đã cho tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q (theo thứ tự từ trái
qua phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

7
Đ/s: m = − .
2

Câu 15: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − (3m + 2) x 2 + 12m − 8 , với m là tham số.
Tìm m để đường đồ thị cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 < x2 < x3 < x4 và thỏa
mãn x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 < 7 .

Đ/s:

2
< m <1
3

Câu 16: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 4 + 4mx 2 − 4m . Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt M, N, P,
Q có hoành độ tăng dần và MQ = 2NP.

Đ/s: m =

25
.
16


Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!