Câu 231: Xác định m để các vectơ sau đây phụ thuộc tuyến tính:
u1 = (2,3,1,4) , u 2 = (4,11,5,10) , u3 = (6,14, m + 5,18) , u 4 = (2,8,4,7)
1
4
2 3
2
4 11

0
5
10


→
A=
6 14 m + 5 18
0



4
7
2 8
0
2
0
→
0

0

3
1
5
3
0 m −1
0
0

4
2

0
2
→
0
6


3
0

3
1
5
3
5 m+2
5
3

3

1
5
3
0 m −1
0
0

4
2
4

1

4
2
0

1

r

Để hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính thì
Đáp án: m=1

A

〈 4 tức m=1

Câu 232: Xác định m để các vectơ sau đây phụ thuộc tuyến tính:
u1 = (1,2,1,4) , u 2 = (2,3, m,7) , u3 = (5,8, m + 1,19) , u 4 = (4,7, m + 2,15)

1
2
A= 
5

4

2
1
4
1
1 2


3
m
7
0 1 2−m
→ 
0 2 4 − 2 m
8 2m + 1 19


7 m + 2 15
0 1 2 − m

Để hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính thì
dễ dàng thấy được ∀m thì r A 〈 4

r


A

4
4
1 2 1
1 

→ 0 1 2 − m 1



1
0 0 0
1 

1

〈4

Đáp án: ∀m
Câu 233: Xác định m để 3 vectơ sau đây độc lập tuyến tính:
u = (m+1,1,m+1), v= (1,1,1), w= (2,0, m+2)
m + 1 1 m + 1 
1 m + 1 m + 1
1 m + 1 m + 1 
 1




1
1  → 1
1
1  → 0
m
m 
A= 
 2
0
0
0 m + 2
2
m + 2
2
m + 2


A = m2

Để hệ vectơ độc lập tuyến tính thì A ≠ 0 ⇒ m ≠ 0
Đáp án: m ≠ 0
Câu 234: Xác định m để 3 vectơ sau đây độc lập tuyến tính:
u= (m+2,3,2), v= (1,m,1), w= ( m+2. 2m+1, m+2)
3
2 
m + 2
 m 3 − 2m 0 
 1

m

1  →  1
m
1 
A= 
m + 2 2m + 1 m + 1
 0 2m − 2 m
⇒ A = m(m 2 -1)

Để hệ vectơ độc lập tuyến tính thì A ≠ 0 ⇒ m ≠ 0; m ≠ -1; m ≠ 1
Đáp án: m ≠ 0 ; m ≠ −1 ; m ≠ 1
Câu 235: Xác định m để 3 vectơ sau đây độc lập tuyến tính:
u= (2,1,1,m), v= (2,1,4,m), w= (m,1,0,0)
1
m 
2 1 1 m
1 2 1 m
1 2
2 1 4 m → 1 2 4 m → 0 0
3
0 
A= 




m 1 0 0 
1 m 0 0 
0 m − 2 − 1 − m

Để hệ vectơ độc lập tuyến tính thì


A

=3

r =3
r =3

Khi m=0 ⇒

A

Khi m=2 ⇒
Vậy ∀m thì

r

A

r

A

=3

Đáp án: ∀m

Câu 236: Xác định m để 3 vectơ sau đây độc lập tuyến tính:



u= (2,1,1,m), v= (2,1,4,m), w= (m+2,1,0,0)
1 1 m
1 m
m 
2
1 2
1 2 1
2




1 4 m → 1 2
4 m  → 0 0 3
0 
A= 
m + 2 1 0 0 
1 m + 2 0 0 
0 m − 1 − m

Để hệ vectơ độc lập tuyến tính thì

r

A

=3

khi m=0 ⇒ r A = 2〈3
khi m=1 ⇒ r A = 3

Đáp án: m ≠ 0
Câu237: Xác định m để 3 vectơ sau đây độc lập tuyến tính:
u=(2,1,1,m), v=(2,1,m,m), w=(m+2,1,0,0)
1 1 m
m 
2
1 2 1
2


1 m m → 0 0 m − 1 0 
A= 
m + 2 1 0 0 
0 m − 1
− m

Để hệ vectơ độc lập tuyến tính thì

r

A

=3

Khi m=1: r A = 2 (loại)
Khi m=0: r A = 2 (loại)
Đáp án: m ≠ 0; m ≠ 1

Câu 238: Xác định m để 3 vectơ sau đây độc lập tuyến tính:
u=(2,1,1,m), v=(2,1,-1,m), w=(10,5,-1,5m)

m 
2 1 1
2 1 1 m
 2 1 − 1 − m  → 0 0 2 0  →  2 1 1 m 
A= 
0 0 2 0 





10 5 − 1 5m 
0 0 6 0 

Để hệ vectơ độc lập tuyến tính thì

r

A

=3

Mà ∀m thì r A = 2 ⇒ m ∈ Φ
Đáp án: m ∈ Φ
Câu239 : Xác định m để các vectơ sau đây độc lập tuyến tính:

u

1


= (2,3,1,4) ,

u

2

= (3,7,5,1) ,

u

3

= (8,11,17, m) , u 4 = (1,4,4,−3)


−3 
1 4 4 − 3
1 4 4
1 4 4 − 3 
2 3 1 4 
0 5 7
− 10 



→
→ 0 5 7 − 10 
A=
3 7 5 1 
0 5 7

− 10 
0 0 0 6 − m




8
17
11
m
0
15
21
−
m
−
24




=
4
Để hệ vectơ độc lập tuyến tính thì r A

Mà ∀m thì

r

A


〈4

⇒ m∈Φ

Đáp án: m ∈ Φ
3

Câu 240: các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của R :
a) (1,2,3), (0,2,3), (0,0,3)
b) (1,1,1), (1,1,0), (2,2,1)
c) (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)

d) (1,2,1), (2,4,2), (1,1,2)

Đáp án: a
Câu 241:tìm m để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của
u=(1,2,m), v=(1,m,0), w=(m,1,0)
Điều kiện để hệ vectơ tạo thành một cơ sở của
tuyến tính

R

3

3

R:

là hệ vectơ trên phải độc lập


 1 2 m


A=  1 m 0  ⇒ A = m(1-m 2 )
m 1 0 
⇒ để vectơ trên độc lập tuyến tính thì
⇒ m ≠ 0 ; m ≠ 1 ; m ≠ −1
Đáp án: m ≠ 0, m ≠ 1, m ≠ -1

A ≠0

Câu 242: Tìm m để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của
u=(m,1,1), v=(1,m,1), w=(1,1,m)

3

R:


Điều kiện để hệ vectơ tạo thành một cơ sở của
tuyến tính

R

3

là hệ vectơ trên phải độc lập

1

1 
m 1 1 
m
1 m 1 → 1
m
1 
A= 


 1 1 m
 0 1 − m m − 1
⇒ A = (m-1) 2 (m+2)
⇒ để vectơ trên độc lập tuyến tính thì
⇒ m ≠ 1; m ≠ −2

A ≠0

Đáp án: m ≠ 1, m ≠ -2
Câu243: Tìm m để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của
u=(1,2,3), v=(m, 2m+3, 3m+3), w=(1,4,6)

3

R:

3

Điều kiện để hệ vectơ tạo thành một cơ sở của R là hệ vectơ phải độc lập tuyến tính
2
3 

2
3 
1
1
m 2m + 3 3m + 3 → m 2m + 3 3m + 3
A= 



 1
 1
4
6 
0
0 
⇒ A = -3 ≠ 0 ∀m
⇒ hệ vectơ độc lập tuyến tính ∀m
Đáp án: ∀m
4

Câu244: Tìm m để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của R :

u

1

= (3,1,2, m − 1),

u


2

= (0,0, m,0) ,

u

3

= (2,1,4,0) ,
4

u

4

= (3,2,7,0)

Điều kiện để hệ vectơ tạo thành một cơ sở của R là hệ vectơ phải độc lập tuyến tính
3
0
A= 
2

3

1 2 m − 1
0 m
0 
⇒ A = m(m-1)
1 4

0 

2 7
0 

Để hệ vectơ độc lập tuyến tính thì A ≠ 0


⇒ m ≠ 0; m ≠ 1
Đáp án: m ≠ 0; m ≠ 1

4

Câu245: Tìm m để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của R :

u

1

= (1,2,3,4),

u

2

= (2,3,4,5),

u

3


u

= (3,4,5,6),

4

= (4,5,6, m)

4

Điều kiện để hệ vectơ tạo thành một cơ sở của R là hệ vectơ phải độc lập tuyến tính
1
2
A= 
3

4

2
3
4
5

3 4
1

0
4 5
→

0
5 6


6 m
0

3
4 
1 2 3 4

2
3 


→ 0 1 2 3

4
6 


0
0
0
7
−
m


6 16 − m


2
1
2
3

⇒ r  〈 4 ∀m

r

mà để hệ vectơ độc lập tuyến tính thì
⇒ m∈Φ

A

=4

Đáp án: m ∈ Φ
Câu 246: Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con W của
3
R sinh bởi các vectơ:

u

= (2,3,4),

u

a)


u ,u

, b)

1

1

2

2

= (5,−4,0) ,

u ,u
2

3

u

, c)

3

= (7,−1,5)

u ,u
1


3

d)

u ,u ,u
1

2

3

Đáp án: d
Câu 247: Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con W của
3
R sinh bởi các vectơ:

u

= (1,2,4),

a)

u ,u

1

1

2


Đáp án: c

u

u
, b) u , u , c) u , u , u
2

= (0,1,2),
2

3

u

3

= (0,0,1) ,
1

2

3

4

= (0,0,2)

d)


u ,u ,u
2

3

4


Câu 248: Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con W của
3
R sinh bởi các vectơ:

u

= (1,2,3,4),

a)

u ,u

1

1

u = (0,0,1,0), u = (0,2,4,4)
, b) u , u , c) u , u , u d) u , u , u , u

2

u


2

= (0,2,6,0),
2

3

3

1

4

2

3

1

2

3

4

Đáp án: d
Câu 249: Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con W của
4
R sinh bởi các vectơ:


u

= (1,2,3,4),

a)

u ,u

1

1

u

, b)

2

2

= (0,2,6,0) ,

u ,u
2

3

, c)


u

3

= (0,0,1,0) ,

u ,u ,u
1

2

3

u

d)

4

= (1,2,4,4)

u ,u ,u ,u
1

2

3

4


Đáp án:c

Câu 250:Tìm số chiều n=dimW của không gian con W của
sau:
u1 = (1,2,3,4) , u 2 = (2,3,4,5), u3 = (3,4,5,6), u 4 = (4,5,6,7)
1
2
A= 
3

4

2
3
4
5

3
4
5
6

4
1

0
5
→
0
6



7
0

2
1
2
3

4
3
1 2 3 4
→

6
0 1 2 3 

9

3
2
4
6

⇒ rA = 2

⇒ hệ { u1 , u 2 } độc lập tuyến tính

u = u +0 u

u =0 u + u
u =-1 u +2 u
u =-2 u +3 u
⇒ hệ { u , u } là

Và

1

1

2

2

1

2

3

1

2

4

1

2


1

2

⇒ n=dimW=2

Đáp án: n=2

cơ sở của

R

4

R

4

sinh bởi các vectơ


Câu251: Tìm số chiều n=dimW của không gian con W của

R

4

sinh bởi các vectơ


sau:

u

1

u

= (2,2,3,4),

1
2
A= 
3

4

2

= (1,3,4,5) ,

3 4 5
1

0
2 3 4
→
0
5 7 9



8 11 15
0

3
4
4
4

u

3

4
5
5
5

= (3,5,7,9),

u

4

= (4,8,11,15)

5
1 3 4 5 
6
→ 0 4 5 6 ⇒ r A = 3

6
0 0 0 1 

5

u , u , u độc lập tuyến tính
Và u = u +0 u +0 u
u =0 u + u +0 u
u = u + u +0 u
u =0 u +0 u + u
⇒ hệ

1

1

2

4

1

2

1

3

1


4

2

4

2

4

2

1

⇒ hệ { u1 , u 2 ,

4

2

u

4

4

} là cơ sở của

R


4

⇒ n=dimW=3

Đáp án: n=3
Câu252: Tìm số chiều n=dimW của không gian con W của
sau:
u1 = (2,2,3,4), u 2 = (4,4,6,8) , u3 = (6,6,9,12) , u 4 = (8,8,12,16)
2
4
A= 
6

8

2 3 4
4 6 8 
→ [ 2 2 3 4]
6 9 12

8 12 16

⇒ rA =1

⇒ { u1 } độc lập tuyến tính

R

4


sinh bởi các vectơ


=2 u1 ;

u

⇒ { u1 } là cơ sở của
⇒ n=dimW=1

R

Và

u =u ; u
1

1

2

3

=3 u1 ;

u

4

=4 u1


4

Đáp án: n=1
Câu 253: Tìm số chiều n=dimW của không gian con W của
sau:
u1 = (1,2,3,4), u 2 = (2,0,6,0) , u3 = (6,6,7,0) , u 4 = (8,0,0,0)
1
2
A= 
6

8

2
0
6
0

4
1 2 3 4 

0 4 0 8 
0
 ⇒
→
rA =4
0 6 11 24
0




0
0 16 24 32

3
6
7
0

⇒ hệ { u1 , u 2 ,

u ,u
3

4

} độc lập tuyến tính

u = u +0 u +0 u +0 u
u =0 u + u +0 u +0 u
u =0 u +0 u + u +0 u
u =0 u +0 u +0 u + u
⇒ hệ { u , u , u , u } là cơ sở của R

Và

1

1


2

3

4

2

3

4

3

4

2

1

3

1

2

4

1


2

1

2

⇒ n=dimW=4

Đáp án: n=4

3

3

4

4

4

R

4

sinh bởi các vectơ


Câu 254: Tìm hạng của hệ vectơ sau:
u1 = (3,1,5,7) , u 2 = (4,−1,−2,2) , u3 = (10,1,8,17) ,


u

4

5
7
5
7
3 1
1 3
1
 4 −1 − 2 2 
− 1 4 − 2 2 
0




→
→
A=
10 1
 1 10 8 17 
0
8 17 






13 2 13 24
 2 13 13 24
0

= (13,2,13,24)
3
7
7
7

5 7
3 9 
3 10

3 10

1 3 5 7 
→ 0 7 3 9  ⇒ r A = 3
0 0 0 1 

Đáp án : r=3
Câu 255: Tìm hạng của hệ vectơ sau:
u1 = (2,3,5,7) , u 2 = (4,1,3,2) , u3 = (8,7,13,16) ,
2
4
A= 
8

6


u

4

= (6,4,8,9)

3 5 7
1 3 2 
2 3 5 7 
→
 ⇒ rA =2
7 13 16
0 5 7 12

4 8 9

Đáp án: r=2

Câu256: Tìm hạng của hệ vectơ sau:
u1 = (1,1,5,7) , u 2 = (1,−1,−2,2) , u3 = (2,2,10,17) ,

u

5
7
1 1
1 1 5 7 
1 − 1 − 2 2 
 → 0 2 5 7  ⇒

A= 
rA =3


2 2 10 17 
0 0 0 3 


3 3 15 24

Đáp án: r=3

4

= (3,3,15,24)