ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ

THẦY HOÀNG MICHAEL

Lưu ý: Thầy sẽ chứng minh lại dưới dạng chi tiết để các em
hiểu.Dạng toán này xuất phát là của thầy Chu Văn Biên nhé.

 Hai giá trị của x cho cùng UX = kU.
Trước khi đến với dạng toán trên ta hãy nhắc lại nhứng tính chất vốn
có của hàm bậc hai để ta dễ dàng áp dụng vào bài toán vật lý cụ thể.
Xét hàm số y  ax 2  bx  c  0 (*)
Xét trường hợp (a>0), ( Vì trong vật lý thông thường chỉ số a>0).
Hàm số (*) có thể đưa về tam thức bậc hai như sau: ax2  bx  c  y  0 (**)
Tam thức bậc hai thườn có những tính chất sau đây:
Tại một giá trị x0 

b
chính là giá trị cực trị của tam thức bậc hai, do hệ
2a

số a>0 nên nên x0 chính là điểm cực tiểu của (**). Tiếp tục áp dụng định
lý Viet ta lại có:
c
b
và x1.x2  . Một mấu chốt quan trọng ở đây nữa là ta có
a
a
c  y0
b
. Bây giờ ta đi chứng minh đó.
x0 


2a
a
Thật vậy: Tam thức bậc hai của (**) đạt giá trị cực tiểu x0 tương ứng lúc
b
này thì y0 . Thay x0 
vào phương trình (**) ta rút ra được
2a
x1  x2 

c  y0
b
 b 
y0  c    .2 

 x0 . Ta thấy rằng mối liên hệ giữa x0 và y0
2a
a
 2a 
một cách rõ ràng. Khi x0 đạt cực tiểu, kéo theo y0 , hay nói ngược lại, ứng
2

với một giá trị của y0 thì tam thức bậc hai của (**) đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì sao phải chứng minh được x0 

c  y0
b
thì đọc giả sẽ thấy ở

2a

a

phần áp dụng vào cho bài toán vật lý cụ thể.
1. Mạch RLC, khi R thay đổi thì mạch tiêu thụ công suất công suất cực
đại Pmax .Nếu hai giá trị R1 và R2 để mạch tiêu thụ công suất P.
Xuất phát từ công thức tính công suất:
P  R.I 2  R.

U2
R   Z L  ZC 
2

2



U

 Z  ZC 
R L

(1.1) .

2

R

Lưu ý: Vì R thay đổi nên ta xem R là biến số để khảo sát.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương R và


 Z L  ZC 
R

2

ta có R +

 Z L  ZC 
R

 2 Z L  ZC . Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau: R =
1

2


ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ

 Z L  ZC 
R

THẦY HOÀNG MICHAEL

2

 R0  Z L  ZC . Vây công suất của toàn mạch đạt giá trị cực

đại khi R0  Z L  ZC , thay vào biểu thức của P ta tính được giá trị cực đại
đó là: Pmax 


U2
U2

2 R0 2 Z L  Z C

(1.2)

Từ công thức (1.1) ta có thể biến đổi như sau: R 2 

Áp dụng định lý Viet ta dễ dàng suy ra:
R1.R2   Z l  Z C 

R1  R2 

U2
2
R   Z L  ZC   0
P

U2
(5.3) và
P

(1.4)

2

Từ (1.2) ta biến đổi Z L  ZC 

U2

kết hợp với (1.4) ta được
2 Pmax

U2
 R1.R 2
2 Pmax

(1.5)

Từ (1.3) và (1.5) ta lập tỉ và bình phương 2 vế thì sẽ rút ra được:
P2
R1 R2
  2  4. max
R2 R1
P

(1.6)

Các em học sinh khi làm trắc nghiệm thì nên ghi nhớ công thức

(1.6) để làm bài tập.

Ví dụ 1: Đặt điện áp xoay chiều u  U0 cos t    (V) (U và  không đổi)
vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm biến trở R, tụ điện có điện
dung C, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L. Khi R = R1 và R = R2 thì công
suất tiêu thụ trên mạch đều bằng 120 W. Nếu R1/R2 + R2/R1 = 4,25 thì
công suất mạch tiêu thụ cực đại là bao nhiêu?
A. 127,5 W.
B. 150 W
C.180 W

D. 300 W
Hướng dẫn
 Áp dụng công thức (1.6) ta rút ra được
Pmax 

 120
P  R1 R2
 2 
 
2  R2 R1
2


 4, 25  2   150 (W)

 Chọn B

2


ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ

THẦY HOÀNG MICHAEL

2. Mạch RLC, khi L thay đổi thì U Lmax . Nếu hai giá trị L1 và L2 để
U L  k .U

Ta có U L  Z L .I  Z L .
Suy ra:  R 2  ZC2  .
a


U
R 2   Z L  ZC 

2



U
R Z
1
 2.Z C .  1
2
ZL
ZL
2

2
C

1
1
1
 2Z c .  1  2  0
2
ZL
ZL c k
b
x2


y

x

(2.1)
Hàm số đạt cực tiểu tại x0 

c  y0
Z
1  k02
b
1


 2 C 2 
2a
a
Z L0 R  ZC
1  k 1

(2.2)

Theo định lý Viet ta có:
x1  x2 

2Z
Z
b
1
1

1 1
1 


 2 C 2  2 C 2  


a
Z L1 Z L 2 R  ZC
R  ZC 2  Z L1 Z L 2 

(2.3)
x1.x2 

2

c
1 1
1 k

.
 2
 R 2  ZC2  1  k 2 .Z L1.Z L 2
2
a
Z L1 Z L 2 R  ZC






(2.4)
Lập tỉ giữa (2.2) và (2.3) rồi bình phương hai vế ta được:
2

1  k02
1 1
1 


  2
4  Z L1 Z l 2 
R  Z C2

(2.5)

Tiếp tục lập tỉ giữa (2.4) và (2.5) ta suy ra được:
1  k02
1  k02
Z L1 Z L 2
L1 L2

 2  4.



2

4.
Z L 2 Z L1

1  k 2
L2 L1
1  k 2

(2.6)

Ví dụ 2.1 Đặt điện áp xoay chiều u  U0 cos t    (V) (U và  không đổi)
vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm điện trở R, tụ điện có điện dung
C, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi. Điện áp hiệu dụng trên cuộn
cảm đạt giá trị cực đại bằng U 10 . Khi L = L1 và L = L2 thì điện áp hiệu dụng
trên cuộn cảm đều bằng 1,5U. Tính L1/L2 + L2/L1.
A. 1,24.
B. 1,50.
C. 3,43.
D. 4,48.
Hướng dẫn:

 

1  10
1  k02
L L
Từ công thức (2.6) ta suy ra 1  2  4.

2

4.
L2 L1
1  k 2
1  1,52


Chọn D
3

2

 2  4, 48


ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ

THẦY HOÀNG MICHAEL

Ví dụ 2.2 (Trích đề số 2 sách thần tốc 2016)
Đặt điện áp u  90 10 cos t V  vào hai đầu đoạn mạch AB nối tiếp theo
đúng thứ tự R,C, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm thay đổi được. Khi
Z L  Z L1 hoặc Z L  Z L 2 thì U L1  U L 2  270 (V). Biết 3Z L 2  Z L1  150() và tổng trở
của đoạn mạch RC trong hai trường hợp là 100 2    . Giá trị U L max gần giá
trị nào nhất sau đây?.
A. 150 (V)
B.180 (V)
C. 300(V)
D.175 (V)
Hướng dẫn.
Bây giờ ta đi xác định k0 thì khi đó ta dễ dàng tính được
U L max  k0 .U  k0 .90 10 ; Ta có: k 

U L1 U L 2
270 3 5




U 0 90 5
U
5
2

Từ công thức (2.4) như đã trình bày trong phần lý thuyết ta có :







2
R 2  Z C2  1  k 2 Z L1.Z L 2 thay Z RC
 R 2  ZC2  100 2



2

 2.104

  3 5  2 
và kết hợp với Z L1  3Z L 2  150 ta tìm được 2.10  1  
  Z L 2  3Z L 2  150 
  5  



Từ đó tìm được Z L 2  150    Z L1  300   . Tiếp tục thay vào công thức
4

“Độc” của ĐL BHD5
1  k02
Z L1 Z L 2
300 150

 2  4.


 2  4.
2
Z L 2 Z L1
1 k
150 300

U L max  2.

1  k02
3 5 
1 

 5 

2

 k0  2  U L max  2.U


90 10
 90 10  284 V   D
2

Chọn C.
3. Mạch RLC, khi C thay đổi thì U Cmax . Nếu hai giá trị C1 và C2 để
U C  k.U
Ta có U C  Z C .I  Z C .

Suy ra:  R 2  Z L2  .
a

U
R 2   Z L  ZC 

2



U
R 2  Z L2
1
 2.Z L .
1
2
ZC
ZC

1
1

1
 2Z L .
1 2  0
2
ZC
ZC
k
b
x2

x

Hàm số đạt cực đại tại tại x0 

(3.1)

c

c  y0
1  k02
Z
b
1


 2 L 2 
2a
a
ZC 0 R  Z L
1  k 1


Theo định lý Viet ta có:
4

(3.2)


ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ

THẦY HOÀNG MICHAEL

2Z
Z
b
1
1
1 1
1 


 2 L 2 2 L 2 


a
Z C1 Z C 2 R  Z L
R  Z L 2  Z C1 Z C 2 
c
1 1
1  k 2
x1.x2  

.
 2
 R 2  Z L2  1  k 2 .ZC1.ZC 2
a
ZC1 ZC 2 R  Z L2

(3.3)

x1  x2 





(3.4)

Lập tỉ giữa (2.2) và (2.3) rồi bình phương hai vế ta được:
2

1  k02
1 1
1 


  2
4  Z C1 Z C 2 
R  Z L2

(3.5)


Tiếp tục lập tỉ giữa (2.4) và (2.5) ta suy ra được:
Z C1 Z C 2
1  k02
1  k02
C1 C2

 2  4.



2

4.
Z C 2 Z C1
1  k 2
C2 C1
1  k 2

(3.6)

Ví dụ 3.1: Đặt điện áp xoay chiều u  U0 cos t    (V) (U và  không đổi)
vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm điện trở R, tụ điện có điện
dung C thay đổi được, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L. Điện áp hiệu
dụng trên tụ đạt giá trị cực đại bằng 5U/3. Khi C  C1 và C2  C1 

16



  F  thì


điện áp hiệu dụng trên tụ đều bằng U= U 2,5 . Tính C1.
A.

12



B.

( F )

40



C.

( F )

18



D.

( F )

24




( F )

Hướng dẫn
1  k02
C1 C2

 4.
 2 thay k , k0 :
C2 C1
1  k 2
16
C1 
16
C1 C2 34 C2 C1  
C1
  34 đến đây ta không rút C vì có





1
16
C2 C1 15
C1
15
C1 


16
số lẻ là
nên cách nhanh nhất trong thi trắc nghiệm là lấy 4 phương


Từ công thức (3.6) ta suy ra

án thế vào. Nhận thấy chỉ có đáp án D thỏa mãn nên ta chọn D.
4. Khi  thay đổi để U Cmax , U Cmax  k0 .U và hai giá trị 1 và 2 thì
U C1  U C 2  k.U

Xuất phát từ công thức:
U C  ZC .

U
R   Z L  ZC 
2

2



1
.
C.

U
1 

R 2   L 


C 


2



Bình phương hia vế và rút gọn cho U ta được:
L2C 2 . 4   R 2C 2  2 LC  . 2  1 
c

1
0
k2
y

5

U





L C .  R C 2  2 LC  2  1
2

2


4

2

 k .U


ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ

THẦY HOÀNG MICHAEL

Xem x   2 , a  L2 C 2 , b  2 LC  R 2 C2 , c  1, y 

1
k2

Hàm số được viết lại a.x2  bx  c  y  0
(4.1)
Do (4.1) là tam thức bậc hai nên, hệ số (a>0) nên (4.1) đạt cực đại tại
1  k02
2 LC  R 2C 2
b
2

x0 
hay 0 
2 L2C 2
L2C 2
2a
2LC  R 2C 2

Áp dụng định lý Viet: 12  22 
L2C 2
1  k 2
2
2
1 .2  2 2
L .C

(4.2)
(4.3)
(4.4)

Lập tỉ (4.2) và và (4.3) rồi bình phương hai vế ta được



1 2
1  22
4



2



1  k02
L2C 2

(4.5)


Tiếp tục lập tỉ giữa (4.5) và (4.4) ta rút ra đươc:



2
1

 22



12 .22

2

2

2

 1   2 
1  k02
1  k02
 4.



2

4.





1  k 2
1  k 2
 2   1 

(5.5)

Ví dụ 4.1: Đặt điện áp xoay chiều u  100 2 cos t    (V) (  thay đổi
được) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm điện trở R, tụ điện có
điện dung C, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L sao cho 2L > R2C. Khi
  1 và   2 thì điện áp hiệu dụng trên tụ cùng bằng 115 V. Nếu
1 2

 2, 66 thì điện áp hiệu dụng cực đại trên tụ là bao nhiêu?
2 1

A. 100(V)

B.132,6(V)

C.150(V)

D.155,5(V)

Hướng dẫn.
Ta có: k 


U C 115

 1,15
U 100

Từ công thức (5.5) ta suy ra
2

 1 2 
1  k02
1  k02
2

 2, 66  4.
 k0  1,326

  4.
1  k 2
1  1,152
 2 1 

UC max  k0U  100.1,326  132,6 V 

Chọn B

5--Khi  thay đổi để U Lmax , U Lmax  k0 .U và hai giá trị 1 và 2 thì
U L1  U L 2  k .U

 Xuất phát từ công thức:


6


ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ
U L  Z L .I  L.

U
1 

R 2   L 

C 


2



THẦY HOÀNG MICHAEL
U

 1 R2  1
1
1
.

2


. 2 1

L2C 2  4
 LC 2 L  

 kU

Bình phương hia vế và rút gọn cho U ta được:
 1
1
1
R2  1
1
.

2


. 2 1 2  0
2 2
4
LC 
 LC 2 L   c k
x2

a

b

x

(5.1)


y

Tam thức bậc hai trên đạt cực trị tại
1
R2

c  y0
1  k02
b
x0 

 02  LC 2 L 
(5.2)
1
1
2a
a
2 2
2 2
LC
LC
 1
R2 
2


LC 2 L 
b


2
2
Áp dụng định lý Viet ta được: 1  2  a 
1
2 2
LC
2
1 k
12 .22 
1
2 2
LC

(5.3)
(5.4)

Lập tỉ giữa (5.2) và (5.3) rồi bình phương hai vế ta rút ra được:

12  22   4.
2

1  k02
1
2 2
LC

(5.5)

Tiếp tỉ giữa (5.5) và (5.4) rồi khai triễn ra ta được kết quả:
2


2

 1   2 
1  k02


2

4.
   
1  k 2
 2   1 

(5.6)

Ví dụ 5.1: Đặt điện áp (U không đổi, f thay đổi được) vào hai đầu đoạn
mạch mắc nối tiếp gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R
và tụ điện có điện dung C. Khi f = f1 hoặc f = 2,3f1 thì điện áp hiệu dụng ở
hai đầu cuộn cảm có cùng giá trị 1,15U. Khi f thay đổi thì điện áp hiệu dụng
trên tụ đạt giá trị cực đại là xU. Tính x.
A. 1,2
B. 1,25.
C. 1,36.
D. 1,4.

7