CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CƠ BẢN
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1 ) Dùng đường trung bình trong ∆(khi có 2 trung điểm )
2 ) Hai đ/thẳng cùng ⊥với đường thẳng thứ ba
3) Nếu có đường thẳng thứ ba cắt 2 đ/thẳng (cần chúng minh song song ) tạo
ra 2 góc bằng nhau ở vò trí đồng vò hoặc so le trong ⇒ 2 đường thẳng //
∆VUÔNG_HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC HOẶC
GÓC VUÔNG .
1 ) Chứng minh là đường cao thứ ba trong ∆:
nếu H là trực tâm ∆ABC (giao 2đường cao )từ đó ⇒ AH đường cao.
2 ) Dùng đònh lý đảo của PITAGO .
3 ) Dùng quan hệ song song và vuông góc a//c và b⊥c ⇒ a⊥b
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
1 ) Ba điểm tạo ra hai đường thẳng cùng vuông góc ( hoặc cùng song song ) với
đường thẳng thứ ba ⇒ hai đường thẳng đó trùng nhau ⇒ thẳng hàng .
2 ) Dùng tính chất của hình bình hành

O là trung điểm đường chéo AC
O là trung điểm đường chéo BD
Tư ù giác ABCD là hình bình hành
D ; O ; B thẳng hàng

⇒


⇒

HÌNH THANG
ĐỊNH NGHĨA : Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối
song song ; hai cạnh còn lại không song song
- Hai cạnh song song là AB và CD còn gọi là 2

cạnh đáy
- Hai cạnh không song song là AD và BC còn
gọi là 2 cạnh bên .
- Đoạn thẳng AH vuông góc với 2 đáy được gọi là đường cao
Dấu hiệu nhận biết Hình thang :
Tứ giác có 2 cạnh song song là h́nh thang
BÀI 1 : ∆ABC nhọn , AM là trung tuyến ; Gọi E ; F lần lượt là trung điểm
của AB ; AC .
1 ) Tứ giác BEFC là hình thang .
2 ) Đoạn thẳng AM cắt FE tại I . Ch/minh : I trung điểm AM ?
3 ) Chứng minh : AB = 2 MF
Bài 2 : Cho hình thang ABCD có đáy AB , CD .Gọi M ; N theo thứ
tự là trung điểm của AD , BC .
1 ) Chứng minh : DMNC là hình thang ..
2 ) Đoạn thẳng MN cắt AC tại K . Ch/minh : K trung điểm AC ?
3 ) Tính độ dài NK biết BA = 12 cm .
BÀI 3 : ∆ABC nhọn . Gọi M ; F ; E là trung điểm của AB ; BC , AC .
1 ) Tứ giác AEFB là hình gì ?
2 ) Đoạn thẳng CM cắt FE tại I . Ch/minh : IF = IE ?
Bài 4 : Cho hình thang ABCD có đáy BC , AD .Gọi M ; N theo thứ
tự là trung điểm của AB , AC .
1 ) Tứ giác BEIC là hình gì ?
2 ) Đoạn thẳng EI cắt DC tại K . Ch/minh : K trung điểm DC ?
3 ) Tính độ dài AD biết BC = 12 cm và FE = 10 cm .
Bài 5 : Cho ∆ABC có AM là trung tuyến , Lấy điểm D, E trên AB sao cho
AD = ED = EB . Gọi I là giao điểm của DC và AM .
1 ) Tính độ dài ID cho biết ME = 6 cm .
2 ) Ch/minh : AI = IM 3 ) Ch/minh : DC = 4 ID
Bài 6 : ∆ABC có AM là trung tuyến và H trung điểm của AM , BH cắt AC tại E
. Từ M kẻ MF // BE ( F thuộc AC )

1 ) Chứng minh : F trung điểm của EC ?
2 ) Chứng minh : EA = EF = FC ? 3 ) Tính BE biết HE = 4 cm
Bài 7 : ∆ABC có AM là trung tuyến và I trung điểm của AM , BI cắt AC tại K ;
trên AC lấy điểm E sao cho AK = KE
1 ) Tứ giác BKEM là hình gì ? 2 ) Chứng minh : E trung điểm của KC ?
3 ) Tính IK biết BK = 24 cm
Bài 8 : Cho hình thang ABCD có đáy AB , DC . Gọi M ; N ; K theo thứ tự
là trung điểm của AB , AC , BC .
1 ) Tứ giác BMNC là hình gì ? 2 ) Ch/minh : AB = 2NK ?
3 ) Gọi E là trung điểm của AD Chứng minh : 3 điểm E ; K ; N thẳng hàng .
Bài 9 : Cho hình thang ABCD có AB // DC . Gọi E ; I ; K ; M theo thứ tự
là trung điểm của AD , DB , AC , BC .
1 ) Tứ giác AEIB là hình gì ?
2 ) Ch/minh : AB = 2MK ?
3 ) Chứng minh : 3 điểm E ; K ; M thẳng hàng .
Bài 10 : Cho tứ giác ABCD , Gọi E ; F ; I theo thứ tự là trung điểm của
AD , BC , CA . 1 ) Chứng minh : EI // CD và IF / / AB
2 ) Chứng tỏ:
2EF AB + CD≤
( dùng bất đẳng thức trong tam giác )
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
HÌNH THANG CÂN :
1. Hình thang có 2 góc kề đáy bằng nhau là h/thang cân
2. Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là h/thang cân
HÌNH THANG CÂN
ĐỊNH NGHĨA : Hình thang cân là Hình
thang có hai góc kề đáy bằng nhau
TÍNH CHẤT :
1. Trong hình thang cân ,hai cạnh bên bằng nhau
2. Trong hình thang cân ,hai đường chéo bằng nhau .

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT MỘT HÌNH THANG CÂN :
1. Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là HT cân .
2. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là HT cân
Bài 11 : Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vuông góc với cạnh bên
BC ; DB là tia phân giác của góc D .
1 ) Chứng minh : ∆BDA cân tại A
2 ) Tính chu vi của hình thang ABCD biết BC = 3 cm ; BD = 4 cm .
Bài 12 : Hình thang cân ABCD có AB // CD . Gọi O là giao điểm của
hai đường chéo AC và DB .
1 ) Chứng minh :
CBD = DAO
)
)
và ∆ AOB cân tại O
2 ) Chứng minh : OC = OD
Bài 13 : Hình thang ABCD ( AB // CD ) có AC = DB . Qua B kẻ đường
thẳng song song với AC , cắt đường thẳng DC tại E .
1. Chứng minh :
ABC = ECB
∆ ∆
và ∆BDE cân
2. Chứng minh : ABCD là hình thang cân
Bài 14 : Cho ∆ABC cân tại A . Gọi M ; N ; K theo thứ tự là trung điểm của
AB ; AC và BC . a/ Tứ giác AMKC là hình gì .
b/ Ch/minh : BMNC là hình thang cân .
c/ Gọi E là giao điểm của BN và MK .Chứng minh : EB = EN ?
HÌNH BÌNH HÀNH
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT MỘT HÌNH BÌNH HÀNH:
Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hbh .
Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hbh .

Tứ giác có 1 cặp cạnh đối vừa // = là hbh .
Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hbh
BÀI TẬP
BÀI 1 : Cho tứ giác ABCD có M ; N ; K ; Q là trung điểm của AB ; BC ; CD ;
DA .Ch/ minh : tứ giác MNKQ là là hình bình hành ?
Bài 2 : Cho hình thang vuông ABCD ( có
= =
) )
0
90A B
; BC // = ½ AD ) .Gọi
M ; N là trung điểm của AC và CD .
 Tứ giác NMAD là hình gì ?
 Ch/minh : BCMN là hình bình hành ?
 Gọi I là trung điểm của MC . Ch/tỏ : B ; I ; N thẳng hàng ?
Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD . Gọi E là điểm đối xứng của D qua A ;
Gọi F là điểm đối xứng của D qua C
a ) Tứ giác AEBC là hình gì ?
b ) Ch/ minh : AC // FB và E ; B ; F thẳng hàng
c ) Ch/ tỏ : DB ; EC ; FA đồng qui tại một điểm ?
BÀI 4 : Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi M ; N ; P ; Q là trung điểm
của AB ; BC ; CD ;DA
 Tứ giác MNPQ là hình gì ?
 Gọi K là đối xứng của Q qua D .Ch/ minh : AMPD là hình bình hành
và K ; P ; N thẳng hàng ?
 Ch/ minh : ba đường MP ; NQ ; BD đồng qui ?
BÀI 5 : Cho hình bình hành : ABCD ; Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của
AB và CD ; Gọi K là giao điểm của DM và AN ; CM cắt BN tại Q.
a) Chứng minh các tứ giác AMCN ; MBND là hình bình hành
b) Ch/ tỏ : KM // QN c ) Ch/ minh : MN ; KQ ; DB đồng qui ?

Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD ( AB > BC ) , Lấy M đối xứng của A qua
B ; N đối xứng của A qua D . Lấy E trên DC sao cho D đối xứng với C qua E
a) Tứ giác DBCN là hình gì ?
b) Chứng minh : DB // MC
c). Chứng minh : B ; E ; N thẳng hàng ?
BÀI 7 : Cho ∆ABC có E ; F lần lượt là trung điểm của AC ; BC . Điểm K đối
xứng của B qua E .
 Tứ giác AEFB là hình gì ?
 Chứng tỏ : tứ giác ABCK là hình bình hành ?
 Trên AK lấy điểm I sao cho AI = IK . Chứng tỏ : E ; I ; F thẳng hàng ?
BÀI 8 : Cho ∆ABC ; hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại O . Trên tia
AM lấy H sao cho OM = MH ; K đối xứng với O qua N
a ) Tứ giác : BOCH là hình gì ? b ) Chứng minh : BK = AO .
c ) Chứng minh : AKHC là hình bình hành ? ( dùng tính chất trọng tâm )
Bài 9 : Cho ∆ABC có ba góc nhọn có M ; N ; K theo thứ tự là trung điểm
của AB;AC ; BC .
1. Tứ giác MN CB ; AMKC là hình gì .
2. Chứng minh : Tứ giác MNKB là hình bình hành .
3. Gọi I là giao điểm của MK và BN ; J là giao điểm của AK và MN
.Chứng minh : AB = 4 IJ .
BÀI 10 : Cho ∆ABC đều . Lấy điểm M là trung điểm cạnh AB và trên
tia AC lấy điểm N ( C nằm giữa A và N ) sao cho BM = CN ; gọi I là
trung điểm cạnh BC .
 Chứng minh rằng :Tứ giác AMIC là hình thang cân ?
 Gọi K là giao điểm của BC và MN . Ch/ minh : K trung điểm MN ?
BÀI 11 : ∆ABC cân tại A . Trên tia AB lấy điểm E ( B nằm giữa A và E ) và
trên cạnh AC lấy điểm F sao cho BE = CF ; EF cắt BC tại I .Dựng FD song
song AB cắt BC tại D .
1 ) Ch/ minh : ∆FDC cân tại F ? 2 ) Ch/ tỏ : I trung điểm của EF ?
3 ) Lấy K là điểm đối xứng của điểm E qua B .Tứ giác KFCB là hình gì ?

BÀI 12 : Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AB ; AC
 Chứng minh :Tứ giác MNCB là hình thang cân
 Qua N vẽ đường thẳng (d) bất kỳ .Kẻ AD ; CE vuông góc với (d) .
Ch/ minh : ADCE là hbh ?
BÀI 13 : ∆ABC có M ; N lần lượt là trung điểm của AB ; AC .Lấy D
nằm trong ∆ABC .Trên tia DM lấy E sao cho M trung điểm của DE
a) Tứ giác ADBE là hình gì ?
b) Trên tia DN lấy điểm F sao cho DN = NF .Ch/minh : AD // FC
C ) Chứng minh : Tứ giác EFCB là hình bình hành
BÀI 14 : Cho ∆ABC cân tại A và đường trung tuyến BE ; CN cắt nhau tại G .
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB ; GC .
 Ch/ tỏ : BNEC là hình thang cân ?
 Chứng minh tứ giác NEQB là hình bình hành ?
Bài 15 : Cho hình bình hành ABCD . Hai đường chéo AC và BD cắt tại O . Lấy
điểm M trên OD và điểm N trên OB sao cho BN = DM .
a ) Chứng minh : AM = NC b ) Chứng minh : AMCN là hình bình hành.
c ) Tia AM cắt DC tại H ; tia CN cắt AB tại K .Ch/ tỏ : K ; O ; H thẳng hàng ?
Bài 16 : Cho hình bình hành ABCD .lấy M trên AB và N trên CD sao cho