Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hình học không gian

TÍNH TRỰC TIẾP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA = 2IB
và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CI. Góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC .
Giải:
Gọi H là trung điểm của CI  SH  ( ABC ) . Suy ra góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABC ) là
SCH  600

Ta có BI 

1
a
AB  . Xét tam giác BCI :
3
3

CI 2  BC 2  BI 2  2BC.BI .cos CBI
2

a
7a 2
a
 a 2     2.a. .cos 600 
3

9
3
 CI 

a 7
CI a 7
 CH 

3
2
6

Xét tam giác SHC ta có: SH  CH .tan SCH 

Do ABC là tam giác đều cạnh a nên S ABC 

a 7
a 21
.tan 600 
6
6

a2 3
1
1 a 21 a 2 3 a3 7
. Vậy VS . ABC  SH .S ABC  .
.

3
3 6

4
24
4

Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình chữ nhật ABCD , có AD  2 AB ; SC  2a 5 và SA vuông
góc với đáy. Biết góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) bằng 600 . Tính thể tích của khối
chóp S. ABCD theo a .

S

Giải:
Ta có SA  ( ABCD) , suy ra góc tạo bởi SC và mặt đáy ( ABCD) là góc SCA  600 .

 SA  SC sin SCA  2a 5.sin 600  a 15
Khi đó 
0
 AC  SC cos SCA  2a 5.cos 60  a 5

A

D

B

C

Xét tam giác ABC , ta có: AB2  BC 2  AC 2  AB2  4 AB2  5a2  AB2  a2  AB  a  AD  2a
1
1
2a3 15

Suy ra S ABCD  AB. AD  a.2a  2a 2 . Khi đó VSABCD  SA.S ABCD  .a 15.2a 2 
.
3
3
3

Bài 3. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Điểm A ' cách đều ba điểm A, B, C .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hình học không gian

Góc giữa AA ' và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
Giải:

A'

C'

B'
600

A


C

a

H
B

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC , khi đó A '. ABC là hình chóp đều
Suy ra A ' H  ( ABC ) , suy ra góc tạo bởi AA ' và mặt phẳng ( ABC ) là góc A ' AH  600
Tam giác ABC đều cạnh a nên S ABC 
 A ' H  AH tan A ' AH 

a2 3
a 3
2
a 3
và AM 
 AH  AM 
2
3
3
4

a 3
a 2 3 a3 3
.
.tan 600  a . Khi đó VABC . A' B 'C '  A ' H .S ABC  a.

3

4
4

Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng
( ABCD) , AB  a , AD  a 3 . Gọi M là trung điểm của BC và góc tạo bởi SM và mặt đáy bằng 300 .

Tính theo a thể tích của khối chóp S. ABCD .
Giải:
S

a 3

A

D

a
B

M

C

Ta có S ABCD  AB. AD  a 2 3
Do SA  ( ABCD) nên góc tạo bởi SM và mặt phẳng ( ABCD) là SMA  300 .
Ta có AC  AB 2  AD 2  2a  AM 2 

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

AB 2  AC 2 BC 2 a 2  4a 2 3a 2 7a 2

a 7




 AM 
2
4
2
4
4
2
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Suy ra SA  AM .tan SMA 

Chuyên đề: Hình học không gian

a 7
a 21
.tan 600 
2
2


1
1 a 21 2
a3 7
Vậy VS . ABCD  SA.SABCD  .
.
.a 3 
3
3 2
2

Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có A ' ABD là hình chóp đều, AB  AA '  a . Tính theo a thể tích
khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' .
Giải:

B'

C'

A'

D'

a

A

C

B


a

O

H

D

Gọi H là trọng tâm tam giác ABD
Do A ' ABD là hình chóp đều, nên A ' H  ( ABD) hay A ' H  ( ABCD)
Tam giác ABD đều cạnh a nên AO 
Khi đó A ' H  A ' A2  AH 2  a 2 

a 3
2
2 a 3 a 3
 AH  AO  .

2
3
3 2
3

3a 2 a 6
a2 3 a2 3

và S ABCD  2S ABD  2.

9
3

4
2

a 6 a 2 3 a3 2
.
.

3
2
2
Bài 6. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB . Tam giác SAB cân

Suy ra VABCD. A' B 'C ' D '  A ' H .S ABCD 

tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABCD) , biết SD  2a 5 , SC tạo với đáy ( ABCD)
một góc 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD .
Giải:

S

Theo giả thiết SM  ( ABCD) , do đó góc tạo bởi SC

2a 5

và mặt phẳng ( ABCD) là SCM  600 .

A

Ta có ABCD là hình vuông nên MC  MD ,
M


khi đó xét tam giác SMC và SMD ta có:

B

SM  MC tan 600  SC 2  MD2  3MC 2  SC 2  MC 2  MC 

D
600
C

SC
a 5
2

 SM  MC tan 600  a 15
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hình học không gian

2


 BC 
2
2
2
Xét tam giác MCB , ta có: BM 2  BC 2  MC 2  
  BC  5a  BC  2a  S ABCD  4a
 2 

1
1
4 a3 15
Vậy VS . ABCD  SM .SABCD  a 15.4a 2 
.
3
3
3

Bài 7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một
góc 600 . Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM . Biết rằng hình chiếu của điểm I lên
mặt đáy ( A ' B ' C ') là trọng tâm G của tam giác A ' B ' C ' . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

ABC. A ' B ' C ' .
Giải:
A

C

I
M
B


A'

H

C'
G

M'
B'

Gọi M ' là trung điểm của B ' C ' .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên A ' M '  AH / / IG  AH  ( A ' B ' C ') (do IG  ( A ' B ' C ') )
Suy ra góc tạo bởi AA ' và mặt phẳng ( A ' B ' C ') là góc AA ' H  600
Ta có AIGH là hình chữ nhật , suy ra :
AM A ' M '
A' M '
A' M ' A' M '
A' M '
HG  AI 

 A ' H  GM ' 
 A' H 

 A' H 
2
2
2
3
2

6

a2 3
 S A ' B 'C ' 

4
Do A ' B ' C ' là tam giác đều cạnh a , nên 
A' M '  a 3  A' H  a 3

2
12

Xét tam giác AA ' H , ta có AH  A ' H .tan AA ' H 

a 3
a
.tan 600 
12
4

a a 2 3 a3 3
Khi đó VABC . A' B 'C '  AH .S A' B 'C '  .
.

4 4
16

Bài 8. Cho hình chóp S. ABCD có SA  SB  SC  a 2 và đáy ABC là tam giác cân. Biết BAC  1200
và BC  2a . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABC .
Giải:


Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hình học không gian

S

A

B
M
H

C
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , suy ra SH  ( ABC ) (do SA  SB  SC )
Do BAC  1200 nên ABC là tam giác cân tại A , suy ra ABC  300 .
Gọi M là trung điểm của BC  BM  a  AM  BM tan 300 
Suy ra S ABC 

a 3
3


AM .BC a 3.2a a 2 3


2
3.2
3

BC

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có: 2 HA  2 R 

sin BAC
Suy ra SH  SA2  HA2  2a 2 



2a
4a
2a

 HA 
0
sin120
3
3

4a 2 a 6

3
3


1
1 a 6 a 2 3 a3 2
Khi đó VS . ABC  SH .S ABC  .
.
.

3
3 3
3
9

Bài 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi tâm O ; AC  2a 3 , BD  2a . Hai mặt phẳng ( SAC )
và ( SBD) cùng vuông góc với mặt đáy ABCD . Biết khoảng cách từ tâm O đến ( SAB) bằng

a 3
. Tính
4

thể tích của khối chóp S. ABCD theo a .
Giải:
( SAC )  ( ABCD)



+) Gọi AC  BD  O . Ta có: ( SBD)  ( ABCD)   SO  ( ABCD)
( SAC )  ( SBD)  SO 
+) Gọi I là hình chiếu vuông góc của O trên AB và H là hình chiếu vuông góc của O trên SI , khi đó:

AB  OI và AB  SO  AB  (SOI )  AB  OH

Mặt khác : OH  SI  OH  (SAB)  d (O, ( SAB))  OH 

a 3
4

Vì ABCD là hình thoi nên :

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

OA 

Chuyên đề: Hình học không gian

AC
BD
 a 3 và OB 
a
2
2

Xét tam giác vuông AOB :


OI 

OA.OB
OA.OB
a 3.a
a 3



2
2
AB
2
OA  OB
(a 3)2  a 2

Xét tam giác vuông SOI :
1
1
1
16
4
4
a

 2  2  2  2  SO 
2
2
SO
OH

OI
3a 3a
a
2
1
1
ABCD là hình thoi nên : S ABCD  AC.BD  .2a 3.2a  2 3a 2
2
2
1
1 a
a3 3
.
 VS . ABCD  SO.S ABCD  . .2 3a 2 
3
3 2
3

Bài 10. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O . Hình chiếu
vuông góc của A ' trên mp ( ABC ) là O . Khoảng cách giữa AA ' và BC là a và góc giữa hai mặt phẳng
( ABB ' A ') và ( ACC ' A ') là  . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' theo a .

Giải:
+) Gọi I là hình chiếu của A trên BC
và H là hình chiếu của I trên AA ' .
Khi đó ta có: CB  ( AIA ')
( vì CB  AI và CI  A ' O )
 CB  IH mà IH  AA '
 d ( AA ', BC )  IH  a


 AA '  CB
 AA '  (CBH )
+) Ta có 
 AA '  IH
 AA '  CH

(1) . Mặt khác
 AA '  BH
( ABB ' A ')  ( ACC ' A ')  AA ' (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc tạo bởi ( ABB ' A ') và ( ACC ' A ') là CHB   .
+) Trong tam giác HBC có HI vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên HBC cân tại H . Khi đó


. Vậy tam giác ABC đều có một cạnh CB  2 IB  2a tan
IB  IH .tan IHB  a tan
2
2
2




 2a tan  3

2
 SABC  
 3a 2 tan 2

4

2




2a tan . 3
2 3a tan


2
AI
2
2
 3a tan  AO 

 AI 
2
2
3
3
Đặt A ' O  x . Khi đó xét A ' AI ta có :

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

2SA ' AI

A ' O. AI
 A ' O. AI  IH . AA '  AA ' 

IH

a



2  x 3 tan 
2

4

Mặt khác: AA '2  A ' O2  AO2  3x tan
 x  a 2 tan 2  A ' O  x 
2
3
2
2

 VABC . A ' B 'C '  A ' O.SABC 

2 3a tan

2




x 3a tan

Chuyên đề: Hình học không gian



2 3a tan

2

2 

2a3 tan 3

3 3 tan

2 

2


2
1



2 . 3a 2 tan

2

2


3 3 tan 2  1
3 tan 2  1
2
2

Chú ý: Tam giác ABC đều cạnh a : SABC

a2 3
a 3
và h 

4
2

(các bạn được phép sử dụng luôn kết quả này trong các bài thi).

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Giáo viên

: Nguyễn Thanh Tùng

Nguồn

:


Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

Hocmai.vn

- Trang | 7 -